Chuyển động song phẳng Của vật rắn
Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động khi mỗi điểm thuộc
vật luôn luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định song song với mặt
phẳng quy chiếu đã chọn tr-ớc ( mặt phẳng cơ sở ). Nói cách khác chuyển động
song phẳng là chuyển động của vật khi mỗi điểm của nó trong quá trình chuyển
động có khoảng cách đến mặt phẳng cơ sở là không đổi .
-99-
Ch−¬ng 8
ChuyÓn ®éng song ph¼ng Cña vËt r¾n
8.1. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, vËn tèc vµ gia tèc cña c¶
vËt.
8.1.8.§Þnh nghÜa vµ ph©n tÝch chuyÓn ®éng song ph¼ng.
ChuyÓn ®éng song ph¼ng cña vËt r¾n lµ chuyÓn ®éng khi mçi ®iÓm thuéc
vËt lu«n lu«n chuyÓn ®éng trong mét mÆt ph¼ng cè ®Þnh song song víi mÆt
ph¼ng quy chiÕu ®· chän tr−íc ( mÆt ph¼ng c¬ së ). Nãi c¸ch kh¸c chuyÓn ®éng
song ph¼ng lµ chuyÓn ®éng cña vËt khi mçi ®iÓm cña nã trong qu¸ tr×nh chuyÓn
®éng cã kho¶ng c¸ch ®Õn mÆt ph¼ng c¬ së lµ kh«ng ®æi .
Trong kü thuËt cã nhiÒu chi tiÕt m¸y chuyÓn ®éng song ph¼ng nh− b¸nh
xe l¨n trªn mét ®−êng th¼ng, thanh biªn trong c¬ cÊu biªn tay quay, rßng räc
®éng ..v..v...
.XÐt vËt r¾n A chuyÓn ®éng song y a
ph¼ng cã mÆt ph¼ng c¬ së π (h×nh 8.1 )
(s) M'
§−êng th¼ng ab thuéc vËt vu«ng gãc O x
víi mÆt ph¼ng c¬ së, sÏ thùc hiÖn chuyÓn
b
®éng tÞnh tiÕn. Mäi ®iÓm n»m trªn ®−êng π
th¼ng nµy cã chuyÓn ®éng nh− nhau vµ ®−îc
H×nh 8.1
®Æc tr−ng bëi chuyÓn ®éng cña ®iÓm M n¨m y
y1
trªn ab. NÕu xem vËt lµ tËp hîp v« sè c¸c
(S)
®−êng ab nh− vËy suy ra chuyÓn ®éng cña B
vËt ®−îc ®Æc tr−ng bëi tiÕt diÖn S trªn mÆt ϕ
A x1
ph¼ng oxy. M« h×nh bµi to¸n chuyÓn ®éng
xA x
song ph¼ng cña vËt r¾n ®−îc ®−a vÒ nghiªn O
cøu chuyÓn ®éng cña mét tiÕt diÖn (S) trong
mÆt ph¼ng oxy cña nã (h×nh 8.2) gäi t¾t lµ H×nh 8-2
-100-
chuyÓn ®éng ph¼ng cña tiÕt diÖn S.
VÞ trÝ cña tiÕt diÖn (S) trong mÆt ph¼ng oxy ®−îc x¸c ®Þnh khi ta biÕt ®−îc
vÞ trÝ cña mét ®o¹n th¼ng AB thuéc tiÕt diÖn (S).
XÐt chuyÓn ®éng cña tiÕt diÖn (S) tõ
B1 B2
vÞ trÝ (1) x¸c ®Þnh bëi vÞ trÝ ®o¹n th¼ng A1B1
(S) B'1
®Õn vÞ trÝ (2) x¸c ®Þnh bëi vÞ trÝ cña ®o¹n ϕ2 ϕ
1
th¼ng A2B2 ( h×nh 8.3). A'1
A1
DÔ dµng thÊy r»ng ta cã thÓ thay thÕ A2
chuyÓn ®éng cña tiÕt diÖn (S) b»ng hai
H×nh 8-3
chuyÓn ®éng c¬ b¶n sau :
Cho tiÕt diÖn (S) chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn theo cùc A hay cùc B tõ vÞ trÝ A1B1
®Õn vÞ trÝ A'1B2 hay A2B'1 . TiÕp theo ta quay tiÕt diÖn S quanh A2 hay B2 mét gãc
ϕ1 hay ϕ2. V× A2B'1//A'1B2 nªn ë ®©y ϕ1 = ϕ2 = ϕ.
Cã thÓ ®i ®Õn kÕt luËn ; chuyÓn ®éng cña tiÕt diÖn (S) trong mÆt ph¼ng cña
nã (chuyÓn ®éng song ph¼ng ) lu«n lu«n cã thÓ ph©n tÝch thµnh hai chuyÓn ®éng:
tÞnh tiÕn theo mét t©m cùc vµ chuyÓn ®éng quay quanh t©m cùc ®ã. ChuyÓn ®éng
tÞnh tiÕn phô thuéc vµo t©m cùc nh−ng chuyÓn ®éng quay kh«ng phô thuéc vµo
t©m cùc. Nh− vËy chuyÓn ®éng song ph¼ng chÝnh lµ chuyÓn ®éng tæng hîp cña
vËt r¾n khi nã ®ång thêi tham gia hai chuyÓn ®éng quay quanh mét trôc cã
ph−¬ng kh«ng ®æi vµ tÞnh tiÕn theo ph−¬ng vu«ng gãc víi trôc quay.
