Đại số Boolean và cổng luận lý
Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 2
Cơ sở toán học cho các hệ thống số là đại số Boolean
(Boolean algebra)
George Boole giới thiệu vào năm 1854
Tương tự các hệ đại số khác, được xây dựng thông qua
việc xác định nghĩa những vấn đề cơ bản sau:
Miền (domain), là tập hợp (set) các phần tử (element)
mà trên đó định nghĩa nên hệ đại số
Các phép toán (operation) thực hiện được trên miền
Các định đề (postulate), hay tiên đề (axiom) được
công nhận không qua chứng minh
Tập các hệ quả...
Đại số Boolean và
cổng luận lý
Bộ môn Kỹ thuật máy tính
Bùi Văn Hiếu
[email protected]
Đại số Boolean
Cơ sở toán học cho các hệ thống số là đại số Boolean
(Boolean algebra)
George Boole giới thiệu vào năm 1854
Tương tự các hệ đại số khác, được xây dựng thông qua
việc xác định nghĩa những vấn đề cơ bản sau:
Miền (domain), là tập hợp (set) các phần tử (element)
mà trên đó định nghĩa nên hệ đại số
Các phép toán (operation) thực hiện được trên miền
Các định đề (postulate), hay tiên đề (axiom) được
công nhận không qua chứng minh
Tập các hệ quả (set of consequences) được suy ra từ
định đề, định lý (theorem), định luật (law) hay luật(rule)
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 2
Định đề Huntington
1. Tính đóng (closure): tồn tại miền B với ít nhất 2 phần
tử phân biệt và 2 phép toán (+) và (•) sao cho:
Nếu x và y là các phần tử thuộc B thì (x + y),
(x•y) cũng là 1 phần tử thuộc B
Phép toán (+) được gọi là phép cộng luận lý
(logical addition)
Phép toán (• ) được gọi là phép nhân luận lý
(logical multiplication)
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 3
Định đề Huntington (tt)
2. Phần tử đồng nhất (identity elements)
Nếu x là một phần tử thuộc miền B thì
Tồn tại một phần tử 0 thuộc B, gọi là phần tử đồng
nhất với phép toán (+ ), thỏa mãn tính chất
x+0= x
Tồn tại một phần tử 1 thuộc B, gọi là phần tử đồng
nhất với phép toán (•), thỏa mãn tính chất
x•1= x
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 4
Định đề Huntington (tt)
3. Tính giao hoán (commutative law)
x+y=y+x
x• y=y•x
4. Tính phân phối (distributive law)
x • (y + z) = (x • y) + (x • z)
x + (y • z) = (x + y) • (x + z)
5. Bù (complementation)
Nếu x là 1 phần tử trong miền B, tồn tại một phần tử
khác gọi là x’, là phần tử bù của x thỏa mãn:
x + x’ = 1 và
x • x’ = 0
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 5
Tính đối ngẫu (duality)
Quan sát các định đề Hungtinton, ta thấy chúng mang
tính đối xứng (symmetry) tức là các định đề xuất hiện
theo cặp
Mỗi định đề trong 1 cặp có thể được xây dựng từ định đề
còn lại bằng cách
Hoán đổi các phép toán 2 ngôi
Hoán đổi các phần tử đồng nhất
Như vậy đại số Boolean mang tính đối ngẫu
Phép toán (+) và (•) đối ngẫu
Phần tử đồng nhất 0 và 1 đối ngẫu
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 6
Các định lý cơ bản (fundamental
theorems)
Các định lý được chứng minh từ các định đề Huntington
và các định đề đối ngẫu theo 2 phương pháp
Phương pháp phản chứng (contradiction)
Giả sử kết quả đối ngược là đúng
Chứng minh mâu thuẫn với sự thật
Phương pháp quy nạp (induction)
Chứng minh định luật đúng với trường hợp k = 1
Giả sử định luật đúng vơí trương hợp k = n
Chứng minh định luật đúng với k = n +1
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 7
Các định lý cơ bản (tt)
Định lý 1. (Null Law)
x+1=1
x• 0=0
Định lý 2. (Involution)
(x’ )’ = x
Định lý 3. (Idempotency)
x+x =x
x• x =x
Định lý 4. (Absorption)
x + (x • y) = x
x • (x + y) = x
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 8
Các định lý cơ bản (tt)
Định lý 5. (Simplification)
x + x’• y = x + y và x• (x’ + y) = x•y
Định lý 6. (Associative Law)
x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z
x • (y • z) = (x • y) • z = x • y • z
Định lý 7. (Consensus)
(x • y) + (x’ • z) + (y • z) = (x • y) + (x’ • z)
(x + y) • (x’ + z) • (y + z) = (x + y) • (x’ + z)
Định lý 8. (De Morgan’s Law)
(x + y)’ = x’ • y’
(x • y)’ = x’ + y’
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 9
Đại số chuyển mạch (switching
algebra)
Đối với đại số Boolean, miền không bị giới hạn (không
giới hạn số lượng phần tử trong miền)
Ta chỉ khảo sát đại số Boolean giới hạn 2 phần tử
