Chương 4. Hệ phương trình tuyến tính
Nguyễn Thủy Thanh
Bài tập toán cao câp tâp 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006.
Tr 132-176.
Từ khoá: Hệ phương trình tuyến tính, Phương pháp matrân, Phương pháp Gauss,
Phương pháp Gramer, Phương trình tuyến tính, Phương trình tuyến tính thuần
nhất.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.
Chu.o.ng 4
Hˆ phu.o.ng tr`
e
. ´
ınh tuyˆn t´
e ınh
4.1 Hˆ n phu.o.ng tr`
e. ınh v´.i n ˆn c´ dinh th´.c
o ’ o .
a u
kh´c 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
a
4.1.1 Phu.o.ng ph´p ma trˆn . . . . . . . . . . . . 133
a a
.
4.1.2 Phu.o.ng ph´p Cramer . . . . . . . . . . . . 134
a
4.1.3 Phu.o.ng ph´p Gauss . . . . . . . . . . . . . 134
a
4.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr`
e u ´ a
. ´
ınh tuyˆn t´
e ınh . . . 143
4.3 Hˆ phu.o.ng tr`
e
. ´
ınh tuyˆn t´ ` ´
e ınh thuˆn nhˆt . . 165
a a
4.1 Hˆ n phu.o.ng tr`
e
. ınh v´.i n ˆn c´ dinh
o a’ o .
th´.c kh´c 0
u a
Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ trˆn tru.`.ng sˆ P du.o.c goi l` hˆ Cramer1
e. ınh ´
e ınh e o ´
o . . a e .
´u sˆ phu.o.ng tr` b˘ng sˆ ˆn v` dinh th´.c cua ma trˆn co. ban (ma
nˆ o
e ´ ınh a` o ’
´a a . u ’ a
. ’
. . ´
a e o ’ e a a
trˆn hˆ sˆ) cua hˆ l` kh´c khˆng.
. o
1
G. Cramer (1704-1752) l` nh` to´n hoc Thuy S˜
a a a . . ı.
4.1. Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c kh´c 0
e
. ınh o ’
a o . u a 133
Hˆ Cramer c´ dang
e
. o .
a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = h1 ,
a21x1 + a22x2 + · · · + a2n xn = h2 ,
(4.1)
... ... ... ... ... ...
an1 x1 + an2x2 + · · · + ann xn = hn
hay du.´.i dang ma trˆn
o . a
.
AX = H (4.2)
trong d´
o
a11 a12 . . . a1n x1 h1
a21 a22 . . . a2n x2 h2
A=
. . , X = . , H= .
· · · .
.
..
. .
.
.
.
.
.
an1 an2 . . . ann xn hn
ho˘c
a
.
a11 a12 a1n h1
a21 a22 a h
. x1 + . x2 + · · · + 2n xn = .2 .
. . . .
. . .
. .
an1 an2 ann hn
4.1.1 Phu.o.ng ph´p ma trˆn
a a
.
V` detA = 0 nˆn tˆn tai ma trˆn nghich dao A−1. Khi d´ t`. (4.2) ta
ı e ` .
o a
. . ’ o u
thu du.o.c
.
A−1 AX = A−1 H ⇒ EX = X = A−1H.
a e
. . e
. ´
Vˆy hˆ nghiˆm duy nhˆt l`
a a
X = A−1 H. (4.3)
Tuy nhiˆn viˆc t`m ma trˆn nghich dao n´i chung l` rˆt ph´.c tap nˆu
e e ı
. a
. . ’ o a a´ u . ´
e
cˆp cua ma trˆn A l´.n.
´
a ’ a
. o
134 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh
4.1.2 Phu.o.ng ph´p Cramer
a
Nghiˆm duy nhˆt cua hˆ Cramer du.o.c x´c dinh theo cˆng th´.c
e
. ´ ’
a e
. . a . o u
Cramer:
det(Aj )
xj = , j = 1, n (4.4)
detA
trong d´ Aj l` ma trˆn thu du.o.c t`. ma trˆn A b˘ng c´ch thay cˆt
o a a. . u a
. `
a a o
.
th´
u. j bo.i cˆt c´c hˆ sˆ tu. do H, v` c´c cˆt kh´c gi˜. nguyˆn.
’ o a e o . ´ a a o a u e
. . .
