CÂY
Cây là một đồ thị vô hướng, liên thông và không có chu trình sơ cấp.
Do cây không có chu trình sơ cấp, nên cây không thể có cạnh bội và khuyên. Vậy mọi cây là đơn đồ thị.
CHƯƠNG IV
CÂY
I. Một số khái niệm cơ bản
1. Cây (Tree)
2. Rừng (Forest)
3. Định lý về điều kiện đủ của cây
4. Cây có gốc
5. Định lý Chain
6. Cây m - phân
II. Một số tính chất của cây
1. Tính chất 1
2. Tính chất 2
3. Tính chất 3
III. Cây nhị phân và phép duyệt cây
1. Định nghĩa
2. Ví dụ
3. Ký pháp nghịch đảo Ba Lan (Reverse Polish Notation - RPN)
IV. Cây khung
1. Định nghĩa
2. Ví dụ
3. Định lý
4. Cây khung nhỏ nhất
I. Một số khái niệm cơ bản
1. Cây (Tree)
1.1. Định nghĩa
Cây là một đồ thị vô hướng, liên thông và không có chu trình sơ cấp.
Do cây không có chu trình sơ cấp, nên cây không thể có cạnh bội và khuyên. Vậy
mọi cây là đơn đồ thị.
1.2. Các ví dụ
G1 và G2, G là các cây.
G3 và G4 không là cây.
+ G3 có chứa chu trình nên G3 không là cây,
+ G4 không liên thông nên G4 không là cây.
2. Rừng (Forest) TOP
2.1. Định nghĩa
Rừng là đồ thị vô hướng không có chu trình.
Từ định nghĩa, ta thấy rừng là một đồ thị có nhiều thành phần liên thông mà mỗi
thành phần liên thông của nó là một cây.
2.2. Ví dụ
G là một rừng và G có 3 thành phần liên thông.
3. Định lý về điều kiện đủ của cây TOP
Nếu trong đồ thị vô hướng G, mọi cặp đỉnh của nó luôn tồn tại một đường đi sơ
cấp duy nhất thì G là một cây.
Chứng minh
Giả sử G là một cây ta sẽ chứng minh mọi cặp đỉnh trong G đều tồn tại một
đường đi sơ cấp duy nhất. Thật vậy:
Nếu trong G tồn tại một đường đi giữa hai đỉnh v và w và không là
đường đi sơ cấp. Khi đó trên đường đi sẽ tồn tại ít nhất một đỉnh u được đi lặp lại. Khi
đó trong G sẽ có một chu trình:
(1)
Mặt khác, giả sử trên G có 2 đường sơ cấp khác nhau và nối 2 đỉnh v và
w. Được liệt kê lần lượt như sau:
và
+ Gọi i là chỉ số bé nhất của các đỉnh trên đường đi sao cho
+ Gọi j là chỉ số bé nhất sao cho tồn tại một chỉ số để .
Ta thấy rằng các chỉ số i, j và k như thế là tồn tại và khi đó trong G tồn tại một
chu trình:
(2)
Vậy từ (1) và (2), ta có: Nếu trong đồ thị vô hướng G, mọi cặp đỉnh của nó luôn
tồn tại một đường đi sơ cấp duy nhất thì G là một cây.
4. Cây có gốc
4.1. Định nghĩa
Trong một cây, nếu ta chọn một đỉnh đặc biệt gọi là gốc của cây và định hướng
các cạnh trên cây từ gốc đi ra thì ta được một đồ thị có hướng gọi là cây có gốc.
Chú ý: Cùng một cây, nếu ta chọn gốc khác nhau thì cây có gốc thu được sẽ
khác nhau.
4.2. Ví dụ
T1 T2 T3
+ T1 là một cây,
+ T2 là cây có gốc a,
+ T3 là cây có gốc e,
+ T2 và T3 là các cây có gốc được sinh ra từ cây T1.
4.3. Một số khái niệm
Cho T là một cây có gốc, v là một đỉnh khác gốc của T.
Cha của v là đỉnh u ∈ T sao cho có một cạnh có hướng duy nhất từ u → v. Khi
đó, u được gọi là cha của v; v là con của u.
Các đỉnh có cùng cha được gọi là anh em.
Tổ tiên của một đỉnh khác gốc là các đỉnh trên đường đi từ gốc đến đỉnh đó.
Con cháu của v là các đỉnh có v là tổ tiên.
