-135-
PhÇn 3
§éng lùc häc
Ch−¬ng 11
C¸c ®Þnh luËt cña niu-t¬n vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n
chuyÓn ®éng
11.1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n
§éng lùc lµ phÇn tæng qu¸t cña c¬ häc. §éng lùc häc nghiªn cøu chuyÓn
®éng cña vËt thÓ d−íi t¸c dông cña lùc. §éng lùc häc thiÕt lËp c¸c ®Þnh luËt liªn
hÖ gi÷a lùc t¸c dông víi nh÷ng ®Æc tr−ng ®éng häc vµ ¸p dông c¸c ®Þnh luËt ®ã
cã thÓ gi¶i c¸c bµi to¸n kü thuËt.
VËt thÓ trong ®éng lùc häc ®−îc xÐt d−íi d¹ng m« h×nh : chÊt ®iÓm, c¬ hÖ,
vËt r¾n.
ChÊt ®iÓm lµ mét ®iÓm h×nh häc cã mang khèi l−îng. ChÊt ®iÓm lµ m«
h×nh ®¬n gi¶n nhÊt vµ c¬ b¶n nhÊt cña vËt thÓ trong ®éng lùc häc.
C¬ hÖ lµ tËp hîp nhiÒu chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng phô thuéc lÉn nhau.
VËt r¾n lµ c¬ hÖ ®Æc biÖt khi kho¶ng c¸ch gi÷a hai chÊt ®iÓm bÊt kú trong
®ã lu«n lu«n kh«ng ®æi.
Kh¸c víi tÜnh häc, lùc trong ®éng lùc häc cã thÓ lµ kh«ng ®æi, cã thÓ biÕn
®æi c¶ vÒ ®é lín vµ ph−¬ng chiÒu.
Lùc phô thuéc vµo thêi gian nh− lùc kÐo ®Çu m¸y, phô thuéc vµo vÞ trÝ cña
vËt nh− lùc hÊp dÉn, lùc ®µn håi cña lß xo, phô thuéc vµo vËn tèc nh− lùc c¶n cña
kh«ng khÝ. Mét c¸ch tæng qu¸t trong ®éng lùc häc lùc lµ mét hµm cña thêi gian,
r r r r
vÞ trÝ vµ vËn tèc. Ta cã : F = F(t, r , v ) .
Trong ®éng lùc häc c¸c lùc ®−îc ph©n chia thµnh néi lùc, ngoµi lùc hay
r r
ho¹t lùc vµ ph¶n lùc liªn kÕt. Néi lùc ký hiÖu lµ Fi . Fi lµ lùc t¸c ®éng t−¬ng hç
-136-
gi÷a c¸c chÊt ®iÓm trong mét c¬ hÖ.
r
Ngo¹i lùc ký hiÖu Fe lµ c¸c lùc do chÊt ®iÓm hay vËt thÓ ngoµi hÖ t¸c dông
r
vµo hÖ. Ph¶n lùc liªn kÕt ký hiÖu N lµ lùc t¸c dông do c¸c vËt g©y liªn kÕt lªn c¬
hÖ kh¶o s¸t. Ho¹t lùc lµ c¸c lùc t¸c dông lªn c¬ hÖ kh«ng kÓ ph¶n lùc liªn kÕt,
r
th−êng ký hiÖu lµ Fa
§Ó kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña vËt bao giê còng chän tr−íc mét hÖ quy
chiÕu. HÖ quy chiÕu kh«ng phô thuéc vµo thêi gian gäi lµ hÖ quy chiÕu qu¸n
tÝnh, ng−îc l¹i hÖ quy chiÕu phô thuéc vµo thêi gian gäi lµ hÖ quy chiÕu kh«ng
qu¸n tÝnh .
11.2. C¸c ®Þnh luËt cña Niu -T¬n
C¬ së lý luËn cña ®éng lùc häc chñ yÕu lµ c¸c ®Þnh luËt cña NIU - TON.
I-s¸c Niu T¬n (1643-1727) lµ nhµ b¸c häc lçi l¹c ®· ®Æt nÒn mãng cho c¬
häc cæ ®iÓn vµ ®· x©y dùng lý thuyÕt c¬ häc hoµn thiÖn c©n ®èi. V× thÕ c¬ häc cæ
®iÓn cßn gäi lµ c¬ häc Niu - T¬n.
