Chuyển động quay của vật rắn quanh một điểm cố định - chuyển động tổng quát của vật rắn
Chuyển động của vật rắn có một điểm luôn luôn cố định được gọi là
chuyển động quay quanh một điểm cố định.
Thí dụ: Con quay tại chỗ, bánh
xe ôtô chuyển động khi ôtô lái trên
đường vòng; cánh quạt của máy bay
khi máy bay lượn vòng .v
-118-
Ch−¬ng 9
ChuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n quanh mét ®iÓm cè ®Þnh
- chuyÓn ®éng tæng qu¸t cña vËt r¾n
9.1. ChuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n quanh mét ®iÓm cè ®Þnh
9.1.1 §Þnh nghÜa
ChuyÓn ®éng cña vËt r¾n cã mét ®iÓm lu«n lu«n cè ®Þnh ®−îc gäi lµ
chuyÓn ®éng quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh
ThÝ dô: Con quay t¹i chç, b¸nh ∆
xe «t« chuyÓn ®éng khi «t« l¸i trªn ∆
®−êng vßng; c¸nh qu¹t cña m¸y bay
r ω
khi m¸y bay l−în vßng .v ω
M« h×nh nghiªn cøu vËt r¾n
chuyÓn ®éng quay quanh mét ®iÓm O O
cè ®Þnh biÓu diÔn trªn h×nh 9.1.
H×nh 9 - 1
9.1.2 Th«ng sè ®Þnh vÞ.
VËt r¾n quay quanh mét ®iÓm cè
®Þnh cã thÓ biÓu diÔn b»ng tiÕt diÖn( S)
cña vËt quay quanh ®iÓm O ( h×nh 9.2 ).
1
TiÕt diÖn nµy kh«ng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh
O vµ chuyÓn ®éng trong hÖ to¹ ®é cè θ y1
0
®Þnh Oxyz. §Ó x¸c ®Þnh th«ng sè ®Þnh vÞ
Π y
cña vËt ta dùng trôc oz, vu«ng gãc víi
N ψ ϕ
tiÕt diÖn (S). Dùng mÆt ph¼ng π chøa hai x
x1
trôc oz vµ oz1 . MÆt ph¼ng nµy c¾t mÆt N
ph¼ng oxy theo ®−êng OD. VÏ ®−êng
H×nh 9-2
th¼ng ON vu«ng gãc víi mÆt
-119-
π
ph¼ng π khi ®ã cã gãc DON = . §−êng ON n»m trong mÆt ph¼ng Oxy
2
vµ gäi lµ ®−êng mót.
§Ó x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña vËt trong hÖ to¹ ®é oxyz tr−íc hÕt ph¶i x¸c ®Þnh ®−îc vÞ
trÝ cña trôc oz1, nghÜa lµ ph¶i x¸c ®Þnh ®−îc c¸c gãc θ vµ α. TiÕp theo ph¶i x¸c
®Þnh ®−îc vÞ trÝ cña vËt so víi trôc oz1 nghÜa lµ ph¶i x¸c ®Þnh ®−îc vÞ trÝ cña nã
so víi mÆt ph¼ng ONz1, nhê gãc ϕ= NIA. Nh− vËy ta cã thÓ chän ba gãc ϕ, α vµ
θ lµ ba th«ng sè ®Þnh vÞ cña vËt., ë ®©y gãc α cßn cã thÓ thay thÕ b»ng gãc ψ =
π
−α.
2
Ba gãc ϕ, ψ, θ gäi lµ 3 gãc ¥le.
Gãc ϕ gäi lµ gãc quay riªng; gãc ψ gäi lµ gãc tiÕn ®éng vµ gãc θ gäi lµ
gãc ch−¬ng ®éng.
9.1.2.2. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
Trong qóa tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt c¸c gãc ¬le thay ®æi theo thêi gian v×
thÕ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt r¾n quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh cã
d¹ng:
ϕ= ϕ (t).
ψ= ψ(t). (9.1 )
θ= θ( t).
