-46-
Ch−¬ng 4
Träng t©m cña vËt r¾n
4.1. T©m cña hÖ lùc song song
r r r r
HÖ lùc song song ( F 1, F2 , ... Fn ) lu«n cã hîp lùc R song song víi c¸c lùc
r
®· cho. Theo lý thuyÕt vÒ hÖ lùc, hîp lùc R ®−îc x¸c ®Þnh bëi biÓu thøc:
r r r r n r
R = F 1 + F2 +... Fn = ∑F i (4-1)
i=1
Khi ta thay ®æi ph−¬ng cña hÖ lùc ph−¬ng cña hîp lùc còng thay ®æi theo.
Ch¼ng h¹n lóc ®Çu hÖ lùc cã hîp lùc lµ R song song víi c¸c lùc ®· cho , sau khi
xoay hÖ lùc cho song song víi trôc oz ta sÏ ®−îc hîp lùc R' cã ®é lín b»ng R
nh−ng cã ph−¬ng song song víi
trôc oz. MÆc dï hîp lùc thay ®æi A2
ph−¬ng khi ph−¬ng cña hÖ lùc z
A1 r r
r '2 r2
thay ®æi nh−ng ®−êng t¸c dông
r r
cña chóng ®Òu ®i qua ®iÓm C r '1 r1
C A4
®iÓm nµy gäi lµ t©m cña hÖ lùc
song song ®· cho. A3
zC r r
r '4 r4 y
O r r
§Ó x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña t©m C r '3 r3
xC
ta vËn dông ®Þnh lý Va-ri-nh«ng. x yC
r r r
Cho hîp lùc R ' nh− h×nh vÏ ta cã: R' R
n
My(R') = ∑my(Fni); H×nh 4.1
i=1
n
R.Xc = ∑Fixi;
i=1
n
∑ Fi x i
i =1
hay Xc = ;
R
-47-
Trong ®ã Xc lµ to¹ ®é cña ®iÓm C trªn trôc ox, xi lµ to¹ ®é cña ®iÓm Ai
trªn trôc ox.
B»ng c¸ch xoay ph−¬ng cña hÖ lùc cho song song víi trôc ox vµ oy ta sÏ
nhËn ®−îc c¸c kÕt qu¶ t−¬ng tù víi to¹ ®é cña C trªn hai trôc oy vµ oz. Ta x¸c
®Þnh hÖ to¹ ®é cña t©m C theo c¸c biÓu thøc sau:
n
∑ Fi x i
i =1
Xc = ;
R
n
∑ Fi yi
i =1
Yc = ; (4-2)
R
n
∑ Fi zi
i =1
Zc = .
R
Nh− vËy cã thÓ x¸c ®Þnh hîp lùc cña hÖ lùc song song nhê c¸c biÓu thøc
(4-1) vµ (4-2)
4.2. Träng t©m cña vËt r¾n
r r r
Coi vËt r¾n lµ tËp hîp cña n phÇn tö cã träng l−îng P 1, P 2 ... P n. C¸c
träng lùc Pi t¹o thµnh mét hÖ lùc song song. T©m cña hÖ c¸c träng l−îng phÇn tö
nµy gäi lµ träng t©m cña vËt.
Nh− vËy gäi C lµ träng t©m cña vËt th× to¹ ®é cña ®iÓm C ®−îc x¸c ®Þnh
b»ng c¸c biÓu thøc sau:
n
∑ Pi x i
i =1
Xc = ;
P
n
∑ Pi yi
i =1
Yc = ; (4-3)
P
-48-
n
∑ Pi zi
i =1
Zc = .
P
r r
Trong ®ã P i vµ P lµ träng l−îng cña phÇn tö thø i trong vËt, vµ träng l−îng
cña c¶ vËt, cßn xi, yi, zi lµ to¹ ®é cña phÇn tö thø i.
Nh− vËy träng t©m cña vËt lµ mét ®iÓm C trªn vËt mµ tæng hîp träng
l−îng cña c¶ vËt ®i qua khi ta xoay vËt ®ã ë bÊt kú chiÒu nµo trong kh«ng gian.
