Công thức - Xác xuất thống kê
Tài liệu tham khảo Công thức - Xác xuất thống kê
PHẦN I: XÁC SUẤT
1. Biến cố ngẫu nhiên & xác suất của biến cố:
1.1. Công thức cộng xác suất:
1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 biến cố xung khắc)
1.1.2. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A.B) p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-[p(AB)+p(AC)+p(BC)]
+p(ABC)
1.2. Công thức nhân xác suất:
1.2.1. p(A.B)=p(A).p(B) (2 biến cố độc lập)
1.2.2. p(A.B)=p(A).p(B/A) p ( A1 A2 ... An ) = p( A1 ). p ( A2 / A1 )... p ( An / A1 A2 .. An −1 )
1.3. Công thức Bernoulli: cho 2 biến cố A và A
1.3.1. pn ( x) = Cnx p x q n − x , p=p(A), q=1-p
1.4. Công thức xác suất đầy đủ:
p ( F ) = p ( A1 ). p ( F / A1 ) + p ( A2 ). p ( F / A2 ) + ... + p ( An ). p ( F / An )
p ( Ai .F ) p( Ai ). p ( F / Ai )
Công thức Bayes: p ( Ai / F ) = =
1.5.
p( F ) p( F )
2. Biến ngẫu nhiên:
2.1. Bảng phân phối xác suất (biến ngẫu nhiên rời rạc)
Hàm mật độ xác suất ( f ( x) ) (biễn ngẫu nhiên liên tục)
2.2.
2.2.1. f ( x) ≥ 0
+∞
∫ f ( x)dx =1
2.2.2.
−∞
b
p (a ≤ x ≤ b) = ∫ f ( x)dx
2.2.3.
a
Hàm phân phối xác suất ( F ( x) ) (dùng cho cả 2 loại biến-thường là biến ngẫu
2.3.
nhiên liên tục)
2.3.1. F ( x) =p( F ( x − µ )2
1 −
3.1.1. f ( x ) = 2σ 2
e
σ 2π
+∞
∫ f ( x)dx = 1
3.1.2.
−∞
3.1.3. ModX = MedX = µ ; E ( x) = µ , V ( x) = σ 2
b−µ a −ϕ
3.1.4. p (a ≤ x ≤ b) = ϕ ( ) −ϕ( )
σ σ
3.1.5. Phân phối chuẩn tắc µ = 0, σ 2 = 1
T ~ N (0,1)
3.1.5.1.
2
1 − t2
f (t ) =
3.1.5.2. e
2π
X −µ
3.1.5.3. Đổi biến T =
σ
p (a ≤ x ≤ b) = ϕ (b) − ϕ (a )
3.1.5.4.
Phân phối Poisson: X ~ P (λ ) , λ >0
3.2.
λk
3.2.1. p (λ = k ) = e − λ
k!
3.2.2. E ( x) = V ( x) = λ
Phân phối nhị thức: X ~ B (n, p )
3.3.
k k n−k
3.3.1. p ( X = k ) = pn (k ) = Cn p q , p + q = 1
n
∑ p( X = k ) = 1
3.3.2.
k =0
3.3.3. E ( x) = np , ModX = x0 , np − q ≤ x0 ≤ np + q
3.3.4. Khi n=1: X ~ B (1, p ) :phân phối không-một
E ( x) = p, E ( x 2 ) = p, V ( x ) = pq
3.3.4.1.
3.3.5. Xấp xỉ phân phối nhị thức:
3.3.5.1. Bằng phân phối Poisson: n >50, p Phân phối siêu bội: X ~ H ( N , N A , n) [N:tổng số phần tử, N A :Số phần tử có
3.4.
tính chất A trong N, n: số phần tử lấy ngẫu nhiên].Gọi X là số phần tử có tính chất A
CN .C N− kN
k n
−
trong n. p ( X = k ) = A n A
CN
N −n
N
3.4.1. E ( X ) = np, p = A ; V ( X ) = npq. , q = 1− p
N −1
N
3.4.2. Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhị thức: n ≤ 0.05 N ⇒ X ~ B (n, p ) ;
N
p ( X = k ) = Cn p k q n − k , p = A
k
N
Biến ngẫu nhiên 2 chiều: X và Y độc lập ⇔ Pij = p( xi ).q( y j ) với mọi i,j
3.5.