8.1.2. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, vËn tèc vµ gia tèc cña vËt .
XÐt tiÕt diÖn (S) chuyÓn ®éng trong
y
mÆt ph¼ng oxy chøa nã. NÕu chän A lµ t©m
cùc vµ dùng ®o¹n th¼ng AB trªn tiÕt diÖn ta (S)
B
sÏ thÊy vÞ trÝ cña tiÕt diÖn (S) trong mÆt ph¼ng ϕ
A
yA
oxy sÏ ®−îc x¸c ®Þnh nÕu ta biÕt vÞ trÝ cña cùc xA x
O
A vµ ph−¬ng cña AB so víi trôc ox. Nãi kh¸c
®i, th«ng sè ®Þnh vÞ cña tiÕt diÖn (S) trong H×nh 8-4
mÆt ph¼ng oxy lµ xA, yA, vµ ϕ (h×nh 8.4).
-101-
Trong thêi gian chuyÓn ®éng c¸c th«ng sè nµy biÕn ®æi theo thêi gian ta
cã :
xA = xA(t)
yA = yA(t) (8.1)
ϕ = ϕ(t)
BiÕt quy luËt biÕn ®æi (8.1) ta cã thÓ x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña tiÕt diÖn (S) ë bÊt
kü thêi ®iÓm nµo. C¸c ph−¬ng tr×nh (8.1) lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña tiÕt
diÖn ph¼ng (S) trong mÆt ph¼ng cña nã (ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng song ph¼ng ).
Tõ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng (8.1) ta thÊy vËn tèc vµ gia tèc cña vËt ®−îc
biÓu diÔn bëi hai thµnh phÇn : vËn tèc vµ gia tèc trong chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn theo
r r
t©m cùc A lµ : v A , w A . VËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña tiÕt diÖn trong chuyÓn
®éng quay quanh t©m cùc A lµ ω, ε.
V× chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn phu thuéc t©m cùc A nªn vËn tèc vµ gia tèc trong
chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn phô thuéc vµo t©m cùc A. Ta cã :
r r r
v A1 ≠ v A 2 ≠ v Ai
r r r
w A1 ≠ w A 2 ≠ w Ai
ω
ChuyÓn ®éng quay kh«ng phô thuéc vµo ε
t©m A nªn cã : O
S
ωA1 = ωA2 = ωAi = ω π A
H×nh 8.5
εA1 = εA2 = εAi = ε
VËn tèc gãc ω vµ gia tèc gãc ε cã thÓ biÓn diÔn b»ng vÐc t¬ vu«ng gãc víi
tiÕt diÖn (S) nh− h×nh( 8.5) . Khi hai vÐc t¬ nµy cïng chiÒu ta cã chuyÓn ®éng
quay nhanh dÇn vµ nÕu chóng ng−îc chiÒu cã chuyÓn ®éng quay chËm dÇn.
-102-
8.2. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, vËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm
Trªn vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng
8.2.1. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
XÐt ®iÓm M bÊt kú trªn tiÕt diÖn. Gi¶ thiÕt chän t©m cùc A cã to¹ ®é xAyA
(h×nh 8-6).
Ký hiÖu gãc hîp gi÷a AM víi ph−¬ng y
M
ox lµ ϕ vµ kho¶ng c¸ch AM = b.To¹ ®é cña r'
A ϕ
®iÓm M trong chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi so víi hÖ
r
quy chiÕu oxy cã thÓ x¸c ®Þnh : rA
xM = xA +b.cosϕ ; O
x
H×nh 8.6
yM =yA + b.sinϕ ;
C¸c th«ng sè xA, yA vµ ϕ lµ c¸c hµm cña tthêi gian, nghÜa lµ :
xA = xA(t) yA = yA(t) ϕ = ϕ(t)
Do ®ã xM, yM còng lµ hµm cña thêi gian . Ta cã :
xM =xM(t) = xA (t)+b.cosϕ(t) ;
yM =yM(t)=yA (t)+ b.sinϕ (t); (8.2)
(8.2) lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm M.
Còng cã thÓ thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm M d−íi d¹ng
vÐc t¬. Trªn h×nh 8-6 cã : r =r(t)=rA + r' (8.2a)
ë ®©y r' =AM cã ®é lín kh«ng ®æi b»ng b, vµ quay quanh trôc A víi vËn
tèc gãc lµ ω.
8.2.2. C¸c ®Þnh lý vËn tèc cña ®iÓm
8.2.2.1. C¸c ®Þnh lý vËn tèc cña ®iÓm trªn vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng
§Þnh lý 8-1: VËn tèc cña mét ®iÓm bÊt kú trªn tiÕt diÖn chuyÓn ®éng song
ph¼ng b»ng tæng h×nh häc cña vËn tèc t©m cùc A vµ vËn tèc gãc cña ®iÓm ®ã
trong chuyÓn ®éng cña tiÕt diÖn quay quanh trôc A víi vËn tèc gãc ω. Ta cã :
-103-
r r r
v M = v A + v MA .
