Bách Khoa Online: hutonline.net
Bách Khoa Online: hutonline.net
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-99-
Ch−¬ng 8
ChuyÓn ®éng song ph¼ng Cña vËt r¾n
8.1. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, vËn tèc vµ gia tèc cña c¶
vËt.
8.1.8.§Þnh nghÜa vµ ph©n tÝch chuyÓn ®éng song ph¼ng.
ChuyÓn ®éng song ph¼ng cña vËt r¾n lµ chuyÓn ®éng khi mçi ®iÓm thuéc
vËt lu«n lu«n chuyÓn ®éng trong mét mÆt ph¼ng cè ®Þnh song song víi mÆt
ph¼ng quy chiÕu ®· chän tr−íc ( mÆt ph¼ng c¬ së ). Nãi c¸ch kh¸c chuyÓn ®éng
song ph¼ng lµ chuyÓn ®éng cña vËt khi mçi ®iÓm cña nã trong qu¸ tr×nh chuyÓn
®éng cã kho¶ng c¸ch ®Õn mÆt ph¼ng c¬ së lµ kh«ng ®æi .
Trong kü thuËt cã nhiÒu chi tiÕt m¸y chuyÓn ®éng song ph¼ng nh− b¸nh
xe l¨n trªn mét ®−êng th¼ng, thanh biªn trong c¬ cÊu biªn tay quay, rßng räc
®éng ..v..v...
.XÐt vËt r¾n A chuyÓn ®éng song y a
ph¼ng cã mÆt ph¼ng c¬ së π (h×nh 8.1 )
(s) M'
§−êng th¼ng ab thuéc vËt vu«ng gãc O x
víi mÆt ph¼ng c¬ së, sÏ thùc hiÖn chuyÓn
b
®éng tÞnh tiÕn. Mäi ®iÓm n»m trªn ®−êng π
th¼ng nµy cã chuyÓn ®éng nh− nhau vµ ®−îc
H×nh 8.1
®Æc tr−ng bëi chuyÓn ®éng cña ®iÓm M n¨m y
y1
trªn ab. NÕu xem vËt lµ tËp hîp v« sè c¸c
(S)
®−êng ab nh− vËy suy ra chuyÓn ®éng cña B
vËt ®−îc ®Æc tr−ng bëi tiÕt diÖn S trªn mÆt ϕ
A x1
ph¼ng oxy. M« h×nh bµi to¸n chuyÓn ®éng
xA x
song ph¼ng cña vËt r¾n ®−îc ®−a vÒ nghiªn O
cøu chuyÓn ®éng cña mét tiÕt diÖn (S) trong
mÆt ph¼ng oxy cña nã (h×nh 8.2) gäi t¾t lµ H×nh 8-2
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-100-
chuyÓn ®éng ph¼ng cña tiÕt diÖn S.
VÞ trÝ cña tiÕt diÖn (S) trong mÆt ph¼ng oxy ®−îc x¸c ®Þnh khi ta biÕt ®−îc
vÞ trÝ cña mét ®o¹n th¼ng AB thuéc tiÕt diÖn (S).
XÐt chuyÓn ®éng cña tiÕt diÖn (S) tõ
B1 B2
vÞ trÝ (1) x¸c ®Þnh bëi vÞ trÝ ®o¹n th¼ng A1B1
(S) B'1
®Õn vÞ trÝ (2) x¸c ®Þnh bëi vÞ trÝ cña ®o¹n ϕ2 ϕ
1
th¼ng A2B2 ( h×nh 8.3). A'1
A1
DÔ dµng thÊy r»ng ta cã thÓ thay thÕ A2
chuyÓn ®éng cña tiÕt diÖn (S) b»ng hai
H×nh 8-3
chuyÓn ®éng c¬ b¶n sau :
Cho tiÕt diÖn (S) chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn theo cùc A hay cùc B tõ vÞ trÝ A1B1
®Õn vÞ trÝ A'1B2 hay A2B'1 . TiÕp theo ta quay tiÕt diÖn S quanh A2 hay B2 mét gãc
ϕ1 hay ϕ2. V× A2B'1//A'1B2 nªn ë ®©y ϕ1 = ϕ2 = ϕ.
Cã thÓ ®i ®Õn kÕt luËn ; chuyÓn ®éng cña tiÕt diÖn (S) trong mÆt ph¼ng cña
nã (chuyÓn ®éng song ph¼ng ) lu«n lu«n cã thÓ ph©n tÝch thµnh hai chuyÓn ®éng:
tÞnh tiÕn theo mét t©m cùc vµ chuyÓn ®éng quay quanh t©m cùc ®ã. ChuyÓn ®éng
tÞnh tiÕn phô thuéc vµo t©m cùc nh−ng chuyÓn ®éng quay kh«ng phô thuéc vµo
t©m cùc. Nh− vËy chuyÓn ®éng song ph¼ng chÝnh lµ chuyÓn ®éng tæng hîp cña
vËt r¾n khi nã ®ång thêi tham gia hai chuyÓn ®éng quay quanh mét trôc cã
ph−¬ng kh«ng ®æi vµ tÞnh tiÕn theo ph−¬ng vu«ng gãc víi trôc quay.
