Chuyên đề " Phương trình, bất phương trình mũ và Logarit"
Tài liệu giúp HS - SV rèn luyện khả năng giải các bài toán phương trình, bất phương trình mũ, logarit
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ
LOGARIT
Dạng cơ bản:
Kiến thức cần nhớ:
I.
( 1 ≠ a,b > 0)
= bg(x)
f(x)
1. Dạng a
a. Nếu a=b thì f(x)=g(x).
b. Nếu a≠b thì logarit hoá cơ số a hoặc b 2 vế.
2. Dạng l a f( )= l b g( ) ( 1 ≠ a, > 0) .
og x og x b
a. Nếu a=b thì f(x)=g(x)>0.
b. Nếu a≠b và (a-1)(b-1)1 thì mũ hoá 2 vế.
Các bài tập áp dụng:
II.
99. 2x. x−1. x−2 = 12
35
100. l 2 l 2 x = l 3 l 3 x
og og og og
101. l 2 l 3 l 4 x = l 4 l 3 l 2 x
og og og og og og
102. l 2 l 3 x + l 3 l 2 x = l 3 l 3 x
og og og og og og
103. l 2 l x 3 ≥ l 3 l x 2
og og og og
104. xl 2 (4x) ≥ 8x2
og
g2 2 g
105. xl x −3l x−4, = 10−2l x
5 g
xl x+1(x−1) + (x − 1)ogx+1 x ≤ 2
og l
106.
5l x = 50 − xl 5
g g
107.
og2
108. 6l 6 x + xl 6 x ≤ 12
og
2l 5 (x+3) = x
og
109.
og2
110. 3l 3 x + xl 3 x = 162
og
x
111.
= 36. 2− x
x+ 2
8 3
1 1
> x+2
112.
3 x +5x−6 3
2
1 1
≥
113.
3x+1 − 1 1 − 3x
1 1
114. 2x−1
≥2 3x+1
2
2
115. 1 < 5 x − x < 25
l x− 0, ( 2 x−1)
og
5 2
5
116. ( 0, ) ≥2
l x− 0, x
og
08 5
117. l 2 x + l 2x 8 ≤ 4
og og
5
118. l 5x + l 5 x = 1
og2
og
x
()
119. l 5 5x2 .og2 5 = 1
og lx
l x 5x = − l x 5
120. og og
121. l si x 4.ogsi 2 x 2 = 4
og n l n
122. l cosx 4.ogcos x 2 = 1
og l 2
l 2(x+1) 4(x + 1)+ 2 l x+1 ( + 1)= 5
og og x
123.
2
l 3 x − l 3 x− 3< 0
og og
124.
[ )]
(
l 1/3 l 4 x2 − 5 > 0
og og
125.
126. l 1/3 x + 5 /2 ≥ l x 3
og og
127. l x 2.og2x 2.og2 4x > 1
og l l
x2 − 4x + 3
≥0
l3
og
128.
x2 + x − 5
x − 1
>0
l x+6 l 2
og og
129.
x + 2
3
1
130. l x 2.ogx/16 2 >
og l
l 2 x− 6
og
131. l x2 2x ≥ 1
og
( )
l x l 9 3x − 9 ≤ 1
og og
132.
3x + 2
>1
lx
og
133.
x+ 2
l 3x− x2 ( 3 − x) > 1
og
1 34.
( )
l x 5x2 − 8x + 3 > 2
og
135.
[ )]
(
136. l x l 3 9x − 6 = 1
og og
137. 3l x 16 − 4 l 16 x = 2 l 2 x
og og og
138. l x2 16 + l 2x 64 = 3
og og
1 1
>
l 1/3 ( x + 1)
139.
og
l 1/3 2x2 − 3x + 1
og
1+ l 2 x
oga
( 0 < a ≠ 1)
>1
140.
1+ l a x
og
( )
l a 35 − x3
og
> 3 ví 0 < a ≠ 1
i
141.
l a ( 5 − x)
og
cosx−si x−l 7
ng
1
2si x−2cosx+1
+ 52si x−2cosx+1 = 0
−
n n
142. 2
10
( ) ( )
2 3
l 5 x2 − 4x − 11 − l 11 x2 − 4x − 11
og og
≥0
143.