Chøng minh ®Þnh lý : Tõ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng (8-2a) ta cã :
r r r
r d r d rA d r '
vM = = + .
dt dt dt
r
d rA r dr ' rr r
Thay = vA ; = v MA = ω × AM
dt dt
r r r
Ta sÏ cã v M = v A + v MA , ®Þnh lý ®−îc chøng minh. CÇn chó ý vÐc t¬ vËn
r
tèc cña ®iÓm M quay quanh A ký hiÖu lµ v AM cã ph−¬ng vu«ng gãc víi AM, cã
chiÒu h−íng theo chiÒu quay cña vËn tèc ω (h×nh 8-6).
§Þnh lý 8-2 : §Þnh lý vÒ h×nh chiÕu vËn tèc hai ®iÓm
Trong chuyÓn ®éng song ph¼ng cña tiÕt diÖn S (chuyÓn ®éng song ph¼ng)
h×nh chiÕu vËn tèc cña hai ®iÓm bÊt kú trªn tiÕt diÖn lªn ph−¬ng nèi hai ®iÓm ®ã
lu«n lu«n b»ng nhau.
(v A )AB = (v B )AB
r r
Chøng minh ®Þnh lý : Theo ®Þnh lý 8-1, nÕu chän A lµm t©m cùc th× vËn
tèc ®iÓm B x¸c ®Þnh theo biÓu thøc :
r r r r
v B = v A + v BA víi v BA vu«ng gãc
AB. ChiÕu biÓu thøc trªn lªn ph−¬ng AB ta vB
r r r
cã : (v B )AB = (v A )AB + (v BA )AB . Trong ®ã :
vBA
vA vA
90 β
r r α α
(v BA )AB = 0 v× v BA ⊥AB . A a B b
§Þnh lý ®· ®−îc chøng minh.
Ta cã thÓ minh häa ®Þnh lý trªn b»ng H×nh 8.7
h×nh vÏ( 8-7). Trªn h×nh vÏ ta cã :
Aa = Bb hay vAcosα = vBcosβ.
8.2.2.2. T©m vËn tèc tøc thêi - X¸c ®Þnh vËn tèc cña ®iÓm trªn tiÕt diÖn
chuyÓn ®éng ph¼ng theo t©m vËn tèc tøc thêi
- T©m vËn tèc tøc thêi lµ ®iÓm thuéc tiÕt diÖn cã vËn tèc tøc thêi
-104-
b»ng kh«ng. NÕu gäi P lµ t©m vËn tèc tøc thêi th× : vP = 0.
§Þnh lý 8-3 : Trong chuyÓn ®éng song ph¼ng cña vËt r¾n t¹i mçi thêi
®iÓm lu«n lu«n tån t¹i mét vµ chØ mét t©m vËn tèc tøc thêi.
Chøng minh ®Þnh lý :
r
XÐt tiÕt diÖn (S) chuyÓn ®éng ph¼ng víi vËn tèc cña t©m cùc A lµ v A vµ
vËn tèc gãc trong chuyÓn ®éng quay lµ ω . Quay vÐc t¬ V ®i mét gãc b»ng 90
theo chiÒu quay cña ω ta sÏ dùng ®−îc tia
ωA
∆ . Trªn tia ∆ lÊy mét ®iÓm P c¸ch A mét
A
vA vA
®o¹n AP = (h×nh 8.8)
ω
d
Theo biÓu thøc (8-2) ta cã :
(S)
r r r v
v P = v A + v PA . ë ®©y v PA = ω.PA = ω A
ω P vA
vPA
= vA. ∆
r H×nh 8.8
Ph−¬ng cña v PA vu«ng gãc víi AP
r
h−íng theo chiÒu quay vßng cña ω nghÜa lµ v PA cã ®é lín b»ng víi ®é lín cña
r
vA, cïng ph−¬ng nh−ng ng−îc chiÒu víi v A .
r
Thay vµo biÓu thøc tÝnh v P ta ®−îc vP = vA - vA = 0 chÝnh lµ t©m vËn tèc
tøc thêi.
Chøng minh tÝnh duy nhÊt cña t©m vËn tèc tøc thêi :
Gi¶ thiÕt t¹i thêi ®iÓm trªn vËt cã hai t©m vËn tèc tøc thêi P1 vµ P2 víi vP1 =
0 vµ vP2 = 0.
r r r r
Theo ®Þnh lý 8-1 ta cã : v P 2 = v P1 + v P 2 P1 hay 0 = 0 + v P 2 P1 .
Thay vP2P1 = ω . P2P1 ta thÊy vP2P1 = 0 khi ω = 0 hoÆc P2P1 = 0. V× vËt
chuyÓn ®éng song ph¼ng nªn ω ≠ 0 vËy chØ cã thÓ P2P1 = 0. §iÒu nµy cã nghÜa
P1 trïng víi P2. Kh«ng thÓ cã hai t©m vËn tèc tøc thêi kh¸c nhau cïng tån t¹i ë
mét thêi ®iÓm.