C¨n cø vµo kÕt qu¶ trªn cã thÓ ph¸t biÓu c¸c hÖ qu¶ vÒ sù tæng hîp vµ
ph©n tÝch chuyÓn ®éng cña vËt r¾n quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh nh− sau:
HÖ qu¶ 9. 1: ChuyÓn ®éng cña vËt r¾n quay quanh 1 ®iÓm cè ®Þnh bao giê
còng cã thÓ ph©n tÝch thµnh ba chuyÓn ®éng quay thµnh phÇn quanh ba trôc giao
nhau t¹i ®iÓm cè ®Þnh O. C¸c chuyÓn ®éng ®ã lµ: chuyÓn ®éng quau riªng quanh
trôc Oz1 víi ph−¬ng tr×nh ϕ = ϕ( t); ChuyÓn ®éng quay ch−¬ng ®éng quanh trôc
ON víi ph−¬ng tr×nh θ = θ( t) vµ chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng quanh trôc Oz víi
-120-
ph−¬ng tr×nh ψ = ψ(t).
HÖ qu¶ 9.2: Tæng hîp hai hay nhiÒu chuyÓn ®éng quay quanh c¸c trôc
giao nhau t¹i mét ®iÓm lµ mét chuyÓn ®éng quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh ®ã.
9.1.2.3. VËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña vËt.
- VËn tèc gãc.
Gäi vËn tèc gãc cña c¸c chuyÓn ®éng quay riªng, quay tiÕn ®éng vµ quay
ch−¬g ®éng lÇn l−ît lµ ϖ1, ϖ2 vµ ϖ3 ta cã:
ϖ 1= ϕ ; ϖ 2 = ψ ;
& & &
ϖ3 = θ
Theo hÖ qu¶ 9.2 dÔ dµng suy ra vËn tèc gãc tæng hîp ϖ cña vËt
ϖ= ϖ1 + ϖ2 + ϖ3 (9.2).
V× c¸c vect¬ ϖ1, ϖ2, ϖ3 thay ®æi theo thêi gian nªn ϖ còng lµ vect¬ thay
®æi theo thêi gian c¶ vÒ ®é lín lÉn ph−¬ng chiÒu.
Nh− vËy vect¬ ϖ lµ
vect¬ vËn tèc gãc tøc thêi
T¹i mét thêi ®iÓm cã thÓ ω3
xem chuyÓn ®éng cña vËt 1
ω1
r¾n quay quanh mét ®iÓm ∆
θ
ω
cè ®Þnh nh− lµ mét chuyÓn 0
y
®éng quay tøc thêi víi vËn
tèc gãc ϖ quanh trôc quay x ψ
tøc thêi ∆ ®i qua mét ®iÓm ω2
N
cè ®Þnh O.( h×nh 9.3).
- Gia tèc gãc: H×nh 9-3
Gäi gia tèc gãc tuyÖt ®èi ε cña vËt ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt
r
theo thêi gian cña vÐc t¬ ω
-121-
N
r d r .
ε = ω= ω (9.3) ω ω2
dt ε ω1
VÒ ph−¬ng diÖn h×nh häc cã thÓ x¸c ®Þnh
r
vÐc t¬ ε nh− lµ vÐc t¬ vËn tèc cña ®iÓm ®Çu N
vÐc t¬ vËn tèc gãc ω (h×nh 9.4).
XÐt tr−êng hîp ®Æc biÖt chuyÓn ®éng quay 0 ε
tiÕn ®éng ®Òu.
H×nh 9-4
ChuyÓn ®éng cña vËt r¾n quay quanh 1
®iÓm cè ®Þnh cã chuyÓn ®éng quay riªng vµ chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng lµ ®Òu
cßn chuyÓn ®éng quay ch−¬ng ®éng kh«ng cã , nghÜa lµ ϖ1 = const ; ϖ2 = const;
ϖ3 = 0
Tr−êng hîp ®Æc biÖt nµy gäi lµ chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng ®Òu.
Trong tr−êng hîp chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng ®Òu vËn tèc gãc ®−îc x¸c
®Þnh:
ϖ = ϖ1+ϖ2 = ϖr+ ϖe (9.4)
Vµ gia tèc gãc:
ε = VN víi N lµ ®iÓm mót cña ϖ.
Nh−ng ë ®©y theo h×nh vÏ 9.4 h×nh b×nh hµnh vËn tèc gãc ®−îc g¾n víi
mÆt ph¼ng π ( Oz vµ Oz1) vµ quay quanh Oz víi vËn tèc ϖ2( ϖe).
Do ®ã :
VN= ϖe x ON = ϖe x ϖ = ϖe x ( ϖe x ϖr) = ϖe x ϖr
nghÜa lµ trong tr−êng hîp chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng ®Òu th×:
ε = ϖe x ϖr = ϖ2 x ϖ (9.5).