Các đỉnh của cây không có con được gọi là lá.
Các đỉnh có con được gọi là đỉnh trong.
Trong một cây, cho a là một đỉnh. Cây con với gốc a là đồ thì con của cây đang
xét, bao gồm a và các con cháu của nó cùng tất cả các cạnh liên thuộc với các con cháu
của a.
Mức của một đỉnh v trong một cây có gốc T là khoảng cách từ gốc đến v.
Mức lớn nhất của một đỉnh bất kỳ trong cây gọi là chiều cao của cây.
Ví dụ
đỉnh d có các con là g, h, i.
Đồ thị bên phải là một cây con của cây bên trái.
5. Định lý Daisy Chain TOP
Giả sử T là một đồ thị có n đỉnh. Khi đó, 6 mệnh đề sau là tương đương:
(1): T là một cây,
(2): T không có chu trình và có n - 1 cạnh.
(3): T là một đồ thị liên thông và nếu hủy bất kỳ một cạnh nào của nó cũng làm
mất tính liên thông.
(4): Giữa 2 đỉnh bất kỳ của T , luôn tồn tại một đường đi sơ cấp duy nhất nối 2
đỉnh này.
(5): T không có chu trình và nếu thêm một cạnh mới nối 2 đỉnh bất kỳ của T thì sẽ
tạo ra một chu trình.
(6): T liên thông và có n - 1 cạnh.
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh định lý này theo quy trình vòng tròn như sau:
: Vì T là một cây nên T là đồ thị liên thông. Hơn nữa, ta có thể xem T
là một cây có gốc. Khi đó, mọi đỉnh trên cây đều có bậc vào là 1 ngoại trừ đỉnh gốc có
bậc vào là 0. T có n đỉnh nghĩa là có n - 1 đỉnh khác gốc. Vậy T liên thông và có n -1
cạnh.
: Vì T không có chu trình nên mỗi thành phần liên thông của T phải
là một cây. Giả sử T có thành phần liên thông. Gọi ni là số đỉnh thuộc thành phần
liên thông thứ i , theo mệnh đề (2) ta có số cạnh của thành phần liên thông thứ i
là ni - 1.
Theo giả thuyết ta có: .Đẳng thức này chỉ xảy ra khi k
=1, nghĩa là T có 1 thành phần liên thông nghĩa là T liên thông.
Bây giờ, nếu hủy đi một cạnh của T, ta nhận được một đồ thị T’ có n - 2 cạnh và
T’ không có chu trình vậy T’ cũng là một cây: vô lý.
: Gọi v và w là 2 đỉnh bất kỳ của T. Vì T liên thông nền tồn tại một
đường đi nối chúng. Giả sử có 2 đường khác nhau cùng nối v với w, khi đó nếu ta hủy đi
một cạnh bất kỳ thuộc trên đường thứ nhất nhưng không thuộc đường thứ hai thì vẫn
không làm mất tính liên thông của T. Điều này mâu thuẫn với tính chất (3).
: Nếu T có một chu trình nối 2 đỉnh phân biệt v và w, khi thêm vào
một cạnh mới nối 2 đỉnh này thì rõ ràng có 2 đường đi khác nhau cùng nối 2 đỉnh v và w.
Mâu thuẫn với (4). Vậy T không có chu trình.
Bây giờ, thêm một cạnh nối 2 đỉnh v và w của T. Theo giả thuyết trong T có một
đường đi trong T (không chứa cạnh mới) nối v và w. Rõ ràng, đường này thêm cạnh mới
sẽ tạo thành chu trình.
: Xét hai đỉnh bất kỳ v và w của T. Thêm vào T một cạnh mới nối 2
đỉnh này sẽ tạo thành chu trình (giả thuyết). Hủy cạnh mới này khỏi chu trình, ta được
một đường trong T nối 2 đỉnh v và w. Vậy T liên thông và không có chu trình. Theo giả
thuyết T có n đỉnh nên T có n - 1 cạnh.
: Giả sử T có chu trình và có n - 1 cạnh. Hủy một cạnh khỏi chu trình
này vẫn không làm mất tính liên thông của T. Nếu đồ thị nhận được vẫn còn chu trình, ta
lại hủy bỏ một cạnh trong chu trình mới,cứ thế tiếp tục cho đến khi nhận được một đồ thị
liên thông không có chu trình. Đồ thị này là một cây có n đỉnh nhưng có ít hơn n - 1 cạnh
(mâu thuẫn). Vậy T không có chu trình, nghĩa là T là một cây.