-105-
- X¸c ®Þnh vËn tèc trªn vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng theo t©m vËn tèc tøc
thêi P.
XÐt vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng cã vËn tèc gãc ω vµ t©m vËn tèc tøc thêi
P. Theo biÓu thøc (8-2) nÕu lÊy P lµm t©m cùc ta viÕt biÓu thøc vËn tèc cña ®iÓm
M nh− sau :
r r r
v M = v P + v MP A 900 vA
r r B
Thay vP = 0 ta cã : v M = v MP (S)
900
Nh− vËy vËn tèc tøc thêi cña ®iÓm M ®−îc vB
b P ω
tÝnh nh− vËn tèc cña ®iÓm M trong chuyÓn ®éng cña a
vËt quay tøc thêi quanh t©m vËn tèc tøc thêi P. H×nh 8.9
r
v M cã ph−¬ng vu«ng gãc víi PM, h−íng
theo chiÒu quay vßng cña ω quanh P, cã ®é lín vM =PM . ω
Ta cã kÕt luËn : vËn tèc cña ®iÓm bÊt kú trªn vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng
lu«n lu«n h−íng vu«ng gãc vµ tû lÖ thuËn víi kho¶ng c¸ch tõ t©m vËn tèc tøc
thêi ®Õn ®iÓm. Quy luËt ph©n bè vËn tèc c¸c ®iÓm biÓu diÔn trªn h×nh ( 8-9.).
Trong thùc hµnh cã thÓ x¸c ®Þnh t©m vËn tèc tøc thêi P theo mét sè tr−êng hîp
sau :
Tr−êng hîp 1 : VËt chuyÓn ®éng l¨n kh«ng tr−ît trªn mét ®−êng th¼ng
hay ®−êng cong ph¼ng cè ® Þnh (h×nh 8-10a) cã thÓ x¸c ®Þnh ngay ®iÓm tiÕp xóc
chÝnh lµ t©m vËn tèc tøc thêi v× r»ng ®iÓm ®ã cã vËn tèc b»ng kh«ng.
Tr−êng hîp 2: Khi biÕt ph−¬ng vËn tèc hai ®iÓm hay quü ®¹o chuyÓn ®éng
cña hai ®iÓm trªn vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng th× t©m vËn tèc tøc thêi lµ giao
®iÓm cña hai ®−êng th¼ng kÎ vu«ng gãc víi hai ph−¬ng vËn tèc hay hai ph−¬ng
tiÕp tuyÕn cña quü ®¹o t¹i hai ®iÓm ®ã (h×nh 8-10b). Trong tr−êng hîp nµy nÕu
hai ®−êng ®ã song song víi nhau cã nghÜa t©m P ë xa v« cïng, ta nãi vËt tøc thêi
chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn (h×nh 8-10b).
Tr−êng hîp 3: Khi biÕt ®é lín vµ ph−¬ng chiÒu vËn tèc hai ®iÓm n»m trªn
cïng mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi vËn tèc hai ®iÓm ®ã (h×nh 8-10c), t©m P lµ
-106-
giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng ®i qua hai mót vÐc t¬ vËn tèc vµ ®−êng th¼ng ®i qua
hai ®iÓm ®ã.
S vA vA vA
vA A A
vB vB B vB P
vB
P P B
P
P ∞ c)
b)
a)
H×nh 8.10
r r
ThÝ dô 8.1: C¬ cÊu ph¼ng biÓu diÔn trªn h×nh (8-11) cã vËn tèc v A , v B cña
hai con tr−ît A vµ B ®· biÕt. X¸c ®Þnh vËn tèc cña khíp C.
Bµi gi¶i:
Khi c¬ cÊu ho¹t ®éng th× c¸c thanh biªn
K
AC vµ BC chuyÓn ®éng song ph¼ng. §Ó x¸c
®Þnh vËn tèc cña ®iÓm C ta ¸p dông ®Þnh lý h×nh vc
C2 C1
chiÕu vËn tèc cho thanh AC vµ BC. V× vA vµ vB C
a
®· biÕt nªn dÔ dµng x¸c ®Þnh ®−îc h×nh chiÕu b
cña chóng lªn ph−¬ng AC vµ BC lµ Aa vµ Bb . vA vB
A B
T¹i C kÐo dµi c¸c ®o¹n th¼ng AC vµ BC, Trªn
H×nh 8.11
®ã lÊy c¸c ®iÓm C1, C2 víi CC1 = Aa, CC2 = Bb.
C¸c ®o¹n nµy lµ h×nh chiªó cña VC lªn hai ph−¬ng AC vµ BC. Ta vÏ tø gi¸c
vu«ng gãc t¹i C1 vµ C2 (h×nh 8-11) ®−êng chÐo CC' cña tø gi¸c ®ã chÝnh lµ vËn
tèc VC.
2
ThÝ dô 8-2 : Tay quay OA
1 A
quay quanh trôc O víi vËn tèc gãc
O
kh«ng ®æi n =60 vßng / phót vµ
dÉn ®éng cho thanh biªn AB g¾n
víi b¸nh xe 2 (h×nh 8-12). B¸nh xe
2 truyÒn chuyÓn ®éng cho b¸nh xe B
H×nh 8.12
-107-
1 kh«ng g¾n víi tay quay OA nh−ng quay quanh trôc O.