2 − 5x − 3x2
( ) ( )
144. 2 l 2+ 3 x2 + 1 + x + l 2− 3 x2 + 1 − x = 3
og og
145. l 2 x + l 3 x + l 5 x = l 2 x l 3 x l 5 x
og og og og og og
146. l 1/5 ( − 5)+ 3 l 5 5 ( − 5)+ 6 l 1/25( − 5)+ 2 ≤ 0
og2 x og x og x
( )
Với giá trị nào của m thì bất phương trình l 1/2 x − 2x + m > −3 có nghiệm và mọi
2
og
1 47.
( )
nghiệm của nó đều không thuộc miền xác định của hàm số y = l x x3 + 1 l x+1 x − 2
og og
1
Giải và biện luận theo m: l x 100− l m 100 > 0
og og
1 48.
2
( x − 1) l 2 + l 2x+1 + 1)< l 7. x + 12)
g g( g( 2
149.
l x ( x + 2) > 2
og
x1
+
( 0 < a ≠ 1)
22
Tìm tập xác định của hàm số y =
150.
− x 5
+
l a
og
2 2
Các bài tập tự làm:
III.
l 3 x − 4l 3 x + 9 ≥ 2l 3 x − 3
og2
151. og og
( )
l 1/2 x + 4 l 2 x < 2 4 − l 16 x4
og2
152. og og
( )
l 2 x2 + 3 − x2 − 1 + 2 l 2 x ≤ 0
153. og og
154. l cosx si x ≥ l si 2x cosx
og n og n
Dạng bậc hai:
Kiến thức cần nhớ:
I.
Dạng a1. 2 f(x) + a2 . f(x) + a3 = 0 ( a1 ≠ 0, ≠ a > 0) đưa về phương trình bậc hai
a a 1
1.
nhờ phép đặt ẩn phụ t= a f(x)>0.
Dạng a1.l a f( ) 2 + a2 l a f( )+ a3 = 0 ( a1 ≠ 0, ≠ a > 0) đưa về phương trình
(og x ) og x 1
2.
bậc hai nhờ phép đặt ẩn phụ t= l a f( ).
og x
Với bất phương trình mũ và logarit cũng có phép đặt tương ứng, lưu ý khi gặp phương
3.
trình hay bất phương trình logarit mà chưa phải dạng cơ bản thì cần đặt điều kiện.
Các bài tập áp dụng:
II.
155. 5 x − 51− x + 4 = 0
156. 3x + 9. − x − 10 < 0
3
x−1 x
1 1
157. − > 2 l 4 8 og
4 16
2+1/x
2 /x
1 1
158. + 9. > 12
3 3
3x+3
2
159.
8 −2 + 12 = 0
x x
160. 5 + 5 < 5 x+1 + 5
2x x
5
161. 22x + 2−2x + 2x + 2− x = 20
16
( )( )
x x
5 + 24 + 5 − 24 = 10
162.
(3 + 5) + 16(3 − 5)
x x
= 2x+3
163.
(7 + 4 3) − 3(2 − 3)x x
+ 2= 0
164.
( ) ( 7 + 4 3) ≥ 14
x x
165. 7− 4 3 +
( 3) + ( 2 + 3) = 4
x x
166. 2−
( 5 + 2 6) ( )
tx
an tx
an
+ 5− 2 6 = 10
167.
168. 41/x + 61/x = 91/x
169. 6. x − 13. x + 6. x = 10
9 6 4
170. 5. + 2. − 7. x ≤ 0
x x
4 25 10
x
x x
171. 4 − 15 + 4 + 15 ≥ 8
3 3 3
2 2 2
172. 92x− x +1 − 34. 2x− x + 252x− x +1 ≥ 0
15
3si 2x − 2si x
n n
= l 7− x2 2
l 7− x2
og og
173.
si 2x cosx
n
( )
174. l x+3 3 − 1 − 2x + x2 = 1/2
og
175. l x2 ( 2 + x) + l
og 2+ x x = 2
og
1
l 2 ( 3x − 1) + = 2 + l 2 ( x + 1)
og og
176.
l ( x+3) 2
og
( ) ( )
l 2 4x + 4 = x − l 1 2x+1 − 3
og og
1 77.
