Chương 4: Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục
Tham khảo tài liệu 'chương 4: chất lượng của hệ tuyến tính liên tục', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
I. Các tiêu chuẩn chất lượng
Độ chính xác của hệ thống : sai lệch tĩnh hay sai số xác lập
dA
A
A
SB =
Độ nhạy của A đối với B: dB
B
Đáp ứng quá độ: ngõ ra của hệ thống theo thời gian
1
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
II. Các tiêu chuẩn chất lượng trong miền thời gian
1. Tín hiệu thử
- Xung đơn vị : r(t) = δ (t)
r(t)
- Hàm nấc (bước) đơn vị : r(t) = 1(t).
Còn gọi là hàm vị trí và sai số
xác lập tương ứng gọi là sai số vị
trí
- Hàm dốc: r(t) =t. 1(t).
t
Còn gọi là hàm vận tốc và sai số xác
lập tương ứng gọi là sai số vận tốc
- Hàm parabol: r(t) =t2/2 .1(t).
Còn gọi là hàm gia tốc và sai số xác
lập tương ứng gọi là sai số gia tốc
2
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
2. Các chỉ tiêu chất lượng trong miền thời gian
a. Sai lệch tĩnh (sai số xác lập)
exl = lim e(t ) = lim p.E ( p)
t →∞ p →0
e(t) là sai lệch giữa tín hiệu vào và tín hiệu hồi tiếp
R E(p) C
E(p) = R(p) – H(p).G(p).E(p) G
-
E(p).(1+G(p).H(p)) = R(p)
H
E ( p) 1
=
R( p) 1 + G ( p) H ( p)
Sai lệch tĩnh không những phụ thuộc vào hệ thống và cả ngõ vào
3
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
max
+ Độ vọt lố (độ quá điều
chỉnh) C C
−C ∞ .100% 0,95
max
σ max = 0,9
C∞
C∞ = lim c(t ) 0,5
Với
t →∞
l
0,1
+ Thời gian quá độ Tqđ đ qđ
T
t
là thời gian kết thúc quá trình quá độ, sau đóT T
T lập
đáp ứng không sai lệch khỏi gián trị xác
quá 5%.
+ Số lần dao động. + Thời gian trễ Tt. + Thời gian lên Tl.
4
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
3. Sai số xác lập (Sai số tĩnh)
p.R ( p )
exl = lim e(t ) = lim p.E ( p ) = lim
p →0 1 + G ( p ) H ( p )
t →∞ p →0
+ Tín hiệu vào là hàm nấc (hàm bước)
r(t) = 1(t) R(p) = 1/p
1
p.
1 1
p
exl = lim = lim =
p →0 1 + G ( p ) H ( p ) p →0 1 + G ( p ) H ( p ) 1 + K p
K p = lim G ( p ) H ( p )
Với
p →0
Kp : hệ số sai số vị trí
5
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
+ Tín hiệu vào là hàm dốc
r(t) = t. 1(t) R(p) = 1/p2
1
p. 2
1
p
exl = lim = lim
p →0 1 + G ( p ) H ( p ) p →0 p + p.G ( p ) H ( p )
1 1
= =
lim p.G ( p ).H ( p ) K v
p →0
K v = lim pG ( p ) H ( p )
Với
p →0
Kv : hệ số sai số vận tốc
6
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
+ Tín hiệu vào là hàm parabol
r(t) = t2/2. 1(t) R(p) = 1/p3
1
p. 3
1
p
exl = lim = lim 2
p →0 1 + G ( p ) H ( p ) p →0 p + p 2 .G ( p ) H ( p )
1 1
= =
lim p 2 .G ( p ).H ( p ) K a
p →0
K a = lim p 2G ( p ) H ( p )
Với
p →0
Ka : hệ số sai số gia tốc
7
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
III. Các tiêu chuẩn chất lượng trong miền tần số
+ Băng thông: độ rộng tần số Mđ
từ ω = 0 đến ω = ωc
3 dB
BW
+ Đỉnh cộng hưởng Mđ: là giá
trị cực đại của M(ω). ωđ ωc
+ Tần số cộng hưởng ωđ : là tần số tại
đó xảy ra đỉnh cộng hưởng.
+ Biên dự trữ và Pha dự trữ (chương 3)
8
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
IV. Chất lượng quá độ hệ bậc 2
R
Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị C
G
-
Hàm truyền kín là khâu bậc 2:
ωn 2
M ( p) =
p 2 + 2δ ωn p + ωn 2
Ta tính được hàm truyền hở:
ωn 2
M ( p)
G ( p) = =
1 − M ( p ) p( p + 2δ ωn )
9
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
PTDT có dạng: p2 + 2δωnp + ωn2 = 0
2δ ωn p
+1 = 0
Chia 2 vế cho p2 + ωn2 ta có:
2 2
p +ω
2δ ωn p
Vẽ quỹ đạo nghiệm của phụ thuộc theo δ
2 2
p +ω
ta sẽ có tập hợp nghiệm p phụ thuộc vào δ
δ=0
δ=1
δ=∞ δ=∞
δ=0
10
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
1. Đáp ứng bước của hệ bậc hai
Tín hiệu vào : R(p) = 1/p
−1 ωn 2
c(t ) = L
Đáp ứng quá độ
2
2
2
p ( p + 2δ ωn + ωn
Ta có các trường hợp sau :
+ δ >1 : giảm chấn lố.
