Công thức xác suất đầy đủ và Bayes_chương 4
Hệ n các biến cố A1, A2,...An được gọi là đầy đủ và xung khắc từng đôi nếu trong phép thử bắt buộc có 1 chỉ 1 biến cố xảy ra.
2.3. Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû
vaø Bayes.
Heä n caùc bieán coá A1; A2; … An ñöôïc goïi
;
laø ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi neáu
trong pheùp thöû baét buoäc coù 1 vaø chæ 1
bieán coá xaûy ra.
VD:
Moät hoäp coù 3 loaïi maøu xanh, ñoû vaø
vaøng. Choïn ngaãu nhieân moät maøu. Goïi
A, B, C laø bieán coá choïn ñöôïc maøu
xanh, ñoû, vaøng töông öùng thì A, B, C laø
heä ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi.
2.3.1. Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû
Cho heä Ai (i = 1; 2;… n) ñaày ñuû vaø xung
;
khaéc töøng ñoâi. B laø bieán coá baát kyø trong
pheùp thöû, ta coù
P(B) = P(A1 )P(B / A1 )
+ P(A 2 )P(B / A 2 ) +
... + P(A n )P(B / A n )
n
= å P(A j )P(B / A j )
j= 1
VD:
Moät xí nghieäp coù 2 phaân xöôûng vôùi caùc
tæ leä pheá phaåm töông öùng laø 1 0 0 vaø 2 0 0 .
Bieát phaân xöôûng I saûn xuaát 40 0 0 coøn
phaân xöôûng II saûn xuaát 60 0 0 saûn phaåm.
Tìm xaùc suaát ñeå töø kho cuûa xí nghieäp
choïn ngaãu nhieân ñöôïc 1 pheá phaåm.
Goïi A1, A2 laø bieán coá laáy ñöôïc 1 saûn phaåm cuûa
phaân xöôûng I, II thì A1, A2 laø nhoùm ñaày ñuû vaø xung
khaéc.
Goïi A: “ laáy ñöôïc moät pheá phaåm”.
P(A) = P(A1 )P(A / A1 )
+ P(A 2 )P(A / A 2 )
= 40 0 0 .1 0 0 + 60 0 0 .2 0 0 = 1, 6 0 0 .
2.3.2. Coâng thöùc Bayes
Cho heä Ak (k = 1; 2;… n) ñaày ñuû vaø
;
xung khaéc töøng ñoâi. B laø bieán coá baát kyø
trong pheùp thöû. Xaùc suaát ñeå xuaát hieän
Ak sau khi ñaõ xuaát hieän B laø
P(A k )P(B / A k )
P(A k / B) = n
å P(A j )P(B / A j )
j= 1
VD (tieáp)
Giaû söû laáy ra ñöôïc 1 pheá phaåm tìm xaùc suaát ñeå pheá
phaåm laø cuûa phaân xöôûng I.
Giaûi
P(A1 / A) =
P(A1 )P(A / A1 )
=
P(A1 )P(A / A1 ) + P(A 2 )P(A / A 2 )
= 25% .
Baøi taäp
Coù 3 hoäp gioáng nhau: hoäp I chöùa 20 bi traéng; hoäp II
chöùa 10 bi traéng vaø 10 bi xanh; hoäp III chöùa 20 bi
xanh. Choïn ngaãu nhieân moät hoäp vaø töø ñoù boác ngaãu
nhieân ra ñöôïc 1 bi traéng. Tìm xaùc suaát ñeå vieân bi
ñoù laø cuûa hoäp I.
Goïi Ak: “ choïn hoäp thöù k” (k = 1; 2; 3).
Suy ra {Ak} ñaày ñuû vaø xung khaéc.
B: “ boác ñöôïc bi traéng”.
P(A1 )P(B / A1 ) 2
P(A1 / B) = 3 = .
3
å P(A j )P(B / A j )
j= 1