Sau ®©y giíi thiÖu c¸c ®Þnh luËt cña Niu - T¬n vµ xem nh− lµ hÖ tiÒn ®Ò
cña c¬ häc.
§Þnh luËt 1(§Þnh luËt qu¸n tÝnh)
ChÊt ®iÓm kh«ng chÞu t¸c dông cña lùc nµo sÏ ®øng yªn hoÆc chuyÓn
®éng th¼ng ®Òu.
Tr¹ng th¸i ®øng yªn hoÆc chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu lµ tr¹ng th¸i chuyÓn
®éng theo qu¸n tÝnh. Khi chuyÓn ®éng theo qu¸n tÝnh chÊt ®iÓm sÏ cã :
r r
v = const vµ w = 0 .
§Þnh luËt 2 (®Þnh luËt c¬ b¶n cña ®éng lùc häc )
D−íi t¸c dông cña lùc chÊt ®iÓm sÏ chuyÓn ®éng víi gia tèc cïng ph−¬ng
chiÒu víi lùc (h×nh 9-1)
v
r r
F = m.W M
F
W
H×nh 11.1
-137-
m lµ hÖ sè tû lÖ, phô thuéc vµo l−îng vËt chÊt cã trong chÊt ®iÓm.
Theo ®Þnh luËt nµy lùc lµ nguyªn nh©n lµm cho chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng cã
gia tèc.
r r
BiÓu thøc (11-1) cho thÊy : NÕu lùc F kh«ng ®æi m cµng lín W cµng nhá
vµ ng−îc l¹i, ®iÒu ®ã chøng tá kkèi l−îng m lµ sè do qu¸n tÝnh cña vËt (tÝnh ú
cña vËt)
Tõ hÖ thøc (11-1) nÕu lùc lµ träng l−îng cña vËt sÏ cã :P = mg. ë ®©y g
®−îc gäi lµ gia tèc träng tr−êng.
HÖ thøc (11-1) gäi lµ ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc.
§Þnh luËt 3 (®Þnh luËt vÒ tÝnh ®éc lËp t¸c dông cña lùc)
D−íi t¸c dông ®ång thêi cña mét hÖ lùc chÊt ®iÓm sÏ chuyÓn ®éng víi gia
tèc b»ng tæng h×nh häc c¸c gia tèc mµ chÊt ®iÓm thu ®−îc khi nã chÞu t¸c dông
®éc lËp tõng lùc mét .
r r r r
w = w 1 + w 2 + ..... + w n . (11-2)
r
w lµ gia tèc cña chÊt ®iÓm khi hÖ lùc cïng t¸c dông ®ång thêi ;
r r r
w 1 , w 2 , w n lµ gia tèc cña chÊt ®iÓm khi nã chÞu t¸c dông tõng lùc:
r r r
F1 , F2 ,....Fn ®éc lËp .
Tõ hÖ (11-2) nÕu nh©n hai vÕ víi khèi l−îng m sÏ ®−îc :
r r r r
mw = mw 1 + mw 2 + ..... + mw n
Theo ®Þnh luËt hai th× :
r r r r n r
Do ®ã ta cã : mw = F1 + F2 + ..... + Fn = ∑ F (11-3)
i =1
HÖ thøc (11-3) lµ ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc khi chÊt ®iÓm
chÞu mét hÖ lùc t¸c dông.
§Þnh luËt 4 (®Þnh luËt t¸c dông vµ ph¶n t¸c dông )
-138-
Lùc t¸c dông t−¬ng hç gi÷a hai chÊt ®iÓm lµ nh÷ng lùc cïng ph−¬ng, cïng
®é lín vµ ng−îc chiÒu.
§Þnh luËt nµy m« t¶ t¸c dông t−¬ng hç gi÷a hai chÊt ®iÓm vµ lµ c¬ së
nghiªn cøu cho ®éng lùc häc cña hÖ.
