Đại lượng ngẫu nhiên
Đại lượng ngẫu nhiên có thể được xem như là 1 đại lượng mà các giá trị số của nó là kết quả của các thí nghiệm, thực nghiệm ngẫu nhiên, giá trị của nó là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
I) ÑÒNH NGHÓA:
*Ñaï i löôïng ngaãu nhieâ n (bieá n ngaãu nhieân), vieát taét laø ÑLNN, coù
theå ñöôïc xem nhö laø moät ñaï i löôï ng maø caùc giaù trò soá cuû a noù laø
CHÖÔNG 2: keát quaû cuû a caù c thí nghieä m, thöïc nghieä m ngaã u nhieâ n ; giaù trò cuûa
noù laø ngaã u nhieân, khoâ ng döï ñoaùn tröôùc ñöôï c. Ñaïi löôïng ngaã u
ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN nhieâ n ñöôï c chia thaø nh hai loaïi: ñaï i löôï ng ngaã u nhieâ n rôø i raï c vaø
ñaï i löôïng ngaã u nhieâ n lieân luï c. ÑLNN rôø i raï c laáy caù c giaù trò höõ u
haï n hoaëc voâ haïn ñeám ñöôï c. ÑLNN lieân tuïc laáy baá t kyø giaù trò
treâ n moät soá khoaû ng cuûa truïc soá thöï c. ÑLNN thöôø ng ñöôïc kyù
hieäu laø X,Y,Z,…
*Ñònh nghóa moät caùch chaët cheõ , ÑLNN X laø moä t aùnh xaï thoûa:
X: R , vôùi laø khoâ ng gian maãu caùc bieá n coá sô caá p.
X ( )
Taä p X () {X ( ) : } laø taä p caùc giaù trò coù theå coù cuûa X.
1 2
I)Ñònh nghóa (tt) I)Ñònh nghóa
VD1: tung moät ñoàng xu saáp ngöõa (ñoàng xu coù 2 maët, 1 VD5: Nghieân cöùu baõo ôû Vieät Nam trong naêm.
maët saáp vaø 1 maët ngöõa) 2 laàn. Goïi X= soá côn baõo ñoå boä vaøo VN trong naêm. X laø
Goïi X= soá laàn ñöôïc maët saáp. X coù laø ÑLNN? ÑLNN?
VD2: Tung 1 con xuùc xaéc. VD6: Khaûo saùt tieàn löông cuûa 1 nhaân vieân nhaø nöôùc
Goïi X= soá nuùt xuaát hieän cuûa con xuùc xaéc. X laø ÑLNN? trong naêm.
Goïi X= tieàn löông cuûa ngöôøi naøy trong thaùng. X laø
VD3: Ño chieàu cao cuûa 1 ngöôøi. ÑLNN?
Goïi X= chieàu cao cuûa ngöôøi ñoù. X laø ÑLNN?
VD7: Moät ngöôøi laáy vôï. Xeùt xem ngöôøi naøy laáy phaûi
VD4: Khaûo saùt soá ngöôøi ñeán sieâu thò trong 1 ngaøy. ngöôøi vôï coù tính tình gioáng Taám hay Caùm (Taám maëc
Goïi X= soá ngöôøi ñeán sieâu thò trong ngaøy. X laø ÑLNN? aùo töù thaân chöù khoâng phaûi Taám maëc aùo 2 daây!).
3 4 Goïi X= tính tình cuûa ngöôøi vôï naøy. X laø ÑLNN?
1
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
VD8: Trong ñôøi 1 nam nhaân, coù ngöôøi khoâng bao giôø
coù vôï, coù ngöôøi coù raát nhieàu vôï. Khaûo saùt 1 ngöôøi II)BIEÅU DIEÃN ÑLNN
nam.
Goïi X= soá vôï thöïc teá cuûa ngöôøi naøy. X laø ÑLNN?
ÑLNN rôøi raïc: duøng baûng phaân phoái xaùc suaát
VD9: Trong ñôøi 1 ngöôøi, coù theå khoâng coù con hoaëc coù
raát nhieàu con. ÑLNN lieân tuïc: duøng haøm maät ñoä xaùc suaát (moät soá
Goïi X= soá con thöïc teá cuûa 1 ngöôøi nam. X laø ÑLNN? saùch duøng haøm phaân phoái xaùc suaát).
Goïi Y= soá con thöïc teá cuûa 1 ngöôøi nöõ. Y laø ÑLNN?