( )
p1, 2 = − δ ± δ 2 − 1 ωn
Nghiệm của PTDT là
Biến đổi Laplace ngược ta có
−(δ − δ 2 −1)ωn t −(δ + δ 2 −1)ωn t
e e
) )
( (
c( t ) = 1− +
2 δ − δ 2 −1 δ 2 −1 2 δ + δ 2 −1 δ 2 −1
11
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
+ δ = 1: Giảm chấn tới hạn
Nghiệm của PTDT là p1 = p2 = ωn
c(t ) = 1 − (1 + ωnt )e −ωnt
Biến đổi Laplace ngược ta có
+ δ < 1: Giảm chấn thiếu
Nghiệm đặc trưng là nghiệm phức liên hợp
p1,2 = −δ ωn ± jωn 1 − δ 2 = −α ± jΩ
Biến đổi Laplace ngược ta có
e − αt
− αt
δ
sin ( Ωt + φ)
cos Ωt + sin Ωt = 1 −
c(t ) = 1 − e
2 2
1− δ 1− δ
cos φ = δ, sin φ = 1 − δ 2
Với
12
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
Đáp ứng bước theo thời gian của hệ bậc 2
δ=0
δ 1 δ =0
13
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
2. Các chỉ tiêu chất lượng của hệ bậc 2
a. Trong miền thời gian
dc(t )
=0
Tìm độ vọt lố ta giải phương trình sau
dt
Ta tìm được thời gian để hệ đạt được giá trị cực đại
π
Tđ =
ωn 1 − δ 2
và giá trị cực đại:
− πδ − πδ
1−δ2 1−δ 2 .100%
Cmax = 1 + e ⇒ σ max = e
14
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
Để tìm thời gian quá độ Tqđ ta giải : | Cmax(min) – C∞ | = 5 %
nπ 4
Ta tìm được = ≈ = 4τ
Tqđ
Ω ωn δ
1 1
τ= = : hằng số thời gian của hệ bậc 2
ωn δ α
b. Trong miền tần số
Hàm truyền hệ kín:
ωn 2 1
M ( jω) = =
2
ω2
2
ω
( jω) + j 2δ ωn ω + ωn
1− + j 2δ
ωn
ωn 2
15
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
d M (ω)
=0
Tìm đỉnh cộng hưởng :
dω
Giải phương trình trên ta được:
1
ωđ = ωn 1 − 2δ 2 M=
Và
2δ 1 − δ 2
1
M=
+ δ < 0.707, đáp ứng tần số có đỉnh cộng hưởng
2δ 1 − δ 2
+ δ = 0.707 :đáp ứng tần số | M(ω) | phẳng tối đa
+ δ > 0.707 |M(ω)| không có đỉnh cộng hưởng
16
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
δ < 0.707
δ = 0.707
δ > 0.707
17
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
V. Cặp nghiệm khống chế
Là cặp nghiệm phức liên hợp của PTĐT của hệ kín gần trục
ảo nhất trong miền TMP
Hệ kín có cặp nghiệm khống chế: -σ 0 ± jω 0 thì nó tương
đương với hệ bậc 2 có tần số tự nhiên:
ωn = σ 2 − ω0 2
σ0
δ= = cos φ
Và hệ số giảm chấn:
σ0 2 + ω0 2
Xét Chất lượng hệ bậc cao thông qua hệ bậc 2 với cặp
nghiệm khống chế sẽ chính xác nếu các cực và zero của hệ
bậc cao nằm bên trái cặp nghiệm khống chế
18
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
V. Các kiểu điều khiển R C
G
-
Cho hệ hồi tiếp đơn vị:
1. Điều khiển tỷ lệ P
Ví dụ G(p) là khâu bậc 2 R C
G
Kp
-
ωn 2
G ( p) =
p ( p + 2δ ωn )
tín hiệu sai lệch được khuếch đại
Kp lần nên hệ sẽ nhanh chóng đạt
được trạng thái xác lập
Để giảm sai lệch người ta tăng độ lợi Kp
tuy nhiên Kp tăng dẫn đến độ vọt lố tăng
và có thể dẫn đến hệ mất ổn định.
19
Điều khiển tự động
Chương 4. Chất lượng của hệ tuyến tính liên tục.
2. Điều khiển tỷ lệ - Vi Phân PD
e(t) u(t)
r(t) c(t)
G
Kp+Tdp
U(t) = Kp.e(t) + Td de(t)/dt
-
Gc(p) = Kp + Tdp
Khi c(t) tăng (độ vọt lố lớn) thì
e(t) giảm de(t)/dt