4.1.3 Phu.o.ng ph´p Gauss
a
Nˆi dung chu yˆu cua phu.o.ng ph´p Gauss (hay thuˆt to´n Gauss) l`
o
. ’ e ’ ´ a a
. a a
’. liˆn tiˆp c´c ˆn cua hˆ. Thuˆt to´n Gauss du.a trˆn c´c ph´p biˆn
khu e e a a ’ e ´ ’ a a e a e ´
e
. . .
o’
dˆi so a e. cˆp hˆ phu.o.ng tr`
´ . ınh. D´ l` c´c ph´p biˆn dˆi:
o a a e ´ ’
e o
1+ Nhˆn mˆt phu.o.ng tr`nh n`o d´ cua hˆ v´.i mˆt sˆ kh´c 0.
a o
. ı a o ’ e o . . ´
o o a
+
2 Thˆm v`o mˆt phu
e a o .o.ng tr` n`o d´ cua hˆ mˆt phu.o.ng tr`
ınh a o ’ e o ınh
. . .
kh´c nhˆn v´.i mˆt sˆ t`y y.
a a o . ´
o o u ´
3+ Dˆi chˆ hai phu.o.ng tr`nh cua hˆ.
o ’ ˜ o ı ’ e .
Dinh l´. Moi ph´p biˆn dˆi so. cˆp thu.c hiˆn trˆn hˆ phu.o.ng tr`nh
-. y . e ´
e o ’ ´
a . e
. e e . ı
`
(4.1) dˆu du e
e .a dˆn mˆt hˆ phu.o.ng tr` m´.i tu.o.ng du.o.ng.
´ o e ınh o
. .
Viˆc thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn hˆ phu.o.ng tr`nnh
e. . e a
. e ´
e o ’ a´ e e
. ı
(4.1) thu .c chˆt l` thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c h`ng
´
a a . e a e ´
e o ’ ´
a e a a
. .
’
cua ma trˆn mo o a . rˆng cua hˆ.
’ . ’ e
. .
Do d´ sau mˆt sˆ o
o o o
. ´ bu.´.c biˆn dˆi ta thu du.o.c hˆ (4.1) tu.o.ng du.o.ng
´ ’
e o . e .
.i hˆ tam gi´c
v´ e
o . a
b11x1 + b12x2 + · · · + b1n xn = h1
b22x2 + · · · + b2n xn = h2
... ... ...
bnn xn = hn
T`. d´ r´t ra xn , xn−1 , . . . , x2 , x1.
u o u
4.1. Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c kh´c 0
e
. ınh o ’
a o . u a 135
CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. Giai c´c hˆ phu.o.ng tr` sau b˘ng phu.o.ng ph´p ma trˆn
ı . ’ a e . ınh `
a a a.
x1 + x2 + x3 = 4,
1) x1 + 2x2 + 4x3 = 4, (4.5)
x1 + 3x2 + 9x3 = 2.
3x1 + 2x2 − x3 = 1,
2) x1 + x2 + 2x3 = 2, (4.6)
2x1 + 2x2 + 5x3 = 3.
’
Giai. 1) Ta k´ hiˆu
y e .
1 1 1 x1 4
A = 1 2 4 , X = x2 , H = 4 .
1 3 9 x3 2
Khi d´ phu.o.ng tr` (4.5) c´ dang
o ınh o .
AX = H.
e o a
. . ’ a
V` detA = 2 = 0 nˆn A c´ ma trˆn nghich dao v` do vˆy hˆ (4.5) c´
ı a e
. . o
e
. ´
nghiˆm duy nhˆt:
a
X = A−1 H.
˜ a a `
´ a
Dˆ d`ng thˆy r˘ng
e
3 −3 1
5 3
− 4 −
A−1 = 2 2
1 1
−1
2 2
v` do d´
a o
3 −3 1
x1 4
− 5 4 − 3
x2 = 2 2 4 .
1 1 2
x3 −1
2 2
136 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh
Thu.c hiˆn ph´p nhˆn ma trˆn o. vˆ phai ta thu du.o.c
. e
. e a a ’ e ’
. ´ .
x1 = 3 · 4 − 3 · 4 + 1 · 2 = 2,
5 3
x2 = − · 4 + 4 · 4 − · 2 = 3,
2 2
1 1
x3 = · 4 − 1 · 4 + · 2 = −1.
2 2
2) Viˆt ma trˆn A cua hˆ v` t`m A−1:
´
e a
. ’ e a ı
.
3 2 −1 1 −12 5
A = 1 1 2 ⇒ A−1 = −1 17 −7 .
2 2 5 0 −2 1
T`. d´ suy r˘ng
u o `
a
x1 1 −12 5 1 −8
x2 = −1 17 −7 2 = 12
x3 0 −2 1 3 −1
t´.c l`
u a
x1 = 8, x2 = 12, x3 = −1.
V´ du 2. Ap dung quy t˘c Cramer, giai c´c hˆ phu.o.ng tr`
ı . ´ . ´
a ’ a e . ınh
x1 + 2x2 + 3x3 = 6,
1) 2x1 − x2 + x3 = 2, (4.7)
3x1 − x2 − 2x3 = 2.
x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = 6,
2x1 + 3x2 − 4x3 + 4x4 = 7,
2) (4.8)
3x1 + x2 − 2x3 − 2x4 = 9,
x1 − 3x2 + 7x3 + 6x4 = −7.
