Chuyển động tổng hợp của điểm
Chuyển động tổng hợp của điểm là chuyển động đ-ợc tạo thành khi điểm
tham gia hai hay nhiều chuyển động đồng thời. Ta xét bài toán trong mô hình
sau đây : Khảo sát chuyển động của điểm M trên hệ toạ độ động o1x1y1z1 gắn trên vật A. Vật A lại chuyển động
trong hệ toạ độ cố định oxyz (xem
hình 7.1).
-85-
Ch−¬ng 7
ChuyÓn ®éng tæng hîp cña ®iÓm
7.1. ChuyÓn ®éng tuyÖt ®èi, chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi vµ
chuyÓn ®éng kÐo theo.
ChuyÓn ®éng tæng hîp cña ®iÓm lµ chuyÓn ®éng ®−îc t¹o thµnh khi ®iÓm
tham gia hai hay nhiÒu chuyÓn ®éng ®ång thêi. Ta xÐt bµi to¸n trong m« h×nh
sau ®©y : Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña ®iÓm M trªn hÖ to¹ ®é ®éng o1x1y1z1 g¾n
trªn vËt A. VËt A l¹i chuyÓn ®éng
z
trong hÖ to¹ ®é cè ®Þnh oxyz (xem M y1
z1
h×nh 7.1). z1
A
ChuyÓn ®éng cña ®iÓm M so j1 x1
k1 o1
r i1 y1
víi hÖ cè ®Þnh oxyz gäi lµ chuyÓn
ro x1
®éng tuyÖt ®èi. VËn tèc vµ gia tèc cña O y
r
chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi ký hiÖu lµ : v a
r x
vµ w a . H×nh 7.1
ChuyÓn ®éng cña ®iÓm M so víi hÖ ®éng o1x1y1z1 gäi lµ chuyÓn ®éng
r r
t−¬ng ®èi ký hiÖu lµ v r vµ w r .
ChuyÓn ®éng cña hÖ ®éng (vËt A) so víi hÖ cè ®Þnh oxyz gäi lµ chuyÓn
®éng kÐo theo. VËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm thuéc vËt A ( hÖ ®éng ) bÞ ®iÓm M
chiÕm chç ( trïng ®iÓm ) trong chuyÓn ®éng kÐo theo lµ vËn tèc vµ gia tèc kÐo
r r
theo cña ®iÓm M vµ ký hiÖu lµ : v e vµ w e .
Nh− vËy chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi cña ®iÓm M lµ chuyÓn ®éng tæng hîp cña
hai chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi vµ kÐo theo cña nã.
r
ThÝ dô : Con thuyÒn chuyÓn ®éng víi vËn tèc u so víi n−íc. Dßng n−íc
r
ch¶y víi vËn tèc v so víi bê s«ng. ë ®©y chuyÓn ®éng cña con thuyÒn so víi bê
s«ng lµ chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi . ChuyÓn ®éng cña con thuyÒn so víi mÆt n−íc lµ
r r
chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi víi vËn tèc v r = u. ChuyÓn ®éng cña dßng n−íc so víi
-86-
r r
bê lµ chuyÓn ®éng kÐo theo, vËn tèc cña chuyÓn ®éng kÐo theo v e = v .
Theo ®Þnh nghÜa trªn ta thÊy, ®Ó xÐt chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi ta xem hÖ
®éng nh− cè ®Þnh. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng viÕt d−íi d¹ng vÐc t¬ nh−
r r r r r
sau : r1 = O1M = x 1 i1 + y1 j1 + z1k 1 . (7-1)
r r r
ë ®©y i1 , j1 , k 1 lµ c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ trªn c¸c hÖ ®éng. Khi xÐt chuyÓn
r r r
®éng t−¬ng ®èi nh− ë trªn ®· nãi c¸c vÐc t¬ i1 , j1 , k 1 ®−îc xem nh− kh«ng ®æi.
Cßn c¸c to¹ ®é x1 , y1 , z1 lµ c¸c hµm cña thêi gian.
x1 = x1(t) ; y1 = y1(t) ; z1 = z1(t).