Phaàn quan troïng nhaát cuûa chöông naøy laø laäp ñöôïc
VD10: Hoäp coù 10 bi, trong ñoù coù 6 bi Traéng. Laáy baûng ppxs (luaät ppxs) cuûa ÑLNN rôøi raïc.
ngaãu nhieân 2 bi töø hoäp.
Goïi X= soá bi Traéng laáy ñöôïc. X laø ÑLNN?
5 6
II)BIEÅU DIEÃN ÑLNN
1)ÑLNN rôøi raïc:
Duøng baûng phaân phoái xaùc suaát: Traû lôøi:
X x1 … xi … xn *xaùc ñònh caùc giaù trò coù theå coù xi cuûa X
P p1 … pi … pn *Tính caùc xaùc suaát pi töông öùng vôùi caùc giaù trò xi
xi (i=1...n) laø caùc giaù trò khaùc nhau coù theå coù cuûa X
pi = P(X = xi) : xaùc suaát X nhaän giaù trò x i
n
Tính chaát: 0 pi 1 , pi =1
i1
Caâ u hoûi: ñeå laäp ñöôïc baûng ppxs cuûa X ta caàn laøm gì?
7 8
2
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
II)Bieåu dieãn ÑLNN (rôøi raïc) VD2: hoä p coù 6 bi, trong ñoù coù 4 bi T, 2 bi Ñ. laá y ngaã u
nhieâ n 2 bi töø hoä p. Goï i X= soá bi T laá y ñöôï c. Laä p baû ng ppxs
VD1: tung moä t ñoàng xu saá p ngöõ a 2 laàn. Goï i X= soá laà n ñöôïc maë t
cho X?
saá p. Laäp baû ng ppxs cho X?
Giaû i VD2:
Giaû i VD1:
*X coù theå coù caù c giaù trò 0,1,2
*X coù theå coù caù c giaù trò: 0,1,2
*ta tính xaù c suaá t nhö sau:
*ta coù 4 tröôø ng hôïp xaõ y ra khi tung ñoà ng xu SN 2 laà n:
Ñaë t A=bc laá y ñöôï c 0 bi T (2 bi Ñ)
SS,SN,NS,NN
B=bc laá y ñöôï c 1 bi T ; C=bc laá y ñöôï c 2 bi T
P(X=0)= P(NN) = ¼ , P(X=1)= P(SN+NS )= 2/4 , P(X=0)= P(A)= C(2,2) /C(2,6) = 1/15.
P(X=2)= P(SS)= ¼ P(X=1)= P(B)= C(1,4).C1,2) /C(2,6) = 8/15
X 0 1 2 P(X=2)= P(C)= C(2,4) /C(2,6) = 6/15
P ¼ 2/4 ¼
X 0 1 2
Thoâng thöôø ng ta ñaë t ra caùc bieá n coá roài tính xaù c suaát p i thoâng qua P 1/15 8/15 6/15
9 caùc bieá n coá naø y. 10
Löu yù: VD3: giaû thieát gioáng VD2, nhöng ta laáy ra 3 bi (chöù
*ta phaûi kieåm tra laïi xem toång xaùc suaát coù baèng 1 khoâng phaûi 2 bi). Laäp luaät ppxs cho X?
khoâng
*khoâng ñöôïc laøm:
P(X=2)= 1-P(X=0)-P(X=1) ñeå tính P(X=2)
*khoâng ñöôïc tính xaùc suaát ra soá thaäp phaân neáu pheùp
chia khoâng heát, neáu coù giaûn öôùc phaân soá thì ñeå cuøng
maãu soá.
11 12
3
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
VD4: Coù 3 hoäp, trong ñoù coù 2 hoäp loaïi 1 vaø 1 hoäp loaïi
2. hoäp loaïi 1 coù: 3 bi T, 2 bi V. hoäp loaïi 2 coù: 3 bi T, 3
Giaûi VD3: bi V. choïn ngaãu nhieân 1 hoäp roài töø hoäp ñoù laáy NN ra 2
X1 2 3 bi. Goïi X= soá bi T laáy ñöôïc. Laäp baûng ppxs cho X?
P C(1,4).C(2,2) /C(3,6) C(2,4).C(1,2) /C(3/6) C(3,4) /C(3/6)
13 14
Giaûi VD4:
Ñaët Hi=bc laáy ñöôï c hoäp loaïi i, i=1,2
P(H1)= 2/3 , P(H2)= 1/3
X 0 1 2 VD5: hoäp 1 coù: 2 bi T, 3 bi V. hoäp 2 coù: 3 bi T, 2 bi V.