Giai. 1) Ap dung cˆng th´.c (4.4)
’ ´ . o u
det(Aj )
xj = , j = 1, 3
detA
4.1. Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c kh´c 0
e
. ınh o ’
a o . u a 137
trong d´
o
1 2 3 6 2 3
detA = 3 −1 1 = 30 = 0; detA1 = 2 −1 1 = 30;
3 1 −2 2 1 −2
1 6 3 1 2 6
detA2 = 2 2 1 = 30; detA3 = 2 −1 2 = 30.
3 2 −2 3 1 2
T`. d´ suy ra
u o
x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1.
2) T´ dinh th´.c cua hˆ:
ınh . u ’ e .
1 −2 3 −1
2 3 −4 4
detA = = 35.
3 1 −2 −2
1 −3 7 6
V` detA = 0 nˆn hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt v` nghiˆm du.o.c t` theo
ı e e o
. e
. ´
a a e
. . ım
cˆng th´.c (4.4). Ta t´ c´c dinh th´.c
o u ınh a . u
6 −2 3 −1
−7 3 −4 4
det(A1) = = 70,
9 1 −2 −2
−7 −3 7 6
138 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh
1 6 3 −1
2 −7 −4 4
det(A2 ) = = −35,
3 9 −2 −2
1 −7 7 6
1 −2 6 −1
2 3 −7 4
det(A3 ) = = 0,
3 1 9 −2
1 −3 −7 6
1 −2 3 6
2 3 −4 −7
det(A4 ) = = −70.
3 1 −2 9
1 −3 7 −7
o
Do d´
det(A1) det(A2)
x1 = = 2, x2 = = −1,
detA detA
det(A3) det(A4)
x3 = = 0, x4 = = −2.
detA detA
V´ du 3. Ap dung phu.o.ng ph´p Gauss giai c´c hˆ phu.o.ng tr`nh
ı . ´ . a ’ a e . ı
1)
x1 − 2x3 = −3,
−2x1 + x2 + 6x3 = 11,
−x1 + 5x2 − 4x3 = −4.
2)
2x1 − x2 + 3x3 − x4 = 9,
x1 + x2 − 2x3 + 4x4 = −1,
3x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 0,
5x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = 9.
4.1. Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c kh´c 0
e
. ınh o ’
a o . u a 139
Giai. 1) Lˆp ma trˆn mo. rˆng v` thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi:
’ a
. a
. ’ o . a . e a
. e ´ ’
e o
1 0 −2 −3 1 0 −2 −3
A = −2 1 6 11 h2 + 2h1 → h2 −→ 0 1 2 5
−1 5 −4 −4 h3 + h1 → h3 0 5 −6 −7
1 0 −2 −3
−→ 0 1 2 5 .
h3 − 5h2 → h3 0 0 −16 −32
T`. d´ suy ra
u o
x1 − 2x3 = −3
x2 + 2x3 = 5 ⇒ x1 = 1, x2 = 1, x3 = 2.
−16x3 = −32
2) Lˆp ma trˆn mo. rˆng v` thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp:
a
. a
. ’ o . a . e a
. e ´ ’
e o ´
a
2 −1 3 −1 9 h1 → h2 1 1 −2 4 −1
1 1 −2 4 h → h
−1 2 2 −1 3 −1 9
1
−→
3 2 −1 3 0 3 2 −1 3 0
5 −2 1 −2 9 5 −2 1 −2 9
−→ 1 1 −2 4 −1
0 −3 7 −9
h2 − 2h1 → h2 11 h2 → h3
−→
h3 − 3h1 → h3 0 −1 5 −9 3 h3 → h2
h4 − 5h1 → h4 0 −7 11 −22 14
140 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh
1 1 −2 4 −1
0 −1 5 −9 3
−→
0 −3 7 −9 11 h3 − 3h2 → h3
0 −7 11 −22 14 h4 − 7h2 → h4
1 1 −2 4 −1
0 −1 5 −9 3
−→
0 0 −8 18 2
0 0 −24 41 −7
1 1 −2 4 −1
0 −1 5 −9 3
−→
0 0 −8 18 2
h4 − 3h3 → h4 0 0 0 −13 −13
T`. d´ suy ra r˘ng x1 = 1, x2 = −2, x3 = 2, x4 = 1.
u o `
a
` ˆ
BAI TAP
.
Giai c´c hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ sau
’ a e . ı ´
e ınh
x1 − x2 + 2x3 = 11,
1. x1 + 2x2 − x3 = 11, . (DS. x1 = 9, x2 = 2, x3 = 2)
4x1 − 3x2 − 3x3 = 24.
x1 − 3x2 − 4x3 = 4,
2. 2x1 + x2 − 3x3 = −1, . (DS. x1 = 2, x2 = −2, x3 = 1)
3x1 − 2x2 + x3 = 11.