Muèn xÐt chuyÓn ®éng kÐo theo cña ®iÓm ta chØ cÇn cè ®Þnh nã trong hÖ
®éng khi ®ã ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña M so víi hÖ cè ®Þnh oxyz lµ ph−¬ng
tr×nh chuyÓn ®éng kÐo theo. Ta cã :
r r r r r r r
r = OM = r0 + r1 = r0 + x1 i1 + y1 j1 + z1k 1 (7-2).
Trong ph−¬ng tr×nh (7.2) v× ta cè ®Þnh ®iÓm trong hÖ ®éng nªn c¸c to¹ ®é
r r r
x1 , y1 , z1 lµ kh«ng ®æi, cßn i1 , j1 , k 1 lµ c¸c vÐc t¬ biÕn ®æi theo thêi gian.
r r r r r r r r
r0 = r0 ( t ) ; i = i ( t ) ; j = j ( t ) ; k = k ( t ) .
7.2. §Þnh lý hîp vËn tèc.
XÐt ®iÓm M chuyÓn ®éng t−¬ng
z
®èi trong hÖ ®éng o1x1y1z1 víi vËn tèc c2 M y1
z1 c1 vr
r
v r ; HÖ ®éng chuyÓn ®éng trong hÖ cè
r1 ve va
®Þnh oxyz kÐo theo ®iÓm M chuyÓn
r o1
r
®éng víi vËn tèc kÐo theo v e (xem h×nh
ro x1
7-2). §Ó x¸c ®Þnh vËn tèc tuyÖt ®èi ta O y
thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
x
tuyÖt ®èi cña ®iÓm M. Ta cã : H×nh 7.2
r r r r r r r
r = r0 + r1 ( t ) = r0 + x 1 i1 + y1 j1 + z1k 1 (7-3)
-87-
Ph−¬ng tr×nh nµy gièng ph−¬ng tr×nh (7-2) nh−ng cÇn l−u ý lµ mäi tham
sè cña ph−¬ng tr×nh ®Òu lµ c¸c hµm cña thêi gian.
§¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian ph−¬ng tr×nh (7-3) ta ®−îc :
r r r r r
r d r ⎛ d r0 di dj dk ⎞ ⎛ dx 1 r dy1 r dz1 r ⎞
va = =⎜ + x1 + y1 + z 1 ⎟ + ⎜ i1 + j1 k1 ⎟
dt ⎜ dt
⎝ dt dt dt ⎟ ⎝ dt
⎠ dt dt ⎠
Trong kÕt qu¶ t×m ®−îc, nhãm sè h¹ng thø nhÊt
r r r r
⎛ d r0 di dj dk ⎞
⎜ ⎟
⎜ dt + x 1 dt + y1 dt + z1 dt ⎟
⎝ ⎠
chÝnh lµ ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña ph−¬ng tr×nh (7-2) (ph−¬ng
r
tr×nh chuyÓn ®éng kÐo theo ) lµ vËn tèc kÐo theo v e .
Nhãm c¸c sè h¹ng cßn l¹i :
⎛ dx 1 r dy1 r dz1 r ⎞
⎜ i1 + j1 k1 ⎟
⎝ dt dt dt ⎠
lµ ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña ph−¬ng tr×nh (7.1) (ph−¬ng tr×nh
r
chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi ) do ®ã ®−îc thay thÕ b»ng vËn tèc t−¬ng ®èi v r .
Thay c¸c kÕt qu¶ võa t×m ®−îc vµo vËn tèc tuyÖt ®èi ta ®ù¬c :
r r r
va = ve + vr .