6. Cây m-phân TOP
6.1. Định nghĩa
Cây có gốc được gọi là cây m-phân nếu tất cả các đỉnh trong của nó không có hơn
m con. Cây được gọi là m-phân đầy đủ nếu mọi đỉnh trong của nó có đúng m con.
Cây 2-phân được gọi là cây nhị phân.
6.2. Ví dụ
+ T1: cây nhị phân đầy đủ
+ T2: cây tam phân đầy đủ
+ T3: cây tứ phân (không đầy đủ).
II. Một số tính chất của cây TOP
1. Tính chất 1 TOP
Nếu T là một cây có n đỉnh thì T phải có ít nhất 2 đỉnh treo.
Chứng minh
b
u
a
v
Giả sử a và b là một cạnh của T. Gọi là đường sơ cấp dài nhất trên T chứa cạnh
ab. Chẳng hạn:
Ta thấy u và v phải là 2 đỉnh treo. Thật vậy, nếu u hoặc v không là đỉnh treo thì nó
phải là đầu múc của 1 cạnh xu (hoặc vy) nào đó. Khi đó, sẽ tồn tại đường chứa cạnh
ab có độ dài lớn hơn (Vô lý). Vậy u và v phải là 2 đỉnh treo.
2. Tính chất 2 TOP
Cây m-phân đầy đủ với i đỉnh trong sẽ có tất cả n = m.i + 1 đỉnh.
Chứng minh
Mỗi đỉnh từ gốc là con của một đỉnh trong. Mỗi đỉnh trong có m con, mà có i đỉnh
trong ⇒ có m.i đỉnh khác gốc ⇒ cây có tất cả (m.i + 1) đỉnh.
3. Tính chất 3 TOP
Cho T là cây m-phân đầy đủ có i là số các đỉnh trong và l là số các lá của đỉnh
này. Ta có:
3.1. Nếu T có n đỉnh thì i =
3.2. T có i đỉnh trong thì n = m.i + 1; l = (m − 1)i + 1
3.3. T có l lá thì n = m.i + 1 và n = l + i.
(Tính chất này xem như bài tập - Sinh viên tự chứng minh)
III. Cây nhị phân và phép duyệt cây TOP
TOP
1. Định nghĩa
Duyệt cây là đưa ra một danh sách liệt kê tất cả các đỉnh của cây, mỗi đỉnh một
lần. Có 3 phép duyệt cây thường dùng là duyệt tiền tự (PreOrder), duyệt trung tự
(InOrder) và duyệt hậu tự (PostOrder). Cả ba phương pháp duyệt trên đều được định
nghĩa đệ quy đối với cây nhị phân (mỗi nút có tối đa 2 con lần lượt được gọi là con trái và
con phải của nút).
1.2. Định nghĩa phép duyệt tiền tự (PreOrder)
1. Duyệt nút gốc,
2. Duyệt con trái theo phương pháp duyệt tiền tự,
3. Duyệt con phải theo phương pháp duyệt tiền tự,
1.3. Định nghĩa phép duyệt trung tự (InOrder)
1. Duyệt con trái theo phương pháp duyệt trung tự,
2. Duyệt nút gốc,
3. Duyệt con phải theo phương pháp duyệt trung tự,
1.4. Định nghĩa phép duyệt hậu tự (PostOrder)
1. Duyệt con trái theo phương pháp duyệt hậu tự,
2. Duyệt con phải theo phương pháp duyệt hậu tự,
3. Duyệt nút gốc.
TOP
2. Ví dụ
A
B
C
D
E
F
Duyệt cây
nhị phân sau theo tiền tự, trung tự, hậu tự
Danh sách duyệt tiền tự: A B D E C F
Danh sách duyệt trung tự: D B E A C F
Danh sách duyệt hậu tự: D E B F C A
TOP
3. Ký pháp nghịch đảo Ba Lan (Reverse Polish Notation - RPN)
3.1. Cây biểu thức số học
Cây biểu thức số học là một cây nhị phân, trong đó:
+ Mỗi nút trong biểu diễn cho một toán tử 2 ngôi .
+ Mỗi nút lá biểu diễn cho một toán hạng của biểu thức.