8.1.2. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, vËn tèc vµ gia tèc cña vËt .
XÐt tiÕt diÖn (S) chuyÓn ®éng trong
y
mÆt ph¼ng oxy chøa nã. NÕu chän A lµ t©m
cùc vµ dùng ®o¹n th¼ng AB trªn tiÕt diÖn ta (S)
B
sÏ thÊy vÞ trÝ cña tiÕt diÖn (S) trong mÆt ph¼ng ϕ
A
yA
oxy sÏ ®−îc x¸c ®Þnh nÕu ta biÕt vÞ trÝ cña cùc xA x
O
A vµ ph−¬ng cña AB so víi trôc ox. Nãi kh¸c
®i, th«ng sè ®Þnh vÞ cña tiÕt diÖn (S) trong H×nh 8-4
mÆt ph¼ng oxy lµ xA, yA, vµ ϕ (h×nh 8.4).
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-101-
Trong thêi gian chuyÓn ®éng c¸c th«ng sè nµy biÕn ®æi theo thêi gian ta
cã :
xA = xA(t)
yA = yA(t) (8.1)
ϕ = ϕ(t)
BiÕt quy luËt biÕn ®æi (8.1) ta cã thÓ x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña tiÕt diÖn (S) ë bÊt
kü thêi ®iÓm nµo. C¸c ph−¬ng tr×nh (8.1) lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña tiÕt
diÖn ph¼ng (S) trong mÆt ph¼ng cña nã (ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng song ph¼ng ).
Tõ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng (8.1) ta thÊy vËn tèc vµ gia tèc cña vËt ®−îc
biÓu diÔn bëi hai thµnh phÇn : vËn tèc vµ gia tèc trong chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn theo
r r
t©m cùc A lµ : v A , w A . VËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña tiÕt diÖn trong chuyÓn
®éng quay quanh t©m cùc A lµ ω, ε.
V× chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn phu thuéc t©m cùc A nªn vËn tèc vµ gia tèc trong
chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn phô thuéc vµo t©m cùc A. Ta cã :
r r r
v A1 ≠ v A 2 ≠ v Ai
r r r
w A1 ≠ w A 2 ≠ w Ai
ω
ChuyÓn ®éng quay kh«ng phô thuéc vµo ε
t©m A nªn cã : O
S
ωA1 = ωA2 = ωAi = ω π A
H×nh 8.5
εA1 = εA2 = εAi = ε
VËn tèc gãc ω vµ gia tèc gãc ε cã thÓ biÓn diÔn b»ng vÐc t¬ vu«ng gãc víi
tiÕt diÖn (S) nh− h×nh( 8.5) . Khi hai vÐc t¬ nµy cïng chiÒu ta cã chuyÓn ®éng
quay nhanh dÇn vµ nÕu chóng ng−îc chiÒu cã chuyÓn ®éng quay chËm dÇn.
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-102-
8.2. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, vËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm
Trªn vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng
8.2.1. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
XÐt ®iÓm M bÊt kú trªn tiÕt diÖn. Gi¶ thiÕt chän t©m cùc A cã to¹ ®é xAyA
(h×nh 8-6).
Ký hiÖu gãc hîp gi÷a AM víi ph−¬ng y
M
ox lµ ϕ vµ kho¶ng c¸ch AM = b.To¹ ®é cña r'
A ϕ
®iÓm M trong chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi so víi hÖ
r
quy chiÕu oxy cã thÓ x¸c ®Þnh : rA
xM = xA +b.cosϕ ; O
x
H×nh 8.6
yM =yA + b.sinϕ ;
C¸c th«ng sè xA, yA vµ ϕ lµ c¸c hµm cña tthêi gian, nghÜa lµ :
xA = xA(t) yA = yA(t) ϕ = ϕ(t)
Do ®ã xM, yM còng lµ hµm cña thêi gian . Ta cã :
xM =xM(t) = xA (t)+b.cosϕ(t) ;
yM =yM(t)=yA (t)+ b.sinϕ (t); (8.2)
(8.2) lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm M.
Còng cã thÓ thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm M d−íi d¹ng
vÐc t¬. Trªn h×nh 8-6 cã : r =r(t)=rA + r' (8.2a)
ë ®©y r' =AM cã ®é lín kh«ng ®æi b»ng b, vµ quay quanh trôc A víi vËn
tèc gãc lµ ω.
8.2.2. C¸c ®Þnh lý vËn tèc cña ®iÓm
8.2.2.1. C¸c ®Þnh lý vËn tèc cña ®iÓm trªn vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng
§Þnh lý 8-1: VËn tèc cña mét ®iÓm bÊt kú trªn tiÕt diÖn chuyÓn ®éng song
ph¼ng b»ng tæng h×nh häc cña vËn tèc t©m cùc A vµ vËn tèc gãc cña ®iÓm ®ã
trong chuyÓn ®éng cña tiÕt diÖn quay quanh trôc A víi vËn tèc gãc ω. Ta cã :
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-103-
r r r
v M = v A + v MA .