P 2/15 9/15 4/15 laáy NN 2 bi töø hoäp 1 boû sang hoäp 2, roài laáy NN 2 bi töø
hoäp 2 ra xem maøu. Goïi X= soá bi T laáy ñöôïc (trong 2
bi laáy ra töø hoäp 2). Laäp baûng ppxs cho X?
P(X=0)= P(X=0/H1)P(H1)+P(X=0/H2)P(H2)
= [C(2,2)/C(2,5)].(2/3)+[C(2,3)/C(2,6)].(1/3)= 2/15
P(X=1)= P(X=1/H1)P(H1)+P(X=1/H2)P(H2)
=[C(1,3).C(1,2)/C(2,5)].(2/3)+[C(1,3).C(1,3)/C(2,6)].(1/3)
= 9/15
P(X=2)= P(X=2/H1)P(H1)+P(X=2/H2)P(H2)
15 = [C(2,3)/C(2,5)].(2/3)+[C(2,3)/C(2,6)].(1/3) = 4/15 16
4
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
Giaû i VD5:
Ñaë t Ai=bc laá y ñöôïc i bi T töø hoä p 1, i=0,1,2.
P(A0)= C(2,3)/C(2,5)=3/10 , P(A1)= C(1,2).C(1,3)/C(2,5)= 6/10,
VD6:
P(A2)=C(2,2)/C(2,5)= 1/10 Coù 2 kieän haøng. Kieän 1 coù 3 saûn phaåm toát, 2 xaáu. Kieän
X 0 1 2 2 coù 2 saûn phaåm toát, 3 xaáu. Laáy ngaãu nhieân töø kieän 1 ra
P 2 saûn phaåm vaø töø kieän 2 ra 1 saûn phaåm. Laäp luaät ppxs
P(X=0)=P(X=0/A0)P(A0)+P(X=0/A1)P(A1)+P(X=0/A2)P(A2) cuûa soá sp toát trong 3 sp laáy ra.
=[C(2,4)/C(2,7)].(3/10)+[C(2,3)/C(2,7)].(6/10)
+[C(2,2)/C(2,7)].(1/10)
P(X=1)=P(X=0/A0)P(A0)+P(X=1/A1)P(A1)+P(X=1/A2)P(A2)
=[C(1,3).C(1,4)/C(2,7)].(3/10)+[C(1,4).C(1,3)/C(2,7)].(6/10)
+[C(1,5).C(1,2)/C(2,7)].(1/10)
P(X=2)=P(X=2/A0)P(A0)+P(X=2/A1)P(A1)+P(X=2/A2)P(A2)
=[C(2,3)/C(2,7)].(3/10)+[C(2,4)/C(2,7)].(6/10)
17 +[C(2,5)/C(2,7)].(1/10) 18
Giaûi VD6: Bình loaïn: Ña soá sinh vieân raát “ngaïi” khi gaëp daïng toaùn
Ai=bc laáy ñöôï c i sp toát töø kieä n 1, i=0,2 laäp baûng ppxs! Hoï khoâng bieát raèng ñaây laø moät daïng toaùn
raát quen thuoäc maø hoï xem laø “chuyeän thöôøng ngaøy ôû
Bi=bc laáy ñöôïc i sp toá t töø kieän 2, i=0,1 huyeän”, ñoù laø daïng toaùn tính xaùc suaát cuûa bieán coá.
X=soá sp toá t trong 3 sp laá y ra Baïn haõy töôûng töôïng C1 laø WindowsXP, coøn C2 chæ laø
WinXP coù veû ngoaøi “haøo nhoaùng, hoaøng gia” cuûa
P(X=0)= P(A0B0)= P(A0).P(B0)= C(2,2)/C(2,5). (3/5)= 0,06 Windows Vista maø thoâi (coù daïng P(X=k)), do coù caøi theâm
P(X=1)= P(A1B0+A0B1)= P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1) Vista Transformation Pack. “Boä caùnh” hoaøng gia naøy
khoâng che daáu ñöôïc baûn chaát queâ muøa, lam luõ, chòu thöông
= C(1,3)C(1,2)/C(2,5). (3/5) + C(2,2)/C(2,5). (2/5)= 0,4 chòu khoù … cuûa WinXP (thöïc chaát btoaùn laäp baûng ppxs laø
btoaùn tính xs cuûa bieán coá, nhöng xeùt cho taát caû caùc tröôøng
P(X=2)= P(A1B1+A2B0)= 0,42 ; P(X=3)= P(A2B1)= 0,12
hôïp coù theå xaûy ra). Phaøm thì con ngöôøi ta deã bò veû haøo
X 0 1 2 3 nhoaùng beân ngoaøi laøm cho “khieáp sôï, kieâng deø”!