X¸c ®Þnh vËn tèc con tr−ît B; VËn tèc gãc cña b¸nh xe 1 t¹i thêi ®iÓm khi
tay quay OA song song vµ vu«ng gãc víi ph−¬ng ngang.
Cho biÕt c¬ cÊu cïng n»m trong mét mÆt ph¼ng vµ r1 = 50 cm ; r2 = 20 cm;
AB = 130 cm.
Bµi gi¶i :
C¬ cÊu cã 5 kh©u : b¸nh xe 1 chuyÓn ®éng quay quanh trôc O; con tr−ît B
chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn theo ph−¬ng ngang; Thanh AB chuyÓn ®éng song song
ph¼ng; B¸nh xe 2 chuyÓn ®éng song ph¼ng; tay quay OA chuyÓn ®éng quay
quanh O.
1) XÐt tr−êng hîp tay quay OA ë vÞ trÝ song song víi ph−¬ng ngang (h×nh
8-12a).
πn 60π
VËn tèc gãc thanh OA lµ : ω= = = 2π1 / s .
30 30
VËn tèc ®iÓm A : vA =OA . ω = 2π . (r1 - r2) = 60π = 188,5 cm / s.
Trªn thanh AB cã ph−¬ng vËn tèc hai ®iÓm A vµ B ®· biÕt nªn x¸c ®Þnh
®−îc t©m vËn tèc tøc thêi P1 (h×nh 8-12a).
vA vC C
vC A
II ω2 vA
I
O ωI C O II PAB
A P2
I
vB
a) b)
B B
H×nh 8.12
-108-
Tõ h×nh vÏ x¸c ®Þnh ®−îc :
P2B = r1 = 50cm
P2 A = AB 2 − PAB B 2 = 130 2 + 50 2 = 120cm
P2C = PAB - r2 = 120 - 20 = 100cm
X¸c ®Þnh vËn tèc cña c¸c ®iÓm A, B, C theo t©m vËn tèc tøc thêi P2 vµ vËn
tèc ω1 cña thanh AB ta cã ;
VA = ω2 . P2A;
VB = ω2 . P2B;
Vc = ω2. P2C;
VA 60π π
Trong ®ã : ω2 = = = (1 / s)
P2 A 120 2
Thay vµo c¸c biÓu thøc cña VB vµ VC ta cã :
π
VB = .50 = 25π(cm / s)
2
π
VC = .100 = 50π(cm / s)
2
V× b¸nh xe 2 ¨n khíp víi b¸nh xe 1 nªn vËn tèc ®iÓm C cßn cã thÓ x¸c
®Þnh theo c«ng thøc :
VC
VC = ω1 . r1 suy ra : ω1 = =π (1/s)
r1
2) Tay quay OA ë vÞ trÝ th¼ng ®øng (h×nh 8-12b).
T¹i vÞ trÝ nµy vËn tèc hai ®iÓm A vµ B song song víi nhau v× thÕ theo ®Þnh
r r
lý h×nh chiÕu ta cã : VAcosα = VBcosα suy ra VA = VB . Thanh AB tøc thêi
chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn. Mäi ®iÓm trªn nã vµ b¸nh xe 2 g¾n víi nã cã chuyÓn
®éng nh− nhau. Ta cã :
-109-
60π
VB = VC = VA = = 188,5(cm / s) .
50
Ph−¬ng chiÒu cña c¸c vËn tèc biÓu diÔn trªn h×nh vÏ .
VËn tèc gãc cña b¸nh xe 1 dÔ dµng t×m ®−îc :
v c 60π 6
ωr = = = π (rad/s)
r1 50 5
ThÝ dô 8-3: tay quay OA quay quanh O víi vËn tèc gãc ωoA, truyÒn
chuyÓn ®éng cho b¸nh r¨ng I ¨n khíp víi b¸nh r¨ng II cè ®Þnh. Hai b¸nh r¨ng cã
b¸n kÝnh nh− nhau vµ b»ng R. Thanh truyÒn BD cã ®Çu B liªn kÕt víi b¸nh xe I
b»ng khíp b¶n lÒ cßn ®Çu D nèi II
b»ng khíp b¶n lÒ víi tay quay CD I
P A
(h×nh 8-13).
O
vA
X¸c ®Þnh vËn tèc gãc cña P B
thanh truyÒn BD t¹i thêi ®iÓm cã
450
0
gãc BDC = 45 . Cho BD = 1 (cm). 450 C
vB 900
Bµi gi¶i : P1
0
45
Trong c¬ cÊu b¸nh r¨ng I vµ
thanh truyÒn BD chuyÓn ®éng song 900
D
ph¼ng. B¸nh r¨ng 1 cã t©m vËn tèc
H×nh 8.13
tøc thêi P. VËn tèc ®iÓm A ®−îc
tÝnh nh− sau :
VA=ωOA . 2R.
r
VA h−íng vu«ng gãc víi OA theo chiÒu quay vßng cña ωOA. Suy ra vËn
tèc gãc cña b¸nh r¨ng 1 :
VA 2R.ωOA
ω1 = = = 2ωOA .