Chøng minh ®Þnh lý : Tõ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng (8-2a) ta cã :
r r r
r d r d rA d r '
vM = = + .
dt dt dt
r
d rA r dr ' rr r
Thay = vA ; = v MA = ω × AM
dt dt
r r r
Ta sÏ cã v M = v A + v MA , ®Þnh lý ®−îc chøng minh. CÇn chó ý vÐc t¬ vËn
r
tèc cña ®iÓm M quay quanh A ký hiÖu lµ v AM cã ph−¬ng vu«ng gãc víi AM, cã
chiÒu h−íng theo chiÒu quay cña vËn tèc ω (h×nh 8-6).
§Þnh lý 8-2 : §Þnh lý vÒ h×nh chiÕu vËn tèc hai ®iÓm
Trong chuyÓn ®éng song ph¼ng cña tiÕt diÖn S (chuyÓn ®éng song ph¼ng)
h×nh chiÕu vËn tèc cña hai ®iÓm bÊt kú trªn tiÕt diÖn lªn ph−¬ng nèi hai ®iÓm ®ã
lu«n lu«n b»ng nhau.
(v A )AB = (v B )AB
r r
Chøng minh ®Þnh lý : Theo ®Þnh lý 8-1, nÕu chän A lµm t©m cùc th× vËn
tèc ®iÓm B x¸c ®Þnh theo biÓu thøc :
r r r r
v B = v A + v BA víi v BA vu«ng gãc
AB. ChiÕu biÓu thøc trªn lªn ph−¬ng AB ta vB
r r r
cã : (v B )AB = (v A )AB + (v BA )AB . Trong ®ã :
vBA
vA vA
90 β
r r α α
(v BA )AB = 0 v× v BA ⊥AB . A a B b
§Þnh lý ®· ®−îc chøng minh.
Ta cã thÓ minh häa ®Þnh lý trªn b»ng H×nh 8.7
h×nh vÏ( 8-7). Trªn h×nh vÏ ta cã :
Aa = Bb hay vAcosα = vBcosβ.
8.2.2.2. T©m vËn tèc tøc thêi - X¸c ®Þnh vËn tèc cña ®iÓm trªn tiÕt diÖn
chuyÓn ®éng ph¼ng theo t©m vËn tèc tøc thêi
- T©m vËn tèc tøc thêi lµ ®iÓm thuéc tiÕt diÖn cã vËn tèc tøc thêi
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-104-
b»ng kh«ng. NÕu gäi P lµ t©m vËn tèc tøc thêi th× : vP = 0.
§Þnh lý 8-3 : Trong chuyÓn ®éng song ph¼ng cña vËt r¾n t¹i mçi thêi
®iÓm lu«n lu«n tån t¹i mét vµ chØ mét t©m vËn tèc tøc thêi.
Chøng minh ®Þnh lý :
r
XÐt tiÕt diÖn (S) chuyÓn ®éng ph¼ng víi vËn tèc cña t©m cùc A lµ v A vµ
vËn tèc gãc trong chuyÓn ®éng quay lµ ω . Quay vÐc t¬ V ®i mét gãc b»ng 90
theo chiÒu quay cña ω ta sÏ dùng ®−îc tia
ωA
∆ . Trªn tia ∆ lÊy mét ®iÓm P c¸ch A mét
A
vA vA
®o¹n AP = (h×nh 8.8)
ω
d
Theo biÓu thøc (8-2) ta cã :
(S)
r r r v
v P = v A + v PA . ë ®©y v PA = ω.PA = ω A
ω P vA
vPA
= vA. ∆
r H×nh 8.8
Ph−¬ng cña v PA vu«ng gãc víi AP
r
h−íng theo chiÒu quay vßng cña ω nghÜa lµ v PA cã ®é lín b»ng víi ®é lín cña
r
vA, cïng ph−¬ng nh−ng ng−îc chiÒu víi v A .
r
Thay vµo biÓu thøc tÝnh v P ta ®−îc vP = vA - vA = 0 chÝnh lµ t©m vËn tèc
tøc thêi.
Chøng minh tÝnh duy nhÊt cña t©m vËn tèc tøc thêi :
Gi¶ thiÕt t¹i thêi ®iÓm trªn vËt cã hai t©m vËn tèc tøc thêi P1 vµ P2 víi vP1 =
0 vµ vP2 = 0.
r r r r
Theo ®Þnh lý 8-1 ta cã : v P 2 = v P1 + v P 2 P1 hay 0 = 0 + v P 2 P1 .
Thay vP2P1 = ω . P2P1 ta thÊy vP2P1 = 0 khi ω = 0 hoÆc P2P1 = 0. V× vËt
chuyÓn ®éng song ph¼ng nªn ω ≠ 0 vËy chØ cã thÓ P2P1 = 0. §iÒu nµy cã nghÜa
P1 trïng víi P2. Kh«ng thÓ cã hai t©m vËn tèc tøc thêi kh¸c nhau cïng tån t¹i ë
mét thêi ®iÓm.
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-105-
- X¸c ®Þnh vËn tèc trªn vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng theo t©m vËn tèc tøc
thêi P.