Nếu nút trong biểu diễn cho toán tử 2 ngôi và có 2 con:
+ Con trái biểu diễn cho biểu thức E1,
+ Con phải biểu diễn cho biểu thức E2,
khi đó nút trong này biểu diễn cho biểu thức số học
Ví dụ: Xét biểu thức số học
Được biểu diễn bằng cây biểu thức số học sau:
-
^
+
2
3
2
*
-
4
1
/
15
5
Đối với cây biểu thức số học nếu duyệt tiền tự ta được biểu thức tiền tố, duyệt
trung tự ta được biểu thức trung tố và duyệt hậu tự ta được biểu thức hậu tố của biểu thức
số học ban đầu.
+ Biểu thức tiền tố: - ^ + 2 3 2 * - 4 1 / 15 5
+ Biểu thức trung tố: 2 + 3 ^ 2 - 4 - 1 * 15 / 5
+ Biểu thức hậu tố: 2 3 + 2 ^ 4 1 - 15 5 / * -
3.2. Ký pháp nghịch đảo Ba Lan (RPN)
Trong máy tính để tính giá trị của biểu thức E người ta sử dụng biểu thức dạng
hậu tố gọi là ký pháp nghịch đảo Ba Lan (Reverse Polish Notation - RPN) của biểu thức
E.
Trong máy tính giá trị của biểu thức E được tính bằng cách lưu các số của biểu
thức E được biểu diễn theo ký pháp RPN vào trong một bộ nhớ Stack (Stack là một cấu
trúc lưu trữ có tính chất là phần tử nào được lưu trữ trước thì được lấy ra sau).
Mỗi khi một toán tử được đưa vào thì máy sẽ lấy 2 toán hạng ở đầu Stack ra, áp
dụng phép toán được biểu diễn bởi toán tử cho 2 toán hạng này rồi lại đẩy kết quả vào
stack, cứ như thế cho đến khi đạt được kết quả sau cùng.
Quá trình tính giá trị cho biểu thức E ở ví dụ trên được mô tả bởi hình vẽ:
Biểu thức nhập dưới dạng ký pháp PRN:
E = 2 3 + 2 ^ 4 1 - 15 5 / * -
Quá trình lưu trữ của cấu trúc Stack như sau:
16
-
9
*
3
/
5
15
3
-
1
4
25
^
2
5
+
3
2
Stack
IV. Cây khung TOP
1. Định nghĩa TOP
Cho G là một đơn đồ thị. Một cây được gọi là cây khung của G nếu nó là một đồ
thị con của G và chứa tất cả các đỉnh của G.
2. Ví dụ TOP
Cho đơn đồ thị G sau:
Một cây khung tạo ra từ G bằng cách xóa đi các cạnh tạo ra chu trình đơn: ae, ef
và cd là:
3. Định lý TOP
Một đơn đồ thị là liên thông khi và chỉ khi nó có cây khung.
Chứng minh
Giả sử G có cây khung T ⇒ T chứa tất cả các đỉnh của G. Vì T là cây nên luôn
có đường đi giữa 2 đỉnh bất kỳ của T. Mà T là đồ thị con chứa tất cả các đỉnh của G ⇒
luôn tồn tại đường đi giữa 2 đỉnh bất kỳ trong G. Vậy G liên thông.
Giả sử G là liên thông. Nếu G không phải là một cây ⇒ G có chu trình đơn.
Xóa đi một cạnh trong chu trình đơn này. Khi đó, đồ thị nhận được có số cạnh ít hơn G
nhưng số đỉnh vẫn bằng số đỉnh của G và vẫn liên thông. Nếu đồ thị con này không là
cây thì nó còn chứa chu trình đơn. Lặp lại quá trình trên, ta lại xóa đi một cạnh của chu
trình đơn này. Quá trình cứ tiếp tục cho đến khi không còn chu trình đơn nào. Điều này
luôn thực hiện được vì ta chỉ xét các đồ thị hữu hạn. Khi quá trình kết thúc, ta nhận được
một cây khung của G.
TOP
4. Cây khung bé nhất
4.1. Định nghĩa
Cây khung nhỏ nhất trong một đồ thị liên thông, có trọng số là một cây khung có
tổng trọng số trên các cạnh của nó là nhỏ nhất.
4.2. Thuật toán Prim
Thuật toán Prim được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1957. Thuật toán Prim được
dùng để tìm cây khung nhỏ nhất trong một đồ thị liên thông có trọng số.