2x1 + 3x2 − x3 = 4,
3. x1 + 2x2 + 2x3 = 5, . (DS. x1 = x2 = x3 = 1)
3x1 + 4x2 − 5x3 = 2.
4.1. Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ dinh th´.c kh´c 0
e
. ınh o ’
a o . u a 141
x1 + 2x2 + x3 = 8,
4. −2x1 + 3x2 − 3x3 = −5, . (DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3)
3x1 − 4x2 + 5x3 = 10.
2x1 + x2 − x3 = 0,
5. 3x2 + 4x3 = −6, . (DS. x1 = 1, x2 = −2, x3 = 0)
x1 + x3 = 1.
2x1 − 3x2 − x3 + 6 = 0,
6. 3x1 + 4x2 + 3x3 + 5 = 0, . (DS. x1 = −2, x2 = 1, x3 = −1)
x1 + x2 + x3 + 2 = 0.
x2 + 3x3 + 6 = 0,
7. x1 − 2x2 − x3 = 5, . (DS. x1 = 3, x2 = 0, x3 = −2)
3x1 + 4x2 − 2x = 13.
2x1 − x2 + x3 + 2x4 = 5,
x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 4,
8. .
5x1 + 4x2 + 3x3 = 2,
3x1 − 3x2 − x3 − 6x4 = −6.
1 2 4
(DS. x1 = , x2 = − , x3 = 1, x4 = )
3 3 3
x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = −8,
2x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 19,
9. .
4x1 − x2 + x3 + x4 = −1,
3x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −2.
1 3 1
(DS. x1 = − , x2 = , x3 = − , x4 = 3)
2 2 2
x1 − x3 + x4 = 3,
2x1 + 3x2 − x3 − x4 = 2,
10. .
5x1 − 3x4 = −6
x1 + x2 + x3 + x4 = 2.
(DS. x1 = 0, x2 = 1, x3 = −1, x4 = 2)
142 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh
2x1 + 3x2 + 8x4 = 0,
x2 − x3 + 3x4 = 0,
11. .
x3 + 2x4 = 1,
x1 + x4 = −24
(DS. x1 = −19, x2 = 26, x3 = 11, x4 = −5)
3x1 + x2 − x3 + x4 = 0,
2x1 + 3x2 − x4 = 0,
12. .
x1 + 5x2 − 3x3 = 7,
3x2 + 2x3 + x4 = 2,
(DS. x1 = −1, x2 = 1, x3 = −1, x4 = 1)
x1 − 2x2 + x3 − 4x4 − x5 = 13,
x1 + 2x2 + 3x3 − 5x4 = 15,
13. x2 − 2x3 + x4 + 3x5 = −7, .
x1 − 7x3 + 8x4 − x5 = −30,
3x1 − x2 − 5x5 = 4.
(DS. x1 = 1, x2 = −1, x3 = 2, x4 = −2, x5 = 0)
x1 + x2 + 4x3 + x4 − x5 = 2,
x1 − 2x2 − 2x3 + 3x5 = 0,
14. 4x2 + 3x3 − 2x4 + 2x5 = 2, .
2x1 − x3 + 3x4 − 2x5 = −2,
3x1 + 2x2 − 5x4 + 3x5 = 3.
2 3 4
(DS. x1 = , x2 = − , x3 = , x4 = 0, x5 = 0)
5 5 5
4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´
e u ´ a
. ınh ´
e ınh 143
4.2 Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´
e u ´ a
. ınh ´
e ınh
Ta x´t hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´nh gˆm m phu.o.ng tr` v´.i
e e u ´ a
. ınh ´
e ı `
o ınh o
’
n ˆn
a
a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = b1 ,
a21x1 + a22x2 + · · · + a2n xn = b2 ,
(4.9)
... ... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + · · · + amn xn = bm ,
v´.i ma trˆn co. ban
o a
. ’
a11 a12 . . . a1n
A = . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
v` ma trˆn mo. rˆng
a a
. ’ o .
a11 a12 . . . a1n b1
A = . . . . . . . . . . . . ...
am1 am2 . . . amn bm
Hiˆn nhiˆn r˘ng r(A) r(A) v` mˆ i dinh th´.c con cua A dˆu l` dinh
’
e e a ` ˜
ı o . u ’ ` a .
e
th´u .c con cua A nhu.ng khˆng c´ diˆu ngu.o.c lai. Ta luˆn luˆn gia thiˆt
’ o o ` e o o ’ ´
e
. .
r˘ng c´c phˆn tu. cua ma trˆn A khˆng dˆng th`.i b˘ng 0 tˆt ca.