4.3. Träng t©m cña mét sè vËt ®ång chÊt
4.3.1. VËt r¾n lµ mét khèi ®ång chÊt
Gäi träng l−îng riªng cña vËt lµ γ ( träng l−îng cña mét ®¬n vÞ thÓ tÝch)
th× Pi = γ.vi vµ P = γ.v. Trong ®ã vi vµ v lµ thÓ tÝch cña phÇn tö thø i cña vËt vµ thÓ
tÝch c¶ vËt. To¹ ®é träng t©m cña vËt lóc nµy cã thÓ x¸c ®Þnh bëi c¸c biÓu thøc:
n n n
∑ vi x i ∑ vi yi ∑ vi z i
i =1 i =1 i =1
xc = ; yc = ; zc = .
v v v
4.3.2. VËt r¾n lµ mét tÊm máng ®ång chÊt
Gäi träng l−îng riªng cña vËt r¾n lµ γ ( träng l−îng cña mét ®¬n vÞ diÖn
tÝch) ta sÏ cã Pi = γ.Si vµ P = γ.S ë ®©y Si vµ S lµ diÖn tÝch cña phÇn tö thø i cña
vËt vµ diÖn tÝch toµn vËt. To¹ ®é träng t©m cña vËt trong hÖ to¹ ®é oxy chøa vËt
x¸c ®Þnh theo biÓu thøc sau:
n n
∑ Si x i ∑ Si yi
i =1 i =1
xc = ; yc = ;
S S
4.3.3. VËt r¾n lµ mét d©y hay thanh m¶nh ®ång chÊt
Gäi träng l−îng riªng cña vËt lµ γ ( träng l−îng cña mét ®¬n vÞ chiÒu dµi
vËt) ta cã Pi = γ.Li vµ P = γ.L. Trong ®ã Li vµ L lµ chiÒu dµi cña phÇn tö thø i vµ
chiÒu dµi cña c¶ vËt. To¹ ®é träng t©m cña vËt lóc nµy cã thÓ x¸c ®Þnh bëi c¸c
biÓu thøc:
-49-
n n n
∑ Li x i ∑ Li yi ∑ Li z i
i =1 i =1 i =1
xc = ; yc = ; zc = .
L L L
4.3.4. VËt r¾n ®ång chÊt cã mét t©m, mét trôc hay mét mÆt ph¼ng ®èi xøng
Ta cã nhËn xÐt r»ng trªn vËt bao giê còng t×m ®−îc hai phÇn tö ®èi xøng
cã träng l−îng P1, P2 nh− nhau song song cïng chiÒu qua t©m ®èi xøng, trôc ®èi
xøng hay mÆt ph¼ng ®èi xøng cña vËt vµ nh− vËy hîp lùc cña nã sÏ ®i qua ®iÓm
®èi xøng n»m trªn trôc ®èi xøng hay mÆt ph¼ng ®èi xøng. DÔ dµng nhËn thÊy
r
r»ng hîp lùc cña c¸c P i ( i = 1...n), nghÜa lµ träng l−îng cña vËt bao giê còng ®i
qua t©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng hay n»m trong mÆt ph¼ng ®èi xøng nÕu nh−
xoay vËt sao cho mÆt ph¼ng ®èi xøng ®ã ë vÞ trÝ th¼ng ®øng. Nãi c¸ch kh¸c träng
t©m cña vËt trong tr−êng hîp cã mét t©m ®èi xøng, cã mét trôc ®èi xøng hay cã
mét mÆt ph¼ng ®èi xøng bao giê còng n»m trªn t©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng hay
mÆt ph¼ng ®èi xøng ®ã.