P 0,06 0,40 0,42 0,12 Baïn haõy nhìn ra baûn chaát chôn chaát, thaät thaø, xuø xì, thoâ
19 20
keäch,… cuûa C1 maø töø ñoù suy ra caùch laøm cho C2.
5
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
II)Bieåu dieãn ÑLNN (lieân tuïc) YÙ nghóa hình hoïc cuûa tính chaát haøm maät ñoä xaùc suaát :
2)ÑLNN lieân tuïc: Xaùc suaát ñeå ÑLNN X coù giaù trò naèm trong khoaûng (x1, x2) chính
Ta duøng haøm maät ñoä ñeå bieåu dieãn. laø dieän tích cuûa vuøng ñöôïc toâ maøu trong hình
Haøm maät ñoä xaù c suaát f(x) laø haøm thoû a caù c ñieà u kieä n sau:
1. f:IRIR
2. f(x) 0, x
f(x) x
2
3. f ( x)dx f ( x)dx 1 (tích phaân suy roä ng). P x X x f xdx
1 2 x
IR
1
Tính chaát: 0
x1 x2
x
x
2
P x X x f x dx
1 2 x
21 22
1
Thí duï: Haøm maät ñoä Gauss f (x) (x) 1 exp 1 x2
1, x [0,1]
VD: Cho f ( x)
2 2
0 , x [0,1]
laø haøm maät ñoä cuûa phaân phoái chuaån taéc N(0,1).
f(x) coù laø haø m maä t ñoä cuûa moät ÑLNN lieân tuïc
1
2
X?
Giaû i:
1
*f:RR
*f(x)>=0, x
x 0 1
0 * f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
x=– x=+ 0 1
YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñieàu kieän 3: Dieän tích cuûa hình (giôùi 1
1.dx x1 1
haïn bôûi caùc ñöôøng: ñöôøng cong haøm maät ñoä f(x) vaø truïc 0
0
23 hoaønh, ñöôøng thaúng x=–, x=+) laø 1. 24
Vaä y f laø haøm maät ñoä xaù c suaá t.
6
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
VD:
III)HAØM PHAÂN PHOÁI X -1 0 1 3
P 0,1 0,3 0,4 0,2
1)ÑLNN RÔØI RAÏC
xThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
Caù c tính chaát cuûa haøm phaâ n phoái:
1)0≤F(x)≤1
2)Haø m F(x) laø haø m khoâ ng giaû m
Heä quaû :
1)P(a≤XThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
Giaû i VD1:
Ñaë t Ci=bc xh maë t coù soá nuù t laø i ôû laà n tung 1.
Di=bc xh maë t coù soá nuù t laø i ôû laà n tung 2.
Khoâ ng gian maã u ={C1D1,C1D2,...,C1D6,
C2D1,... , C2D6, Thöïc haønh: ta thaáy keát quaû ôû laàn tung thöù 1 khoâng
.... aûnh höôûng ñeán keát quaû ôû laàn tung thöù 2, vaø ngöôïc laïi
C6D1,... C6D6} neân X,Y ñoäc laäp.
X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 VD2: tung 1 ñoàng xu SN 2 laàn. Goïi X=soá laàn ñöôïc
Y 1 2 3 4 5 6 maët S. Goïi Y=soá laàn ñöôïc maët N.
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 X,Y ñoäc laäp?
P(X=1,Y=1)= 1/36 = 1/6. 1/6 = P(X=1).P(Y=1)
P(X=1,Y=2)= 1/36 = 1/6. 1/6 = P(X=1).P(Y=2)
Töông töï : P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi).P(Y=yj) , i,j
33 34
Vaä y X,Y ñoä c laä p.
