Các vấn đề liên quan đến hàm số
Hàm số và các vấn đề cụ thể liên quan
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
CHUÛ ÑEÀ 1: HAØM SOÁ – ÑAÏO HAØM
I. MIEÀN (TAÄP) XAÙC ÑÒNH CUÛA HAØM SOÁ: D = {x∈R | y = f(x)∈R}
Haøm soá Taäp xaùc ñònh Haøm soá Taäp xaùc ñònh Haøm soá Taäp xaùc ñònh
π ⎧ B(x ) > 0
y = A(x ) A (x ) ≥ 0 y = tgx x≠ + kπ y = logA (x ) B(x ) ⎨
2 ⎩0 < A(x ) ≠ 1
A (x ) ⎡a x
y= B(x ) ≠ 0 y = cot gx x ≠ kπ y=⎢ x ∀x(a > 0)
B(x ) ⎣e
A(x ) ≥ 0 ⎡ arcsin x ⎡log x
y = 2 n A(x ) y=⎢ −1≤ x ≤ 1 y=⎢ ∀x > 0
(n ∈ Z ) +
⎣arccos x ⎣ ln x
∀x ∈ D ⎡f (x ) ± g(x )
y = 2 n +1 A(x ) y = [A(x )]
B( x )
A (x ) > 0 y=⎢ D = D f ∩ Dg
(
n ∈ Z+ ) ⎣ f (x ) g(x )
II. MIEÀN (TAÄP) GIAÙ TRÒ CUÛA HAØM SOÁ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D}
1. Söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D
Haøm f(x) f(D): MGT Haøm f(x) f(D): MGT
f (x ) ≤ a f (D ) = (− ∞, a] a ≤ f (x ) ≤ b f (D ) = [a, b]
f (x ) ≥ b f (D ) = [b,+∞ ) a < f (x ) < b f (D ) = (a, b )
2. Ñaùnh giaù bieåu thöùc baèng caùc BÑT:
* [A(x )] + a ≥ a ∀a, ∀x laøm A(x ) xaùc ñònh.
2
* BÑT Coâsi : a + b ≥ 2 ab . Bunhiacoâp sky : ac + bd ≤ (a 2
)(
+ b 2 c2 + d 2 )
III. HAØM HÔÏP gof
go f laø haøm hôïp cuûa hai haøm f : D f Tf vaø g : D f Z
* Tf ∩ D f = φ ⇒ ∃go f : Dg o f Z
* ∀x ∈ Dg o f : [go f ](x ) = g[f (x )] vaø fog ≠ go f
⎡{x | x ∈ D f ∧ f (x ) ∈ Dg } Tf ∩ Dg
;
* Dg o f = ⎢
⎣ D f , {(Tf ≠ 0 ) ∧ (Tf ⊂ Dg )}
IV. HAØM CHAÜN – LEÛ y=f(x) ÑOÁI XÖÙNG QUA O:
f (− x ) = f (x ) ∀x ∈ D : f chaün ⎤
⇒ f (− x ) ≠ ± f (x ) : Haøm khoâng chaün khoâng leõ ∀x ∈ D
f (- x ) = − f (x ) ∀x ∈ D : f leõ ⎥
⎦
V. GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ:
0
1. Phöông phaùp 1: Khöû daïng voâ ñònh
0
Cô sôû cuûa phöông phaùp laø laøm xuaát hieän daïng trong bieåu thöùc haøm caùc thöøa soá (x - x0), ñeå roài giaûn öôùc chính caùc thöøa soá ñoù cuûa töû
f (x )
soá vaø maãu soá trong lim vôùi caùc chuù yù:
x→ x 0 g(x )
• Neáu töû vaø maãu laø caùc ña thöùc, söû duïng pheùp chia ña thöùc töû vaø maãu cho (x - x0). Rieâng ôû ñaây ta duøng thuû thuaät chia Hormer.
• Neáu chæ ôû töû hoaëc maãu coù chöùa caên thöùc, ta nhaân cho töû vaø maãu moät löôïng lieân hôïp cuûa caên thöùc ñoù.
A + B ←⎯
llh
→ A− B 3
A ± 3 B ←⎯ 3 A ± 3 AB + 3 B2
llh
→
Neáu töû vaø maãu ñeàu coù chöùa caên thöùc, ta seõ nhaân vaøo töû vaø maãu cuøng hai löôïng lieân hôïp giao hoaùn töông öùng.