4.3.5. Träng t©m cña vËt cã thÓ ph©n chia thµnh nh÷ng vËt nhá ®¬n gi¶n
Trong tr−êng hîp nµy ta chia vËt thµnh
y
c¸c phÇn cã h×nh d¹ng ®¬n gi¶n dÔ x¸c ®Þnh C3
träng t©m, sau ®ã coi mçi vËt ®ã nh− mét phÇn
tö nhá cña c¶ vËt, mçi phÇn tö nµy cã träng
l−îng ®Æt t¹i träng t©m. X¸c ®Þnh ®−îc träng C2
l−îng vµ träng t©m c¸c phÇn nhá cña vËt ta sÏ
x¸c ®Þnh ®−îc träng t©m cña c¶ vËt nhê c¸c C1
biÓu thøc x¸c ®Þnh to¹ ®é träng t©m ë trªn. x
Sau ®©y ta vËn dông nh÷ng kÕt qu¶ trªn O
®Ó t×m träng t©m cña mét sè vËt.
H×nh 4.2
ThÝ dô 4.1: X¸c ®Þnh träng t©m cña tÊm
B¶ng 4.1
t«n ph¼ng cã h×nh d¹ng nh− h×nh vÏ (4-2). C1 C2 C3
xi -1 1 5
BiÕt r»ng tÊm t«n lµ ®ång chÊt vµ kÝch yi 1 5 9
th−íc cña c¸c c¹nh tÝnh b»ng cm ®· cho trªn Si 4 20 12
-50-
h×nh.
Bµi gi¶i:
Tr−íc hÕt chia vËt thµnh 3 phÇn, mçi phÇn lµ mét h×nh ch÷ nhËt nh− h×nh
vÏ (4-2). C¸c h×nh nµy lµ c¸c tÊm ph¼ng vµ cã t©m ®èi xøng lµ C1, C2 vµ C3. To¹
®é träng t©m vµ diÖn tÝch cña nã cã thÓ x¸c ®Þnh nh− b¶ng 4.1.
DiÖn tÝch cña c¶ vËt lµ :
S = S1 + S2 + S3 = 36 (cm2)
¸p dông c«ng thøc (4.5) ta cã:
x1S1 + x 2S2 + x 3S3 − 4 + 20 + 60 1
xc = = = 2 cm
S 36 9
y1S1 + y 2S2 + y3S3 4 + 100 + 108 8
yc = = = 5 cm
S 36 9
Träng t©m C cña vËt hoµn toµn ®−îc x¸c ®Þnh.
ThÝ dô 4.2. T×m to¹ ®é träng t©m cña tÊm ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®−êng
trßn b¸n kÝnh R vµ r ( xem h×nh vÏ 4.3). Cho biÕt kho¶ng c¸ch gi÷a hai t©m lµ
c1c2 = a.
Bµi gi¶i:
Chän hÖ to¹ ®é nh− h×nh vÏ. Ph©n tÝch
thµnh hai phÇn mçi phÇn lµ mét tÊm trßn y
nh−ng ë ®©y tÇm trßn cã b¸n kÝnh r ph¶i coi
nh− vËt cã tiÕt diÖn ©m. Cô thÓ ta cã: PhÇn 1
R a
lµ mét tÊm trßn cã b¸n kÝnh R cã to¹ ®é
träng t©m lµ x1 = 0 vµ y1 = 0. DiÖn tÝch lµ S1 C2
C C1
= πR2. PhÇn 2 lµ tÊm trßn cã b¸n kÝnh r, to¹ r
®é träng t©m lµ x2 = a, y2 = 0 vµ diÖn tÝch lµ
S2 = -πr2.DiÖn tÝch c¶ vËt lµ :
S = S1 + S2 = π(R2 - r2)
H×nh 4.3
-51-
Ta cã thÓ tÝnh ®−îc to¹ ®é träng t©m cña vËt.
x1S1 + x 2S2 a.r 2
xc = =- 2 2 ;
S R −r
y1S1 + y 2S2
yc = = 0.