R R
VËn tèc ®iÓm B cã ®é lín :
-110-
VB = PB.ω1 = 2R.ω1 = 2 2RωOA .
VB Cã ph−¬ng vu«ng gãc víi víi PB cã chiÒu theo chiÒu quay cña b¸nh
r¨ng 1 quanh P (h×nh vÏ 8-13).
Thanh BD chuyÓn ®éng song ph¼ng, §Çu B cã vËn tèc ®· x¸c ®Þnh, ®Çu D
cã ph−¬ng vËn tèc vu«ng gãc víi CD do ®ã nhËn ®−îc t©m vËn tèc thøc thêi P1
nh− trªn h×nh vÏ .
1 2
Trªn h×nh ta cã P1B = . VËn tèc ®iÓm B ®−îc x¸c ®Þnh theo P1:
2
VB R
VB = P1.B.ωBD suy ra : ωBD = = 4. ωOA
P1B 1
ChiÒu quay cña ωBD nh− h×nh vÏ.
8.2.3. Gia tèc cña ®iÓm
8.2.3.1. §Þnh lý 8-3 : Gia tèc cña ®iÓm M bÊt kú thuéc tiÕt diÖn (S)
chuyÓn ®éng song ph¼ng, b»ng tæng h×nh häc gia tèc cña t©m cùc A vµ gia tèc
cña ®iÓm M trong chuyÓn ®éng cña tiÕt diÖn quay quanh A (h×nh 8-14).
r r r
w M = w A + w MA (8-4)
r r r
Trong ®ã : w MA = w τ + w n
MA MA
Víi : WτMA = ε.AM vµ WnMA = ω2.AM
Chøng minh ®Þnh lý :
§¹o hµm bËc hai theo thêi gian ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng (8-2) ta cã :
r r r
r d 2 r d 2 rA d 2 r '
wM = 2 = 2 + 2
dt dt dt
r r
Thay
d 2 rA r
dt 2
d2 r' d r
(
r
= w A cßn 2 = ω × AM = w MA
dt dt
)
r r
dω r d r
w MA = × AM + ω × AM = ε × AM + VMA
dt dt
-111-
Víi chó ý AM cã ®é lín kh«ng ®æi nªn
d
dt
( ) r r
AM = ω × AM = VMA
r r r r r
Ta cã : w M = w A + ε × AM + ω × VMA
r
ε × AM lµ gia tèc ph¸p tuyÕn cña M trong chuyÓn ®éng cña (S) quay
quanh A.
r r
ω × VMA lµ gia tèc ph¸p tuyÕn cña M trong chuyÓn ®éng cña (S) quay
quanh A. Ta ®· chøng minh ®−îc :
r r rτ r
w M = w A + w MA + w n
MA
V× c¸c vÐc t¬ ω cã ph−¬ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng cña tiÕt diÖn nghÜa lµ
r
vu«ng gãc víi AM vµ VMA nªn dÔ dµng t×m ®−îc :
WMAτ = AM . ε cßn WMAn = AM . ω2
Suy ra : w MA = AM. ε 2 + ω4
r ε
VÐc t¬ w MA cã ph−¬ng hîp víi AM mét gãc µ víi tgµ = 2 (h×nh 8.14).
ω
8.2.3.2. T©m gia tèc tøc thêi
§iÓm trªn tiÕt diÖn cã gia tèc tøc thêi b»ng kh«ng gäi lµ t©m gia tèc tøc
thêi. Ký hiÖu t©m gia tèc tøc thêi lµ J . Ta cã : Wj = 0.
§Þnh lý 8-4 :
T¹i mçi thêi ®iÓm trªn tiÕt diÖn chuyÓn ®éng song ph¼ng lu«n tån t¹i mét
vµ chØ mét t©m gia tèc tøc thêi J.
Chøng minh tÝnh tån t¹i cña t©m gia tèc tøc thêi : gi¶ thiÕt tiÕt diÖn chuyÓn
®éng song ph¼ng víi vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc lµ ω vµ ε. Trªn tiÕt diÖn cã ®iÓm
A biÕt gia tèc WA (h×nh 8-15). Xoay WA theo chiÒu quay cña ε quanh A ®i mét
ε
gãc µ víi tgµ = . Dùng nöa ®−êng th¼ng Ax theo ph−¬ng ®ã.vµ lÊy trªn Ax
ω2
-112-
wA
mét ®iÓm J c¸ch A mét ®o¹n AJ = .
ε + ω4
2
§iÓm J ®ã cã gia tèc :
r r r
w J = w A + w JA
Trong ®ã WJA cã ®é lín b»ng w JA = AJ. ε 2 + ω4 .'
wA w A ε 2 + ω4
Thay AJ = . Ta ®−îc : w JA = = wA .