• Khoâng loaïi tröø caùc khaû naêng söû duïng nhanh caùc haèng ñaúng thöùc:
1
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
a2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) a3 ± b 3 = ( a ± b ) ( a2 ± ab + b 2 )
a4 − b 4 = ( a2 + b 2 ) ( a − b )( a + b ) an − b n = ( a − b ) ( an −1 + an − 2 b + an − 3 b 2 + ... + ab n − 2 + b n −1 )
• Ñeå yù raèng vieäc bieán ñoåi sô caáp coù theå laøm daïng voâ ñònh naøy trôû thaønh daïng voâ ñònh khaùc. Chaúng haïn:
lim f (x )g(x ) (daïng 0 × ∞ theo thöù töï ñoù)
x→0
∞
2. Phöông phaùp 2: Khöû daïng voâ ñònh
∞
• PP1: Ñaët soá muõ lôùn nhaát cuûa caùc ña thöùc thaønh phaàn ôû töû vaø maãu laøm nhaân töû chung ñeå khöû voâ ñònh.
• PP2: Duøng caùc ñònh lyù giôùi haïn töông ñöông:
1/ x → ∞ ⇒ Pn (x ) ~ an x n
⎧
⎪ x → +∞ ⇒ ax 2 + bx + c ~ x a ; (a > 0)
2/ ⎨
⎪x → −∞ ⇒ ax 2 + bx + c ~ −x a ; (a > 0)
⎩
b
3 / ax 2 + bx + c ~ a x + + ε(x ); ⎛ vôùi a > 0 vaø lim ε(x ) = 0 ⎞
⎜ ⎟
2a ⎝ x→∞ ⎠
3. Phöông phaùp 3: Khöû daïng voâ ñònh ∞ − ∞
Cô sôû cuûa phöông phaùp tìm giôùi haïn naøy laø:
1/ Söû duïng löôïng lieân hôïp.
b
2/ Söû duïng bieåu thöùc tieäm caän: ax 2 + bx + c ~ a x + + ε(x ) trong ñoù: a > 0 vaø lim ε(x ) = 0
2a x →∞
3/ Söû duïng caùc haèng ñaúng thöùc.
4/ Khoâng duøng haøm soá töông ñöông cho daïng toång.
4. Phöông phaùp 4: Giôùi haïn cuûa haøm löôïng giaùc
• TH1: Khi x → 0 (x tính baèng radian)
sin u ( x ) tgu ( x )
lim = 1 hay sinu ( x ) ~ u ( x ) lim = 1 hay tgu ( x ) ~ u ( x )
u( x )→ 0 u ( x) u( x ) → 0 u ( x)
1 − cos u ( x ) 1 1 2
lim = hay 1-cos 2 u ( x ) ~ ⎡ u ( x ) ⎤
⎣ ⎦
u( x )→ 0
⎡u ( x)⎤
2
2 2
⎣ ⎦
Khoâng loaïi tröø nhaân caùc löôïng lieân hôïp löôïng giaùc.
( 1 + sin u ) ←⎯→ ( 1 − sin u )
llh
( 1 + cos u ) ←⎯→ ( 1 − cos u )
llh
• TH2: Khi x → x 0 haøm löôïng giaùc coù daïng voâ ñònh (x tính baèng rañian)
⎧ x = x0 + t
* Ñaët: t = x − x0 ⇔ ⎨
⎩x → x 0 ⇒ t → 0
* Khi: x → x 0 ⇒ t' = x 0 − x, t' → 0
Ghi chuù: khoâng söû duïng haøm töông ñöông cho toång soá.
⎧f (x ) ≤ g(x ) ≤ h(x ), ∀x ∈ Vx 0 | {x 0 }
⎪
5. Haøm keïp: ⎨ ⇒ lim g(x ) = L
⎪ lim f (x ) = lim h(x ) = L x→x 0
⎩ x→x 0 x→x 0
⎧ lim f ( x ) = L ⇒ lim f ( x ) = L
⎪ x→ x0 x → x0
6. Haøm chöùa giaù trò tuyeät ñoái: ⎨
⎪ x→ x f ( x ) = 0 ⇒ x→x f ( x ) = 0
lim lim
⎩ 0 0
⎧f (x 0 ) ∈ R, ∀x 0 ∈ D
⎪
7. Haøm lieân tuïc: * ⎨ hay lim Δ y = 0
⎪ xlim0 f (x ) = f (x 0 )
⎩ →x
Δx 0 → 0
2
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