IV)CAÙC ÑAËC TRÖNG SOÁ CUÛA ÑLNN
Giaûi VD2: 1)Kyø voïng:
Kyø voï ng cuû a X, kyù hieäu E(X), ñöôï c tính baè ng coâ ng thöù c:
X0 1 2 X x1 … xi … xn
P ¼ 2/4 ¼ E(X) = xipi
P p1 … pi … pn
(neáu X laø ÑLNN rôøi raï c),
Hoaë c E ( X ) x. f ( x)dx (neáu X laø ÑLNN lieâ n tuï c).
Y0 1 2 Kyø voï ng toaù n coù caù c tính chaá t:
E(c)= c
P ¼ 2/4 ¼ E(aX)= a.E(X)
Ta thaáy X+Y = 2 neân X, Y khoâng ñoäc laäp. E(X±Y)= E(X)±E(Y)
E(XY)= E(X).E(Y) neá u X, Y ñoä c laä p.
35 36 vôù i a laø haè ng soá , c laø ñaï i löôï ng ngaã u nhieâ n haè ng.
9
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
Giaûi VD:
1) ñieåm tb x = (1/100).[0*1+1*3+….+10*2] = 5,04 ñieåm
VD: Lôùp hoïc coù 100 sinh vieân. Ñieåm soá moân XSTK cuûa lôùp nhö 2)
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
sau: P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02
Ñieåm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 EX= 0*0,01+1*0,03+2*0,05+…+10*0,02
Soá sv 1 3 5 8 23 25 15 7 8 3 2 = (1/100)[0+1*3+….+10*2] = 5,04 = x
Vaäy EX chính laø ñieåm soá trung bình.
1) tính ñieåm trung bình moân XSTK cuûa lôùp?
Töông töï :
2)Choïn NN 1 sinh vieân trong lôùp ra xem ñieåm thi. Goïi X laø Neáu X laø troïng löôïng thì EX laø troïng löôïng trung bình.
ñieåm soá cuûa sv naøy. Laäp baûng ppxs cho X? tính kyø voïng EX? X laø chieàu cao thì EX laø chieàu cao trung bình.
37 38 X laø naêng suaát thì EX laø naêng suaát tr ung bình, …
2)Phöông sai:
Phöông sai xaù c ñònh baè ng coâ ng thöù c:
D(X)= var(X)= E X E X 2
1,x[0,1]
VD: Cho f (x)
Vôùi ÑLNN rôø i raï c :
0,x[0,1]
2
var(X)= xi E X pi
i
0 1 Vôùi ÑLNN lieâ n tuï c :
EX xf (x)dx xf (x)dx xf (x)dx xf (x)dx
var(X) x E X 2 . f ( x)dx
0 1
1 1 Ta cuõ ng coù theå aù p duï ng coâ ng thöùc bieá n ñoå i cuû a phöông sai:
2 1
x.1.dx x var(X)= E(X2)[E(X)]2
0 2 0 2
vôù i E(X2)= xi2pi hoaëc E ( X 2 ) x 2. f ( x)dx .
39 40
10
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
YÙ nghóa phöông sai:
Xeùt thí duï ñieåm soá ôû treân. Ta muoán xem lôùp coù hoïc
Phöông sai coù caùc tính chaát sau: “ñeàu” khoâng, nghóa laø caùc ñieåm soá xi coù taäp trung gaàn
var(c)= 0 ñieåm trung bình EX khoâng, ta xeùt |xi-EX|. Ñeå xeùt taát caû
caùc giaù trò cuøng luùc ta xeùt |xi-EX|pi. Ta mong muoán noù
var(X) ≥0, X ; var(X)=0 X=c caøng nhoû caøng toát. Tuy nhieân haøm |x| khoâng phaûi luùc naøo
var(aX)= a2.var(X) cuõng coù ñaïo haøm, neân ta thay baèng haøm x2.
Vaäy ta xeùt: (xi-EX)2pi vaø mong muoán noù caøng nhoû
var(X ± c)= var(X) caøng toát.
var(X ± Y)= var(X) + var(Y), neáu X, Y ñoäc laäp. Ta goïi varX=(xi-EX)2pi. Neáu varX nhoû thì ta noùi caùc xi
taäp trung quanh EX, varX lôùn ta noùi caùc xi phaân taùn ra
Vôùi c laø ÑLNN haèng, a laø haèng soá xa EX.