2
( )
x+1
178. l 3 9 − 4. − 2 = 3x + 1 x
og 3
179. 1 + l 2 ( x − 1) = l x−1 4
og og
( )( ) 1
l 2 4x+1 + 4 .og2 4x + 1 = l 1/
180. og l og 2
8
l ( 2 − 1) l
og ( 2 )
x+1
− 2 > −2
x
og
181. 2 1/2
( 5 + 2) ≥ ( 5 − 2)
x−1
x−1
182. x+1
21− x − 2x + 1
≤0
183.
2x − 1
x x
l 3 si − si x + l 1 si + cos2x = 0
og n n og n
1 84.
2 3
2
( )
x − 1
1
+ l 9 ( x − 3)
3 2
185. l 27 x − 5x + 6 = l 3
2
og og og
2
2
186. Tìm m để tổng bình phương các nghiệm của phương trình
( ) ( )
2 l 4 2x2 − x + 2m − 4m 2 + l 1 x2 + m x− 2m 2 = 0 lớn hơn 1.
og og
2
Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
187.
( )
l 5+2 x2 + m x+ m + 1 + l 5−2 x = 0 .
og og
( ) ( )
Tìm m để phương trình 2l 4 2x − x + 2m − 4m + l 1/2 x + m x− 2m = 0 có 2
2 2 2 2
og og
1 88.
nghiệm u và v thoả mãn u2+v2>1
Các bài tập tự làm:
III.
2 1
+1
Tìm m để mọi nghiệm của bất phương trình 1 + 3 1
x x
> 12 cũng là nghiệm
91.
3 3
của bất phương trình (m-2)2x2-3(m-6)x-(m+1) Sử dụng tính đơn điệu:
Kiến thức cần nhớ:
I.
Hàm số y = ax đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0 ( )
x + 4 x = l 4 x thoả mãn bất
Chứng minh rằng nghiệm của phương trình 2 l 6
og og
2 07.
πx 16π
< si
đẳng thức cos n .
16 x
Tìm x sao cho bất phương trình sau đây được nghiệm đúng với mọi a:
208.
( )
l x a2 − 4a + x + 1 > 0
og
Các bài tập tự làm:
III.
(x )
107. x + l − x − 6 = 4 + l x + 2)
2
g g(
108. l 2 x + l 3 ( + 1)= l 4 ( + 2)+ l 5 ( + 3)
og og x og x og x
6 − 3x+1 10
>
109.Tìm nghiệm dương của bất phương trình (*)
2x − 1
x
l x ( 6x + 4y) = 2
og
110.
l y ( 6y + 4x) = 2
og
( )
x2 + 3 − x2 − 1 + 2 l 2 x ≤ 0
111. l 2
og og
Dạng tổng hợp:
Một vài lưu ý:
I.
Các bài tập áp dụng:
II.
( x + 2) l 3 (x + 1)+ 4(x + 1)l 3(x + 1)− 16 = 0
og2 og
209.
210. 3. x−2 + ( x − 10) x−2 + 3 − x = 0
25 3 5
Tìm a để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt 2 l 3 x − l 3 x + a = 0
og2 og
211.
( x + 1) l 1/2 x + ( 2x + 5) l 1/2 x + 6 ≥ 0
og2 og
212.
( )
x4 − 8ex−1 > x x2ex−1 − 8
213.
4x2 + 3 x. + 31+ x < 2. x. 2 + 2x + 6
x 3x
2 14.
( )
l ( 2x − 3) + l 4 − x2 = l ( 2x − 3) + l 4 − x2 )
n n n n(
2 15.
(2 + ) ( )
2 2
x2 − 7x + 12 − 1 ≤ 14x − 2x2 − 24 + 2 l x
og
2 16.
x x
Các bài tập tự làm:
III.
Trong các nghiệm (x, y) của bất phương trình l x2 + y2 ( x + y) ≥ 1 hãy tìm nghiệm có tổng
og
x+2y lớn nhất
2 − 5x − 3x2 + 2x > 2x. x 2 − 5x − 3x2 + 4x2 . x
3 3
( )
t+ 1 2
x +3 >1
Tìm t để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: l 2
og
t+ 2
( )
x + 2 a > 0.
2
Tìm a để bất phương trình sau thoả mãn với mọi x: l 1+1
og
a
x2 .og2 a2 + 2x + l a 2
l og