⎡ lim+ f (x ) = f (x 0 ) : lieân tuïc phaûi
lim+ f (x ) = lim− f (x ) = f (x 0 ) ⇒ ⎢ 0
x→x
* Lieân tuïc taïi x0:
x→x 0 x→x0 ⎢ lim− f (x ) = f (x 0 ) : lieân tuïc traùi
⎣ x→x 0
8. Coâng thöùc giôùi haïn:
x lim log a x = +∞ ⎫
lim
sin x
=1 lim a = +∞ ⎫
x→+∞ ⎪ x →+∞ ⎪
x→ 0 x x + lim log a x = −∞ ⎪
lim a = 0 ⎪
tgx x→−∞ ⎪ x → 0+ ⎪
lim =1 x
x→ 0 x lim e = +∞ ⎪ lim ln x = +∞
x →+∞
⎪
x→+∞ ⎪ ⎪
( )
lim U x = 0
x→ 0 lim e = 0 ⎬
x + a>1 lim ln x = −∞ ⎬ a>1
x→−∞ ⎪ x → 0+ ⎪
lim
( ) =1
sin U x
e
x ⎪ ln x + ⎪
lim = +∞ ⎪ lim =0 ⎪
x→ 0 U ( x) x→+∞ x x →+∞ x
⎪ − ⎪
x
tgU ( x ) lim x.e = 0 ⎪ lim x. ln x = 0
x → 0+
⎪
⎭
lim =1 x→−∞ ⎭
x→ 0 U ( x )
x
lim a = 0 ⎫
+ lim log a x = −∞ ⎫
x→+∞ ⎪ x →+∞ ⎪
1 − cos x 1 ⎬ 0Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
Δy f (x ) − f (x 0 )
B1: Tính lim = lim = b vaø neáu b ∈ R
Δx → 0 Δx x→x 0 x − x0
B2: Toàn taïi f’(x0)=b. Khi chæ toàn taïi moät trong hai giôùi haïn:
f (x ) − f (x 0 )
* lim+ = f ' (x + ) : ñaïo haøm beân phaûi ñieåm x0.
0
x→x 0 x − x0
f (x ) − f (x 0 )
* lim = f ' (x − ): ñaïo haøm beân traùi ñieåm x0.
0
x→x −
0 x − x0
Ghi chuù: Neáu x0 laø ñieåm thoâng thöôøng cuûa taäp xaùc ñònh, ta coù theå duøng coâng thöùc tìm y’=f’(x) roài thay vaøo ta coù f’(x0).
3. Tính ñaïo haøm baèng ñònh nghóa:
Δy
lim = f ' (x ) ∈ R; ∀x ∈ D ta laøm ba böôùc cô baûn:
Δx → 0 Δ x
B1: Goïi Δx laø soá gia cuûa bieán soá taïi x tuøy yù trong D, Δy laø soá gia cuûa haøm soá töông öùng. Ta tính Δy töø: y + Δy = f(x + Δx).
Δy
B2: Laäp tyû soá
Δx
Δy
B3: Tính lim = g(x ) ∈ R ; thì keát luaän: f’(x) = g(x).
Δx → 0 Δ x
Ñaïo haøm Vi phaân
1) Haøm cô baûn: 1) Ñònh nghóa:
(c.u)' = c.u' (c : haèng soá) y = f (x ) ⇒ dy = f ' (x ).d (x )
(u ± v)' = u'±v' 2) Quy taéc vi phaân:
d (u ± v ) = du ± dv
(u.v )' = u'.v + u.v'
d (u.v ) = v.du + u.dv
′ ′
⎛ u ⎞ u'.v − u.v' ⎛ 1 ⎞ v'
⎛ u ⎞ v.du − u.dv
⎜ ⎟ = ⇒⎜ ⎟ =− 2 d⎜ ⎟ =
⎝v⎠ v ⎝v⎠ v
2
⎝v⎠ v2
2) Haøm hôïp:
3) Haøm hôïp:
y = [fo u](x ) = f [u(x ) ] ⇒ y' = u'(x ) .f [u(x ) ]
Cho u = u(x); y = f(u) ñeàu khaû ñaïo haøm thì haøm hôïp y =
(fou)(x) = f[u(x)] cuõng khaû ñaïo haøm vaø y’ = u’(x).f’[u(x)]
hay y0 = y’u.u’x. ⇒ y'(x ) = y'( u ) .u'(x )
3) Haøm ngöôïc:
y = [u(x )]; (u(x ) > 0 )
v(x )
⎧ f : D → f (D ) 4) Haøm logarit:
Cho: ⎨ . Khaû ñaïo haøm theo x vaø coù haøm
u' ⎞
⎩x → y = f (x ) ⎛
⇒ y' = y(v ln u )' = u' ⎜ v' ln u + v ⎟
⎧ f −1 : f (D ) → D ⎝ u⎠
ngöôïc: ⎨ .