XÐt vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng cã vËn tèc gãc ω vµ t©m vËn tèc tøc thêi
P. Theo biÓu thøc (8-2) nÕu lÊy P lµm t©m cùc ta viÕt biÓu thøc vËn tèc cña ®iÓm
M nh− sau :
r r r
v M = v P + v MP A 900 vA
r r B
Thay vP = 0 ta cã : v M = v MP (S)
900
Nh− vËy vËn tèc tøc thêi cña ®iÓm M ®−îc vB
b P ω
tÝnh nh− vËn tèc cña ®iÓm M trong chuyÓn ®éng cña a
vËt quay tøc thêi quanh t©m vËn tèc tøc thêi P. H×nh 8.9
r
v M cã ph−¬ng vu«ng gãc víi PM, h−íng
theo chiÒu quay vßng cña ω quanh P, cã ®é lín vM =PM . ω
Ta cã kÕt luËn : vËn tèc cña ®iÓm bÊt kú trªn vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng
lu«n lu«n h−íng vu«ng gãc vµ tû lÖ thuËn víi kho¶ng c¸ch tõ t©m vËn tèc tøc
thêi ®Õn ®iÓm. Quy luËt ph©n bè vËn tèc c¸c ®iÓm biÓu diÔn trªn h×nh ( 8-9.).
Trong thùc hµnh cã thÓ x¸c ®Þnh t©m vËn tèc tøc thêi P theo mét sè tr−êng hîp
sau :
Tr−êng hîp 1 : VËt chuyÓn ®éng l¨n kh«ng tr−ît trªn mét ®−êng th¼ng
hay ®−êng cong ph¼ng cè ® Þnh (h×nh 8-10a) cã thÓ x¸c ®Þnh ngay ®iÓm tiÕp xóc
chÝnh lµ t©m vËn tèc tøc thêi v× r»ng ®iÓm ®ã cã vËn tèc b»ng kh«ng.
Tr−êng hîp 2: Khi biÕt ph−¬ng vËn tèc hai ®iÓm hay quü ®¹o chuyÓn ®éng
cña hai ®iÓm trªn vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng th× t©m vËn tèc tøc thêi lµ giao
®iÓm cña hai ®−êng th¼ng kÎ vu«ng gãc víi hai ph−¬ng vËn tèc hay hai ph−¬ng
tiÕp tuyÕn cña quü ®¹o t¹i hai ®iÓm ®ã (h×nh 8-10b). Trong tr−êng hîp nµy nÕu
hai ®−êng ®ã song song víi nhau cã nghÜa t©m P ë xa v« cïng, ta nãi vËt tøc thêi
chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn (h×nh 8-10b).
Tr−êng hîp 3: Khi biÕt ®é lín vµ ph−¬ng chiÒu vËn tèc hai ®iÓm n»m trªn
cïng mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi vËn tèc hai ®iÓm ®ã (h×nh 8-10c), t©m P lµ
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-106-
giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng ®i qua hai mót vÐc t¬ vËn tèc vµ ®−êng th¼ng ®i qua
hai ®iÓm ®ã.
S vA vA vA
vA A A
vB vB B vB P
vB
P P B
P
P ∞ c)
b)
a)
H×nh 8.10
r r
ThÝ dô 8.1: C¬ cÊu ph¼ng biÓu diÔn trªn h×nh (8-11) cã vËn tèc v A , v B cña
hai con tr−ît A vµ B ®· biÕt. X¸c ®Þnh vËn tèc cña khíp C.
Bµi gi¶i:
Khi c¬ cÊu ho¹t ®éng th× c¸c thanh biªn
K
AC vµ BC chuyÓn ®éng song ph¼ng. §Ó x¸c
®Þnh vËn tèc cña ®iÓm C ta ¸p dông ®Þnh lý h×nh vc
C2 C1
chiÕu vËn tèc cho thanh AC vµ BC. V× vA vµ vB C
a
®· biÕt nªn dÔ dµng x¸c ®Þnh ®−îc h×nh chiÕu b
cña chóng lªn ph−¬ng AC vµ BC lµ Aa vµ Bb . vA vB
A B
T¹i C kÐo dµi c¸c ®o¹n th¼ng AC vµ BC, Trªn
H×nh 8.11
®ã lÊy c¸c ®iÓm C1, C2 víi CC1 = Aa, CC2 = Bb.
C¸c ®o¹n nµy lµ h×nh chiªó cña VC lªn hai ph−¬ng AC vµ BC. Ta vÏ tø gi¸c
vu«ng gãc t¹i C1 vµ C2 (h×nh 8-11) ®−êng chÐo CC' cña tø gi¸c ®ã chÝnh lµ vËn
tèc VC.
2
ThÝ dô 8-2 : Tay quay OA
1 A
quay quanh trôc O víi vËn tèc gãc
O
kh«ng ®æi n =60 vßng / phót vµ
dÉn ®éng cho thanh biªn AB g¾n
víi b¸nh xe 2 (h×nh 8-12). B¸nh xe
2 truyÒn chuyÓn ®éng cho b¸nh xe B
H×nh 8.12
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-107-
1 kh«ng g¾n víi tay quay OA nh−ng quay quanh trôc O.
