Chương 2: Mô tả toán học
Tài liệu tham khảo toán học
Chương 2. Mô tả tóan học.
I. Hàm truyền và đáp ứng
1. Hàm Truyền
d n −1 c ( t )
d nc( t ) dc( t )
+ a n −1 + ... + a1 + a0 c ( t )
an
dt dt dt
d m −1 r ( t )
d m r (t ) dr ( t )
= bm + bm −1 + ... + b1 + b0 r ( t )
dt dt dt
Biến đổi Laplace:
(an pn + an−1 pn−1 + ... + a1 p + a0 ) C ( p)
= ( bm p m + bm −1 p m −1 + ... + b1 p + b0 ) R( p )
Hàm truyền đạt:
C ( p) bm p m + bm −1 p m −1 + ... + b1 p + b0
M ( p) = =
R( p) an p n + an−1 p n−1 + ... + a1 p + a0
1
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
Khi biết được hàm truyền đạt có thể xác định đáp ứng c(t) đối
với kích thích r(t) bằng cách lấy Laplace ngược
c( t ) = L−1{ C ( p )} = L−1{ R( p ). M ( p )}
Ví dụ: haøm truyeàn ñaït cuûa maïch ñieän sau
Tìm
R
1 Ui
Z ( p ) = R + Lp + I= L Uo
Cp Z ( p) C
Ui
1 U1 U 1
=i
U0 = I G ( p) = 0 =
Ui Z ( p )Cp
Cp Z ( p ) Cp
2. Đáp ứng
+ Đáp ứng xung: đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là tín hiệu xung
∞ khi t=0
r ( t ) = δ( t ) =
t≠0
0 khi
2
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
Biến đổi Laplace của r(t) : R(p) =
Đáp ứng xung : ci ( t ) = L { C ( p )} = L−1{ M ( p )}
−1
1.
+ Đáp ứng bước: đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là tín hiệu
bước
t≥0
1 khi
r ( t ) = 1( t ) =
t Chương 2. Mô tả tóan học.
II.Sơ đồ khối và Graph tín hiệu.
1. Sơ đồ khối.
Sơ đồ khối cơ bản của hệ thống kín có hồi tiếp:
R(p) C(p)
E(p)
G(p)
+-
B(p)
H(p)
C ( p)
= G ( p)
Hàm truyền đường thuận E ( p)
C ( p) G ( p)
=
Hàm truyền vòng kín
R( p ) 1 + G ( p ) H ( p )
E ( p)
= G ( p) H ( p)
Hàm truyền vòng hở
B( p )
4
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
Các phép biến đổi khối cơ bản:
+ Phép giao hóan các khối nối tiếp
G1 Gn Gn G1
G(p)=G1(p).G2(p)….Gn(p)
+ Phép giao hóan các khối song song
G1 Gn
Gn G1
G(p)=G1(p) + G2(p) + …+ Gn(p)
5
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
+ Phép chuyển khối đằng sau ra đằng trước tổng
R1
R1 C G
G C
±
R2 ±
R2
G
C(p) = G(p). (R1(p) ± R2(p))
+ Phép chuyển tín hiệu từ trước ra sau
C
R1
R1 C G
G
R1
R1 1/G
6
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
+ Đổi hệ có hồi tiếp H thành hồi tiếp đơn vị
R C C
R
G 1/H G H
± ±
H
G ( p)
C ( p) =
1 G ( p ) H ( p )
+ Hồi tiếp một vùng
R R G ( p) C
C
C ( p) =
G
± 1 G ( p ) H ( p )
H
7
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
Ví dụ: tìm hàm truyền: G1
R + C
G2
+ +
-
G3
+
- G4
GA : G3 và G4 mắc song song
GB : G1 mắc song song đường truyền đơn vị
GC : Vòng hồi tiếp G2 với GA
Hàm truyền tổng quát : GB nối tiếp với GC
8
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
2. Graph tín hiệu.
+ Nút nguồn : Nút chỉ có nhánh đi ra
+ Nút đích : Nút chỉ có nhánh đi vào
+ Đường thuận : Đường đi từ nút nguồn đến nút đích mà không đi
qua nút nào quá 1 lần
+ Vòng kín : Đường bắt đầu và kết thúc tại một nút mà trên đó
không gặp nút nào quá một lần.
+ Truyền đạt đường : tích cách truyền đạt nhánh dọc theo đuờng.
Các qui tắc biến đổi Graph cũng tương tự như biến đổi sơ đồ
khối gồm các nhánh mắc nối tiếp, song song, hồi tiếp…
G1G3
G2
Ví dụ:
1 − G2
G3
G1
x3
x1 x2 x1 x3
9
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
∑ Mk ∆ k
Ck
M= =
+ Công thức Mason
∆
R
Mk : truyền đạt của đường thuận thứ k
∆ = 1 - Σ Pm1 + Σ Pm2 - Σ Pm3 +…+ (-1)i Pmi
Pm1 : truyền đạt các vòng kín có trong Graph
Pmr (r ≥ 2) : tích các truyền đạt của r vòng kín không dính nhau.