-122-
9.1.3. Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña mét ®iÓm trªn vËt
9.1.3.1. Quü ®¹o chuyÓn ®éng cña ®iÓm
Khi vËt chuyÓn ®éng, v× mäi ®iÓm cã kho¶ng c¸ch tíi ®iÓm O cè ®Þnh lµ
kh«ng ®æi v× thÕ quü ®¹o cña chóng lu«n n»m trªn mét mÆt cÇu cã t©m lµ O vµ
b¸n kÝnh b»ng kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm kh¶o s¸t tíi ®iÓm cè ®Þnh O. ChÝnh v× thÕ
ng−êi ta cßn gäi chuyÓn ®éng quay cña mét vËt quanh mét ®iÓm cè ®Þnh lµ
chuyÓn ®éng cÇu.
9.1.3.2. VËn tèc cña ®iÓm
XÐt ®iÓm M trªn vËt. T¹i mét thêi ®iÓm vËt cã chuyÓn ®éng quay tøc thêi
r
víi vËn tèc gãc ω quanh trôc quay thøc
thêi ∆ ®i qua O v× thÕ vËn tèc cña ®iÓm M ∆
cã thÓ x¸c ®Þnh theo biÓu thøc:
r r ω
VM = ω × OM (9.6) vM
h
r
VÐc t¬ VM h−íng vu«ng gãc víi M
α
mÆt ph¼ng chøa trôc ∆ vµ ®iÓm M vµ cã r
®é lín VM = ω.h. Trong ®ã h lµ kho¶ng 0
c¸ch tõ ®iÓm kh¶o s¸t M ®Õn trôc quay
H×nh 9-5
tøc thêi ∆ (h×nh 9.5).
9.1.3.3. Gia tèc cña ®iÓm ∆
Gia tèc cña ®iÓm M trªn vËt
ω
r¾n quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh
Wω h M
®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: H
r
α Wε
WM =
d
dt
d r
(
VM = . ω × OM
dt
) 0
h1
ε
r
r d dω
= ω × OM + × OM H×nh 9-6
dt dt
-123-
r r r
= ω × V + ε M × OM
r r
§Æt ω × VM = WωM vµ ε × OM = WεM
Cuèi cïng ta ®−îc :
WM = WωM + WεM (9.7)
Trong ®ã: WωM h−íng tõ M vÒ H vµ cã ®é lín WωM = h.ω2; WεM h−íng
r
vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa vÐc t¬ ε vµ ®iÓm M cã ®é lín WεM = h1. ε. Víi h1
lµ kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M tíi vÐct¬ ε .
Chó ý: VÒ h×nh thøc c¸c vÐc t¬ WωM vµ WεM gièng nh− gia tèc ph¸p
tuyÕn W nM vµ gia tèc tiÕp tuyÕn WτM cña ®iÓm M khi nã quay quanh trôc ∆ cè
r
®Þnh nh−ng thùc chÊt lµ chóng kh¸c nhau v× ë ®©y hai vÐc t¬ ω vµ ε kh«ng
trïng ph−¬ng nh− trong chuyÓn ®éng quay quanh mét trôc cè ®Þnh.
ThÝ dô 9.1: Kh¶o s¸t
chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng ®Òu
ωe
cña con quay cã hai bËc tù do
cho trªn h×nh vÏ (h×nh 9 -7). Cho
ω α
biÕt chuyÓn ®éng quay t−¬ng ®èi 0
cña con quay quanh trôc Oz, cã ε
1 ωr
vËn tèc gãc ωr = 200π. vµ 1
s
chuyÓn ®éng quay kÐo theo cña
trôc Oz1 quanh trôc Oz cã vËn H×nh 9-7
1
tèc gãc ωC = 2 π . Hai trôc Oz vµ Oz1 hîp víi nhau mét gãc α = 300. T×m vËn
S
tèc gãc vµ gia tèc gãc cña con quay.