X¸c ®Þnh vËn tèc con tr−ît B; VËn tèc gãc cña b¸nh xe 1 t¹i thêi ®iÓm khi
tay quay OA song song vµ vu«ng gãc víi ph−¬ng ngang.
Cho biÕt c¬ cÊu cïng n»m trong mét mÆt ph¼ng vµ r1 = 50 cm ; r2 = 20 cm;
AB = 130 cm.
Bµi gi¶i :
C¬ cÊu cã 5 kh©u : b¸nh xe 1 chuyÓn ®éng quay quanh trôc O; con tr−ît B
chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn theo ph−¬ng ngang; Thanh AB chuyÓn ®éng song song
ph¼ng; B¸nh xe 2 chuyÓn ®éng song ph¼ng; tay quay OA chuyÓn ®éng quay
quanh O.
1) XÐt tr−êng hîp tay quay OA ë vÞ trÝ song song víi ph−¬ng ngang (h×nh
8-12a).
πn 60π
VËn tèc gãc thanh OA lµ : ω= = = 2π1 / s .
30 30
VËn tèc ®iÓm A : vA =OA . ω = 2π . (r1 - r2) = 60π = 188,5 cm / s.
Trªn thanh AB cã ph−¬ng vËn tèc hai ®iÓm A vµ B ®· biÕt nªn x¸c ®Þnh
®−îc t©m vËn tèc tøc thêi P1 (h×nh 8-12a).
vA vC C
vC A
II ω2 vA
I
O ωI C O II PAB
A P2
I
vB
a) b)
B B
H×nh 8.12
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-108-
Tõ h×nh vÏ x¸c ®Þnh ®−îc :
P2B = r1 = 50cm
P2 A = AB 2 − PAB B 2 = 130 2 + 50 2 = 120cm
P2C = PAB - r2 = 120 - 20 = 100cm
X¸c ®Þnh vËn tèc cña c¸c ®iÓm A, B, C theo t©m vËn tèc tøc thêi P2 vµ vËn
tèc ω1 cña thanh AB ta cã ;
VA = ω2 . P2A;
VB = ω2 . P2B;
Vc = ω2. P2C;
VA 60π π
Trong ®ã : ω2 = = = (1 / s)
P2 A 120 2
Thay vµo c¸c biÓu thøc cña VB vµ VC ta cã :
π
VB = .50 = 25π(cm / s)
2
π
VC = .100 = 50π(cm / s)
2
V× b¸nh xe 2 ¨n khíp víi b¸nh xe 1 nªn vËn tèc ®iÓm C cßn cã thÓ x¸c
®Þnh theo c«ng thøc :
VC
VC = ω1 . r1 suy ra : ω1 = =π (1/s)
r1
2) Tay quay OA ë vÞ trÝ th¼ng ®øng (h×nh 8-12b).
T¹i vÞ trÝ nµy vËn tèc hai ®iÓm A vµ B song song víi nhau v× thÕ theo ®Þnh
r r
lý h×nh chiÕu ta cã : VAcosα = VBcosα suy ra VA = VB . Thanh AB tøc thêi
chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn. Mäi ®iÓm trªn nã vµ b¸nh xe 2 g¾n víi nã cã chuyÓn
®éng nh− nhau. Ta cã :
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-109-
60π
VB = VC = VA = = 188,5(cm / s) .
50
Ph−¬ng chiÒu cña c¸c vËn tèc biÓu diÔn trªn h×nh vÏ .
VËn tèc gãc cña b¸nh xe 1 dÔ dµng t×m ®−îc :
v c 60π 6
ωr = = = π (rad/s)
r1 50 5
ThÝ dô 8-3: tay quay OA quay quanh O víi vËn tèc gãc ωoA, truyÒn
chuyÓn ®éng cho b¸nh r¨ng I ¨n khíp víi b¸nh r¨ng II cè ®Þnh. Hai b¸nh r¨ng cã
b¸n kÝnh nh− nhau vµ b»ng R. Thanh truyÒn BD cã ®Çu B liªn kÕt víi b¸nh xe I
b»ng khíp b¶n lÒ cßn ®Çu D nèi II
b»ng khíp b¶n lÒ víi tay quay CD I
P A
(h×nh 8-13).
O
vA
X¸c ®Þnh vËn tèc gãc cña P B
thanh truyÒn BD t¹i thêi ®iÓm cã
450
0
gãc BDC = 45 . Cho BD = 1 (cm). 450 C
vB 900
Bµi gi¶i : P1
0
45
Trong c¬ cÊu b¸nh r¨ng I vµ
thanh truyÒn BD chuyÓn ®éng song 900
D
ph¼ng. B¸nh r¨ng 1 cã t©m vËn tèc
H×nh 8.13
tøc thêi P. VËn tèc ®iÓm A ®−îc
tÝnh nh− sau :
VA=ωOA . 2R.
r
VA h−íng vu«ng gãc víi OA theo chiÒu quay vßng cña ωOA. Suy ra vËn
tèc gãc cña b¸nh r¨ng 1 :
VA 2R.ωOA
ω1 = = = 2ωOA .
