Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Chương III: CÁC HỆ TUYẾN TÍNH
• ĐẠI CƯƠNG.
• HÀM HỆ THỐNG.
• HÀM CHUYỂN PHỨC: (COMPLEX TRANSFER FUNTION).
• CÁC MẠCH LỌC.
• CÁC LỌC THỰC TẾ.
• CÁC LỌC TÁC ĐỘNG.
• TÍCH CỦA THỜI GIAN VÀ KHỔ BĂNG.
• CÔNG SUẤT VÀ NĂNG LƯỢNG.
• PHÂN TÍCH PHỔ.
Trang III.1
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
I. ĐẠI CƯƠNG:
Một hệ thống là một tập hợp những định luật liên kết một hàm thời gian ở ngỏ ra với mỗi
hàm thời gian ơ ngỏ vào.
Sơ đồ khối biểu diễn một hệ thống vẽ ở hình 3. 1.
r(t) s(t)
Hình 3.1
- Input hay nguồn tin r(t).
- Output hay đáp ứng của nguồn tin s(t).
Cấu trúc vật lý thực tế của hệ xác định hệ thức chính xác giữa r(t) và s(t). Sự liên hệ giữa
Input và Ouput được dùng ký hiệu là mũi tên một chiều.
r ( t ) → s( t )
Nếu hệ là một mạch điện, r(t) có thể là điện thế hoặc dòng điện và s(t) có thể là điện thế
hoặc dòng điện được đo bất kỳ nơi đâu trong mạch.
Một hệ được nói là Chồng chất ( Superposition ) nếu đáp ứng do tổng các tín hiệu
vào là tổng của các đáp ứng riêng tương ứng. Nghĩa là, nếu s1(t) là đáp ứng của r1(t) và s2(t) là
đáp ứng của r2(t) thì đáp ứng của r1(t) + r2(t) là s1(t) + s2(t).
Nếu r1 ( t ) → s1 ( t )
r2 ( t ) → s 2 ( t )
Thì: r1 ( t ) + r2 ( t ) → s1 ( t ) + s 2 ( t ) (3.1)
Một khái niệm liên quan đến tính chồng chất là sự tuyến tính. Giả sử r1(t) → s1(t) và
r2(t) → s2(t). Hệ thống được nói là tuyến tính nếu hệ thức sau đây được giữ đúng với mọi trị giá
của các hằng a và b:
a.r1 ( t ) + b.r2 ( t ) → a.s1 ( t ) + b.s 2 ( t ) (3.2)
Một hệ thống được nói là “ Không đổi theo thời gian “ ( Time invariant ) nếu đáp ứng
của một tín hiệu vào không phụ thuộc vào thời điểm mà tín hiệu đó tác động lên hệ.
Một thời trễ ( Time shift ) trong tín hiệu vào sẽ gây ra một thời trễ bằng như vậy trong đáp
ứng của nó :
Nếu r ( t ) → s( t )
Thì r ( t − t 0 ) → s( t − t 0 ) ,với mọi t0 thực.
Một điều kiện đủ cho một mạch điện không đổi theo thời gian là các thành phần của nó
có trị giá không đổi với thời gian ( giả sử các điều kiện đầu không đổi ). Đó là điện trở, tụ và
cuộn cảm.
II. HÀM HỆ THỐNG:
Để đặc trưng hóa một hệ thống tuyến tính không đổi theo thời gian, ta có thể dùng một
phương pháp rất đơn giản. Thay vì cấn biết đáp ứng của mỗi tín hiệu vào, ta chỉ cần biết đáp ứng
của một tín hiệu thử (test input) mà thôi. Tín hiệu thử là xung lực. Xem phép chồng:
r(t) = r(t) x δ (t)
∞
= ∫ −∞
r ( τ) δ ( t − τ)dτ (3.3)
Ta xem tích phân là trường hợp giới hạn của một tổng:
Trang III.2
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
∞
r ( t ) = lim
∆τ→0
∑ r(n∆τ)δ(t − n∆τ)∆τ
n = −∞
(3.4)
Phương trình (3.4) biểu diễn tổng trọng lượng của xung lực bị trễ. Như vậy, tín hiệu ra là
một tổng các đáp ứng ra bị trễ của một xung lực duy nhất.