41 42
VD:
1, x[0,1]
VD: Cho f (x)
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0, x[0,1]
P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02
E( X 2) x2 f (x)dx
E(X2)=02*0.01+12*0.03+…+102*0.02 = 29,26 0 1
varX= E(X2)- (EX)2= 29,26-(5,04)2= 3,8584 x2 f (x)dx x2 f (x)dx x2 f (x)dx
0 1
1 1
Löu yù raèng ñôn vò ño cuûa phöông sai baèng ñôn vò ño 3
x2.1.dx x 1
cuûa X bình phöông. Ta hay gaëp kyù hieäu cho giaù trò 0 30 3
phöông sai laø 2. varX= E(X2)-(EX)2 = (1/3)-(1/2)2 = 1/12
43 44
11
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
3) Ñoä leäch chuaån 4)mode (giaù trò tin chaéc nhaát) cuûa X:
Giaù trò tin chaé c nhaát cuûa X, kyù hieäu modX.
*Ñoä leä ch chuaå n ñöôïc tính baè ng caên baäc hai
ÑLNN rôøi raïc : laø giaù trò xi öù ng vôùi xaùc suaát pi lôùn nhaát trong
cuûa phöông sai, vaø coù cuøng ñôn vò ño vôùi baûng phaân phoái xaùc suaát
X. ÑLNN lieân tuïc: hoaëc laø giaù trò cuûa X öùng vôùi ñieåm cöï c ñaïi cuûa
SD(X)= var X = haøm maät ñoä xaù c suaát cuûa X.
VD : = 3,8584 = 1,9643 Giaù trò modX coù theå khoâng duy nhaát.
VD1:
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
*Ñoä leä ch chuaå n coù yù nghóa gioá ng phöông P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02
sai ta thaáy p6=0,25 lôùn nhaát neân modX= 5.
45 46
VD2: tung 1 ñoàng xu SN 3 laàn. Goïi X= soá laàn
ñöôïc maët S 5)Trung vò (median)
X 0 1 2 3
P 1/8 3/8 3/8 1/8
X rôøi raïc hoaëc lieân tuïc
modX= 1 hoaëc 2. ghi laø modX=1, 2 m = med(X) P(X < m)½ vaø P(X > m)½
VD3: haøm maät ñoä Gauss coù modX=0 Vaäy med(X) laø ñieåm phaân ñoâi khoái löôïng xaùc
1, x[0,1]
VD4: Cho f (x)
0, x[0,1]
suaát thaønh 2 phaàn baèng nhau.
modX laø moïi ñieåm naèm treân ñoaïn [0,1] Löu yù: med(X) khoâng duy nhaát.
47 48
12
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
VD2:
X 0 1 2 3
P 1/8 3/8 3/8 1/8
VD1: *P(X1)= 3/8+1/8 = ½
P 0.01 0.03 0.05 0.08 0.23 0.25 0.15 0.07 0.08 0.03 0.02 Vaä y medX= 1
*P(X2) = 1/8 < ½
P(X5)= 0.15+0.07+0.08+0.03+0.02 = 0.35 < ½ *m(1,2)
P(Xm) = 3/8+1/8 = ½
Vaä y medX= m
49 50 KL: medX= [1,2]
6. Moment baäc (caáp) k:
Ñaë t a=E(X)
*X rôøi raïc 7. Heä soá baát ñoái xöùng:
n
mk = E(Xk) = x k p : moment goác caáp k cuûa X
i1 i i t
n S 3 , vôùi ( X ) D( X )
tk = E(X-a)k = ( x a) k p : moment quy taâ m caá p k 3
i1 i i
cuûa X
*X lieân tuïc S = 0: Phaân phoái ñoái xöù ng
S > 0: Phaân phoái leäch beân phaûi (so vôùi EX)
mk = E(Xk) = x k f ( x)dx
S < 0: Phaân phoái leäch beân traùi
k
tk = E(X-a) = ( x a) k f ( x)dx
51 52
13
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
8. Heä soá nhoïn (ñoä nhoïn)
Baøi 1: Tung moät ñoà ng xu saáp ngöõa 2 laà n ñoä c laäp.
t Goïi X laø soá laàn ñöôïc maët saáp.
K 4 , t E( X a)4
4 4 Tính heä soá baá t ñoái xöùng, heä soá nhoïn.