Bµi gi¶i:
ChuyÓn ®éng cña con quay lµ tæng hîp cña 2 chuyÓn ®æng t−¬ng ®èi vµ
kÐo theo . Hai chuyÓn ®éng nµy lµ c¸c chuyÓn ®éng quay quanh hai trôc c¾t nhau
-124-
t¹i mét ®iÓm O cè ®Þnh. Nh− vËy chuyÓn ®éng cña con quay lµ chuyÓn ®éng
quay quanh ®iÓm O cè ®Þnh. ë ®©y chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi víi vËn tèc gãc ω r lµ
r r
chuyÓn ®éng quay riªng ω 1 = ω r; cßn chuyÓn ®éng kÐo theo víi vËn tèc ϖ lµ
chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng cßn ω 3 =0. Con quay thùc hiÖn chuyÓn ®éng quay
tiÕn ®éng ®Òu .
r r
Theo (9.4) ta cã vËn tèc gãc tuyÖt ®èi ω = ω r = ω e
r
VÐc t¬ ω ®−îc biÓu diÔn b¼ng ®−êng chÐo h×nh b×nh hµnh mµ hai c¹nh lµ
ω r vµ ω e.
V× ω r hîp víi ω e mét gãc 30 ®é do ®ã dÔ dµng t×m ®−îc:
ω2 = ωr2 + ωe2 + 2ωe.ωr.cos300
hay: ω = ω2 + ωe + 2ωe .ωr . cos 30 0
r
2
1
• Thay sè ta ®−îc ω = 202 π .
S
Gia tèc gãc tuyÖt ®èi ε ®−îc x¸c ®Þnh theo (9.5).
r r
ε = VN = ωe × ON = ωe × ωr
= ω e × ( ω e + ω r) = ω e × ω r
VÐc t¬ ε h−íng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng Ozz1 nh− h×nh vÏ vµ cã gi¸ trÞ:
1
ε = ωe.ωr sin300 = 200 π 2.
S2
ThÝ dô 9.2: Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng
cña b¸nh xe «t« khi nã chuyÓn ®éng ®Òu
W W
p ε
trªn ®−êng trßn b¸n kÝnh R =10m.
0
Cho biÕt b¸n kÝnh b¸nh xe r = 0,5m; I
vËn tèc t©m b¸nh xe (vËn tèc «t«) lµ V0 =
1 ωa εa
36 km/h. ∆ P
X¸c ®Þnh vËn tèc gãc, gia tèc gãc H×nh 9-8
-125-
tuyÖt ®èi cña b¸nh xe vµ vËn tèc, gia tèc cña ®iÓm P trªn vµnh b¸nh xe (h×nh
9.8).
Bµi gi¶i:
ChuyÓn ®éng cña b¸nh xe ®−îc hîp thµnh tõ hai chuyÓn ®éng thµnh phÇn:
ChuyÓn ®éng quay cña b¸nh xe quanh trôc Oz cña nã víi vËn tèc gãc ω 1 vµ
chuyÓn ®éng cña trôc b¸nh xe Oz1 quay quanh trôc Oz th¼ng ®øng víi vËn tèc
gãc ω 2. Hai trôc z vµ z1 giao nhau t¹i ®iÓm cè ®Þnh I v× thÕ cã thÓ nãi chuyÓn
®«ng tæng hîp cña b¸nh xe lµ chuyÓn ®éng quay quanh mét ®iÓm I cè ®Þnh.
Trong tr−êng hîp nµy ω 1 lµ vËn tèc gãc cña chuyÓn ®éng quay riªng, ω 2 lµ vËn
tèc gãc cña chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng. ChuyÓn ®éng quay ch−¬ng ®éng cã
vËn tèc b»ng kh«ng.
r
- X¸c ®Þnh vËn tèc gãc tuyÖt ®èi ω cña b¸nh xe. Theo c«ng thøc (9.2) ta
cã:
r r r
ω = ω1 + ω2
r r
V× hai trôc quay Iz vµ Iz1 lu«n lu«n vu«ng gãc do ®ã: ω 1 vu«ng gãc ω 2.
MÆt kh¸c v× b¸nh xe l¨n kh«ng tr−ît trªn ®−êng nªn vËn tèc ®iÓm P lµ
VP=0.
Suy ra ®−êng IP chÝnh lµ trôc quay tøc thêi cña b¸nh xe. C¨n cø vµo h×nh
vÏ x¸c ®Þnh ®−îc ω1 = ω2.cotgα.
V0 r
Trong ®ã: ω2 = vµ tgα = .
R R
Vµ ω = ω1 + ω2
2
2
Thay sè t×m ®−îc: ω1 = 20 (1/s), ω2 = 1 (1/s) vµ ω = 20 (1/s).