Giả sử, ta biết đáp ứng ra của mạch do một xung lực duy nhất gây ra và ký hiệu đó là h(t)
(đáp ứng xung lực).
Vậy đáp ứng do tín hiệu vào của phương trình (3.4) là:
∞
s( t ) = lim
∆τ→0
∑ r(n∆τ)h(t − n∆τ)∆τ
n = −∞
(3.5)
Nếu lấy giới hạn, nó trở thành tích phân:
∞
s( t ) = ∫ r(τ)h ( t − τ)dτ
−∞
(3.6)
s(t) = r(t) x h(t)
Phương trình (3.6) chứng tỏ rằng đáp ứng của bất kỳ tín hiệu vào nào cũng có thể tìm được
bằng cách chồng nó với đáp ứng xung lực của hệ thống.
Ảnh Fourier của xung lực là 1. Vậy một cách trực giác, ta thấy δ(t) chứa tất cả mọi tần số.
Vì thế xung lực thường được xem như là một tín hiệu thử (Test Signal) cho hệ thống. Cho một
xung lực ở ngỏ vào hệ thống, ngỏ ra ta có đáp ứng h(t). Căn cứ trên h(t), ta có thể xác định được
những đặt trưng của hệ.
δ(t) h(t)
Hình 3.2: Đáp ứng xung lực
Ta không thể tạo được một xung lực lý tưởng trong thực tế mà chỉ có thể xem nó xấp xỉ
với một xung có biên độ thật lớn và rất hẹp.
Lấy biến đổi F phương trình (3.6) :
S(f) = R(f) H(f) (3.7)
Hoặc S(f) (3.8)
H (f ) =
R(f)
H(f) là hàm chuyển hoặc hàm hệ thống.
III.HÀM CHUYỂN PHỨC: (complex transfer funtion)
Hàm chuyển phức của một hệ là tỉ số phasor ở ngỏ ra và phasor ở ngỏ vào. Phasor là một
số phức biểu diễn biên độ và pha của hàm sin. Tỉ số các phasor là một hàm phức của tần số.
Trong trường hợp đặt biệt, ngõ vào là dòng điện và ngõ ra là điện thế, thì hàm chuyển phức là
một tổng trở phức (complex impedance).
Td: Xem Hình 3.3. Trong đó, i1 (t) là ngõ vào và v(t) là ngõ ra.
Trang III.3
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Hình 3.3
Hàm chuyển cho bởi:
4jπf
H (f ) = (3.9)
1 + 4jπf
Nếu i2 (t) là Output, hàm chuyển là :
1
H (f ) = (3.10)
1 + 4jπf
Ta đã dùng cùng ký hiệu H(f) để chỉ hàm chuyển phức của hệ và đó cũng chính là ảnh
Fourier của đáp ứng xung lực.
H(f)= F[h(t)]
IV.CÁC MẠCH LỌC:
Các mạch lọc dùng để làm giảm thành phần tần số không mong muốn khỏi một sóng.
Nhiều hệ thống thông tin có chứa các mạch lọc lý tưởng không làm méo tín hiệu.
Một tín hiệu bị méo (distorted) khi dạng sóng cơ bản của nó bị biến dạng - Lưu ý là r(t) có
thể được nhân bởi một hằng và bị dời (thời gian) mà không làm thay đổi dạng sóng cơ bản,
trường hợp này không xem là tín hiệu bị méo.
Xem A.r (t - t0) là một phiên bản của r(t) - Trong đó A và t0 là những hằng thực bất
kỳ. A không thể bằng zero.