R R
VËn tèc ®iÓm B cã ®é lín :
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-110-
VB = PB.ω1 = 2R.ω1 = 2 2RωOA .
VB Cã ph−¬ng vu«ng gãc víi víi PB cã chiÒu theo chiÒu quay cña b¸nh
r¨ng 1 quanh P (h×nh vÏ 8-13).
Thanh BD chuyÓn ®éng song ph¼ng, §Çu B cã vËn tèc ®· x¸c ®Þnh, ®Çu D
cã ph−¬ng vËn tèc vu«ng gãc víi CD do ®ã nhËn ®−îc t©m vËn tèc thøc thêi P1
nh− trªn h×nh vÏ .
1 2
Trªn h×nh ta cã P1B = . VËn tèc ®iÓm B ®−îc x¸c ®Þnh theo P1:
2
VB R
VB = P1.B.ωBD suy ra : ωBD = = 4. ωOA
P1B 1
ChiÒu quay cña ωBD nh− h×nh vÏ.
8.2.3. Gia tèc cña ®iÓm
8.2.3.1. §Þnh lý 8-3 : Gia tèc cña ®iÓm M bÊt kú thuéc tiÕt diÖn (S)
chuyÓn ®éng song ph¼ng, b»ng tæng h×nh häc gia tèc cña t©m cùc A vµ gia tèc
cña ®iÓm M trong chuyÓn ®éng cña tiÕt diÖn quay quanh A (h×nh 8-14).
r r r
w M = w A + w MA (8-4)
r r r
Trong ®ã : w MA = w τ + w n
MA MA
Víi : WτMA = ε.AM vµ WnMA = ω2.AM
Chøng minh ®Þnh lý :
§¹o hµm bËc hai theo thêi gian ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng (8-2) ta cã :
r r r
r d 2 r d 2 rA d 2 r '
wM = 2 = 2 + 2
dt dt dt
r r
Thay
d 2 rA r
dt 2
d2 r' d r
(
r
= w A cßn 2 = ω × AM = w MA
dt dt
)
r r
dω r d r
w MA = × AM + ω × AM = ε × AM + VMA
dt dt
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-111-
Víi chó ý AM cã ®é lín kh«ng ®æi nªn
d
dt
( ) r r
AM = ω × AM = VMA
r r r r r
Ta cã : w M = w A + ε × AM + ω × VMA
r
ε × AM lµ gia tèc ph¸p tuyÕn cña M trong chuyÓn ®éng cña (S) quay
quanh A.
r r
ω × VMA lµ gia tèc ph¸p tuyÕn cña M trong chuyÓn ®éng cña (S) quay
quanh A. Ta ®· chøng minh ®−îc :
r r rτ r
w M = w A + w MA + w n
MA
V× c¸c vÐc t¬ ω cã ph−¬ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng cña tiÕt diÖn nghÜa lµ
r
vu«ng gãc víi AM vµ VMA nªn dÔ dµng t×m ®−îc :
WMAτ = AM . ε cßn WMAn = AM . ω2
Suy ra : w MA = AM. ε 2 + ω4
r ε
VÐc t¬ w MA cã ph−¬ng hîp víi AM mét gãc µ víi tgµ = 2 (h×nh 8.14).
ω
8.2.3.2. T©m gia tèc tøc thêi
§iÓm trªn tiÕt diÖn cã gia tèc tøc thêi b»ng kh«ng gäi lµ t©m gia tèc tøc
thêi. Ký hiÖu t©m gia tèc tøc thêi lµ J . Ta cã : Wj = 0.
§Þnh lý 8-4 :
T¹i mçi thêi ®iÓm trªn tiÕt diÖn chuyÓn ®éng song ph¼ng lu«n tån t¹i mét
vµ chØ mét t©m gia tèc tøc thêi J.
Chøng minh tÝnh tån t¹i cña t©m gia tèc tøc thêi : gi¶ thiÕt tiÕt diÖn chuyÓn
®éng song ph¼ng víi vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc lµ ω vµ ε. Trªn tiÕt diÖn cã ®iÓm
A biÕt gia tèc WA (h×nh 8-15). Xoay WA theo chiÒu quay cña ε quanh A ®i mét
ε
gãc µ víi tgµ = . Dùng nöa ®−êng th¼ng Ax theo ph−¬ng ®ã.vµ lÊy trªn Ax
ω2
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-112-
wA
mét ®iÓm J c¸ch A mét ®o¹n AJ = .
ε + ω4
2
§iÓm J ®ã cã gia tèc :
r r r
w J = w A + w JA
Trong ®ã WJA cã ®é lín b»ng w JA = AJ. ε 2 + ω4 .'
wA w A ε 2 + ω4
Thay AJ = . Ta ®−îc : w JA = = wA .
ε 2 + ω4 ε 2 + ω4
r ε
w JA hîp víi AJ mét gãc µ víi tgµ = 2 h−íng theo chiÒu quay cña ε
ω
r r
quanh A. Nh− trªn h×nh vÏ (8-15) ta thÊy hai vÐc t¬ gia tèc w A vµ w JA cã ®é lín
b»ng nhau song song vµ ng−îc chiÒu do ®ã :
r r r
w J = w A + w JA = 0
x x
wM wA
wA wM
wB µ A
wM µ J wA wC B
wA ϕ M µ C ε
ω ε ω µ
ε A
A wA J
H×nh 8.15 H×nh 8.16
H×nh 8.14
§iÓm J chÝnh lµ t©m gia tèc tøc thêi cña tiÕt diÖn .