⎩y → x = f (y )
−1
1 1
Ta coù: y'x = ⇔ x' y =
x' y y' x
4. Baûng tính ñaïo haøm:
Haøm soá f(x) Ñaïo haøm f’(x) Haøm soá f(x) Ñaïo haøm f’(x)
x ;u
n
( )n
n.x n −1
(
; n.u n −1
.u' ) sinx cosx
C 0 cosx -sinx
1
x 1 tgx 2
= 1 + tg 2 x
cos x
1⎛ u' ⎞
x; ( u) ;⎜
2 x ⎝2 u ⎠
⎟ ex ex
1 1
− 2 ax axlna
x x
4
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
1
lnx
x
1 1
cotgx − 2
sin x
(
= − 1 + cot g2 x ) logax
x ln a
5. Ñaïo haøm caáp cao:
Khi caàn tính ñaïo haøm caáp (n): y(n) = f(n)(x), ngöôøi ta söû duïng phöông phaùp tính quy naïp baèng ba böôùc cô baûn nhö sau:
• Tính y’, y”, y’”... ñeå döï ñoaùn coâng thöùc cuûa: y(n) = f(n)(x) (1)
• Giaû söû (1) ñuùng ∀k ≥ 1 , töùc laø ta coù: y(k) = f(k)(x) (2)
• Laáy ñaïo haøm hai veá bieåu thöùc (2) ñeå chöùng minh:
y(k+1) = f(k+1)(x); ñuùng ∀k ≥ 1
Keát luaän: Coâng thöùc (1) laø ñaïo haøm caáp (n) caàn tìm.
6. ÖÙng duïng cuûa ñaïo haøm:
• Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi moät ñieåm f’(x0) neáu toàn taïi heä soá goùc cuûa tieáp
tuyeán vôùi ñoà thò (C): y = f(x) taïi ñieåm ñoù: t
k = tgϕ = f ' (x 0 ) (laø yù nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm) (C): y = f(x)
ϕ x
• Neáu moät haøm f coù ñaïo haøm taïi x0 thì haøm f lieân tuïc taïi ñieåm x0.
• Nhöng moät haøm f lieân tuïc taïi x0 thì chöa chaéc coù ñaïo haøm taïi ñieåm x0. M(x0,y0)
• Moät haøm f khoâng lieân tuïc taïi x0 thì khoâng coù ñaïo haøm taïi ñieåm x0.
• Giaû söû haøm f : y = f(x) coù ñaïo haøm y’=f’(x) treân D, ta coù: (h.1)
f laø haøm haèng treân D ⇔ f ' (x ) = 0; ∀x ∈ D (1)
f ñoàng bieán treân D ⇔ f ' (x ) ≥ 0; ∀x ∈ D (2 )
f nghòch bieán treân D ⇔ f ' (x ) ≤ 0; ∀x ∈ D (3)
Ñeå yù trong (2) vaø (3), ñaïo haøm theå hieän moät haøm soá ñôn ñieäu nghieâm caùch (ñoàng bieán hay nghòch bieán) trong D coù theå baèng khoâng
taïi nhöõng giaù trò rôøi raïc cuûa bieán soá (xem h.2) nhöng khoâng theå trieät tieâu trong moät khoaûng tuøy yù cuûa (α; β) ⊂ D (xem h.3).
y y
A f'(x0,1)=0 A f'(x0,1)=0
C ∀x0 ∈ (α;β)
C D
D f'(x0,2)=0
B B
x x
a 0 x0,1 x0,2 b a 0 α x0 β b
(h.2) (h.3)
• Neáu haøm f lieân tuïc treân [a;b] vaø f(a).f(b) < 0 thì phöông trình f(x) = 0 coù ít nhaát moät nghieäm: x 0 ∈ (a; b) .
⎧ f lieân tuïc treân [ a;b]
⎧ phöông trình f ( x ) = 0
• Neáu: ⎪ f ( a ) f ( b ) < 0 ⇒⎨
⎩ coù nghieäm duy nhaát x 0 ∈ [ a;b]
⎨
⎪ f ñôn ñieäu nghieäm caùch treân a;b
⎩ [ ]
y
B
f(b)
f(a) A
(C) : y = f(x)
a x
(C) : y = f(x)
0 x0 b a x
0 x0 b
B
f(b)
(h.6)
5
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
• Giaû söû haøm f : y = f(x) xaùc ñònh treân ñoaïn [a;b]
Haøm f ñaït moät cöïc ñaïi taïi x 0 ∈ (a; b) , neáu toàn taïi moät laân caän V(x 0 ) ∈ (a; b) sao cho: f (x ) < f (x 0 ); ∀x ≠ x 0 .
Haøm f ñaït moät cöïc tieåu taïi x 0 ∈ (a; b) , neáu toàn taïi moät laân caän V(x 0 ) ∈ (a; b) sao cho: f (x ) > f (x 0 ); ∀x ≠ x 0 .