F → Ar (t - t0) ↔ Ae- j2πf to R(f) (3.11)
Ta xem đó như là Output của một hệ tuyến tính với input là r(t) và hàm hệ thống
j2πf to
H(f) = Ae- (3.12)
H(f) là hàm phức, được vẽ ở Hình 3.4 (xuất và pha).
Trang III.4
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Hình 3.4: Những đặc tính của một hệ không méo.
Lọc hạ thông lý tưởng.
Một lọc hạ thông lý tưởng là một hệ tuyến tính, tác động giống như một lọc lý tưởng không
méo. Những thành phần tần số lớn hơn tần số cắt của lọc đều bị chặn, không xuất hiện ở ngỏ ra.
Tần số cắt là tần số cao nhất được đi qua mạch lọc, Ký hiệu là fm.
Hàm hệ thống là:
⎧Ae − j2 πft 0 , f < f m
⎪
H (f ) = ⎨
⎪0 , f > f m
⎩
Hàm chuyển của mạch hạ thông lý tưởng được vẽ ở Hình 3.5. Nhớ là, vì h(t) thì thực, nên
suất của H(f) thì chẳn và pha thì lẻ. (Hình 3.4)
H (f )
A ph H(f )
-fm fm -fm fm
Hình 3.5: Đặc tính của lọc hạ thông lý tưởng.
Đáp ứng xung` lực của lọc hạ thông lý tưỏng có được bằng cách tính biến đổi F ngược.
f
h ( t ) = ∫ m Ae − j2 πft 0 .e j2 πft df. (3.13)
− fm
Asin2πf m (t - t o )
=
π (t − t o )
fm
Hình 3.6: Đáp ứng xung lực của hạ thông lý tưởng.
Lọc dãy thông lý tưởng:
Lọc dãy thông lý tưởng cho qua những tần số giữa hai tần số khác không, fL và fH. Nó tác
động như một hệ không méo lý tưởng, tín hiệu ra không chứa những thành phần tần số nằm
ngoài dãy thông lọc. Hàm hệ thống của nó:
⎧ − j2 πft 0 ,f L < f < f H
⎪Ae
H (f ) = ⎨ (3.14)
⎪0 , Pháön
⎩ khaïc
Trang III.5
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Hình 3.7: Hàm hệ thống của lọc dãy thông lý tưởng.
Đáp ứng xung lực của lọc, có thể tính bằng càch F -1 của H(f). (Khai triển từ đáp ứng xung
lực của lọc hạ thông và dùng định lý dời tần). Hàm hệ thống có thể viết :
⎛ f +f ⎞ ⎛ f +f ⎞
H(f ) = H LP ⎜ f − L H ⎟ + H LP ⎜ f + L H ⎟ (3.15)
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
-fH -fL fH fL
fL − fH fH − fL
2 2
Hình 3.8: Đặc tính của lọc dãy và hạ thông.
Nếu ta định nghĩa điểm giữa (midpoint) của dãy thông (trung bình của fL và fH)
là fav :
f +f
f av = L H
2
Đáp ứng xung lực cho bởi:
j2πfavt -j2πfavt
h(t) = hLP(t)e + hLP(t) e
= 2hLP(t)cos2πfavt= 2hLP(t)cos[π (fL + fH)t ] (3.16)
Từ pt (3.13) ta có :
Asinπ(f H − f L )t
h LP ( t ) = (3.17)
πt
Kết hợp (3.16) và (3.17) thêm vào tính chất dời thời gian, ta tìm được đáp ứng xung lực
của dãy thông lý tưởng:
2Asin[π(f H − f L )(t − t 0 )]cos[π(f L + f H )(t − t 0 )]
h(t) = (3.18)
π(t − t 0 )
Trang III.6
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Hình 3.9: Đáp ứng của lọc dãy thông lý tưởng
Dạng sóng của đáp ứng xung lực tương tự như của lọc hạ thông. Khi 2 tần số giới hạn trở
nên lớn so với hiệu số giữa chúng, đáp ứng xung lực giống đường chấm chấm (đáp ứng xung lực
của lọc hạ thông và ảnh qua gương của nó ). Điều đó xảy ra khi tần số của dãy lọc lớn hơn so với
bề rộng của dãy thông. Nhận xét này có ý nghĩa khi ta khảo sát về sự biến điệu AM.