ChuyÓn ®éng cña b¸nh xe lµ chuyÓn ®éng tiÕn ®éng ®Òu do ®ã x¸c ®Þnh
gia tèc gãc tuyÖt ®èi.nh− sau:
r r r r
ε = VN = ω 2 × IN = ω 2 × ω 1
-126-
u
VÒ trÞ sè:ε = ω2 ω1 sin = 20 1/s2 h−íng vµo trong vµ vu«ng gãc víi mÆt
2
ph¼ng h×nh vÏ.
- X¸c ®Þnh vËn tèc ®iÓm P
Do P n»m trªn trôc quay tøc thêi nªn vËn tèc cña nã Vp = 0.
- X¸c ®Þnh gia tèc ®iÓm P
Theo (9.7) W P = W ωP + W εP
r
V× P n»m trªn trôc quay tøc thêi nªn W ωP = ω × OP =0
r
Cßn ω εP h−íng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa vÐc t¬ ε vµo ®iÓm P nh−
h×nh vÏ víi trÞ sè:
WεP = IP. ε = 10.20 = 200 m/s2.
9.2. ChuyÓn ®éng tæng qu¸t cña vËt r¾n (chuyÓn ®éng tù do
cña vËt r¾n)
9.2.1. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
Kh¶o s¸t vËt r¾n chuyÓn ®éng tù do trong hÖ trôc to¹ ®é cè ®Þnh Oxyz. §Ó
thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt ta chän mét ®iÓm A bÊt kú trªn vËt
lµm t©m cùc vµ g¾n vµo vËt hÖ trôc Ox1y1z1 cã c¸c trôc song song víi Ox, Oy,
Oz. Khi ®ã vÞ trÝ cña vËt sÏ ®−îc x¸c ®Þnh bëi vÞ trÝ cña hÖ Ax1y1z1 so víi hÖ
Oxyzvµ vi trÝ cña v¹t so víi hÖ di ®éng o x y z. Tõ ®ã suy ra th«ng sè ®Þnh vÞ cña
vËt so víi hÖ Oxyz sÏ lµ to¹ ®é xA, yA, zA cña ®iÓm A vµ 3 gãc ¥le ϕ, ψ vµ θ cña
vËt. Suy ra ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt sÏ lµ:
xA = xA (t) yA = yA (t) zA = zA (t)
ϕ = ϕ(t) ψ = ψ(t) θ = θ(t) ( 9.7 )
ChuyÓn ®éng tù do cña vËt lu«n lu«n cã thÓ ph©n tÝch thµnh 2 chuyÓn
®éng:
-127-
- TÜnh tiÕn theo mét t©m cùc A
- ChuyÓn ®éng quay quanh t©m cùc A
9.2.2. VËn tèc vµ gia tèc cña c¶ vËt
v
VËn tèc cña c¶ vËt ®−îc biÓu diÔn qua vËn tèc cña t©m cùc A lµ VA vµ vËn
tèc gãc tøc thêi ω cña vËt quay quanh trôc quay tøc thêi ∆ ®i qua cùc A.
T−¬ng tù gia tèc cña vËt còng ®−îc biÓu diÔn bëi gia tèc cña t©m cùc A lµ
r
w A vµ gia tèc gãc tøc thêi ε trong chuyÓn ®éng quay tøc thêi quanh trôc quay
tøc thêi ®i qua A.
9.2.3. VËn tèc vµ gia tèc cña mét ®iÓm trªn vËt
XÐt ®iÓm M bÊt kú trªn vËt r¾n chuyÓn ®éng tù do. VËn tèc cña ®iÓm M sÏ
r r r
®−îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc: VM = VA + VMA . ( 9.8 )
v v
Víi VA lµ vËn tèc t©m cùc A cßn VMA lµ vËn tèc cña ®iÎm M trong
chuyÓn ®éng quay quanh ®iÓm A. Ta cã:
r v
VMA = ω× AM ; ω lµ vËn tèc gãc tøc thêi cña vËt trong chuyÓn
®éng quay quanh A.
T−¬ng tù gia tèc cña ®iÓm M còng ®−îc x¸c ®Þnh theo biÓ thøc:
r r r
WM = WA + WMA ( 9.9 )
ω ε
Trong ®ã: W MA = W MA +W MA
ω r r
Víi: W MA = ω × VMA
ε r r
W MA = ε × VMA
Cuèi cïng ta cã:
r r rω rε
WM = WA + WMA + WMA . ( 9. 10 )