`
a a `
a ’ ’ a
. o `
o o a ` ´
a ’
Ngu.`.i ta quy u.´.c goi dinh th´.c con kh´c 0 cua mˆt ma trˆn m`
o o . . u a ’ o
. a
. a
´
a ’ o a ` ’
cˆp cua n´ b˘ng hang cua ma trˆn d´ l` dinh th´
a o a . u.c con co. so. cua n´.
’ ’ o
. .
Gia su. dˆi v´.i ma trˆn d˜ cho ta d˜ chon mˆt dinh th´.c con co. so..
’ ’ o o ´ a a
. a . o .
. u ’
Khi d´ c´c h`ng v` c´c cˆt m` giao cua ch´ng lˆp th`nh dinh th´.c
o a a a a o . a ’ u a
. a . u
. so. d´ du.o.c goi l` h`ng, cˆt co. so..
con co ’ o ’
. . a a o
.
Dinh ngh˜ 1+ Bˆ c´ th´. tu. n sˆ (α1 , α2 , . . . , αn ) du.o.c goi l` nghiˆm
-. ıa. o o u .
. o´ . . a e
.
’ e ´
cua hˆ (4.9) nˆu khi thay x = α1 , x = α2 , . . . , x = αn v`o c´c phu
e a a .o.ng
.
ınh ’ ´
e ’
tr` cua (4.9) th` hai vˆ cua mˆ i phu
ı ˜
o .o.ng tr`nh cua (4.9) tro. th`nh
ı ’ ’ a
` ´
dˆng nhˆt.
o a
144 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh
2+ Hˆ (4.9) du.o.c goi l` tu.o.ng th´ch nˆu c´ ´ nhˆt mˆt nghiˆm v`
e. . . a ı ´
e o ıt a ´ o . e
. a
goi l` khˆng tu.o.ng th´ch nˆu n´ vˆ nghiˆm.
´
. a o ı e o o e
.
+
3 Hˆ tu
e .o.ng th´ du.o.c goi l` hˆ x´c dinh nˆu n´ c´ nghiˆm duy
ıch ´
. . . a e a .
. e o o e
.
´
a a . a e o . ´
e o o `
nhˆt v` goi l` hˆ vˆ dinh nˆu n´ c´ nhiˆu hoe .n mˆt nghiˆm.
o e
. . .
Dinh l´ Kronecker-Capelli.2 Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´nh (4.9)
-. y e
. ı ´
e ı
tu.o.ng th´ch khi v` chı khi hang cua ma trˆn co. ban b˘ng hang cua
ı a ’ . ’ a
. ’ `
a . ’
ma trˆn mo o
a . rˆng cua hˆ, t´.c l` r(A) = r(A).
’ . ’ e u a
. .
´ .i hˆ tu.o.ng th´ ngu.`.i ta goi c´c ˆn m` hˆ sˆ cua ch´ng lˆp
’
Dˆi v´ e
o o . ıch o . a a . ´
a e o ’ u a
.
nˆn dinh th´
e . u .c con co. so. cua ma trˆn co. ban l` ˆn co. so., c´c ˆn c`n
’ ’ a ’ aa ’ ’ a a o ’
.
.o.c goi l` ˆn tu. do.
lai du . ’ .
. . aa
.o.ng ph´p chu yˆu dˆ giai hˆ tˆng qu´t l`:
´ ’
Phu a ’ e e ’ e o . ’ a a
´ ´
1. Ap dung quy t˘c Kronecker-Capelli.
. a
2. Phu .o.ng ph´p khu. dˆn c´c ˆn (phu.o.ng ph´p Gauss).
a ’ ` a a
a ’ a
Quy t˘c Kronecker-Capelli gˆm c´c bu.´.c sau.
´
a `
o a o
1+ Khao s´t t´ tu.o.ng th´ cua hˆ. T´ hang r(A) v` r(A)
’ a ınh ıch ’ e ınh .
. a
a) Nˆu r(A) > r(A) th` hˆ khˆng tu.o.ng th´ch.
´
e ı e o
. ı
´
b) Nˆu r(A) = r(A) = r th` hˆ tu
e ı e .o.ng th´ ıch. T`m dinh th´.c con
ı u
. .
. so. cˆp r n`o d´ (v` do vˆy r ˆn co. so. tu.o.ng u.ng xem nhu. du.o.c
co ’ a ´ a o a a ’
a ’ ´
. .
chon) v` thu du . e
a .o.c hˆ phu.o.ng tr` tu.o.ng du.o.ng gˆm r phu.o.ng tr`
ınh `
o ınh
. .
.i n ˆn m` (r × n)-ma trˆn hˆ sˆ cua n´ ch´.a c´c phˆn tu. cua dinh
’ `
v´
o a a . . ´
a e o ’ o u a a ’ ’ .
th´
u .c con co. so. d˜ chon. C´c phu.o.ng tr` c`n lai c´ thˆ bo qua.