Sự Méo Dạng:
Méo tuyến tính có thể gây ra những vấn đề trong các hệ thống truyền xung hoặc trong
thông tin số. Sự méo này được đặc trưng bởi thời gian lan tỏa (spreading) do hiệu ứng nhiều
đường hoặc do đặc tính của kênh.
-jθ(f)
H(f) = A(f)e (3.19)
A(f): Thừa số biên độ ; θ(f): Thừa số pha.
Sự méo dạng sinh ra từ hai thừa số phụ thuộc tần số ở phương trình (3.19). Nếu A(f) không
là hằng, ta có sự méo biên độ. Nếu θ(f) không tuyến tính với f, ta có sự méo pha.
Méo biên độ.
Trước hết Giả sử θ(f) tuyến tính với f.
Hàm chuyển có dạng:
-j2πfto
H(f) = A(f)e (3.20)
Trong đó hằng số tỉ lệ của pha là t0 , vì nó biểu diễn cho thời trễ của kênh.
Một cách tổng quát để phân tích biểu thức này với sự biến thiên của biên độ là khai triển
A(f) thành chuổi Fonrier.
∞
H (f ) = ∑ Hn(f) (3.21)
n =0
Các hạng của tổng có dạng
⎛ nπf ⎞ − j2 πft 0
⎜ f ⎟.e
H n (f ) = a n cos⎜ ⎟ (3.22)
⎝ m ⎠
Chúng ta có thể liên kết với lọc Cosine, mà đặc tuyến biên độ cho sóng Cosine trong dãy
thông như hình 3.10 (với n = 2).
Trang III.7
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Hình 3.10: Lọc cosine
Hàm hệ thống của lọc này là:
⎛ 2π ⎞
H (f ) = ⎜ A + acos f ⎟.e − j2 πft 0
⎜
⎝ fm ⎟⎠
⎧ ⎡
⎪ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎫
⎪
= A.e − j2 πft 0 + a ⎨exp ⎢ j2πf ⎜ − t o ⎟⎥ + exp ⎢ j2πf ⎜ − − t o ⎟⎥ ⎬
⎜f ⎟ ⎜ f ⎟
⎪ ⎣
⎩ ⎝ m ⎠⎦ ⎣ ⎝ m ⎠⎦ ⎪
⎭
Nếu input là r(t) vào lọc cosine bị giới hạn bởi băng tần thì Output là:
a ⎛ 1 ⎞ a ⎛ 1 ⎞
s( t ) = A.r ( t − t 0 ) + r⎜ t + − t o ⎟ + r⎜ t − − to ⎟ (3.23)
2 ⎜ fm
⎝
⎟ 2 ⎜ f
⎠ ⎝ m
⎟
⎠
Phương trình (3.23) cho thấy đáp ứng có dạng của một phiên bản không méo của input
cộng thêm 2 phiên bản bị dời thời gian (time - shifted) ( tiếng vang / đa lộ ) echoes/multipaths.
Trở lại trường hợp lọc tổng quát, ta thấy Output của một hệ với sự méo biên độ là một tổng
các input bị trễ.
Vậy với:
∞
⎛ nπf ⎞ − j2 πft 0
H (f ) = ∑ a n cos⎜
⎜ f ⎟.e
⎟ (3.24)
n =0 ⎝ m ⎠
Thì Output do một input r(t) là :
∞
an ⎡ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞⎤
s(t) = ∑ ⎢r ⎜ t +
n=0 2 ⎣ ⎝ 2f m
− t o ⎟ + r⎜ t −
⎠ ⎝ 2f m
− to⎟⎥
⎠⎦
(3.25)
Thí dụ:
Xem lọc có đặc tính tam giác như Hình 3.11. Giả sử pha thì tuyến tính, với độ dốc
400πt
-2πt0. Tìm Output của mạch này khi input là r ( t ) = sin
t
Hình 3.11
Giải :
Khai triển H(f) thành chuổi F
1 4 πf 4 3πf 4 5πf
H (f ) = r + 2 cos + 2 cos + cos + ......