CÇn chó ý r»ng hai lùc t−¬ng hç kh«ng ph¶i lµ mét cÆp lùc c©n b»ng v×
chóng ®Æt lªn hai chÊt ®iÓm kh¸c nhau.
11-3. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm
vµ c¬ hÖ.
XÐt chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng trong hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh oxyz, d−íi t¸c
r r r r
dông cña c¸c lùc F1 , F2 , F3 ,....Fn . §èi víi chÊt ®iÓm tù do c¸c lùc nµy lµ c¸c ho¹t
lùc ®Æt lªn chÊt ®iÓm. §èi víi chÊt ®iÓm kh«ng tù do c¸c lùc nµy bao gåm c¶
ho¹t lùc vµ ph¶n lùc liªn kÕt. C¨n cø vµo ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc
ta cã thÓ thµnh lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm d−íi c¸c
d¹ng kh¸c nhau.
11.3.1.D¹ng vÐc t¬
r
Gäi vÐc t¬ ®Þnh vÞ cña chÊt ®iÓm lµ r ta cã :
r
r d2r
w = 2 = &&
r
dt
Khi ®ã ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n viÕt cho chÊt ®iÓm nh− sau :
r
d2 r n r
m 2 = ∑ F1 (11-4)
dt i =1
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n (11-4) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng
cña chÊt ®iÓm d−íi d¹ng vÐc t¬.
11.3.2. D¹ng to¹ ®é §Ò c¸c
ChiÕu ph−¬ng tr×nh (9-4) lªn c¸c trôc to¹ ®é oxyz sÏ ®−îc :
-139-
n
m&& = ∑ X i ;
x
i =1
n
m&& = ∑ Yi ;
y (11-5)
i =1
n
m&& = ∑ Z i .
z
i =1
ë ®©y x, y, z lµ to¹ ®é cña chÊt ®iÓm trong hÖ oxyz, cßn Xi, Yi, Zi lµ h×nh
r
chiÕu cña lùc Fi lªn c¸c trôc ox, oy, oz.
HÖ ph−¬ng tr×nh (11-5) ®−îc gäi lµ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng
cña chÊt ®iÓm d−íi d¹ng to¹ ®é §Ò c¸c.
11.3.3. D¹ng to¹ ®é tù nhiªn
Gäi Wτ, Wη, Wβ lµ h×nh chiÕu cña gia tèc ®iÓm vµ Fiτ, Fiη, Fiβ lµ h×nh
chiÕu cña Fi lªn c¸c trôc cña hÖ to¹ ®é tù nhiªn. Sau khi chiÕu ph−¬ng tr×nh (11-
4) lªn c¸c trôc cña hÖ to¹ ®é tù nhiªn ta ®−îc :
n
mw = m&& = ∑ Fiτ ;
τ
s
i =1
v2 n η
mw = m = ∑ Fi ;
η
(11-6)
ρ i =1
n
mw = 0 = ∑ Fiβ .
β
i =1
§èi víi c¬ hÖ chóng ta cã thÓ t¸ch mét chÊt ®iÓm trong hÖ ra ®Ó xÐt. Gäi
r
hîp c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm thø k ®−îc t¸ch ra lµ Fke vµ hîp c¸c néi
r
lùc t¸c dông lªn nã lµ Fki .
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm viÕt d−íi d¹ng vÐc t¬ :
r r r
m k w k = Fki + Fke
r
Trong ®ã mk vµ w k lµ khèi l−îng vµ gia tèc cña chÊt ®iÓm thø k .
-140-
Khi xÐt tÊt c¶ c¸c chÊt ®iÓm ta sÏ thu ®−îc N ph−¬ng tr×nh sau :
r r r
m1 w 1 = F1i + F1e ;
r r r
m 2 w 2 = F21i + F2 e ; (11-7)
...........................
r r r
m n w n = Fni + Fne .
HÖ ph−¬ng tr×nh (11-7) ®−îc gäi lµ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng
cña hÖ d−íi d¹ng vÐc t¬. NÕu chiÕu hÖ ph−¬ng tr×nh (11.7) lªn c¸c trôc cña hÖ
to¹ ®é §Ò c¸c hoÆc hÖ to¹ ®é tù nhiªn ta sÏ ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn
®éng cña c¬ hÖ d−íi d¹ng to¹ ®é §Ò c¸c vµ hÖ to¹ ®é tù nhiªn.