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 10
Đại số chuyển mạch (tt)
Năm 1937, Claude Shannon hiện thực đại số Boolean 2
phần tử bằng mạch các chuyển mạch (circuit of switches)
Chuyển mạch là thiết bị có 2 vị trí: tắt (off) hay mở (on)
2 vị trí này biểu diễn cho 0 hay 1
Đại số Boolean 2 phần tử được gọi là đại số chuyển
mạch
Các phần tử đồng nhất được gọi là các hằng chuyển
mạch (switching constant)
Các biến (variable) biểu diễn các hằng chuyển mạch
được gọi là các biến chuyển mạch (switching variable)
hay tín hiệu (signal)
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 11
Các phép toán chuyển mạch
Đại số chuyển mạch sử x y xy x+y x’
dụng các phép toán trong
luận lý mệnh đề với tên gọi 0 0 0 0 1
khác
0 1 0 1 1
Phép toán AND: tương
đương với phép nhân luận
1 0 0 1 0
lý
Phép toán OR: tương 1 1 1 1 0
đương với phép cộng luận
lý Bảng sự thật
Phép toán NOT: tương
đương với phép bù luận lý
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 12
Các phép toán chuyển mạch (tt)
Các phép toán chuyển mạch có thể được hiện thực bởi
mạch phần cứng
Bảng sự thật có thể sử dụng như 1 công cụ dùng để xác
minh quan hệ giữa các phép toán chuyển mạch
Vd: định lý De Morgan (x + y)’ = x’ y’
x y x’ y’ x+y (x + y)’ x’ y’
0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 0
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 13
Các phép toán chuyển mạch (tt)
Các phép toán chuyển mạch có thể được hiện thực bởi
mạch phần cứng
Bảng sự thật có thể sử dụng như 1 công cụ dùng để xác
Điều gì xảy ra nếu số
minh quan hệ giữa các phép toán chuyển mạch
Vd: định lý De Morgan (x + y)’ = x’ y’
lượng tín hiệu là +rất(xlớn ?y’
x y x’ y’ x y + y)’ x’
0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 0
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 13
Biểu thức chuyển mạch
Biểu thức chuyển mạch (switching expression) là một
quan hệ hữu hạn giữa các hằng, biến, và các phép toán
y+1
xx’ + x
z (x + y’)’
(x + yz)(x + y’) + (x + y)’
Biến hay bù của biến được gọi chung là literal
Quy ước:
Không cần ghi kí hiệu của phép nhân
Phép nhân thực hiện trước phép cộng
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 14
Biểu thức chuyển mạch
Một biểu thức có thể được chuyển thành nhiều dạng
tương đương bằng cách sử dụng các luật Boolean
E = (x + yz)(x + y’) + (x + y)’
E1 = xx + xy’ + xyz + yy’z + x’y’
E2 = x + x(y’ + yz) + x’y’
E3 = x + x’y’
E4 = x + y’
Tại sao phải biến đổi các biểu thức ?
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 15
Sự dư thừa (redundant)
Một biểu thức gọi là dư thừa nếu nó có chứa
Literal lặp: xx hay x+x
Biến và bù của biến: xx’ hay x+x’
Hằng: 0 hay 1
Các thành phần dư thừa có thể loại bỏ khỏi biểu thức
Các thành phần thừa trong biểu thức không cần hiện
thực trong phần cứng
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 16
Dạng chính tắc (canonic form)
Một biểu thức n biến luôn có thể được biểu diễn dưới 2 dạng
Dạng tổng các tích (sum-of-product hay s-o-p): biểu thức
được biểu diễn dưới dạng tổng (sum) các toán hạng (term),
mỗi toán hạng là tích (product) của các literal
E = x y + x y’ z + x’ y z’
Dạng tích các tổng (product-of-sum hay p-o-s): biểu thức
được biểu diễn dưới dạng tích các toán hạng, mỗi toán hạng
là tổng của các literal
E = ( x + y ) ( x + y’ + z ) ( x’ + y + z’ )
Dạng chính tắc: biểu thức n biến dạng s-o-p hay p-o-s có đặc
điểm mỗi toán hạng của nó có đúng n literal và không chứa các
literal thừa
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 17
Minterm, Maxterm
Luôn có thể biến đổi một s-o-p (hay p-o-s) không chính
tắc (noncanonic) về dạng chính tắc
Vd: E = xy’ + x’y + xz + yz
= xy’(z + z’) + x’y(z + z’) + xz(y + y’) + yz(x + x’)
= xy’z + xy’z’ + x’yz + x’yz’ + xyz + xy’z
+ xyz + x’yz
= xy’z + xy’z’ + x’yz + x’yz’ + xyz
Minterm: một tích không dư thừa các literal của dạng
chính tắc
Maxterm: một tổng không dư thừa các literal của dạng
chính tắc
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 18
Định lý De Morgan tổng quát
(x1 + x2 + … + xn)’ = x1’x2’ … xn’
(x1x2 … xn)’ = x1’ + x2’ + … + xn’
E’(x1, x2, x3, ..., xn, +,•) = E(x1’, x2’, x3’, ..., xn’, •, +)
Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 19