S
ThÝ dô 4-3. T×m träng t©m cña mét cung trßn AB b¸n kÝnh R, gãc ë t©m
lµ A¤B = 2 α ( h×nh 4-4)
NÕu chän hÖ to¹ ®é nh− h×nh vÏ ta thÊy trôc ox lµ trôc ®èi xøng do ®ã
träng t©m C cña chóng n»m trªn trôc ox cã nghÜa lµ yc =0. ë ®©y chØ cßn ph¶i
x¸c ®Þnh xc
Ta chia cung AB thµnh N phÇn nhá, mçi phÇn cã chiÒu dµi ∆lk, cã to¹ ®é
xk = Rcosϕk.
Theo c«ng thøc (4.6) cã: y
n
B
∑ ∆lk x k 1 n
xc = i =1
L
=
L
∑∆lkRcosϕk ∆lk
i=1
Thay ∆lkcosϕk = ∆Yk ta cã: ϕk x
O xk
n
α
1 1
Xc = R ∑∆Yk= R.AB
L i=1 L
Thay L = R.2α vµ AB = 2R sinα ta ®−îc: A
H×nh 4.4
R.2 sin α sin α
Xc = = R. (4-7)
R .2 α α
ThÝ dô 4-4: T×m träng t©m cña mét tÊm ph¼ng h×nh tam gi¸c ABC ®ång
chÊt (h×nh 4-5).
Bµi gi¶i: A
Chia tam gi¸c thµnh c¸c d¶i nhá song song
K G
víi ®¸y BC. Mçi d¶i nhá thø i ®−îc coi nh− mét
C
B E C
H×nh 4.5
-52-
thanh m¶nh vµ träng t©m cña nã ®Æt t¹i gi÷a d¶i. Nh− vËy träng t©m cña c¸c d¶i
sÏ n»m trªn ®−êng trung tuyÕn AE vµ träng t©m cña c¶ tam gi¸c còng n»m trªn
AE.
Chøng minh t−¬ng tù ta thÊy träng t©m cña tam gi¸c ph¶i n»m trªn trung
tuyÕn BG vµ trung tuyÕn CK. Râ rµng träng t©m cña tam gi¸c chÝnh lµ giao ®iÓm
cña ba ®−êng trung tuyÕn cña tam gi¸c ®ã.
Trong h×nh häc ta ®· biÕt ®iÓm ®ã ®−îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc:
1
CE = AE
3
ThÝ dô 4-5 T×m träng t©m cña vËt ®ång nhÊt h×nh tø diÖn ABDE nh− h×nh
vÏ (4-6) .
Bµi gi¶i:
Ta chia h×nh thµnh c¸c phÇn nhá nhê c¸c E
mÆt ph¼ng song song víi ®¸y ABD. Mçi tÊm
®−îc coi nh− mét tÊm ph¼ng ®ång chÊt h×nh tam C2 C
gi¸c träng t©m cña mçi phÇn ®−îc x¸c ®Þnh nh− A
ë thÝ dô 4-4. Líp s¸t ®¸y sÏ cã träng t©m lµ C1víi K C1 B
1 D
C1k = BK (BK lµ trung tuyÕn cña ®¸y ABD).
3
Nh− vËy tÊt c¶ c¸c träng t©m cña c¸c phÇn sÏ H×nh 4.6
n»m trªn ®−êng EC1 vµ träng t©m cña c¶ vËt còng sÏ n»m trªn EC1.
T−¬ng tù ta t×m thÊy träng t©m cña vËt n»m trªn ®−êng BC2 víi C2 lµ träng
t©m tam gi¸c EAD. KÕt qu¶ lµ träng t©m C cña h×nh vÏ n»m trªn ®iÓm C lµ giao
®iÓm cña EC1 vµ BC2.
Theo h×nh vÏ ta cã ∆CC1C2 ®ång d¹ng víi ∆ ECB mÆt kh¸c C1C2 =
1 1
BE vµ KC1 = KB tõ ®ã suy ra:
3 3
CC1 CC 1
= 1 2 =
CE BE 3
-53-
1 1
Suy ra CC1 = CE = C1E
3 4
Copyright by webtailieu.net