* Ñònh lyù 1 Fermat: (Ñieàu kieän caàn ñeå haøm soá f coù cöïc trò)
Neáu haøm f coù ñaïo haøm taïi V(x0) vaø ñaït moät cöïc trò taïi x0 ñoù thì ñieàu kieän caàn laø f’(x0) = 0.
y y
f'(x0)=0
(C):y=f(x) (C):y=f(x) f'(x0)>0 B
B A
A f'(x0)Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
⎛0⎞
⎜ ⎟
0
Trong ñoù n0 laø chæ soá döøng cuûa ñaïo haøm caáp n khi daïng voâ ñònh ⎝ ⎠ vöøa khöû.
⎛∞⎞ ⎛0⎞
Daïng ⎜ ⎟; (0 × ∞ ); (∞ − ∞ ) ... ñeàu coù theå bieán ñoåi veà daïng ⎜ ⎟ ñeå söû duïng ñöôïc quy taéc L’ Hospitale.
⎝∞⎠ ⎝0⎠
• Tính loài loõm cuûa haøm soá trong ñaúng thöùc Jensen.
y y
⎛ x + x2 ⎞
f⎜ 1 ⎟
⎝ 2 ⎠ f x1 + f x 2
f x1 + f x 2 2
2 ⎛ x + x2 ⎞
f⎜ 1 ⎟
⎝ 2 ⎠
a x1 x + x x2 b x a x1 x1 + x 2 x 2 b
0 1 2 0 x
2 2
⎧ f lieân tuïc treân [ a;b ]
⎪
⎪
( a;b )
⎛x
f⎜ 1
+ x 2 + ... + x n ⎞ ( ) ( ) + ... + f ( x n )
f x1 + f x 2
⎨f " < 0 treân ⇒ ⎟≥
⎪ ⎝ n ⎠ n
⎪
⎩ [ ]
x 1 ; x 2 ; ...x n ∈ a; b
Daáu ñaúng thöùc trong BÑT xaûy ra khi x1 = x2 = ... = xn.
* Ñònh lyù Lagrance:
⎧ f lieân tuïc [a; b]
⎨ ⇒ ∃ c ∈ (a; b ); f (b ) − f (a ) = (b − a)f (x )
⎩f khaû ñaïo (a; b )
YÙ nghóa hình hoïc: Moät haøm lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm treân [a;b] thì toàn taïi treân ñoà thò (C) : y = f(x) caùc ñieåm maø tieáp tuyeán taïi ñoù song
song vôùi ñoaïn noái hai ñaàu nuùt cuûa ñoà thò.
Heä quaû: (Ñònh lyù Rolle)
⎧giöõa 2 nghieäm x1 ;x 2 phaân bieät
[ ] ()
f lieân tuïc treân a;b vaø f a = f b ( )⎫
⎪ ⎪
⎬ ⇒ ⎨ neáu coù cuûa f ( x ) = 0 phaûi coù
f coù ñaïo haøm treân ( a;b ) ⎪ ⎪
⎭
⎩ ít nhaát 1 nghieäm x 0 cuûa f' ( x ) = 0
CHUÛ ÑEÀÀ 2: TÍNH ÑÔN ÑIEÄU
I. TÍNH TAÊNG - GIAÛM (ÑÔN ÑIEÄU) CUÛA HAØM SOÁ:
⎡ ∀x , x ∈ (a; b ) : x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 )
f taêng treân (a; b ) ⇔ ⎢ 1 2
⎣f ' (x ) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b ) : Haøm soá ñoàng bieán
⎡ ∀x1 , x 2 ∈ (a; b ) : x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) > f (x 2 )
f giaûm treân (a; b ) ⇔ ⎢
⎣f ' (x ) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b ) : Haøm soá nghòch bieán
f(x) laø haøm baát kyø Tính chaát ñôn ñieäu f(x) haøm baäc 3
Neáu min f '(x ) ≥ 0 f luoân taêng: f '(x ) ≥ 0 a > 0 vaø Δ ≤ 0
Neáu max f ' (x ) ≤ 0 f luoân giaûm: f ' (x ) ≤ 0 a < 0 vaø Δ≤0
II. TAÊNG - GIAÛM TRONG KHOAÛNG:
1. Haøm baäc 2: y = ax2 + bx + c ⇒ y' = 2ax + b . Taêng, giaûm trong (α;+∞ )
Heä soá y' ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ )
Haøm f taêng y' ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ )
Haøm f giaûm
a=0 m = m1 ⇒ y' = b > 0 : nhaän m1 m = m1 ⇒ y' = b < 0 : nhaän m1
7
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
b
a>0 − ≤α⇒m =? Khoâng xaûy ra
2a
b
a0 x1 ≤ α < β ≤ x 2
⎨
⎩α ≤ x1 ≤ x 2 ⇔ a.y' (α ) ≤ 0 vaø a.y' (β) ≤ 0
Giaûm y' ≤ 0
(− ∞; α ] hoaëc (- ∞; α ] (α; β) hoaëc [α;β]
x (− ∞; α] x1 x2 +∞ x −∞ x1 x2 +∞
y' 0 + 0 −
− y' + 0 − 0 +
⎧ a>0 x1 ≤ α < β ≤ x 2
⎨
⎩α ≤ x1 ≤ x 2 ⇔ a.y' (α ) ≤ 0 vaø a.y' (β) ≤ 0
ax 2 + bx + c g(x )
3. Haøm höõu tyû: y = =
a' x + b' a' x + b'
Caùch 1: Giaûi nhö phaàn II.2
Caùch 2: Phaàn II.2 cuõng coù theå laøm theo caùch naøy.