11-4. Hai bµi to¸n c¬ b¶n cña ®éng lùc häc
Tõ ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm ta thÊy trong ®éng
lùc häc cã hai bµi to¸n c¬ b¶n sau ®©y :
- Bµi to¸n c¬ b¶n thø nhÊt: Cho biÕt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm x¸c ®Þnh
lùc ®· g©y ra chuyÓn ®éng ®ã. Bµi to¸n nµy gäi lµ bµi to¸n thuËn.
- Bµi to¸n c¬ b¶n thø hai: Cho biÕt c¸c lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm vµ ®iÒu
kiÖn ban ®Çu cña chuyÓn ®éng x¸c ®Þnh quy luËt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm. Bµi
to¸n nµy gäi lµ bµi to¸n nghÞch.
Sau ®©y giíi thiÖu c¸ch gi¶i hai bµi to¸n c¬ b¶n nãi trªn.
§èi víi bµi to¸n thø nhÊt ta thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña chuyÓn
®éng chÊt ®iÓm. Tõ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ta x¸c ®Þnh ®−îc lùc t¸c dông lªn tõng
chÊt ®iÓm. §iÒu c¬ b¶n cña bµi to¸n lµ x¸c ®Þnh gia tèc cña chÊt ®iÓm ®iÒu nµy
®· ®−îc gi¶i quyÕt trong ®éng häc.
§èi víi bµi to¸n thø hai, ta thay lùc vµo vÕ ph¶i cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n
sau ®ã tÝch ph©n ph−¬ng tr×nh vi ph©n t×m ®−îc. §Ó t×m d¹ng chuyÓn ®éng cô thÓ
ta x¸c ®Þnh h»ng sè tÝch ph©n c¨n cø vµo c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña chuyÓn ®éng.
NÕu ph−¬ng tr×nh vi ph©n viÕt d−íi d¹ng to¹ ®é §Ò c¸c sau khi lÊy tÝch ph©n hai
-141-
lÇn sÏ xuÊt hiÖn 6 h»ng sè tÝch ph©n, nghÜa lµ c¸c nghiªm x, y, z thu ®−îc lµ c¸c
hµm cña thêi gian vµ 6 h»ng sè tÝch ph©n ®ã :
x=f1(t,C1,C2....C6)
y= f2(t,C1,C2....C6)
z= f3(t,C1,C2....C6)
C¸c h»ng sè tÝch ph©n trªn ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu ;
Khi t=0 x=x0 ; y=y0; z=z0 ;
x = x 0 ; y = y0 ; z = z0
& & & & & &
ThÝ dô 11-1:
ChÊt ®iÓm cã khèi l−îng m chuyÓn ®éng theo ®−êng enlip x=acoskt vµ
y=bsinkt h·y t×m lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm (h×nh 11-2).
Bµi gi¶i :
y
b v M
Bµi to¸n nµy thuéc bµi to¸n c¬ b¶n thø
F x
nhÊt. C¨n cø vµo ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng O r a
x=acoskt
y=bsinkt
H×nh 11.2
X¸c ®Þnh ®−îc :
&& = ak 2 cos kt = − k 2 x ;
x
&& = bk 2 sin kt = − k 2 y ;
y
Ta cã ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng nh− sau :
&&m = Fx = − mk 2 x
x
&&m = Fy = −mk 2 y
y
Lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm sÏ lµ F víi :
F = Fx2 + Fy2 = mk 2 x 2 + y 2 = mk 2 r
-142-
r
C¸c gãc chØ ph−¬ng cña F lµ :
Fx − x
cos(F, x ) = =
F r
Fy −y
cos( F, y) = =
F r
MÆt kh¸c ta còng cã :
x
cos(r, x ) =
r
y
cos(r, y) =
r
r
DÔ dµng nhËn thÊy F cïng ph−¬ng nh−ng ng−îc chiÒu víi vÐc t¬ ®Þnh vÞ
r
r cña chÊt ®iÓm.
r r
Ta cã : F = −mkr .
