Chuyên đề đồ thị Hamilton
Khái niệm đường đi Hamilton được xuất phát từ bài toán:
“Xuất phát từ một đỉnh của khối thập nhị diện đều, hãy đi dọc theo các cạnh của khối đó sao cho đi qua tất cả các đỉnhkhác, mỗi đỉnh đi qua đúng một lần, sau đó trở về đỉnh xuất phát”
Bài toán này được nhà toán học Hamilton đưa ra vào năm 1859
Chuyên đề
ĐỒ THỊ
HAMILTON
Giới thiệu:
Khái niệm đường đi Hamilton được xuất
phát từ bài toán:
“Xuất phát từ một đỉnh của khối thập
nhị diện đều, hãy đi dọc theo các cạnh
của khối đó sao cho đi qua tất cả các
đỉnhkhác, mỗi đỉnh đi qua đúng một lần,
sau đó trở về đỉnh xuất phát”
Bài toán này được nhà toán học Hamilton
đưa ra vào năm 1859
Nhà toán học Hamilton
Định nghĩa:
• Đường đi Hamilton là đường qua a b
tất cả các đỉnh của đồ thị và đi qua
mỗi đỉnh đúng một lần
Hay đường đi (x[1],x[2],…,x[n]) d c
được gọi là đường đi Hamilton
G2
nếu x[i]≠x[j] (1≤i Định nghĩa:
• Chu trình Hamilton là đường đi b c
Hamilton có một cạnh trong đồ thị nối
đỉnh đầu với đỉnh cuối của đường đi a
Hay chu trình (x[1],x[2],…,x[n],x[1]) e d
được gọi là chu trình Hamilton nếu G1
x[i]≠x[j] (1≤i Định nghĩa:
• Đồ thị Hamilton là đồ thị có chứa một chu
trình Hamilton
• Đồ thị nửa Hamilton là đồ thị có chứa một
đường đi Hamilton
Một số ví dụ
Đồ thị G1
là đồ thị Đồ thị G2 là
b c a b đồ thị nửa
Hamilton
Hamilton
a
d c
e d
G1 G2
a b e Đồ thị G3 không có
chu trình hay đường đi
Hamilton
d c f g
G3
Chú ý:
Không giống như đồ thị Euler, chúng ta chưa có
điều kiện cần và đủ để kiểm tra xem một đồ thị
có là Hamilton hay không
Cho đến nay chỉ có các điều kiện đủ để một đồ
thị là đồ thị Hamilton hay có đường đi Hamilton.
Định lý về đồ thị Hamilton:
1. Đồ thị đầy đủ luôn là đồ
thị Hamilton. Với n lẻ và
n ≥ 3 thì Kn có (n-1)/2
chu trình Hamilton đôi
một không có cạnh
chung. Đồ thị đầy đủ K4
Định lý về đồ thị Hamilton:
2. Đơn đồ thị vô hướng G với n>2 đỉnh, mỗi đỉnh có deg(v)
≥ n/2 thì G là đồ thị Hamilton (Dirak 1952)
b c
a
e d
G
Định lý về đồ thị Hamilton:
3. Giả sử G là đồ thị có hướng liên
thông mạnh với n đỉnh. Nếu với mỗi
đỉnh thuộc đồ thị thoả:
deg+(v) ≥ n/2 và deg-(v) ≥ n/2
thì G là đồ thị Hamilton.
Đồ thị G có hướng liên thông mạnh
Ví dụ: Đồ thị G là đồ thị có hướng liên thông mạnh thỏa mãn
Định lý về đồ thị Hamilton (tt):
4. Đồ thị đấu loại: là đồ thị có hướng mà trong đó 2 đỉnh
bất kỳ của nó được nối với nhau bởi đúng một cung.
a. Mọi đồ thị đấu loại là nửa Hamilton
b. Mọi đồ thị đấu loại liên thông mạnh là Hamilton
Đồ thị đấu loại D5
Đồ thị đấu loại liên thông mạnh D6
Định lý về đồ thị Hamilton (tt):
5. Đơn đồ thị vô hướng G gồm n đỉnh với n ≥ 3. Nếu
deg(v) ≥(n-1)/2 với mọi đỉnh v của G thì G có đường
b c
đi Hamilton.
a
6. Đơn đồ thị vô hướng G gồm n đỉnh với n ≥ 3. Nếu
deg(x)+deg(y) ≥n với mọi cặp đỉnh x,y không kề nhau e d
của G thì G là đồ thị Hamilton.
G
7. Đơn đồ thị vô hướng G gồm n đỉnh và m cạnh.
Nếu m ≥ (n2-3n+6)/2 thì G là đồ thị Hamilton.
Tìm chu trình Hamiloton của đồ thị:
Cho tới nay, vẫn chưa tìm ra phương
pháp với độ phức tạp đa thức để tìm chu
trình cũng như đường đi Hamilton trong
trướng hợp đồ thị tổng quát.
Có thể sử dụng thuật toán quay lui để liệt
kê chu trình Hamilton
Cấu trúc dữ liệu
Lưu trữ đồ thị đã cho dưới dạng danh sách kề Ke(v)
Liệt kê các chu trình Hamilton thu được bằng việc phát
triển dãy đỉnh
(X[1],…,X[k1])
Mô tả thuật toán:
Bước 1: Bắt đầu đi từ đỉnh 1, x[1]:=1
Bước 2: Tìm và lưu đỉnh có cạnh nối với x[i] và đỉnh j này
chưa thăm trước đó.
Bước 3: Nếu đỉnh j này là x[n] và giữa j và x[1] có cạnh nối
thì xuất ra đồ thị Hamilton.
Nếu đỉnh j vẫn chưa phải là x[n] thì tiếp tục bước 2.
Mã giả của thuật toán
Procedure Hamilton(k);
Begin
∈
for y Ke(X[k1]) do
if (k=n+1) and (y=v0) then ghinhan(X[1],…,X[n],v0)
else
if chuaxet[y] then
begin
X[k]:=y;
chuaxet[y]:=false;
Hamilton(k+1);
chuaxet[y]:=true;
end;
End;
Dữ liệu vào: (input)
Đồ thị vô hướng G gồm 5 đỉnh và 6 cạnh 1
5 6
1 2
1 3 5 2
1 4
2 4
2 5
3 5 4 3
Mô tả quá trình tìm chu trình Hamilton
1
5 2
4 3
1 2 3 4 5 6
X= Chu trình
1 3
2 5
4 2
1
3 4
1
1 Hamilton
Nhận xét
Với đồ thị có số cạnh lớn thuật tóan trên sẽ không thể đáp
ứng hai yêu cầu:
1. Thời gian thực hiện: độ phức tạp của thuật toán trong
trường hợp xấu nhất là O(n*m) (với n là số cạnh và m là
số đỉnh của đồ thị)
2. Kích thước bộ nhớ: do thuật toán sử dụng là thuật toán
quay lui nên việc xử lý đồ thị lớn sẽ gây tràn bộ nhớ.
Thuật toán này chỉ có khả năng làm việc với đồ thị có số
cạnh nhỏ
Bài tập
6
1 5
7
9
8
2
3 4
Đây có là đồ thị hamilton không?