’ a . a ınh o . o e ’ ’
2+ T` nghiˆm cua hˆ tu.o.ng du.o.ng thu du.o.c
ım e
. ’ e
. .
a) Nˆu r = n, ngh˜ l` sˆ ˆn co. so. b˘ng sˆ ˆn cua hˆ th` hˆ c´
´
e ıa a o a ´ ’ ’ a ` ´ ’
o a ’ e ı e o
. .
nghiˆm duy nhˆ a o e
e
. a´t v` c´ thˆ t`m theo cˆng th´.c Cramer.
’ ı o u
´
b) Nˆu r < n, ngh˜ l` sˆ ˆn co ’ e
e ıa a o a ´ ’ . so. b´ ho.n sˆ ˆn cua hˆ th` ta
´ ’ ’
o a e ı
.
chuyˆ e ’n n − r sˆ hang c´ ch´.a ˆn tu. do cua c´c phu.o.ng tr`nh sang
´ .
o o u a ’ . ’ a ı
´ ’ e
vˆ phai dˆ
e ’ thu du.o.c hˆ Cramer dˆi v´.i c´c ˆn co. so.. Giai hˆ n`y ta
. e
. ´
o o a a ’ ’ ’ e a
.
thu du . a.o.c c´c biˆu th´.c cua c´c ˆn co. so. biˆu diˆn qua c´c ˆn tu. do.
’
e u ’ a a ’ ’ e ’ ˜
e ’
a a .
2
L. Kronecker (1823-1891) l` nh` to´n hoc D´.c,
a a a . u
A. Capelli (1855-1910) l` nh` to´n hoc Italia.
a a a .
4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´
e u ´ a
. ınh ´
e ınh 145
D´ l` nghiˆm tˆng qu´t cua hˆ. Cho n − r ˆn tu. do nh˜.ng gi´ tri cu
o a e. o’ a ’ e . ’
a . u a . .
’
thˆ t`y y ta t` du . a
e u ´ ım .o.c c´c gi´ tri tu.o.ng u.ng cua ˆn co. so.. T`. d´ thu
a . ´ ’ a ’ ’ u o
du.o.c nghiˆm riˆng cua hˆ.
. e
. e ’ e .
Tiˆp theo ta tr` b`y nˆi dung cua phu.o.ng ph´p Gauss.
´
e ınh a o . ’ a
o ’ o’ a o e ’
Khˆng giam tˆng qu´t, c´ thˆ cho r˘ng a11 = 0. Nˆi dung cua `
a o
. ’
phu.o.ng ph´p Gauss l` nhu. sau.
a a
+
1 Thu .c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c phu.o.ng tr` cua
e a e ´ ’
e o ´
a e a ınh ’
. .
hˆ dˆ thu du.o.c hˆ tu.o.ng du.o.ng m` b˘t dˆu t`. phu.o.ng tr` th´. hai
. ’
e e . e . ´ a
a a ` u ınh u
moi phu .o.ng tr`nh dˆu khˆng ch´.a ˆn x1. K´ hiˆu hˆ n`y l` S (1).
ı `
e o u a ’ y e e a a
. . .
2 C˜ng khˆng mˆt tˆng qu´t, c´ thˆ cho r˘ng a22 = 0. Lai thu.c
+
u o ´ ’
a o a o e ’ `
a . .
hiˆn c´c ph´p biˆ o
e a
. e ´n dˆi so. cˆp trˆn c´c phu.o.ng tr` cua hˆ S (1) (tr`.
e ’ ´
a e a ınh ’ e . u
ra phu .o.ng tr` th´. nhˆt du.o.c gi˜. nguyˆn!) nhu. d˜ l`m trong bu.´.c
ınh u ´
a u e a a o
.
+
1 ta thu du . e .o.c hˆ tu.o.ng du.o.ng m` b˘t dˆu t`. phu.o.ng tr`nh th´. ba
´ a
a a ` u ı u
.
moi phu.o.ng tr`nh dˆu khˆng ch´.a ˆn x2 ,...
. ı `
e o u a ’
3+ Sau mˆt sˆ bu.´.c ta c´ thˆ g˘p mˆt trong c´c tru.`.ng ho.p sau
. ´ o
o o o e a ’ . o
. a o .
dˆy.
a
a) Thˆy ngay du.o.c hˆ khˆng tu.o.ng th´ch.