§Þnh lý 7.1 : Trong chuyÓn ®éng tæng hîp cña ®iÓm vËn tèc tuyÖt ®èi
b»ng tæng h×nh häc vËn tèc kÐo theo vµ vËn tèc t−¬ng ®èi :
r r r
va = ve + vr . (7-4)
7.3. §Þnh lý hîp gia tèc
§Ó thiÕt lËp biÓu thøc cña gia tèc tuyÖt ®èi ta ®¹o hµm bËc hai theo thêi
gian ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi cña ®iÓm (ph−¬ng tr×nh 7.3). Ta cã :
r r r r r r
r d 2 r dv a ⎛ d 2 r0 d2 i d2 j d 2 k ⎞ ⎛ d 2 x 1 r d 2 y1 r d 2 z 1 r ⎞
wa = = =⎜ + x 1 2 + y1 2 + z1 2 ⎟ + ⎜ 2 i1 + 2 j1 2 k 1 ⎟
dt dt ⎜ dt 2
⎝ dt dt dt ⎟ ⎜ dt
⎠ ⎝ dt dt ⎟
⎠
-88-
r r r
⎛ dx 1 d i1 dy1 d j1 dz1 dk 1 ⎞
+ 2⎜
⎜ dt dt + dt dt dt dt ⎟
⎟
⎝ ⎠
Trong kÕt qu¶ t×m ®−îc nhãm c¸c sè h¹ng thø nhÊt :
r r r r
⎛ d 2 r0 2
d i 2
d j d k⎞
2
⎜ 2 + x 1 2 + y1 2 + z 1 2 ⎟
⎜ dt dt ⎟
⎝ dt dt ⎠
lµ ®¹o hµm bËc hai theo thêi gian cña ph−¬ng tr×nh (7.2) ( ph−¬ng tr×nh
r
chuyÓn ®éng kÐo theo ) cã thÓ thay b»ng gia tèc kÐo theo w e .
Nhãm c¸c sè h¹ng thø hai :
⎛ d 2 x 1 r d 2 y1 r d 2 z 1 r ⎞
⎜ 2 i1 + 2 j1 2 k 1 ⎟
⎜ dt ⎟
⎝ dt dt ⎠
lµ ®¹o hµm bËc hai theo thêi gian cña ph−¬ng tr×nh (7.1) ( ph−¬ng tr×nh
r
chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi ) cã thÓ thay b»ng gia tèc t−¬ng ®èi w r .
Nhãm c¸c sè h¹ng cßn l¹i :
r r r
⎛ dx 1 d i1 dy1 d j1 dz1 dk 1 ⎞
2⎜
⎜ dt dt + dt dt dt dt ⎟
⎟
⎝ ⎠
r
®−îc gäi lµ gia tèc quay hay gia tèc Koriolit ký hiÖu lµ w k .
Thay c¸c kÕt qu¶ t×m ®−îc vµo biÓu thøc cña gia tèc tuyÖt ®èi ta ®−îc :
r r r r
wa = we + wr + wk .
Ta ®i ®Õn ®Þnh lý sau ®©y gäi lµ ®Þnh lý hîp gia tèc.
§inh lý 7.2 : Trong chuyÓn ®éng tæng hîp cña ®iÓm gia tèc tuyÖt ®èi b»ng
tæng h×nh häc cña gia tèc kÐo theo, gia tèc t−¬ng ®èi vµ gia tèc Koriolit.
r r r r
wa = we + wr + wk . (7.5)
7.4. Gia tèc Koriolit.
r
Gia tèc Koriolit w k ®−îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc :
r r r
r ⎛ dx 1 d i1 dy1 d j1 dz1 dk 1 ⎞
w k = 2⎜
⎜ dt dt + dt dt dt dt ⎟
⎟
⎝ ⎠
-89-
r r r
Khi hÖ ®éng cã chuyÓn ®éng quay th× c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ i1 , j1 , k 1 sÏ quay
theo khi ®ã ®¹o hµm cña nã theo thêi gian kh¸c kh«ng. Trong tr−êng hîp hÖ
®éng kh«ng tham gia chuyÓn ®éng quay th× c¸c ®¹o hµm cña nã sÏ b»ng kh«ng
vµ do ®ã gia tèc Koriolit sÏ kh«ng cã v× vËy gia tèc nµy cßn ®−îc gäi lµ gia tèc
quay. Gia tèc Koriolit biÓu diÔn ¶nh h−ëng chuyÓn ®éng quay cña hÖ ®éng ®Õn
gia tèc cña ®iÓm.
NÕu vËn tèc gãc cña hÖ ®éng (vËn tèc gãc kÐo theo ) lµ ϖ e th× khi hÖ ®éng
quay quanh trôc o1ε víi vËn tèc gãc ωe th× ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña
r r r
c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ i1 , j1 , k 1 chÝnh lµ vËn tèc ®Çu mót cña chóng trong chuyÓn
®éng quay quanh trôc o1ε. (xem h×nh 7.3).