ε 2 + ω4 ε 2 + ω4
r ε
w JA hîp víi AJ mét gãc µ víi tgµ = 2 h−íng theo chiÒu quay cña ε
ω
r r
quanh A. Nh− trªn h×nh vÏ (8-15) ta thÊy hai vÐc t¬ gia tèc w A vµ w JA cã ®é lín
b»ng nhau song song vµ ng−îc chiÒu do ®ã :
r r r
w J = w A + w JA = 0
x x
wM wA
wA wM
wB µ A
wM µ J wA wC B
wA ϕ M µ C ε
ω ε ω µ
ε A
A wA J
H×nh 8.15 H×nh 8.16
H×nh 8.14
§iÓm J chÝnh lµ t©m gia tèc tøc thêi cña tiÕt diÖn .
TiÕp theo ta chøng minh tÝnh duy nhÊt cña t©m gia tèc tøc thêi J : gi¶ thiÕt
t¹i thêi ®iÓm trªn tiÕt diÖn cã hai t©m gia tèc tøc thêi J1 vµ J2.
Khi ®ã WJ1 = 0 vµ WJ2= 0.
Theo biÓu thøc (4-8) ta cã thÓ viÕt :
r r r
w J 2 = w J1 + w J 2 J1 .
Thay WJ1 = 0 vµ WJ2= 0 vµo biÓu thøc trªn ta ®−îc WJ2J1= 0.
-113-
V× w J 2 J1 = J 2 J1 ε 2 + ω4 trong ®ã ε ≠ 0 ω≠0
nªn WJ2J1 chØ cã thÓ b»ng kh«ng khi J2J1 = 0 nghÜa lµ J2 trïng víi J1.
Kh«ng thÓ cã hai t©m gia tèc cïng mét thêi ®iÓm trªn tiÕt diÖn chuyÓn ®éng
ph¼ng.
NÕu trªn tiÕt diÖn cã mét t©m gia tèc tøc thêi J vµ chän J lµ t©m cùc th×
gia tèc cña ®iÓm M trªn tiÕt diÖn cã thÓ x¸c ®Þnh theo biÓu thøc :
r r r
w M = w J + w MJ .
V× wJ = 0 nªn cã thÓ viÕt :
r r r r
w M = w MJ = w τ + w n .
MJ MJ
VÒ trÞ sè w M = MJ. ε 2 + ω4 cã ph−¬ng hîp víi MJ mét gãc µ víi
ε
tgµ = theo chiÒu quay cña ε quanh J (h×nh 8-16). Nh− vËy ta nhËn thÊy gia
ω2
tèc cña c¸c ®iÓm trªn tiÕt diÖn chuyÓn ®éng song ph¼ng lu«n lu«n hîp víi
ph−¬ng nèi tõ ®iÓm ®Õn t©m gia tèc tøc thêi mét gãc µ cã ®é lín tû lÖ víi
kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm ®Õn t©m gia tèc tøc thêi J. V× c¸c tÝnh chÊt ®ã quy luËt ph©n
bè gia tèc c¸c ®iÓm trªn tiÕt diÖn biÓu diÔn nh− trªn h×nh (8-16). Còng tõ c¸c
tÝnh chÊt trªn cã thÓ x¸c ®Þnh t©m gia tèc tøc thêi trong mét sè tr−êng hîp biÓu
diÔn trªn c¸c h×nh (8-17), (8-18) , (8-19), (8-20), (8-21), (8-22).
ε
ε
ε
B wB A B
A α α J A α J
wB B
α J wB
wA wA
wA
H×nh 8.17 H×nh 8.18 H×nh 8.19
-114-
ε ε wA
wB
ε wB
µ
A
A wA B wB J --> ∞
α J B J µ
wA B
H×nh 8.20 H×nh 8.21 H×nh 8.22
Trªn h×nh (8-17) vµ (8-18) khi 0 -115-
dω d ⎛ v C ⎞ 1 dv C w C 0,2
ε= = ⎜ ⎟= . = = = 0,59(rad / s 2 )
dt dt ⎝ r ⎠ r dt r 0,4
X¸c ®Þnh gia tèc c¸c ®iÓm M theo biÕu thøc :
r r r r
w M = w C + w rMC + w n ë ®©y nhËn t©m C lµ t©m cùc.
MC
r r
C¸c vÐc t¬ w rMC , w n cña c¸c ®iÓm cã trÞ sè nh− nhau, chØ kh¸c nhau vÒ
MC
ph−¬ng chiÒu.