2 π 1000 9π 1000 25π 2
1000
Trang III.8
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
r(t) bị giới hạn trong khoảng sao cho tất cả tần số đều qua mạch lọc. Điều này đúng vì R(f)
= 0 tại các tần số trên 200/2π và mạch lọc cắt tại f = 1000/π. Nếu ta giữ 3 số hạng khác không
đầu tiên thì Output sẽ là: s(t) = r(t) * h(t).
1 2 ⎡⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤
s( t ) = r (t − t o ) + 2 ⎢r⎜ t − − t o ⎟ + r⎜ t + − t o ⎟⎥
2 π ⎣ ⎝ 1000 ⎠ ⎝ 1000 ⎠⎦
2 ⎡ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞⎤
+ r t−
2 ⎢ ⎜
− t 0 ⎟ + r⎜ t + − t0⎟⎥
9π ⎣ ⎝ 1000 ⎠ ⎝ 1000 ⎠⎦
Kết quả này được vẽ như hình 3.12 với to = 0,05 sec.
Những đỉnh đánh dấu X là những đỉnh không méo của s(t).
Hình 3.12
Méo pha :
Sự thay đổi pha từ trường hợp không méo (pha tuyến tính) có thể được đặc trưng bằng sự
thay đổi độ dốc của đặc tuyến pha và đặc tuyến của một đường từ gốc đến một điểm trên đường
cong đặc tuyến.
Ta định nghĩa Trễ nhóm (Group delay hay trễ bao hình) và trễ pha (Phase delay) như sau:
dθ(f )
tgr (f)
df
θ (f)
tph (f) (3.26)
2πf
Hình 3.13 : Trễ nhóm và trễ pha.
* Đối với một kênh Không méo lý tưởng, đặc tuyến pha là một đường thẳng. Vậy trễ
nhóm và trễ pha đều không đổi với mọi f. Thật vậy, cả hai sẽ bằng với thời trễ t0 của tín hiệu
vào.
Trang III.9
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
V.CÁC LỌC THỰC TẾ:
Bây giờ ta trình bày những mạch thực tế, xấp xỉ với các lọc dãy thông và hạ thông lý
tưởng. Giả sử rằng H(f) tiến đến hàm hệ thống của một lọc lý tưởng - Một sự thay đổi nhỏ của
H(f) có thể đưa đến một sự thay đổi tương đối lớn của H(t). Ta có thể khảo sát những hậu quả
của sự thay đổi từ tính chất biên độ không đổi hoặc từ tính chất tuyến tính của pha của hàm hệ
thống của lọc lý tưởng.
Lọc hạ thông:
Mạch thụ động đơn giản nhất xấp xỉ với một lọc hạ thông là mạch chỉ chứa một thành phần
tích trữ năng lượng. Thí dụ mạch RC như Hình 3.13 . Điều này đúng, vì khi tần số tăng, tụ xem
như bị nối tắt.
i(t)
Hình 3.13: Lọc hạ thông RC
Hàm chuyển:
1/ j2πfC 1
H(f) = = (3.27)
R + (1/ j2πfC) 1 + j2πfRC
Suất và pha:
1
H (f ) =
1 + (2πfRC) 2
θ (f) = - tan-1 (2πfRC)
1 1
Nếu đặt RC = , suất của hàm chuyển giảm đến tại tần số 1 Hz. Ta gọi đó là tần
2π 2
số cắt 3 db của lọc.
Hình 3. 14 chỉ suất và pha của mạch RC, so sánh với đường cong độ lợi của một lọc hạ
thông lý tưởng có tần số cắt 1Hz.