(α;+∞ ) hoaëc x ≥ α
f taêng (α;+∞ ) hoaëc x ≥ α
f giaûm
y' ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) thì g(x ) ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) y' ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) thì g(x ) ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ )
⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞
⇔ min g(x ) ≥ 0 ⇒ g(x ) taêng trong ⎜ − ;+∞ ⎟ ⇔ max g(x ) ≤ 0 ⇒ g(x ) giaûm trong ⎜ − ;+∞ ⎟
⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠
⇒ min g(x ) = g(α ) ⇒ max g(x ) = g(α )
b b
x − α +∞ ⎧ a>0 x − α +∞ ⎧ aTs.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
( ) ( )
f x ≤ 0 hoaëc f x ≥ 0, ∀x ∈ a; b ( )
⎡ f ( x ) taêng thì x ≥ 0 ⇒ f ( x ) ≥ f ( 0 )
( ) ( )
f ' x ⇒ f x taêng hoaëc giaûm ⇒ ⎢ f ( x ) giaûm thì x ≤ 0 ⇒ f ( x ) ≤ f ( 0 )
⎣
Neáu BÑT coù 2 bieán thì: f (α ) < f (β ) vôùi a < α < β < b
⎧ f (x ) taêng ⇔ α < β ⇒ f (α ) < f (β )
Xeùt tính ñôn ñieäu cuûa f(x) trong khoaûng (α; β ) ⇒ ⎨
⎩f (x ) giaûm ⇔ α < β ⇒ f (α ) > f (β )
2. Phöông trình coù nghieäm duy nhaát:
• Chöùng minh phöông trình f(x) = 0 coù 1 nghieäm duy nhaát.
Suy ñoaùn x = x0 laø nghieäm cuûa phöông trình.
Chöùng minh x0 laø nghieäm duy nhaát ⇔ f(x) luoân luoân taêng (hoaëc giaûm).
• Chöùng minh phöông trình f(x) = g(x) coù 1 nghieäm duy nhaát.
Suy ñoaùn x = x0 laø nghieäm cuûa phöông trình.
Chöùng minh f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá ñoái ñôn nghieâm caùch (ñoàng - nghòch bieán).
CHUÛ ÑEÀÀ 3: CÖÏC TRÒ HAØM SOÁ
I. CÖÏC TRÒ:
⎡ f ñaït CÑ ⇔ f' ( x 0 ) > 0 ñoåi daáu ( + ) sang (-)
( )
f ñaït cöïc trò taïi x 0 ⇒ f ' x 0 = 0 ⇒ ⎢
⎢ f ñaït CT ⇔ f' ( x 0 ) < 0 ñoåi daáu (-) sang ( + )
⎣
⎡ f' a = 0 ()
( ) ( ) ( )
f coù ñaït cöïc trò taïi x 0 ⇒ f ' x 0 = 0 : Haøm f x nhaän M a,b laøm cöïc trò ⇔ ⎢
()
⎣f a = b
( )
f ñaït CÑ vaø CT ⇔ f' x = 0 ñoåi daáu 2 laàn ⇔ { a≠0
Δ>0
⇒ f khoâng ñaït cöïc trò
( )
⇔ f ' x = 0 khoâng ñoåi daáu ⇔
⎡ f' ( x ) = 0 Voâ nghieäm
{
a≠0
⎢ f' ( x ) = 0 Nghieäm keùp ⇔ Δ ≤ 0
⎣
⎧ f ' ( x0 ) = 0
⎪ ⎪ f ' ( x0 ) = 0
⎧
f ñaït CÑ taïi x 0 ⇔⎨ ⇒ f ñaït CT taïi x 0 ⇔ ⎨
⎪f " ( x 0 ) < 0
⎩ ⎪f " ( x0 ) > 0
⎩
Chuù yù: Haøm soá chæ coù theå ñaït cöïc trò taïi nhöõng ñieåm maø taïi ñoù f’(x) = 0 hoaëc ñaïo haøm khoâng toàn taïi.