Ta cã : z
r r ε
d i1 r r d j1 r r ωe A y
= ωe × i1 = ωe × j1 k1
dt dt j1
r vA O
dk 1 r r
= ωe × k 1 i1
dt
Thay c¸c kÕt qu¶ biÓu thøc trªn vµo biÓu x
r
thøc cña w k ta ®−îc : H×nh 7.3
r r r
r ⎛ dx 1 d i1 dy 1 d j1 dz 1 dk 1 ⎞
w k = 2⎜ + + ⎟
⎜ dt dt dt dt dt dt ⎟
⎝ ⎠
⎛ dx r
( ) ( ) ( )⎞
r dy r r dz r r
= 2⎜ 1 ω C x i + 1 ω C x j + 1 ω C x k
⎜ dt ⎟
⎟
⎝ dt dt ⎠
r ⎛ dx r dy r dz r ⎞ r r
= 2ω e x ⎜ 1 i1 + 1 j1 + 1 k 1 ⎟ = 2ω e × v r
⎜ dt ⎟
⎝ dt dt ⎠
Nh− vËy gia tèc Koriolit b»ng hai lÇn tÝch h÷u h−íng gi÷a vËn tèc gãc kÐo
theo vµ vÐc t¬ vËn tèc t−¬ng ®èi.
-90-
r r r
w k = 2ω e × v r . ( 7.6)
Tõ (7.6) ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®é lín cña gia tèc Koriolit theo biÓu thøc :
w k = 2ω e .v r sin (ω e .v r ) .
Ta thÊy ngay gia tèc Koriolit b»ng kh«ng trong tr−êng hîp sau :
- Khi hÖ ®éng chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn nghÜa lµ khi ωe = 0 ;
- Khi ®éng ®iÓm ®øng yªn trong hÖ
r
®éng, nghÜa lµ khi v r = 0 ;
ωe
- Khi chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi theo wk
ph−¬ng däc theo trôc quay cña chuyÓn ®éng r
r r vr H×nh 7.4
kÐo theo nghÜa lµ khi gãc hîp gi÷a ωe vµ v r
b»ng kh«ng hoÆc b»ng 1800 .
H×nh 7.4
Theo (7.6) gia tèc Koriolit cã ph−¬ng ωe
r vr
vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa hai vÐc t¬ ωe ωe
r
vµ v r cã chiÒu sao cho khi nh×n tõ mót cña M
r v'r
nã xuèng mÆt ph¼ng ®ã sÏ thÊy ω e quay
wK
ng−îc chiÒu kim ®ång hå ®i mét gãc nhá
r
h¬n 1800 sÏ ®Õn trïng víi v r (xem h×nh 7.4).
H×nh 7.5
Trong thùc hµnh ta cã thÓ x¸c ®Þnh
r
ph−¬ng chiÒu cña w k nh− sau :
r
ChiÕu vÐc t¬ vËn tèc t−¬ng ®èi v r lªn mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc quay
r
cña chuyÓn ®éng kÐo theo. Sau ®ã quay h×nh chiÕu v r ®ã ®i mét gãc 900 theo
chiÒu quay cña ωe trong mÆt ph¼ng trªn (xem h×nh 7.5) ta sÏ x¸c ®Þnh ®−îc
ph−¬ng chiÒu cña gia tèc Koriolit.
Sau ®©y sÏ giíi thiÖu mét sè vÝ dô vËn dông c¸c ®Þnh lý hîp vËn tèc vµ
hîp gia tèc trong chuyÓn ®éng tæng hîp cña ®iÓm.
-91-
ThÝ dô 7.1: Tay quay OA cña c¬ cÊu tay quay cu lit quay quanh trôc O
vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng cña c¬ cÊu. §Çu A cña tay quay nèi b»ng khíp b¶n lÒ
víi con tr−ît B. Con tr−ît B cã thÓ tr−ît trong m¸ng BC cña cu lit. M¸ng BC cã
thÓ chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn lªn xuèng nhê r·nh h−íng dÉn
D
E. X¸c ®Þnh vËn tèc, gia tèc cña m¸ng BC còng nh− vËn
tèc gia tèc cña con tr−ît so víi cu lit BC.