Trang III.10
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Hình 3.14: Các đặc tuyến của lọc RC
Ta xem đáp ứng xung lực của 2 hệ thống.
- Đối với lọc hạ thông lý tưởng:
sin 2π(t − t o )
h(t ) = (3.28)
πt
- Đối với mạch RC, với RC = 2π:
πt
h(t) = e - 2 (3.29)
Trang III.11
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Hai đáp ứng này vẽ ở Hình 3.15. Ở đây, ta đã chọn tùy ý thời trễ của mạch hạ thông lý
tưởng là 10 sec để hình vẽ dễ phân biệt.
Hình 3.15: So sánh các đáp ứng xung lực.
Bây giờ hãy xem sóng vuông vào hai mạch lọc. Ta dùng một sóng vuông có tần số cơ bản
là 1/4Hz (bằng cách dùng số hạng đầu tiên khác zero của chuỗi Fourier), hình 3.16a.
Lọc hạ thông lý tưởng với tần số cắt 1Hz chỉ cho qua hai số hạng đầu tiên khác Zero (đó
là, tần số 1/4Hz và 3/4Hz). Trong khi đó, mạch RC (với sự giảm 3dB ở 1 Hz)làm méo đáng kể
các thành phần này (Hình 3.16b). Không chỉ thế, nó còn thu nhận năng lượng tín hiệu tại tần số
cắt.
Trang III.12
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Hình 3.16: So sánh đáp ứng của sóng vuông với 2 lọc.
Có một vài loại mạch xấp xỉ với lọc hạ thông lý tưởng. Mỗi loại biểu lộ những tính chất
riêng.
1. Lọc Butteworts làm mất sóng dư trong dãy tần số đi qua và làm giảm các tần số
không mong muốn ngoài dãy này. Nó được xem là loại lọc làm phẳng tối đa.
2. Lọc Chebyshev giảm các tần số không mong muốn hiệu quả hơn lọc Butteworts,
nhưng làm phẳng sóng dư kém hơn.
3. Các lọc cổ điển quan trọng khác gồm lọc Bessel, Papoulis, Gauss.
Ta chú ý đến lọc Butteworts:
Biên độ của lọc hạ thông lý tưởng có thể tính xấp xỉ bởi hàm:
1
H n (f ) = (3.30)
1 + (2πf ) 2 n
Hàm này được vẽ, với vài trị giá của n, như hình 3.17. Ta chỉ vẽ nữa dương của trục f, vì
1
hàm chẳn. Chọn fm = cho hình vẽ. (Khi thiết kế có thể chọn bất kỳ tần số cắt nào). Nhớ là
2π
khi n chọn lớn, đặc tuyến Butteworts sẽ tiến đến đặc tuyến của lọc hạ thông lý tưởng.
Trang III.13
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Nếu h(t) thực (Vì là hệ thống vật lý ), phần thực của H(f) chẳn, trong khi phần ảo lẽ. Vậy
:
H(f) = H * (-f ) (3.31)
và ⏐H (f)⏐2 = H(f)H*(f) (3.32)
Từ đó, kết hợp với phương trình (3.30), đủ để thiết kế các lọc Butteworts.
fm=1/2π
Hình 3.17: Hàm độ lợi Butteworts
1
Tương đương. Thiết kế một lọc Butteworts cấp 3 (n = 3) với tần số cắt fm =
2π
Giải:
Từ phương trình (3.30) ta có:
2 1
H (f )
1 + (2πf ) 6
Đổi nó về biến đổi laplace bằng cách đặt s = j2πf. Quan sát vị trí tương đối của các lực và
zero của hàm:
2 1
H(s) = H (s).H( −s) =
1 − S6
Các lực của ⏐H(s)⏐2 là 6 nghiệm đơn vị. Chúng cách điều nhau quanh vòng tròn đơn vị.