´
a . e o . ı
b) Thu du . .o.c mˆt hˆ “tam gi´c”. Hˆ n`y c´ nghiˆm duy nhˆt.
o e a e a o e ´
a
. . . .
c) Thu du.o.c mˆt “hˆ h`nh thang” dang
. o
. e ı
. .
a11x1 + a12x2 + ... + a1n xn = h1 ,
b22x2 + ... + b2n xn = h2 ,
... ... ... ...
brr xr + · · · + brn xn = hr ,
0 = hr+1 ,
... ...
0 =h . m
´ a o ´
Nˆu c´c sˆ hr+1 , . . . , hm
e kh´c 0 th` hˆ vˆ nghiˆm. Nˆu hr+1 =
a ı e o . e
. e´
· · · = hm = 0 th` hˆ c´
ı e o
. nghiˆm. Cho xr+1 = α, . . . , xm = β th`
e
. ı
thu du ..o.c hˆ Cramer v´.i
e o ˆn l` x1, . . . , xr . Giai hˆ d´ ta thu du.o.c
’
a a ’ e o
. . .
146 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh
e
. a e
. ’
nghiˆm x1 = x1 ; x2 = x2, . . . , xr = xr v` nghiˆm cua hˆ d˜ cho l` e a
. a
(x1 , x2 , . . . , xr , α, . . . , β).
Lu.u y r˘ng viˆc giai hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´nh b˘ng phu.o.ng
´ ` a e. ’ e
. ı ´
e ı `
a
ph´p Gauss thu
a .c chˆt l` thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c
´
a a . e a e ´ ’
e o a´ e a
. .
h`ng cua ma trˆn mo. rˆng cua hˆ du.a n´ vˆ dang tam gi´c hay dang
a ’ a. ’ o . ’ e . o ` .
e a .
h`nh thang.
ı
CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. Giai hˆ phu.o.ng tr`
ı . ’ e . ınh
3x1 − x2 + x3 = 6,
x1 − 5x2 + x3 = 12,
2x1 + 4x2 = −6,
2x1 + x2 + 3x3 = 3,
5x1 + 4x3 = 9.
’ ım . ’ a
Giai. 1. T` hang cua c´c ma trˆn
a
.
3 −1 1 3 −1 1 6
1 −5 1 1 −5 1 12
A= 2 4 0 , A = 2 4 0 −6
2 1 3 2 1 3 3
5 0 4 5 0 4 9
Ta thu du.o.c r(A) = r(A) = 3. Do d´ hˆ tu.o.ng th´ch.
. o e
. ı
Ta chon dinh th´.c con co. so. l`
. . u ’ a
1 −5 1
∆= 2 4 0
2 1 3
v` ∆ = 36 = 0 v` r(A) = 3 v` c´c ˆn co. so. l` x1, x2, x3 .
ı a a a a ’ ’ a
4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´
e u ´ a
. ınh ´
e ınh 147
2. Hˆ phu.o.ng tr` d˜ cho tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ
e
. ınh a o e .
x1 − 5x2 + x3 = 12,
2x1 + 4x2 = −6,
2x1 + x2 + 3x3 = 3.
Sˆ ˆn co. so. b˘ng sˆ ˆn cua hˆ nˆn hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt l` x1 = 1,
´ ’
oa ’ a ` ´ ’
oa ’ e e e o
. . e
. ´
a a
x2 = −2, x4 = 1.
V´ du 2. Giai hˆ phu.o.ng tr`
ı . ’ e . ınh
x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 7,
2x1 + 4x2 + 5x3 − x4 = 2,
5x1 + 10x2 + 7x3 + 2x4 = 11.
’
Giai. T`
ım ’ a
hang cua c´c ma trˆn
. a
.
1 2 −3 4 1 2 −3 4 7
A = 2 4 5 −1 , A = 2 4 5 −1 2
5 10 7 2 5 10 7 2 11
Ta thu du.o.c r(A) = r(A) = 2. Do d´ hˆ tu.o.ng th´ch.
. o e . ı
’ ´
Ta c´ thˆ lˆy dinh th´
o e a . u.c con co. so. l`
’ a
2 −3
∆=
4 5
v` ∆ = 22 = 0 v` cˆp cua dinh th´.c = r(A) = 2. Khi chon ∆ l`m
ı a a ´ ’ . u . a
dinh th´
u.c con, ta c´ x2 v` x3 l` ˆn co. so..
o a aa ’ ’
.
Hˆ d˜ cho tu
e a .o.ng du.o.ng v´.i hˆ
o e
. .
x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 7,
2x1 + 4x2 + 5x3 − x4 = 2
hay
2x2 − 3x3 = 7 − x1 − 4x4 ,
4x2 + 5x3 = 2 − 2x1 + x4.
148 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh
’
o e ’ e . ´
2. Ta c´ thˆ giai hˆ theo quy t˘c Cramer. D˘t x1 = α, x4 = β ta
a a
.
c´
o
2x2 − 3x3 = 7 − α − 4β,
4x2 + 5x3 = 2 − 2α + β.