ThÝ dô 11-2 : §Ó ph©n lo¹i h¹t ng−êi ta cho h¹t ®i qua mét sµng dao ®éng
ngang cã nhiÒu lç. BiÕt r»ng vËn tèc cña h¹t khi b¾t ®Çu chuyÓn ®éng qua lç
r
v 0 (h×nh 11-3). H¹t cã h×nh d¹ng cÇu, b¸n kÝnh R. Bá qua lùc c¶n cña kh«ng khÝ
x¸c ®Þnh ®é dµi bÐ nhÊt b cña lç ®Ó h¹t cã thÓ r¬i qua lç ®−îc.
-143-
Bµi gi¶i:
→ R
vo y
§Ó h¹t r¬i qua lç sµng träng
t©m cña h¹t t¹i vÞ trÝ bÊt ®Çu ch¹m
mÐp bªn kia cña lç ph¶i n»m d−íi b
x
mÆt ph¼ng ngang cña sµng. §Ó gi¶i H×nh
quyÕt ®−îc ®iÒu kiÖn ®ã ta x¸c
®Þnh qu·ng ®−êng h¹t ®i ®−îc theo ph−¬ng ngang (ph−¬ng ox) khi t©m h¹t r¬i
xuèng ®−îc mét ®o¹n x=R. Lùc t¸c dông lªn h¹t coi nh− ®· biÕt ®ã lµ träng
l−îng b¶n th©n cña nã. Bµi to¸n ë ®©y thuéc lo¹i bµi to¸n c¬ b¶n thø hai.
Chän hÖ to¹ ®é oxy g¾n víi sµng (h×nh 11-3) coi sµng ®øng yªn cßn h¹t
chuyÓn ®éng so víi sµng. Lùc t¸c dông lªn h¹t cã :
Fy = 0 Fx = +mg.
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña h¹t viÕt ®−îc :
m&& = mg ;
x hay && = g ;
x
m&& = 0 ;
y hay && = 0 ;
y
TÝch ph©n hai vÕ ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc :
gt 2
x = gt + C
& x= + C1 t + C 2
2
y = C3
& y = C3 t + C 4
§Ó x¸c ®Þnh h»ng sè tÝch ph©n ta dùa vµo ®iÒu kiÖn ®Çu ®· cho cña chuyÓn
®éng.
Khi t = 0 x = x 0 suy ra C1=0
& &
x=x0 suy ra C4=0.
Thay vµo nghiÖm ®· t×m ®−îc ta cã :
gt 2
x= y = v0 t
2
-144-
Ph−¬ng tr×nh quü ®¹o thu ®−îc :
2x
y = v0
g
2R
Khi x=R th× y = b − R = v 0
g
2R
Suy ra b = R + v 0
g
§Ó h¹t ch¾c ch¾n r¬i qua lç ta ph¶i cã :
2R
b ≥ R + v0
g
ThÝ dô 11.3 :
Mét chÊt ®iÓm cã khèi l−îng m chuyÓn ®éng trong mÆt ph¼ng ngang d−íi
r r r
t¸c dông cña lùc hót vÒ t©m O lµ F = −k 2 mr . ë ®©y r lµ vÐc t¬ ®Þnh vÞ cßn k lµ
hÖ sè tû lÖ. H·y t×m ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng vµ quü ®¹o cña chÊt ®iÓm. Cho
biÕt t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu t0 = 0 , x0 = 1 , y0 = 0 , x = 0 , y = v 0 (h×nh 11-4)
& &
Bµi gi¶i:
Bµi to¸n nµy thuéc bµi to¸n c¬ b¶n thø hai. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn
®éng cña chÊt ®iÓm viÕt d−íi d¹ng vÐc t¬ :
r r
mW = − k 2 m r
chä hÖ to¹ ®é oxy nh− h×nh vÏ ta cã thÓ thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n d−íi
d¹ng to¹ ®é §Ò c¸c nh− sau :
y M
m&& = −k mx
x 2
y
F l x
m&& = − k 2 my
y
O x
Khö khèi l−îng m ë hai vÕ
ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc :
H×nh 11.4
-145-
&& = − k 2 x = 0
x
&& = − k 2 y = 0
y
NghiÖm tæng qu¸t cña hai ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:
x=c1coskt + c2sinkt
y=c3coskt + c4sinkt
C¸c h»ng sè tÝch ph©n c1, c2, c3, c4 ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ®Çu cña
chuyÓn ®éng.