B O
Cho biÕt tay quay cã chuyÓn ®éng quay ®Òu víi C
A
vËn tèc gãc n = 120 vßng/phót. §é dµi OA = 1 = 30cm
(xem h×nh 7.6). E
Bµi gi¶i: H×nh 7.6
NÕu chän hÖ ®éng g¾n víi cu lit (m¸ng BC) vµ hÖ cè ®Þnh g¾n víi trôc
quay O th× chuyÓn ®éng cña con tr−ît A trong m¸ng lµ chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi.
ChuyÓn ®éng cña m¸ng tÞnh tiÕn lªn xuèng lµ chuyÓn ®éng kÐo theo cßn chuyÓn
®éng cña A quay quanh O lµ chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi.
Tr−íc hÕt ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc vËn tèc tuyÖt ®èi vµ gia tèc tuyÖt ®èi
cña ®iÓm A.
VËn tèc cña tay quay OA.
π.n π.120
ω= = = 4π(rad / s) .
30 30
D
VÞ trÝ cña c¬ cÊu ®−îc x¸c ®Þnh b»ng
B3 C3
gãc quay cña tay quay OA : A3
r r
ϕ = ωt = 4πt (rad). O
r v
wa r e
v
ϕ we r
B vr x
§Çu A cña tay quay thùc hiÖn chuyÓn r
wr A
®éng trßn t©m O b¸n kÝnh OA = 1. A1
B1 C1
VËn tèc cña ®iÓm A : Va = ω.1 = 4π.30 E
= 120π ≈ 3,77 m/s.
H×nh 7.7
-92-
r
v a cã ph−¬ng vu«ng gãc víi OA h−íng theo chiÒu quay ω (xem h×nh 7.7).
r
v a chÝnh lµ vËn tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm A : va = vA.
V× tay quay quay ®Òu nªn gia tèc ®iÓm A chØ cã mét thµnh phÇn ph¸p
tuyÕn.
r r
wA = wnA vÒ ®é lín
wA = ω2.1 = 16π2.1
= 16π2.30 ≈ 4733 cm/s2 ;
= 47,33 m/s2
r
Gia tèc w A cã chiÒu h−íng tõ A vµo O. Gia tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm A lµ
r
wA .
§Ó t×m vËn tèc cña m¸ng (vËn tèc kÐo theo) vµ vËn tèc cña con tr−ît A
trong m¸ng (vËn tèc t−¬ng ®èi) ta ¸p dông ®Þnh lý hîp vËn tèc. Ta cã :
r r r
va = ve + vr
r r r
ë ®©y v a = v A ®· biÕt c¶ ®é lín vµ ph−¬ng chiÒu. v e lµ vËn tèc cña m¸ng
r
chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn lªn xuèng do ®ã cã ph−¬ng th¼ng ®øng. Cßn v r lµ vËn tèc
cña con tr−ît däc theo m¸ng BC nªn cã ph−¬ng n»m ngang. Tõ ®Þnh lý hîp vËn
r
tèc ta cã thÓ nhËn ®−îc mét h×nh b×nh hµnh mµ ®−êng chÐo lµ v a cßn hai c¹nh lµ
r r r r
v e vµ v r . DÔ dµng t×m ®−îc c¸c vÐc t¬ vËn tèc kÐo theo v e vµ v r nh− trªn h×nh
(7.7). Ta cã :
v e = v A .sin ϕ = 3,77.sin 4π.t ( m / s)
v r = v A . cos ϕ = 3,77. cos 4π.t ( m / s)
r r
Ph−¬ng chiÒu cña c¸c vËn tèc v e vµ v r nh− h×nh vÏ.
§Ó x¸c ®Þnh gia tèc kÐo theo vµ t−¬ng ®èi (gia tèc cña m¸ng vµ gia tèc cña
con tr−ît trong m¸ng) ta ¸p dông dÞnh lý hîp gia tèc.