Theo cˆng th´.c Cramer ta t`m du.o.c
o u ı .
7 − α − 4β −3
2 − 2α + β 5 41 − 11α − 17β
x2 = = ,
22 22
2 7 − α − 4β
4 2 − 2α + β −24 + 18β
x3 = = ·
22 22
Do d´ tˆp ho.p c´c nghiˆm cua hˆ c´ dang
o a. . a e
. ’ e o .
.
41 − 11α − 17β 9β − 12
α; ; ; β ∀ α, β ∈ R
22 11
V´ du 3. B˘ng phu.o.ng ph´p Gauss h˜y giai hˆ phu.o.ng tr`
ı . `
a a a ’ e . ınh
4x1 + 2x2 + x3 = 7,
x1 − x2 + x3 = −2,
2x1 + 3x2 − 3x3 = 11,
4x1 + x2 − x3 = 7.
’ . e e ’ e
. o’ ˜
Giai. Trong hˆ d˜ cho ta c´ a11 = 4 = 0 nˆn dˆ cho tiˆn ta dˆi chˆ
e a o o
hai phu .o.ng tr` dˆu v` thu du.o.c hˆ tu.o.ng du.o.ng
ınh `a a . e .
x1 − x2 + x3 = −2,
4x1 + 2x2 + x3 = 7,
2x1 + 3x2 − 3x3 = 11,
4x1 + x2 − x3 = 7.
4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´
e u ´ a
. ınh ´
e ınh 149
Tiˆp theo ta biˆn dˆi ma trˆn mo. rˆng
´
e ´ ’
e o a
. ’ o.
1 −1 1 −2
4 2 1 7 h2 − 4h1 → h2
A=
2 3 −3 11 h3 − 2h1 → h3
4 1 −1 7 h4 − 4h1 → h4
1 −1 1 −2
0 6 −3 15
−→ →
0 5 −5 15
0 5 −5 15 h4 − h3 → h4
1 −1 1 −2
0 6 −3 15 h2 × 5 → h2
−→ −→
0 5 −5 15 h3 × 6 → h3
0 0 0 0
1 −1 1 −2 h3 − h2 → h3 1 −1 1 −2
0 30 −15 75 0 30 −15 75
−→ −→ .
0 30 −30 90 0 0 −15 15
0 0 0 0 0 0 0 0
T`. d´ thu du.o.c hˆ tu.o.ng du.o.ng
u o . e .
x1 − x2 + x3 = −2
30x2 − 15x3 = 75
−15x3 = 15
v` do d´ thu du.o.c nghiˆm x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1.
a o . e
.
V´ du 4. Giai hˆ phu.o.ng tr`
ı . ’ e . ınh
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = −1,
2x1 + 2x2 + 3x4 + x5 = 1,
2x3 + 2x4 − x5 = 1,
−2x3 + 4x4 − 3x5 = 7,
6x3 + 3x4 − x5 = −1.
150 Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´
e
. ı ´
e ınh
Giai. 1) B˘ng c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp (chı thu.c hiˆn trˆn c´c
’ `
a a e ´
e o ’ a´ ’ . e
. e a
a a . rˆng A du.o.c du.a vˆ ma trˆn bˆc thang
’ .
h`ng !) ma trˆn mo o `
e a a
. . . .
1 1 1 1 1 −1
0 0 −2 1 −1 3
A −→ 0 0 0 3 −2
4 .
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
2) Ma trˆn n`y tu.o.ng u.ng v´.i hˆ phu.o.ng tr`
a a
. ´ o e . ınh
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = −1,
−2x3 + x4 − x5 = 3,
3x4 − 2x5 = 4.
hˆ n`y tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ d˜ cho v` c´ x1, x3, x4 l` ˆn co. so., c`n
e a
. o e a. a o a a’ ’ o
x2 , x5 l` ˆn tu. do.
’
aa .
3) Chuyˆn c´c sˆ hang ch´.a ˆn tu. do sang vˆ phai ta c´
’
e a o . ´ ’
u a . ´
e ’ o
x1 + x3 + x4 = −1 − x2 − x5 ,
−2x3 + x4 = 3 + x5,
3x4 = 4 + 2x5.
4) Giai hˆ n`y (t`. du.´.i lˆn) ta thu du.o.c nghiˆm tˆng qu´t
’ e a
. u o e . e
. o’ a
−3 − 3x2 − x5
x1 = ,
2
−5 − x5 4 + 2x5
x3 = , x4 = ·
6 3
V´ du 5. Giai hˆ phu.o.ng tr`
ı . ’ e . ınh
x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4 + 9x5 = 1,
x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 5x5 = 2,
2x1 + 11x2 + 12x3 + 25x4 + 22x5 = 4.
Copyright by webtailieu.net