II. CÖÏC TRÒ HAØM HÖÕU TYÛ:
2 2
ax + bx + c aa ' x + 2ab ' x + bb '− a ' c
y= ( )
⇒ y' = f ' x = 2
a'x + b' (
a'x + b' )
2
y ' = 0 ⇔ aa ' x + 2ab ' x + bb '− a ' c = 0 (1) ( aa ' ≠ 0 )
*f coù CÑ, CT thì (1) coù 2 nghieäm phaân bieät ⇔ Δy' > 0
⎛ b' ⎞
*f khoâng coù CÑ, CT thì (1) voâ nghieäm ⇔ Δy' < 0 hay ag ⎜ - ⎟0
⎝ a' ⎠
9
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
III. CÖÏC TRÒ HAØM TRUØNG PHÖÔNG:
1. Daïng 1:
4 2 2
y = ax + bx + c ⇒ y ' = 2x 2ax + b ( )
⎡ 2x = 0
y' = 0 ⇔ ⎢ 2
⎣ 2ax + b = 0 (1)
⎡ f coù 3 cöïc trò ⎡(1) coù hai nghieäm phaân bieät x ≠ 0
* ⎢ f coù 2 ñieåm uoán ⇔ ⎢ ab < 0
⎣ ⎣
⎡ a = 0, b ≠ 0
⎡ f coù moät cöïc trò ⎢ a ≠ 0, b = 0
* ⎢ f khoâng ñieåm uoán ⇔⎢
⎣ ⎢(1) voâ nghieäm
⎢ ab ≥ 0
⎣
2.
Daïng 2:
4 2 3 2
y = ax + bx + c + d ⇒ y ' = x 4ax + 3bx + c ( )
⎡x = 0
y' = 0 ⇔ ⎢ 2
⎣ 4ax + 3bx + c = 0 (2)
⎡ f chæ coù CT ⎡(2) voâ nghieäm hoaëc nghieäm keùp ⎡Δ ≤ 0
* ⎢ maø khoâng coù CÑ ⇔⎢ ⇔⎢
⎣ ⎣(2) coù nghieäm x = 0 hoaëc 1 nghieäm x ≠ 0 ⎣g ( 0 ) = 0
3.
Daïng 3:
4 2 3 3 2
y = ax + bx + cx + dx + e ⇒ y ' = 4ax + 3bx + 2cx + d
(
y' = x − α ) ( Ax 2 + Bx + C) = ( x − α ) g ( x ) = 0 y' coù nghieäm thöïc α
⎡g ( x ) = 0 voâ nghieäm hoaëc nghieäm keùp ⎡ Δ ≤ 0
* f coù moät cöïc trò ⇔ ⎢ ⇔⎢
⎢g ( x ) = 0 coù nghieäm x = α hoaëc x ≠ α ⎣g ( α ) = 0
⎣
Chuù yù:
1) f coù cöïc trò maø hoaønh ñoä lôùn hôn α ⇔ y' = 0 thoûa α < x1 < x 2
2) f coù cöïc trò maø hoaønh ñoä nhoû hôn α ⇔ x1 < α < x 2 hoaëc x1 < x 2 ≤ α
3) ( )
f coù cöïc trò trong α;β ⇔ y ' = 0 thoûa α < x1 < x 2 < β
4) f ñaït CÑ taïi x ∈ [ α ,β ] , ñaït CT taïi ñieåm ngoaøi x 0 ∈ [ α;β ] ⇔ y ' = 0 thoûa α ≤ x1 ≤ β ≤ x 2
IV. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG QUA CAÙC ÑIEÅM ÑAËC BIEÄT TREÂN ÑOÀ THÒ:
1. Daïng 1: Ñöôøng thaúng qua 3 ñieåm coá ñònh cuûa (Cm) : y = fm(x) coù baäc ba:
1/ Goïi (x0;y0) laø ñieåm coá ñònh heä phöông trình ñaëc tröng cuûa caùc ñieåm coá ñònh töông öùng töø y0 = fm(x0) (I) laø:
⎧fm (x 0 ) = a2 x3 + b2 x 2 + c2 x 0 + d 2
⎪ 0 0 (I)
⇔⎨
⎪g(x 0 ) = a1x 0 + b1x 0 + c1x 0 + d1 = 0
⎩
3 2
(II)
Vôùi (II) laø phöông trình ñaëc tröng cho hoaønh ñoä ñieåm coá ñònh.
2/ Thöïc hieän pheùp chia ña thöùc fm(x0) : g(x0) ñeå ñöa (I) veà daïng:
y 0 = f (x 0 ) = γg(x 0 ) + αx 0 + β
baèng khoâng phöông trình heä quaû
⇒ (d ) : y = αx + β : laø ñöôøng thaúng ñi qua ba ñieåm coá ñònh cuûa (Cm); ∀m.