-93-
r r r r
wa = we + wr + wk .
r
Trong bµi to¸n nµy hÖ ®éng chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn nªn w k = 0 ta chØ cßn
biÓu thøc :
r r r
wa = we + wr .
r
ë ®©y gia tèc tuyÖt ®èi ®· ®−îc x¸c ®Þnh. Gia tèc kÐo theo w e cã ph−¬ng
r
th¼ng ®øng cßn gia tèc t−¬ng ®èi w r cã ph−¬ng n¨m ngang. Còng dÔ dµng nhËn
r r
thÊy c¸c vÐc t¬ gia tèc kÐo theo w e vµ gia tèc t−¬ng ®èi w r lµ hai c¹nh cña h×nh
r
b×nh hµnh nhËn gia tèc w a lµm ®−êng chÐo (xem h×nh 7.7). Ta cã :
w e = w A . cos ϕ = 47,33. cos 4π.t
w r = w A .sin ϕ = 47,33.sin 4π.t
r r
Ph−¬ng chiÒu cña gia tèc w e vµ w r nh− trªn h×nh vÏ 7.7 .
KÕt qu¶ trªn cho thÊy vËn tèc, gia tèc cña m¸ng BC ( ve, wed ) vµ vËn tèc,
gia tèc con tr−ît trong m¸ng ( vr , wr ) lµ hµm cña thêi gian. Ta cã thÓ x¸c ®Þnh
chóng t¹i c¸c vÞ trÝ ®Æc biÖt sau :
Khi ϕ1 = 4πt = 0 ta cã ve = 0 ; vr = 3,77 m/s
We = 47,33 m/s ; wr = 0
Khi ϕ2 = 4πt = π / 2 ta cã ve = 3,7 m / s ; vr = 0
we= 0 m / s ; wr = 3,77 m / s
ThÝ dô 7.2 : §éng ®iÓm M chuyÓn ®éng b¾t ®Çu tõ ®Ønh O cña nãn däc
theo ®−êng sinh OC víi vËn tèc kh«ng ®æi vr = 24 cm / s . Nãn còng ®ång thêi
quay b¾t ®Çu cïng thêi ®iÓm xuÊt ph¸t cña ®iÓm M theo quy luËt ϕ = 0,125t2.
X¸c ®Þnh vËn tèc tuyÖt ®èi vµ gia tèc tuyÖt ®èi cña ®éng ®iÓm M t¹i thêi ®iÓm t =
4 gi©y. (xem h×nh 7.8). Cho biÕt gãc ®Ønh nãn lµ 600.
-94-
Bµi gi¶i
Trong bµi to¸n nµy chuyÓn ®éng cña ®iÓm M däc
B
theo ®−êng sinh OC lµ chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi. Nh− vËy
z
vËn tèc t−¬ng ®èi cña ®iÓm ®· biÕt. O
α
r
ve
Vr = 24 cm / s = 0,24 m / s cã ph−¬ng chiÒu tõ O
k
®Õn C. M r
r va
vr
ωe
ChuyÓn ®éng quay cña nãn quanh trôc AB víi C
εe
quy luËt ϕ = 0,125t lµ chuyÓn ®éng kÐo theo.
2
A
§Ó x¸c ®Þnh ®−îc vËn tèc kÐo theo cña ®iÓm ta
H×nh 7.8
ph¶i x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña nã t¹i thêi ®iÓm t1 trªn nãn.
Ta cã OM = vr.t = 24.4 = 96 cm
Kho¶ng c¸ch tõ ®éng ®iÓm t¹i vÞ trÝ ®ang xÐt tíi trôc quay AB lµ :
MK = OM.sin300 = 96.0,5 = 48 cm.
z
B
VËn tèc kÐo theo t¹i thêi ®iÓm t1 lµ :
O
y x
dϕ α
ωe = = 0,25t víi t = t1 = 4 gi©y wk
dt k wn e wτe
M
ωet1 = 0,25.4 = 1 rad / s ; r vr
ωe
r C
Gia tèc gãc trong chuyÓn ®éng kÐo theo lµ : εe
A
d 2ϕ
εe = 2
= 0,25(rad / s 2 ) H×nh 7.9
dt
C¸c vÐc t¬ ωe vµ εe biÓu diÔn trªn h×nh vÏ (7.9).
r r
C¸c vÐc t¬ vËn tèc kÐo theo v e vµ vËn tèc t−¬ng ®èi lµ v r t¹i thêi ®iÓm t1 =
4s ®−îc biÓu diÔn trªn h×nh 7.8.