Ki t =t0 = 0 cã :
x = x0 = l = C1; x = 0 = kC 2
&
y = y0 = 0 = C3; y = v 0 = kC 4
&
Suy ra :
C1 = 1; C2 = 0; C3 = 0; vµ C4 = v0/k
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng chÊt ®iÓm ®−îc viÕt :
x=lcoskt; y = (v0sinkt)/k
Khö t trong ph−¬ng tr×nh trªn sÏ t×m ®−îc ph−¬ng tr×nh quü ®¹o d¹ng
x2 y2
+ 2 =1
l2 v0 / k 2
§©y lµ ph−¬ng tr×nh ®−êng enlip nhËn c¸c trôc ox, oy lµ trôc
ThÝ dô 11-4: Con l¾c to¸n häc gåm chÊt ®iÓm M cã khèi l−îng m treo vµo
®Çu sîi d©y kh«ng d·n vµ kh«ng träng l−îng, chuyÓn ®éng trong mÆt ph¼ng
th¼ng ®øng. X¸c ®Þnh ph¶n lùc N cña d©y (h×nh
vÏ 11-5). Cho biÕt lóc ®Çu con l¾c ë vÞ trÝ M0 vµ
ϕo
cã vËn tèc v0 ϕ
Bµi gi¶i : Mo
→ →
h N vo
XÐt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm M. C¸c τ
M
→
P
H×nh 11.5
-146-
lùc t¸c dông lªn nã gåm P vµ N. Cã thÓ thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n viÕt d−íi
d¹ng täa ®é t− nhiªn nh− s¨u :
m&& = −P sin ϕ = −mg sin ϕ
s (a)
V2
m = − P cos ϕ + N = − mg cos ϕ + N (b)
ρ
Thay lϕ = s vµo ph−¬ng tr×nh (a)
g
Ta ®−îc : mlϕ = − mg sin ϕ
&& hay : ϕ + sin ϕ = 0
&&
l
XÐt dao ®éng lµ nhá lÊy sinϕ ≈ ϕ, ta cã
g
ϕ + k 2ϕ = 0
&& (c) Trong ®ã : k 2 =
l
NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh nµy lµ : ϕ = Asin(kt + ∝)
A, ∝ lµ h»ng sè ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ®iÒu kiÖn ®Çu cña chuyÓn ®éng .
§Ó t×m N c¨n cø vµo ph−¬ng tr×nh (b).
Ta cã :
mv 2
N= + mg cos ϕ
l
d 2 ϕ d ω dω d ϕ dω
2
§Ó tÝnh v ta chó ý : = = =ω
dt dt dϕ dt dϕ
Thay kÕt qu¶ trªn vµo ph−¬ng tr×nh ( c) ta cã :
g
ϕ + sin ϕ = 0 ta cã :
&&
l
dω g
ω = − sin ϕ
dt l
g
ωdω = − cos ϕ + c
l
-147-
H»ng c ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu. Gäi gãc ban ®Çu vµ vËn tèc
gãc ban ®Çu kµ ϕ0 vµ ω0 ta sÏ cã :
ω0 g
2 2
v0 g
c= − cos ϕ 0 = 2 − cos ϕ 0
2 l 2l l
Thay c vµo biÓu thøc (c) ta ®−îc :
2
2g v0 g
ω = cos ϕ + 2 − cos ϕ 0 ;
2
l l l
v 2 = l 2 ω2 = v 0 + 2gl(cos ϕ − cos ϕ 0
2
Cuèi cïng nhËn ®−îc :
2
v0
N = P( + 3 cos ϕ − 2 cos ϕ 0 )
gl
Nh− vËy ph¶n lùc N phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn ban ®Çu vµ vÞ trÝ cña ®iÓm M.
KÕt qu¶ nµy còng ®óng cho c¶ khi dao ®éng lµ kh«ng nhá.
Copyright by webtailieu.net