Ba cực kết hợp với H(S) ba nữa mặt phẳng trái. Ba cực kia với H(-S). Vậy H(S) được tính từ các
lực của nó:
1 1
H(S) = = 3 (3.33)
(S − P1 )(S − P2 )(S − P3 ) S + 2S + 2S + 1
2
Hình 3.18: 6 nghiệm
Nếu v (t) là đáp ứng và i(t) là nguồn, hàm hệ thống của phương trình (3.33) tương ứng với
mạch của hình hình 3.19a.
Trang III.14
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
4/3h
i(t) 1.5uF 0.5uF 1 v(t)
(a)
(b)
Hình 3.19: Lọc Butteworts cấp 3
Những mạch lọc cấp cao hơn sẽ được làm đầy đủ bằng cách dùng thêm mắt lọc. Linh kiện
thêm vào là cuộn cảm nối tiếp, tụ song song.
Lọc dãy thông
Mạch thụ động đơn giản nhất xấp xỉ với một lọc dãy thông lý tưởng là mạch chứa hai
thành phần tích trữ năng lượng.
Tương đương như mạch RLC vẽ ở hình 3.20:
Hình 3.20: Lọc dãy thông RLC
Nếu output lấy ngay qua LC đấu song song, thì mạch trên xấp xỉ với một lọc dãy thông.
Điều này đúng, vì khi tần số tiến đến zero, cuộn cảm xem như bị nối tắt. Và khi tần số tiến đến
∞, tụ xem như bị nối tắt. Như vậy đáp ứng của mạch tiến đến 0 ở cả hai đầu và cực đại ở giữa.
j2πfL
H (f ) = (3.34)
R − (2πf ) 2 RLC + j2πfL
Suất:
Trang III.15
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
1
H (f ) =
2
⎡⎛ 1 ⎞ ⎤
⎟ − 2πfC⎥ + 1
2
R ⎢⎜
⎣⎝ 2πfL ⎠ ⎦
1
Suất cực đại tại 2πf = . Điều này được xem như là tần số cộng hưởng lý tưởng
LC
của lọc.
Hình 3.21 chỉ đặc tính của mạch RLC. Ở đó, ta chọn R= L= C= 1.
Hình 3.21: Các đặc tính của lọc RLC
-1
Đáp ứng xung lực của mạch RLC được cho bởi biến đổi ngược F
t/
h(t) = 1,15 e- 2 sin (1,15t)
Nó được so sánh với đáp ứng xung lực của lọc dãy thông lý tưởng (phương trình (3.18))
2A sin[π(f H − f L )( t − t o )] cos[π(f H + f L )(t − t o )]
h(t) =
π( t − t o )
Trang III.16
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Hình 3.22 : So sánh những đáp ứng xung lực.
Hình 3.22 cho thấy đáp ứng xung lực của mạch RLC và của mạch dãy thông lý tưởng. Ta
chọn fH = 0,1Hz và fL = 0,25Hz là các điểm 3db nhớ là hệ số Q của mạch RLC thì rất thấp vì tỉ
số của độ rộng kênh và tần số giữa gần bằng 1.
VI.CÁC LỌC TÁC ĐỘNG:
Ở phần trên ta đã khảo sát vài mạch lọc thực tế đơn giản dùng cuộn cảm, tụ và điện trở.
Những mạch lọc như vậy gọi là lọc thụ động, vì tất cả các thành phần ấy hoặc hấp thu hoặc tích
trữ năng lượng.
Một mạch lọc gọi là tác động nếu nó chứa các thành phần còn lại của một mạch. Lọc tác
động không hấp thu năng lượng tín hiệu mong muốn, như các lọc thụ động. Chúng có nhiều khả
năng được thiết kế đơn giản và các hàm chuyển có thể thực hiện được (Trong khi các lọc thụ
động, trong vài áp dụng, thí dụ lọc audio, cần đến rất nhiều cuộn cảm và tụ ).
Bộ phận cơ bản xây dựng các lọc tác động là op.amp. Các tính chất của op.amp, việc phân
tích và thiết kế các lọc tác động là phần rất quan trọng của điện tử học. Nhưng ở đây ta sẽ không
lặp lại. Chỉ giới thiệu hai loại lọc tác động tiêu biểu.