VÒ ®é lín vËn tèc kÐo theo x¸c ®Þnh ®−îc :
ve = MK . ωe = 48,1 cm / s ≈ 0,48 m / s .
-95-
r r r
¸p dông ®Þnh lý hîp vËn tèc ta cã : v a = v e + v r
VÒ ®é lín vËn tèc tuyÖt ®èi cña M t¹i thêi ®iÓm t1 lµ :
Va = VM = v e + v 2 = 48 2 + 24 2 = 53,64(cm / s) = 0,5364(m / s) .
2
r
§Ó x¸c ®Þnh gia tèc tuyÖt ®èi cña M, tõ ®Þnh lý hîp gia tèc ta cã :
r r r r r
wa = wM = we + wr + wk
r rn rr
ChuyÓn ®éng kÐo theo lµ chuyÓn ®éng trßn nªn w e = w e + w e .
rn
Trong ®ã : w e cã ph−¬ng chiÒu h−íng tõ M vÒ K (xem h×nh 7.9), cã ®é
lín : w e = MK.ωe = 48.1 = 48(cm / s 2 ) .
n 2
rr r
w e cã ph−¬ng chiÒu trïng víi ph−¬ng chiÒu v e cã ®é lín :
w e = MK.ε e = 48.0,25 = 12(cm / s 2 ) .
r 2
r
Gia tèc t−¬ng ®èi w r trong tr−êng hîp nµy b»ng kh«ng cßn gia tèc
r
Koriolit w k cã ph−¬ng chiÒu nh− trªn h×nh vÏ. Cã ®é lín :
wk = 2ωe . vr .sin300 = 2.1.24.0,5 = 24 (cm / s2) .
ChiÕu biÓu thøc trªn lªn hai trôc Mxy nh− trªn h×nh ta cã :
wx = wer + wk = 12 + 24 = 36 cm / s2 = 0,36 m/ s2.
wy = wen = 48 cm / s2 = 0,48 m / s2.
Gia tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm
w M = w 2 + w 2 = 36 2 + 482 = 60c(cm / s 2 ) .
x y
Ph−¬ng vµ chiÒu cña wM cã thÓ x¸c ®Þnh b»ng c¸c gãc chØ ph−¬ng x¸c
®Þnh nh− sau :
wy
cos(w M x ) = cos(w M y ) =
wx
= 0,6 ; = 0,8
wM wM
ThÝ dô 7.3. : C¬ cÊu ®iÒu chØnh ly t©m biÓu diÔn nh− h×nh vÏ 7.10. T¹i
-96-
thêi ®iÓm ®ang xÐt qu¶ cÇu quay quanh ®iÓm treo O cïng víi thanh OM víi vËn
tèc gãc vµ gia tèc gãc ω1 = 2 rad / s vµ ε1 = 0,2 rad / s2. C¬ cÊu quay quanh trôc
th¼ng ®øng víi vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc ω2 =4 rad / s vµ ε2 = o,8 rad / s2. X¸c
®Þnh vËn tèc tuyÖt ®èi vµ gia tèc tuyÖt ®èi cña qu¶ cÇu M t¹i thêi ®iÓm ®ã. Cho
biÕt kÝch th−íc cña c¬ cÊu t¹i vÞ trÝ ®ang xÐt lµ :
l = 40 cm ; e = 5 cm ; α = 300.
Bµi gi¶i
Trong bµi to¸n nµy, chuyÓn ®éng cña c¬ cÊu quay ze e
quanh trôc th¼ng ®øng lµ chuyÓn ®éng kÐo theo. VËn tèc gãc o ω1
l
l ω2 ε1 ve vM = vA
ε2
kÐo theo ωe = ω2 = 4 rad / s vµ gia tèc gãc trong chuyÓn ®éng
α C R
M
vr
kÐo theo lµ εe = ε2 = 0,8 rad / s .
2
ChuyÓn ®éng cña qu¶ cÇu M quay quanh O lµ chuyÓn
®éng t−¬ng ®èi.VËn tèc gãc trong chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi lµ
H×nh 7.10
ωr = ω1 = 2 rad / s vµ gia tèc gãc trong chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi
lµ εr = ε1 = 0,2 rad / s2.