3.6. Hiệp phương sai và hệ số tương quan:
3.6.1. Hiệp phương sai(cov): cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y )
cov( X , Y )
3.6.2. Hệ số tương quan ρ X ,Y : ρ X ,Y =
σ ( X )σ (Y )
PHẦN 2: THỐNG KÊ
1. Tổng thể và mẫu
1.1. Thực hành tính toán trên mẫu:
1n
∑ xi
1.1.1. Tính trung bình ( X n ): X n =
n i =1
m
1.1.2. Tính tỷ lệ mẫu: ( f n ); f n = A ( mA :số phần tử mang tính chất A; n: kích thước
n
mẫu)
1k
[∑ ni xi 2 − n( X ) 2 ]
S2 =
1.1.3. Tính phương sai mẫu:
n −1 1
1.2. Ước lượng tham số của tổng thể:
1.2.1. Ước lượng điểm: E ( X n ) = µ , E ( f n ) = p, E ( S ) = σ
2 2
1.2.2. Ước lượng khoảng:
1.2.2.1. Ước lượng khoảng cho trung bình: Với độ tin cậy 1- α cho trước, 1 mẫu
kích thước n.
n ≥ 30 , σ 2 biết n ≥ 30 , σ 2 chưa biết
X ,σ X ,s
µ1 = X − ε , µ2 = X + ε µ1 = X − ε , µ2 = X + ε
σ s
ε = uα . ε = uα .
n n
2 2
αu αu
( 1 − α 0.5- α ) ( 1 − α 0.5- α )
2 2
2 2
n s
ε =t .
α
n
( n −1, )
2
1.2.2.2. Ước lượng khoảng cho tỷ lệ: tổng thể có tỷ lệ p chưa biết, với độ tin cậy
1 − α cho trước, với 1 mẫu kích thước n, tỷ lệ mẫu f n . Tìm 2 số p1 , p2 thoả:
f (1 − f )
p ( p1 ≤ p ≤ p2 ) = 1 − α , p1,2 = f n mε Công thức: ε = uα
n
2
1.2.2.3. Ước lượng khoảng cho phương sai:Giả sử tổng thể có σ 2 chưa biết. Dựa
vào 1 mẫu kích thước n, với độ tin cậy 1- α cho trước.
(n − 1) S 2 (n − 1) S 2
TH1: µ chưa biết, biết S 2 . Khi đó ta có σ ∈ [
2
, ] trong đó
χ12 χ2
2
α α
χ12 = χ 2 (n − 1, ) , χ 2 = χ 2 (n − 1,1 − )
2
2 2
∑ ni ( xi − µ ) , ∑ ni ( xi − µ ) ] , trong đó χ 2 = χ 2 (n, α ) ,
TH2: µ biết. Khi đó σ ∈ [
2
χ12 χ 22
1
2
α
χ 2 = χ 2 (n,1 − )
2
2
1.2.3. Kiểm định giả thuyết thống kê:
1.2.3.1. Kiểm định giả thuyết thống kê cho µ
1.2.3.1.1. TH1: σ 2 biết
Giả thuyết thống kê Wα : σ 2 biết (miền bác bỏ H 0 )
H 0 : µ = µ0 X − µ0 u
Wα = {u = n, u > α }
H1 : µ ≠ µ 0 σ 2
H 0 : µ = µ0 X − µ0
n ,u uα }
Wα = {u =
H1 : µ > µ 0 σ
TH2: n ≥ 30 , σ 2 không biết
1.2.3.1.2.
Giả thuyết thống kê Wα (miền bác bỏ H 0 )
H 0 : µ = µ0 X − µ0 u
Wα = {u = n, u > α }
H1 : µ ≠ µ 0 s 2
H 0 : µ = µ0 X − µ0
n ,u uα }
Wα = {u =
H1 : µ > µ 0 s
TH3: n Giả thuyết thống kê Wα (miền bác bỏ H 0 )
H 0 : µ = µ0 X − µ0 t
Wα = {t = n , t > ( n −1,α ) }
H1 : µ ≠ µ 0 s 2
H 0 : µ = µ0 X − µ0 t
n , t ( n −1,α ) }
Wα = {t =
H1 : µ > µ 0 s 2
Kiểm định giả thuyết thống kê cho tỷ lệ:
1.2.3.2.
Giả thuyết thống kê Wα (miền bác bỏ H 0 )
f − p0
H 0: p = p0
Wα = {u = ,u
> uα }
p0 (1 − p0 )
H1: p ≠ p0
2
n
f − p0
H 0: p = p0
Wα = {u =
, u uα }
p0 (1 − p0 )
H1: p > p0
n
Kiểm định giả thuyết thống kê cho phương sai:
1.2.3.3.
1.2.3.3.1. TH1: µ chưa biết
Giả thuyết thống kê Wα (miền bác bỏ H 0 )
H0 :σ 2 = σ 0 (n − 1) s 2 2
2
Wα = {χ = , χ < χ1 hoặc χ 2 > χ 2
2 2 2
σ02
H1 : σ 2 ≠ σ 0
2
χ12 = χ 2 , χ2 = χ 2
2
α α
( n −1,1− ) ( n −1, )
2 2
H0 :σ 2 = σ 0 (n − 1) s 2 2
2
Wα = {χ 2 = , χ < χ ( n −1,1−α )
2
σ02
H1 : σ 2 < σ 0
2
H0 :σ 2 = σ 0 (n − 1) s 2 2
2
Wα = {χ 2 = , χ > χ ( n −1,α )
2
σ02
H1 : σ 2 > σ 0
2
TH2: µ biết.