Hình 3.23: Op.amp với hồi tiếp
Zin : Tổng trở vào
Zf : Tổng trở hồi tiếp.
Hai hình, hình 3.24 và hình 3.25 biểu diễn lọc hạ thông tác động và lọc dãy thông tác động
dùng op.amp.
Trang III.17
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Hình 3.24: Lọc hạ thông tác động
Trang III.18
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Hình 3.25: Lọc dãy thông tác động
VII.TÍCH CỦA THỜI GIAN VÀ KHỔ BĂNG.
Vấn đề cần lưu tâm trong việc thiết kế một hệ thông tin là khổ băng (band width, độ rộng
băng ) của hệ thống. Khổ băng là khoảng tần số của hệ có khả năng hoạt động.
Khổ băng có liên quan đến biến đổi f của hàm thời gian. Nó không thể xác định trực tiếp từ
các số hạng của hàm, trừ khi ta dùng các biểu thức trực quan về sự thay đổi trị giá của hàm
nhanh đến mức nào.
Những đại lượng vật lý quan trọng trong việc thiết kế hệ thông tin bao gồm thể tối thiểu
của một xung và thời gian tối thiểu mà trong đó output của hệ có thể nhảy từ một mức này đến
một mức khác. Ta sẽ chứng tỏ 2 đại lượng này có liên quan đến khổ băng.
Trang III.19
Cơ Sở Viễn Thông Phạm Văn Tấn
Bắt đầu từ một ví dụ và rồi tổng quát hóa kết quả.
Đáp ứng xung lực của một lọc hạ thông lý tưởng:
sin 2πf m ( t − t o )
h(t) = (3.35)
π( t − t o )
h(t)
Hình 3.26: Đặc tính của
lọc hạ thông lý tưởng.
Có hai nhận xét:
1- Bề rộng của vành lớn nhất của h(t) là 1/fm. Vậy nó tỉ lệ nghịch với khổ băng
của tín hiệu. Thực vậy, vì khổ băng (Hiệu của tần số cao nhất và thấp nhất ) là fm , nên tích của
độ rộng xung với khổ băng là 1.
2 - Vì hàm nấc là tích phân của xung lực, nên đáp ứng của hàm nấc là tích phân
của đáp ứng xung lực. Đáp ứng hàm nấc vẽ ở hình 3.27.
Ta thấy rằng thời gian tăng (rise time) của đáp ứng này thì tỷ lệ nghịch với khổ băng
của lọc. Thời gian tăng được định nghĩa là thời gian cần cho một tín hiệu đi từ trị giá đầu đến trị
giá cuối dọc theo một đường dốc với hệ số góc không đổi bằng với độ dốc tối đa của hàm.
Hình 3.27 : Đáp ứng nấc của lọc hạ thông.
Độ dốc tối đa của a(t) là trị tối đa của h(t) đạo hàm của nó. Trị này được cho là 2fm. Vậy
thời gian tăng của đáp ứng nấc :
1
tr = (3.36).
2f m
Vì khổ băng của lọc là fm , ta thấy tr và khổ băng tỉ lệ ngược và tích của chúng là 0.5.
Mặc dù ta chỉ quan sát sự quan hệ ngược giữa thời gian tăng và khổ băng (hay độ rộng
xung và khổ băng) đối với lọc hạ thông lý tưởng, nhưng điều này có thể áp dụng một cách tổng
quát. Đó là, thời gian thì tỉ lệ ngược với khổ băng trong bất kỳ hệ thống nào. Tích của chúng là
một hằng.
Bây giờ ta áp dụng nhận xét ấy vào trường hợp đặc biệt của khổ băng và độ rộng xung
(Khổ xung - Pucse Width). Giả sử rằng một hàm thời gian và biến đổi F của nó vẽ ở hình
3.28.
Trang III.20
Copyright by webtailieu.net