Thuật toán Prim bắt đầu bằng việc chọn một cạnh bất kỳ có trọng số nhỏ nhất, đặt
nó vào cây khung. Sau đó, lần lượt ghép vào cây các cạnh có trọng số nhỏ nhất liên thuộc
với một đỉnh của cây và không tạo ra chu trình trong cây. Thuật toán dừng lại khi (n − 1)
cạnh được ghép vào cây.
Chú ý: Có nhiều hơn một cây khung nhỏ nhất ứng với một đồ thị liên thông và
có trọng số.
Thuật toán Prim dưới dạng giả mã:
Procedure Prim (G: đồ thị liên thông có trọng số với n đỉnh).
T: = cạnh có trọng số nhỏ nhất.
for i = 1 to n − 2.
begin
e:= cạnh có trọng số tối thiểu liên thuộc với một đỉnh trong T và
không tạo ra chu trình trong T nếu ghép nó vào T.
T: = T với e được ghép vào
end {T là cây khung nhỏ nhất của G}.
Ví dụ: Dùng thuật toán Prim để tìm cây khung nhỏ nhất trong đơn đồ thị có trọng
số sau:
Ta có:
Bước chọn Cạnh Trọng số
fg 1
gd 2
dc 3
ca 5
ab 7
be 6
Tổng cộng 24
Khi đó ta có cây bao trùm nhỏ nhất:
4.3. Thuật toán Kruskal
Để tìm cây khung nhỏ nhất của một đơn đồ thị liên thông có trọng số. Ta còn có
thể dùng thuật toán Kruskal.
Để thực hiện thuật toán Kruskal, ta xuất phát từ việc chọn cạnh có trọng số nhỏ
nhất của đồ thị. Sau đó lần lượt ghép thêm vào các cạnh có trọng số tối thiểu và không
tạo thành chu trình với các cạnh đã được chọn. Thuật toán dừng lại khi (n − 1) cạnh được
chọn.
Thuật toán Kruskal dưới dạng giả mã:
Procedure Kruskal (G: đồ thị n đỉnh, liên thông có trọng số).
T: = đồ thị rỗng
for i: = 1 to n − 1
begin
e: = một cạnh bất kỳ của G với trọng số nhỏ nhất và không tạo ra
chu trình trong T, khi ghép nó vài T.
T: = T với cạnh e đã được ghép vào.
end {T là cây khung nhỏ nhất}.
Sự khác nhau giữa thuật toán Prim và thuật toán Kruskal.
- Trong thuật toán Prim, ta chọn các cạnh có trọng số nhỏ nhất, liên thông với các đỉnh đã
thuộc cây và không tạo ra chu trình.
- Trong thuật toán Kruskal, ta chọn các cạnh
có trọng số tối thiểu mà không nhất thiết phải liên
thuộc với các đỉnh của cây và không tạo ra chu trình.
Ví dụ: Dùng thuật toán Kruskal, tìm cây bao
trùm ngắn nhất của đồ thị sau:
Ta xây dựng cây bao trùm ngắn nhất theo các bước:
Bước chọn Cạnh Trọng số
ab 1
eg 2
cf 3
ae 4
bd 4
cd 4
Tổng cộng 24
Khi đó, ta có cây bao trùm nhỏ nhất:
Lưu ý: Cây khung cực đại của một đồ thị vô hướng, liên thông, có trọng số là
cây khung có trọng số lớn nhất.
Bài tập
1. Vẽ tất cả các cây (không đẳng cấu với nhau) có 3 đỉnh, 4 đỉnh, 5 đỉnh và 6 đỉnh.
2. Tìm mọi cây T sao cho:
a. T là một đồ thị đều.
b. đồ thị bù của T cũng là một cây.
2
a
c
d
b
3
e
f
g
h
1
4
3
10
14
15
5
20
9
7
11
3. Tìm cây bao trùm ngắn nhất của đồ thị G sau bằng
thuật toán Kruskal và thuật toán Prim (bắt đầu từ đỉnh d).
4.Tìm cây bao trùm dài nhất của đồ thị G trong bài 3.
5. Dùng thuật toán Kruskal và thuật toán Prim tìm cây bao trùm ngắn nhất của các đồ thị
sau:
a
b
c
d
2
3
4
5
5
6
e
f
g
h
i
1
7
3
8
4
4
4
2
3
b
a
b
c
d
f
h
g
i
e
2
2
2
2
3
3