Quü ®¹o chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi cña M lµ ®−êng trßn b¸n kÝnh 1 vµ t©m 0
Quü ®¹o chuyÓn ®éng kÐo theo cña M lµ ®−êng trßn n»m trong mÆt ph¼ng
vu«ng gãc víi trôc quay AB vµ cã b¸n kÝnh :
CM = R = e+1sin300 = 5+40.0,5 = 25 cm.
VËn tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm M ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau :
r r r r
va = vM = ve + vr ;
ve = R.ωe = 25.4 = 100 cm / s
ve cã ph−¬ng tiÕp tuyÕn víi quü ®¹o cña chuyÓn ®éng kÐo theo , h−í theo
chiÒu quay cña c¬ cÊu ; Vr tiÕp tuyÕn víi quü ®¹o cña chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi cã
nghÜa lµ vu«ng
-97-
gãc víi thanh OM h−íng theo chiÒu quay cña ωr , cã trÞ sè Vr = l.ωr =
40.2 = 80 cm/s
r r
Nh− vËy hai vÐc t¬ v e vµ v r vu«ng gãc víi nhau v× vËy ®é lín vËn tèc
tuyÖt ®èi x¸c ®Þnh ®−îc :
v M = v e + v 2 = 100 2 + 80 2 = 128(cm / s) .
2
r
Ph−¬ng chiÒu cña VM x¸c ®Þnh nh− trªn h×nh vÏ 7.10.
V× chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi vµ chuyÓn ®éng kÐo theo ®Òu lµ chuyÓn ®éng
trßn nªn biÓu thøc gia tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm M ta cã thÓ viÕt :
r r r r r r
w M = w r e + w n e + w k + w rr + w n .
r (a)
Sau ®©y x¸c ®Þnh ®é lín vµ ph−¬ng chiÒu cña c¸c thµnh phÇn gia tèc ë vÕ ph¶i .
Wet = R . εe = 25 . 0,8 = 20 cm / s2 . Wet cïng ph−¬ng chiÒu víi vËn tèc
kÐo theo .
rn
w e = R. ω22 = 25.16 = 400cm/s2. H−íng tõ M vµo C
r
wrr = 1 . εr = 40 . 0,2 = 8 cm / s2. w rr h−íng theo chiÒu cña vr .
r
wrn = 1 . ω2r = 40 . 4 = 160 cm / s2. w n h−íng tõ M vµo O
r
wk = 2ωe . vr sin(ωetvr) = 2 . 4. 80 .0,866 = 554 cm / s2
r r
ë ®©y gãc < (ωe , v r ) = 60 0
nªn sin(ωe,vr) = 0,866.
r O
Ph−¬ng chiÒu cña w k x¸c ®Þnh theo ph−¬ng ph¸p εr Z wK
ωr α
wn r wtc wτr
thùc O hµnh sÏ t×m thÊy nh− ë h×nh vÏ (7.11) . ωe
εe wn e y
r C
R
§Ó x¸c ®Þnh gia tèc tuyÖt ®èi w M ta chiÕu ph−¬ng M
x
tr×nh (a) lªn 3 trôc xyz chän nh− h×nh vÏ.
r rr
Víi c¸ch chän hÖ trôc trªn ta thÊy gia tèc w k vµ w e
rn r r
n»m trªn trôc x c¸c gia tèc w e , w rr , w n n¨m trong mÆt
r
ph¼ng yMz. H×nh 7.11
KÕt qu¶ chiÕu lªn c¸c trôc thu ®−îc :wx = - wk - wen = -
-98-
554 - 20 = -574 cm / s2.
wy = wer . cos300 - wrn . sin300 - wen ;
= 8 . 0,866 - 160 . 0,5 - 400 = -473 cm / s2 ;
Cuèi cïng ta cã :
wM = w2 + w2 + w2 =
x y z (− 574 )2 + (− 473)2 + (142 )2 =
= 869 cm / s2 = 8,69 m / s2
§Ó x¸c ®Þnh ph−¬ng chiÒu cña M ta ph¶i x¸c ®Þnh c¸c gãc chØ ph−¬ng cña
chóng ®èi víi c¸c trôc :
− 574 wy − 473
cos(w M x ) = ; cos(w M y ) =
wx
= =
wM 869 wM 869
cos(w M z ) =
wz 142
= .
wM 869