1.2.3.3.2.
Giả thuyết thống kê Wα (miền bác bỏ H 0 )
∑ n (x − µ)
H0 :σ = σ
2 2 2
Wα = {χ , χ 2 < χ1 hoặc χ 2 > χ 2
=
0 i i
2 2 2
σ
H1 : σ ≠ σ 2
2 2
0
0
χ12 = χ 2 , χ2 = χ 2
2
α α
( n ,1− ) ( n, )
2 2
∑ n (x − µ)
H0 :σ 2 = σ 0
2 2
, χ2 < χ
Wα = {χ 2 = 2
i i
( n ,1−α )
σ
H1 : σ < σ 2
2 2
0
0
∑ n (x − µ)
H0 :σ 2 = σ 0
2 2
, χ2 > χ
Wα = {χ = 2
i i
2
( n ,α )
σ
H1 : σ > σ 2
2 2
0
0
1.2.4. So sánh 2 tham số của tổng thể:
So snh 2 số trung bình:
1.2.4.1.
1.2.4.1.1. TH1: m ≥ 30, n ≥ 30, σ 1 , σ 2 biết
2 2
GTTK Wα
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 ≠ µ2 X −Y
Wα = u = ; u > uα
σ 12 σ 22
2
+
m n
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 < µ 2 X −Y
Wα = u = ; u < −uα
σ 12 σ 22
+
m n
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 > µ 2 X −Y
Wα = u = ; u > uα
σ1 σ 2
2 2
+
m n
TH2: m < 30, n < 30, σ 1 , σ 2 biết, X,Y có phân phối chuẩn
2 2
1.2.4.1.2.
GTTK Wα
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 ≠ µ2 X −Y
Wα = u = ; u > uα
σ1 σ 2
2 2
2
+
m n
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 < µ 2 X −Y
Wα = u = ; u < −uα
σ1 σ 2
2 2
+
m n
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 > µ 2 X −Y
Wα = u = ; u > uα
σ1 σ 2
2 2
+
m n
TH3: m ≥ 30, n ≥ 30, σ 1 , σ 2 không biết
2 2
1.2.4.1.3.
GTTK Wα
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 ≠ µ2 X −Y
Wα = u = ; u > uα
s12 s2
2
2
+
mn
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 < µ 2 X −Y
Wα = u = ; u < −uα
s12 s2
2
+
mn
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 > µ 2 X −Y
Wα = u = ; u > uα
s12 s2
2
+
mn
TH4: m < 30, n < 30, X,Y có phân phối chuẩn, σ 1 = σ 2 không biết
2 2
1.2.4.1.4.
GTTK Wα
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 ≠ µ2 2 ( m − 1) s12 + ( n − 1) s2
X −Y
2
Wα = t = ; t > t α s =
m+n−2
2 1 1 m + n − 2, ÷
2
s + ÷
m n
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 < µ 2 X −Y
Wα = t = ; t < −t( m + n− 2,α )
1 1
s2 + ÷
m n
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 > µ 2 X −Y
Wα = t = ; t > t( m + n− 2,α )
1 1
s2 + ÷
m n
TH5: m < 30, n < 30, X,Y có phân phối chuẩn, σ 1 ≠ σ 2 chưa biết
2 2
1.2.4.1.5.
GTTK Wα
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 ≠ µ2 X −Y t v +t v
2 2
s s
Wα = g = ; g > t ; t1 = t α , t2 = t α ; v1 = , v2 = ; t = 1 1 2 2
1 2
v1 + v2
m n
s12 s2
2 m −1, ÷ n −1, ÷
+ 2 2
mn
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 < µ 2 X −Y
Wα = g = ; g < −t ; t1 = t( m −1,α ) , t2 = t( n −1,α )
s12 s2
2
+
mn
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 > µ 2 X −Y
Wα = g = ; g > t
s12 s2
2
+
mn
So sánh 2 tỷ lệ:
1.2.4.2.
GTTK Wα
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 ≠ µ2 f1 − f 2
k2
k1
Wα = u = ; u > uα ; f1 = , f 2 =
m n
1 1
f ( 1− f ) + ÷ 2
m n
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 < µ 2 f1 − f 2
Wα = u = ; u < −uα
1 1
f ( 1− f ) + ÷
m n
H 0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 > µ 2 f1 − f 2
Wα = u = ; u > uα
1 1
f ( 1− f ) + ÷
m n
So sánh 2 phương sai:
1.2.4.3.
GTTK Wα
H 0 : σ 12 = σ 2
2
s12
1
, g < f hayg > f ; f = f α ( m − 1, n − 1) , f =
H1 : σ ≠ σ Wα = g =
2 2
f α ( n − 1, m − 1)
1 2 2
s2
2
2
H 0 : σ 12 = σ 2
2
2
s1
Wα = g = , g > fα ( m − 1, n − 1)
H1 : σ 12 > σ 2 2
2
s2