TiÕp theo ta chøng minh tÝnh duy nhÊt cña t©m gia tèc tøc thêi J : gi¶ thiÕt
t¹i thêi ®iÓm trªn tiÕt diÖn cã hai t©m gia tèc tøc thêi J1 vµ J2.
Khi ®ã WJ1 = 0 vµ WJ2= 0.
Theo biÓu thøc (4-8) ta cã thÓ viÕt :
r r r
w J 2 = w J1 + w J 2 J1 .
Thay WJ1 = 0 vµ WJ2= 0 vµo biÓu thøc trªn ta ®−îc WJ2J1= 0.
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-113-
V× w J 2 J1 = J 2 J1 ε 2 + ω4 trong ®ã ε ≠ 0 ω≠0
nªn WJ2J1 chØ cã thÓ b»ng kh«ng khi J2J1 = 0 nghÜa lµ J2 trïng víi J1.
Kh«ng thÓ cã hai t©m gia tèc cïng mét thêi ®iÓm trªn tiÕt diÖn chuyÓn ®éng
ph¼ng.
NÕu trªn tiÕt diÖn cã mét t©m gia tèc tøc thêi J vµ chän J lµ t©m cùc th×
gia tèc cña ®iÓm M trªn tiÕt diÖn cã thÓ x¸c ®Þnh theo biÓu thøc :
r r r
w M = w J + w MJ .
V× wJ = 0 nªn cã thÓ viÕt :
r r r r
w M = w MJ = w τ + w n .
MJ MJ
VÒ trÞ sè w M = MJ. ε 2 + ω4 cã ph−¬ng hîp víi MJ mét gãc µ víi
ε
tgµ = theo chiÒu quay cña ε quanh J (h×nh 8-16). Nh− vËy ta nhËn thÊy gia
ω2
tèc cña c¸c ®iÓm trªn tiÕt diÖn chuyÓn ®éng song ph¼ng lu«n lu«n hîp víi
ph−¬ng nèi tõ ®iÓm ®Õn t©m gia tèc tøc thêi mét gãc µ cã ®é lín tû lÖ víi
kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm ®Õn t©m gia tèc tøc thêi J. V× c¸c tÝnh chÊt ®ã quy luËt ph©n
bè gia tèc c¸c ®iÓm trªn tiÕt diÖn biÓu diÔn nh− trªn h×nh (8-16). Còng tõ c¸c
tÝnh chÊt trªn cã thÓ x¸c ®Þnh t©m gia tèc tøc thêi trong mét sè tr−êng hîp biÓu
diÔn trªn c¸c h×nh (8-17), (8-18) , (8-19), (8-20), (8-21), (8-22).
ε
ε
ε
B wB A B
A α α J A α J
wB B
α J wB
wA wA
wA
H×nh 8.17 H×nh 8.18 H×nh 8.19
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-114-
ε ε wA
wB
ε wB
µ
A
A wA B wB J --> ∞
α J B J µ
wA B
H×nh 8.20 H×nh 8.21 H×nh 8.22
Trªn h×nh (8-17) vµ (8-18) khi 0 Bách Khoa Online: hutonline.net
-115-
dω d ⎛ v C ⎞ 1 dv C w C 0,2
ε= = ⎜ ⎟= . = = = 0,59(rad / s 2 )
dt dt ⎝ r ⎠ r dt r 0,4
X¸c ®Þnh gia tèc c¸c ®iÓm M theo biÕu thøc :
r r r r
w M = w C + w rMC + w n ë ®©y nhËn t©m C lµ t©m cùc.
MC
r r
C¸c vÐc t¬ w rMC , w n cña c¸c ®iÓm cã trÞ sè nh− nhau, chØ kh¸c nhau vÒ
MC
ph−¬ng chiÒu.
VÒ ®é lín ta cã : WMCτ = CM.ε = R.ε =0,5.0,5 = 0,25 m/s2;
WMCn = CM.ω2 = R.ω2 = 0,5.12 = 0,5 m/s2;
Ph−¬ng chiÒu c¸c vÐc t¬ nµy ë c¸c ®iÓm biÓu diÔn trªn h×nh vÏ. C¨n cø vµo
h×nh vÏ vµ trÞ sè ®· thu ®−îc ta cã thÓ tÝnh gia tèc c¸c ®iÓm M1, M2, M3, M4 nh−
sau :
w1 = (w C + wn ) + wτ =
MC
2
MC
2
(0,2 + 0,5)2 + 0,252 = 0,74m / s 2
w2 = (w C + wτ ) + wn =
MC
2
MC
2
(0,2 + 0,25)2 + 0,52 = 0,67 m / s 2
w3 = (w n
CM + wC ) + wτ =
2
MC
2
(0,5 + 0,2 )2 + 0,252 = 0,39m / s 2
w4 = (w τ
CM + wC ) + wn =
2
MC
2
(0,25 + 0,2 )2 + 0,52 = 0,50m / s 2
ThÝ dô 8-5 : Tay quay OA quay ®Òu víi vËn tèc gãc ωOA. T×m gia tèc cña
con tr−ît B vµ gia tèc gãc cña thanh AB trªn c¬
vA A J
cÊu h×nh vÏ (8-24). Cho biÕt t¹i thêi ®iÓm kh¶o
r ε
0
s¸t gãc BOA = 90 ; ®é dµi OA = r ; AB = 1. wA l
r
Bµi gi¶i : ω0 vB wB
T¹i vÞ trÝ kh¶o s¸t cã :vA = vB O
B
Thanh AB tøc thêi chuyÓn ®éng tÞnh H×nh 8.24
tiÕn: ωAB = 0
Gia tèc ®iÓm A b»ng : WA = WAn = rω02 cã ph−¬ng chiÒu h−íng tõ A vµo O.