VÒ ®é lín ta cã : WMCτ = CM.ε = R.ε =0,5.0,5 = 0,25 m/s2;
WMCn = CM.ω2 = R.ω2 = 0,5.12 = 0,5 m/s2;
Ph−¬ng chiÒu c¸c vÐc t¬ nµy ë c¸c ®iÓm biÓu diÔn trªn h×nh vÏ. C¨n cø vµo
h×nh vÏ vµ trÞ sè ®· thu ®−îc ta cã thÓ tÝnh gia tèc c¸c ®iÓm M1, M2, M3, M4 nh−
sau :
w1 = (w C + wn ) + wτ =
MC
2
MC
2
(0,2 + 0,5)2 + 0,252 = 0,74m / s 2
w2 = (w C + wτ ) + wn =
MC
2
MC
2
(0,2 + 0,25)2 + 0,52 = 0,67 m / s 2
w3 = (w n
CM + wC ) + wτ =
2 2
MC (0,5 + 0,2 )2 + 0,252 = 0,39m / s 2
w4 = (w τ
CM + wC ) + wn =
2 2
MC (0,25 + 0,2 )2 + 0,52 = 0,50m / s 2
ThÝ dô 8-5 : Tay quay OA quay ®Òu víi vËn tèc gãc ωOA. T×m gia tèc cña
con tr−ît B vµ gia tèc gãc cña thanh AB trªn c¬
vA A J
cÊu h×nh vÏ (8-24). Cho biÕt t¹i thêi ®iÓm kh¶o
r ε
0
s¸t gãc BOA = 90 ; ®é dµi OA = r ; AB = 1. wA l
r
Bµi gi¶i : ω0 vB wB
T¹i vÞ trÝ kh¶o s¸t cã :vA = vB O
B
Thanh AB tøc thêi chuyÓn ®éng tÞnh H×nh 8.24
tiÕn: ωAB = 0
Gia tèc ®iÓm A b»ng : WA = WAn = rω02 cã ph−¬ng chiÒu h−íng tõ A vµo O.
-116-
Gia tèc ®iÓm B lu«n cã ph−¬ng n»m ngang.
§Ó x¸c ®Þnh t©m gia tèc tøc thêi ta x¸c ®Þnh gãc µ:
ε
tgµ = =∞ do ®ã µ = 900
ω2
DÔ dµng t×m ®−îc t©m gia tèc tøc thêi cña thanh AB lµ giao ®iÓm cña hai
®−êng th¼ng h¹ vu«ng gãc víi ph−¬ng WA vµ WB t¹i A vµ B.
V× ωAB = 0 nªn cã thÓ viÕt : WA=JA.εAB ; WB =JB.εAB
wA wB
Suy ra : = ,
JA JB
r2
ë ®©y JB = r cßn JA = l − r nªn w B =
2 2
.ω2 rad / s 2
l2 − r 2
r
Ph−¬ng cña w B theo ph−¬ng ngang, chiÒu h−íng theo chiÒu quay vßng
cña εAB quanh J nh− h×nh vÏ.
wA w
Tõ biÓu thøc : WA = JA.εAB suy ra ε AB = = 2 A 2 .ω2 rad / s 2
JA l −r
r
Thay WA = r.ω02 ta ®−îc : ε AB = .ω2 rad / s 2
l2 − r 2
ThÝ dô 8-6 : Cho c¬ cÊu gåm hai b¸nh r¨ng ¨n khíp víi nhau. B¸nh r¨ng
1 b¸n kÝnh r1 = 0,3 m cè ®Þnh; B¸nh
r¨ng 2 b¸n kÝnh r2 = 0,2 m l¨n trªn vµnh 2
b¸nh r¨ng 1 vµ nhËn chuyÓn ®éng tõ ε2 y
ω2 wAτ
tay quay OA quay víi vËn tèc gãc lµ D vA wAn wτ D
ε2
ωOA vµ gia tèc gãc εOA (h×nh 8-25a). P w nD A
D
ω wAτ
ω2
x
X¸c ®Þnh gia tèc ®iÓm D trªn wAn
O ε b)
vµnh b¸nh r¨ng 2 t¹i thêi ®iÓm cã ; a)
1
ωOA =1 rad/s 2 H×nh 8.25
vµ εOA = =4 rad/s2.
-117-
Bµi gi¶i : B¸nh r¨ng 2 chuyÓn ®éng song ph¼ng. VËn tèc vµ gia tèc cña
t©m A ®−îc x¸c ®Þnh :
vA = OA.ωOA = 0,5 m/s ;
WAτ = OA.εOA = -2 m/s2; WAn = OA.ω2 = 0,5 m/s2.
Ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc vËn tèc gãc ω2 cña b¸nh r¨ng 2 :
v A 0,5
ω2 = = = 2,5rad / s
r2 0,2
ChiÒu quay cña ω2 nh− h×nh vÏ (8-25).
Gia tèc gãc ε2 cña b¸nh r¨ng 2 ®−îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc :
τ
dω2 l dv A w a − 2
ε2 = = 2. = = = −10rad / s 2
dt r dt r2 0,2
§iÒu nµy chøng tá b¸nh r¨ng 2 chuyÓn ®éng chËm dÇn, chiÒu cña ε2 ng−îc
chiÒu víi ω2.
Gia tèc ®iÓm D cã thÓ viÕt :
r r r r r
wD = wτ + wn + wτ + wn
A A DA DA (a)
T¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t cã :
WDAτ = DA.ε2 = r2ε2 = 0,2.(10) = 2 m/s2;
WDAn = DA.ω2 = r2ω22 = 0,2.(2,5)2 = 1,25 m/s2.
ChiÕu hai vÕ ®¼ng thøc (a) lªn hai trôc Dx vµ Dy (h×nh 8-25b) ta ®−îc :
WDx = WAτ + WDAn = 2 + 1,25 = 3,25 m/s2;
WDy = WDAτ - WAn = 2 - 0,5 = 1,5 m/s2.
Suy ra : w D = w 2 + w 2 = 3,252 + 1,5 2 ≈ 3,58m / s 2
Dx Dy