∆ k : Được suy ra từ ∆ bằng cách cho bằng 0 những vòng kín
có dính đến đường thuận thứ k
10
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
Ví dụ: Tìm hàm truyền của hệ thống
11
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
Caùc ñöôøng truyeàn thuaän:
M1 = G1G2G3
M2 = G1G4
Coù 5 voøng kín:
L1 = -G1G2G3
L2 = ……, L3, L4, L5
Σ Pm1 = L1 + L2 + L3 + L4 + L5 =
Bài tập 1: Câu hỏi tuần trước và bài 2.12, 2.13 Trang 13 sách BT
12
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
3. Biểu diễn hàm ∏ ( p − zl )
B( p )
truyền.
=K l
G ( p) =
a. Vị trí cực và zero
∏ ( p − pi )
A( p)
i
zl : nghiệm của B(p) = 0: gọi là zero của hàm truyền
pi : nghiệm của A(p) = 0: gọi là cực của hàm truyền
Trên mặt phẳng phức ta định vị zero bằng dấu tròn (o)
và cực là dấu chéo (x).
∏ jω − z l
G ( p) = K l
Biên độ của hàm
∏ jω − pi
truyền i
Góc pha của hàm truyền
Arg (G(jω)) = Arg (K) + Σ Arg ( jω – zl) - Σ Arg ( jω – pi)
13
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
b. Biểu đồ cực
Biểu diễn sự phụ thuộc của hàm truyền G(jω) theo tần số ω
đi từ 0 đến ∞ trong mặt phẳng phức.
G(p) = G(jω) = P(ω) + j Q(ω) = A(ω) . e jφ(ω)
A(ω) = G ( jω) = P (ω)2 + Q(ω)2
Q ( ω)
ϕ(ω) = Arg (G ( jω)) = arctg
P ( ω)
Ví dụ: Vẽ biểu đồ cực
10
G ( p) =
(1 + p )(10 + p )
14
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
c. Giản đồ Bode
Đồ thị logarit biên độ và đồ thị pha của hàm truyền theo logarit
tần số
+ Biên độ : | G(jω) |dB = 20 lg | G(jω) |
+ Pha : φ = Arg ( G(jω) )
Các bước vẽ giản đồ Bode
Bước 1: xác định tần số gãy và sắp xếp theo thứ tự tăng dần
Tần số gãy : tần số mà tại đó đồ thị logarit biên độ thay đổi
đặc tính của nó.
m
∏ ( p + cl )
G( p) = K l =1 thì : ω = cl và ω = di
Cho :
n
∏ ( p + di )
là tần số gãy
i =1
15
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
Bước 2: Xác định | G(jω) |dB tại ω = 0 (nếu G(p) không có cực tại 0),
hoặc : xác định đường tiệm cận của | G(jω) |dB khi ω 0 (nếu G(p)
có cực tại 0)
Bước 3: Nếu G(p) không có cực tại 0, Giản đồ Bode biên độ sẽ là
đường nằm ngang có độ lớn : | G(jω) |dB cho đến tần số gãy nhỏ nhất.
Nếu G(p) có r cực (zero) tại 0, giản đồ Bode sẽ là đường tiệm
cận có độ dốc –r (+r) cho đến tần số gãy nhỏ nhất.
Độ dốc ± r chính là độ tăng (hay giảm) ± r.20 dB/dec của
giản đồ bode biên độ.
Bước 4: Nếu tại tần số gãy là khâu tích phân (1/(p +a)) thì độ dốc
của giản đồ Bode biên độ giảm đi 1 (-20 dB/dec)
Nếu tại tần số gãy là khâu vi phân (p +a) thì độ dốc của giản đồ
Bode biên độ tăng lên 1 (+20 dB/dec)
Giản đồ bode được vẽ từ trái sang phải cho đến khi hết các điểm gãy
16
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
Giản đồ Bode pha được xác định bằng cách xác định hàm φ:
m ωn ω
ϕ = ∑ arctg − ∑ arctg
c l i =1 di
l =1
Vẽ giản đồ Bode pha bằng phương pháp tách rời từng thành phần
rồi cộng lại.
Giản đồ Bode pha của một số khâu cơ bản:
+ G = K, K > 0 thì φ = 0o + G = K, K < 0 thì φ = -180o
+ G = 1/p, thì φ = -90o, G = p, thì φ = 90o
0o
+ G = 1/(p+a) (khâu tích phân) ω=a
- 45o
- 90o
1 dec 1 dec
Khâu tích phân
17
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
+ G = (p+a) (khâu vi phân) 90o
ω=a
45o
+ Khâu bậc 2:
0o
ω 2
1 dec 1 dec
G(p) = 2 n
p + 2δ ωnp + ωn Khâu vi phân
2
Tần số gãy : ωn
n
ω=ω
o
-90
18
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
+ Khâu trễ : G(p) = e-Tp
Biên độ : |G(p)| = 1 20 lg|G(p)| = 0
Pha : Arg(G(p)) = - Tω
20lg|G(p)| Arg (G(p))
lg ω lg ω
Giản đồ Bode biên độ Giản đồ Bode pha
19
Điều khiển tự động
Chương 2. Mô tả tóan học.
10 5 ( p + 100)
Ví dụ: Vẽ giản đồ Bode G( p) =
( p + 1)( p + 10)( p + 1000)
Tần số gãy : 1, 10, 100, 1000
Giản đồ Bode biên độ:
20
Điều khiển tự động