Giaûi:
K caøng lôùn thì phaân phoá i coù ñoä nhoïn caøng lôùn
(thöôøng so saùnh K vôùi ñoä nhoï n cuû a phaân phoá i chuaån
X0 1 2
taéc (coù haøm maät ñoä Gauss), laø 3) P ¼ 2/4 1/4
K>3: phaân phoái laø nhoïn E(X) = 0.(1/4)+ 1.(2/4) + 2.(1/4) = 1
KThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
1) Giaûi VD1:
|X| |-1| |0| |1| |2|
VD1: Cho P 1 3 1 2
7 7 7 7
Z=|X| 0 1 2
X -1 0 1 2 P 3 2 2
P 1/7 3/7 1/7 2/7
7 7 7
2) E(Z)= 0. 3 + 1. 2 + 2. 2 = 6
7 7 7 7
var(Z)= (0– ) . + (1– 6 )2. 2 + (2– 6 )2. 2 = 34/49
6 2 3
1)Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cho |X| 7
2
7
2 3
7
2 2
7
2 2
7
10
7
Caù ch khaù c: E(Z )= 0 . + 1 . + 2 . =
2)Tính E(|X|), var(|X|). 2
7 7
2 10
7 7
var(Z)= E(Z ) – (EZ) = – ( )2 = 34/49
6
57 58 7 7
VD2: Vôùi X ôû VD1. Giaûi VD2:
X -1 0 1 2 X2 (1)2 02 12 22 Z=X2 0 1 4
P 17 73 17 72 P 1
7
3
7
1
7
2
7 P 3 2 2
7 7 7
1) Laäp baûng phaân phoái xaùc E(Z) = 0.
7
3 + 1. 2 + 4. 2 = 10
7 7 7
suaát cho X 2 var(Z)=(0–10
7
)2
. 3 +(1– 10 )2. 2 +(4– 10 )2. 2
7 7 7 7 7
59
2) Tính E(X 2), var(X2)=D(X2). 60
= 138/49
15
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
Giaû i VD3:
VD3: Cho X, Y ñoäc laäp. 1) Ta laä p baû ng sau: Z = X + Y
X0 1 Y0 1 2 X
Y 0 1 2
P ½ ½ P ¼ 2/4 ¼ 0 Z=0 Z=1 Z=2
1 Z=1 Z=2 Z=3
1) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cho X+Y.
Caùc soá trong baû ng laø toå ng cuû a 2 soá ôû doø ng, coä t
2) Tính E(X+Y) , D(X+Y). töông öù ng
3) Laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X.Y X+Y 0 1 2 3
4) Tính E(X.Y), D(X.Y). P 1/8 3/8 3/8 1/8
61 62
Giaûi VD3 (tt) Giaûi VD3 (tt)
P(X + Y = 0) = P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0) .P(Y = 0) 2) E(Z) = 0. 1 + 1. 3 + 2. 3 + 3. 1 = 3/2
8 8 8 8
= ½. ¼ = 1/8
D(Z) = (0 – ) . + (1– ) . +(2– 3)2. 3+(3– 3)2. 1 = ¾
3 2 1 3 2 3
P(X+Y = 1) = P [(X = 0,Y = 1) +(X = 1, Y = 0)] 2 8 2 8 2 8 2 8
= P(X =0,Y = 1) +P(X = 1,Y =0) 2 2 1 2 3 2 3 2 1
Caùch khaùc: E[Z ] = 0 . + 1 . + 2 . + 3 . = 3
8 8 8 8
= P(X = 0) P(Y = 1) + P(X =1) P(Y = 0) 2 2 3 2
D(Z) = E[Z ] – (EZ) = 3 – ( ) = ¾
= ½. 2 + ½. ¼ = 3/8 2
4 Löu yù: Neáu ta aù p duïng tính chaát cuûa kyø voï ng, phöông sai
P(X + Y = 2) = P(X = 0) P(Y = 2) + P(X = 1) P(Y = 1)
thì ta laøm nhö sau:
= ½ . ¼ + ½ . 2 = 3/8 E(X + Y) = E(X) + E(Y) = ½ + 1 = 3/2
4
63 P(X + Y = 3) = P(X = 1) P (Y = 2) = ½ . ¼ = 1/8 64 D(X + Y) = D(X) + D(Y) = ¼ + ½ = ¾
16
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 2
Môøi gheù thaêm trang web:
http://kinhteluong.ungdung.googlepages.com
http://xacsuatthongke.googlepages.com
http://toiuuhoa.googlepages.com
http://diemthi.caopt.googlepages.com
http://phamtricao.googlepages.com
www37.websamba.com/phamtricao
www.phamtricao.web1000.com
65
17