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-116-
Gia tèc ®iÓm B lu«n cã ph−¬ng n»m ngang.
§Ó x¸c ®Þnh t©m gia tèc tøc thêi ta x¸c ®Þnh gãc µ:
ε
tgµ = =∞ do ®ã µ = 900
ω2
DÔ dµng t×m ®−îc t©m gia tèc tøc thêi cña thanh AB lµ giao ®iÓm cña hai
®−êng th¼ng h¹ vu«ng gãc víi ph−¬ng WA vµ WB t¹i A vµ B.
V× ωAB = 0 nªn cã thÓ viÕt : WA=JA.εAB ; WB =JB.εAB
wA wB
Suy ra : = ,
JA JB
r2
ë ®©y JB = r cßn JA = l − r nªn w B =
2 2
.ω2 rad / s 2
l2 − r 2
r
Ph−¬ng cña w B theo ph−¬ng ngang, chiÒu h−íng theo chiÒu quay vßng
cña εAB quanh J nh− h×nh vÏ.
wA w
Tõ biÓu thøc : WA = JA.εAB suy ra ε AB = = 2 A 2 .ω2 rad / s 2
JA l −r
r
Thay WA = r.ω02 ta ®−îc : ε AB = .ω2 rad / s 2
l2 − r 2
ThÝ dô 8-6 : Cho c¬ cÊu gåm hai b¸nh r¨ng ¨n khíp víi nhau. B¸nh r¨ng
1 b¸n kÝnh r1 = 0,3 m cè ®Þnh; B¸nh
r¨ng 2 b¸n kÝnh r2 = 0,2 m l¨n trªn vµnh 2
b¸nh r¨ng 1 vµ nhËn chuyÓn ®éng tõ ε2 y
ω2 wAτ
tay quay OA quay víi vËn tèc gãc lµ D vA wAn wτ D
ε2
ωOA vµ gia tèc gãc εOA (h×nh 8-25a). P wnD A
D
ω wAτ
ω2
x
X¸c ®Þnh gia tèc ®iÓm D trªn wAn
O ε b)
vµnh b¸nh r¨ng 2 t¹i thêi ®iÓm cã ; a)
1
ωOA =1 rad/s 2 H×nh 8.25
vµ εOA = =4 rad/s2.
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Bách Khoa Online: hutonline.net
-117-
Bµi gi¶i : B¸nh r¨ng 2 chuyÓn ®éng song ph¼ng. VËn tèc vµ gia tèc cña
t©m A ®−îc x¸c ®Þnh :
vA = OA.ωOA = 0,5 m/s ;
WAτ = OA.εOA = -2 m/s2; WAn = OA.ω2 = 0,5 m/s2.
Ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc vËn tèc gãc ω2 cña b¸nh r¨ng 2 :
v A 0,5
ω2 = = = 2,5rad / s
r2 0,2
ChiÒu quay cña ω2 nh− h×nh vÏ (8-25).
Gia tèc gãc ε2 cña b¸nh r¨ng 2 ®−îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc :
τ
dω2 l dv A w a − 2
ε2 = = 2. = = = −10rad / s 2
dt r dt r2 0,2
§iÒu nµy chøng tá b¸nh r¨ng 2 chuyÓn ®éng chËm dÇn, chiÒu cña ε2 ng−îc
chiÒu víi ω2.
Gia tèc ®iÓm D cã thÓ viÕt :
r r r r r
wD = wτ + wn + wτ + wn
A A DA DA (a)
T¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t cã :
WDAτ = DA.ε2 = r2ε2 = 0,2.(10) = 2 m/s2;
WDAn = DA.ω2 = r2ω22 = 0,2.(2,5)2 = 1,25 m/s2.
ChiÕu hai vÕ ®¼ng thøc (a) lªn hai trôc Dx vµ Dy (h×nh 8-25b) ta ®−îc :
WDx = WAτ + WDAn = 2 + 1,25 = 3,25 m/s2;
WDy = WDAτ - WAn = 2 - 0,5 = 1,5 m/s2.
Suy ra : w D = w 2 + w 2 = 3,252 + 1,5 2 ≈ 3,58m / s 2
Dx Dy
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com
Copyright by webtailieu.net