Chương 2: Hồi quy hai biến (tt)
hàm hồi quy tổng thể và hàm hồi quy mẫu: trong quan hệ hồi quy,một biến phụ thuộc có thể được giải thích bởi nhiều biến độc lập. Nếu chỉ nghiến cứu một biến phụ thuộc bị ảnh hưởng bởi một biến độc lập là mô hình hồi quy hai biến
Chương 2
MÔ HÌNH HỒI QUY
HAI BIẾN
I. HÀM HỒI QUY TỔNG THỂ VÀ HÀM HỒI
QUY MẪU
1. Hàm hồi quy tổng thể (Population
Regression Function -PRF)
Trong quan hệ hồi quy , một biến phụ thuộc có thể
được giải thích bởi nhiều biến độc lập
Nếu chỉ nghiên cứu một biến phụ thuộc bị ảnh
hưởng bởi một biến độc lập => Mô hình hồi quy
hai biến
Nếu mối quan hệ giữa hai biến này là tuyến tính
=> Mô hình hồi quy tuyến tính hai biến
Đồ thị minh họa
Thu nhập X (triệu đồng/tháng)
I. HÀM HỒI QUY TỔNG THỂ VÀ HÀM HỒI
QUY MẪU
Hàm hồi quy tổng thể (PRF)
Yi = β1 + β2 X i +U i
Trong đó
Y : Biến phụ thuộc
Yi : Giá trị cụ thể của biến phụ thuộc
X : Biến độc lập
Xi : Giá trị cụ thể của biến độc lập
Ui : Sai số ngẫu nhiên ứng với quan sát thứ i
I. HÀM HỒI QUY TỔNG THỂ VÀ HÀM HỒI
QUY MẪU
Hàm hồi quy tổng thể (PRF)
Yi = β1 + β2 X i +U i
Trong đó
β1,β2 là các tham số của mô hình với ý nghĩa :
β1 : Tung độ gốc của hàm hồi quy tổng thể, là giá
trị trung bình của biến phụ thuộc Y khi biến độc
lậ p X nhận giá trị bằng 0
β2 : Độ dốc của hàm hồi quy tổng thể , là lượng
thay đổi trung bình của Y khi X thay đổi 1 đơn vị
I. HÀM HỒI QUY TỔNG THỂ VÀ HÀM HỒI
QUY MẪU
1. Hàm hồi quy mẫu (Sample Regression
Function -SRF)
Trong thực tế rất khó nghiên cứu trên tổng thể nên
thông thường người ta nghiên cứu xây dựng hàm
hồi quy trên một mẫu => Gọi là hàm hồi quy mẫu
I. HÀM HỒI QUY TỔNG THỂ VÀ HÀM HỒI
QUY MẪU
1. Hàm hồi quy mẫu (Sample Regression
Function -SRF)
ˆ +β X +e
SRF : Yi = β1 ˆ
2 i i
Trong đó
ˆ
β1 Tung độ gốc của hàm hồi quy mẫu, là ước
lượng điểm của β1
ˆ
β 2 Độ dốc của hàm hồi quy mẫu, là ước lượng
điểm của β2
ei Sai số ngẫu nhiên , là ước lượng điểm của Ui
I. HÀM HỒI QUY TỔNG THỂ VÀ HÀM HỒI
QUY MẪU
1. Hàm hồi quy mẫu (Sample Regression
Function -SRF)
ˆ +β X +e
SRF : Yi = β1 ˆ
2 i i
Nếu bỏ qua sai số ngẫu nhiên ei , thì giá trị thực tế Yi
ˆ
sẽ trở thành giá trị ước lượYi
ng
ˆ ˆ
ˆ =β +β X
SRF : Yi 1 2 i
I. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ
NHẤT (OLS)
1. Ước lượng các tham số của mô hình
ˆ ˆ
Giá trị thực tế Yi = β1 + β 2 X i + ei
Giá trị ước ˆ ˆ ˆ
Y =β +β X i 1 2 i
lượng ˆ ˆ ˆ
Sai số ei = Yi − Yi = Yi − β1 − β 2 X i
Tìm ˆ ˆ
β1 , β 2 sao cho tổng bình phương sai số là
nhỏ nhất
( )
2
Tức là n n
∑ e = ∑ Yi − β1 − β 2 X i
i =1
2
i
ˆ ˆ
i =1
→ min
I. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ
NHẤT (OLS)
Giải bài toán cực trị hàm hai biến , ta được
n n
∑(X i − X )(Yi − Y ) ∑Y X i i − n. X .Y
ˆ
β2 = i =1
= i =1
n n
∑ ( X i − X )2
i =1
∑ X i2 − n.( X ) 2
i =1
ˆ ˆ
β1 = Y − β 2 X
Với X=
∑X i
là giá trị trung bình của X
n
Y =
∑Y i
là giá trị trung bình của Y
n
Ví dụ áp dụng
Quan sát về thu nhập (X – triệu đồng/năm) và chi tiêu
(Y – triệu đồng/năm) của 10 người, ta được các số liệu
sau :
Xi 31 50 47 45 39 50 35 40 45 50
Yi 29 42 38 30 29 41 23 36 42 48
Xây dựng hàm hồi quy mẫu ˆ ˆ ˆ
Yi = β1 + β 2 X i
Kết quả ví dụ :
Hàm hồi quy mẫu
ˆ = −5,4517 + 0,9549 X
Yi i
I. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ
NHẤT (OLS)
1. Các giả thiết của mô hình
Giả thiết 1 : Các giá trị Xi cho trước và không ngẫu
nhiên
Giả thiết 2 : Các sai số Ui là đại lượng ngẫu nhiên có
giá trị trung bình bằng 0
Giả thiết 3 : Các sai số Ui là đại lượng ngẫu nhiên có
phương sai không thay đổi
I. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ
NHẤT (OLS)
1. Các giả thiết của mô hình
Giả thiết 4 : Không có sự tương quan giữa các Ui
Giả thiết 5 : Không có sự tương quan giữa Ui và Xi
Khi các giả thiết này được đảm bảo thì các ước lượng
tính được bằng phương pháp OLS là các ước lượng tốt
nhất và hiệu quả nhất của hàm hồi quy tổng thể
Ta nói, ước lượng OLS là ước lượng BLUE (Best
Linear Unbias Estimator)
I. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ
NHẤT (OLS)
1. Hệ số xác định của mô hình
Tổng bình phương toàn phần TSS (Total Sum of Squares)
TSS = ∑ (Yi − Y ) = ∑ Yi − n(Y )
2 2 2
Tổng bình phương hồi quy ESS (Explained Sum of
ESS = ∑ (Yi − Y ) = β 2 (∑ X i − nX )
Squares) 2
ˆ ˆ2 2 2
Tổng bình phương phần dư RSS (Residual Sum of
Squares) RSS =
∑ ˆ
(Y −Y ) 2 = e 2
i i ∑ i
I. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ
NHẤT (OLS)
1. Hệ số xác định của mô hình
Người ta chứng minh TSS = ESS + RSS
được
ESS
Hệ số xác định R =
2
TSS
•0≤ R2 ≤1
•R2 =1 : mô hình hoàn toàn phù hợp với mẫu nghiên cứu
•R2=0 : mô hình không phù hợp với mẫu nghiên cứu
I. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ
NHẤT (OLS)
1. Hệ số xác định của mô hình
Y
SRF
Yi
ˆ
Yi − Yi = ei
ˆ
Yi Yi − Y ˆ
Yi − Y
Y
Xi X
Ví dụ áp dụng
Từ số liệu đã cho của ví dụ trước , yêu cầu tính hệ số
xác định của mô hình