Hay ba ñieåm coá ñònh cuûa (Cm) ñi qua ∀m thaúng haøng treân (d) (maëc duø ta khoâng caàn tìm roõ ba toïa ñoä cuï theå cuûa ba ñieåm coá ñònh ñoù).
2. Daïng 2: Ñöôøng thaúng ñi qua hai cöïc trò cuûa haøm baäc ba (Cm) : y=fm(x)
10
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
1/ Goïi (x0,y0) laø caùc ñieåm cöïc trò cuûa (Cm) thì noù thoûa heä:
( )
⎧ y 0 = fm x 0 = ax 3 + bx 0 + cx 0 + d
0
2
(I)
⎪
⎪
⎨g ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) = 3ax 0 + 2bx 0 + c = 0
2
(II)
⎪
( 2
⎪ vôùi: b -3ac > 0; ∀m ∈ Dm
⎩ )
2/ Thöïc hieän pheùp chia fm(x0) : g(x0) ñeå ñöa (I) veà daïng:
y 0 = fm (x 0 ) = (αx 0 + β) g(x 0 ) + γx 0 + ξ
baèng khoâng phöông trình heä quaû
⇒ (d ) : y = γx 0 + ξ; ∀m ∈ D m : laø ñöôøng thaúng qua hai ñieåm cöïc trò .
3. Daïng 3: Ñöôøng thaúng qua hai ñieåm cöïc trò cuûa haøm höõu tyû 2 (C m ) : y = fm (x ) = u(x )
1 v(x )
1/ Goïi (x0;y0) laø ñieåm cöïc trò cuûa (Cm); thì noù thoûa heä:
⎧ u ( x0 )
⎪y 0 = ( I)
⎪ v ( x0 ) u ' ( x)
⎪
⎨ ⇒ y0 = = αx + β
v ' ( x)
′
⎪⎛ u ( x 0 ) ⎞
⎪⎜ = 0 ( II )
⎜ v (x ) ⎟ ⎟ phöông trình heä quaû
⎪⎝
⎩ 0 ⎠
2/Ta coù: (d ) : y = αx + β laø ñöôøng thaúng qua hai cöïc trò cuûa (Cm) (maëc duø ta khoâng caàn tìm roõ toïa ñoä hai ñieåm cöïc trò cuûa noù).
4. Daïng 4: Ñöôøng thaúng ñi qua ba ñieåm uoán cuûa (Cm) : y = fm(x)
⎧y 0 = fm (x 0 )
1/ Goïi (x0;y0) laø ñieåm uoán cuûa (Cm); thì noù thoûa heä: ⎨ "
⎩y 0 = g(x 0 ) = a1x 0 + b1x 0 + c1x 0 + d1 = 0
3 2
Vôùi g(x0)=0 laø phöông trình ñaëc tröng cho ñieåm uoán vaø ñaõ ñöôïc chöùng minh laø coù 3 nghieäm phaân bieät.
2/ Thöïc hieän phaân tích: Bieán ñoåi theâm bôùt ñeå ruùt ra: y 0 = γg(x 0 ) + αx 0 + β
baèng khoâng phöông trình heä quaû
3/ ⇒ (d ) : y = αx + β; ∀m ∈ D m : laø ñöôøng thaúng qua ba ñieåm uoán.
V. PHÖÔNG TRÌNH CHUØM PARABOL:
Trong heä truïc Oxy; ñöôøng cong (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) laø moät Parabola coù truïc ñoái xöùng song song Oy.
Khi (P) ñi qua ñoàng thôøi ba ñieåm A(xA;yA); B(xB;yB); C(xC;yC) coá ñònh thì ta luoân xaùc ñònh ñöôïc boä ba (a;b;c) duy nhaát trong heä truïc
Oxy.
Khi (P) chæ ñi qua hai ñieåm A, B hoaëc chæ ñi qua duy nhaát ñieåm A, thì ta seõ nhaän ñöôïc caùc Parabola löu ñoäng cuûa hoï Parabola vaø
chuùng taïo thaønh chuøm (nhö chuøm ñöôøng thaúng, chuøm ñöôøng troøn... trong mp (Oxy) ñoù).
y (d):y = αx + β y (PA)
yB
A
B yA (d):y = αx + β
yA
A (PA)
xA 0 a xB b x 0 xA x
(Pλ ) : y = λ(x − xA )(x − xB ) + αx + β (Pλ ) : y = λ(x − x A )2 + αx + β
11
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
y (d):y = αx + β y
(Δ):x = xA
yB
(PA)
B
yA
A (PA)
(d):y = yA yA
A S
xA 0 a xB b x xA 0 x
(Pλ ) : y = λ(x − xA )(x − xB ) + β (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x 2 ) + β
A
• Taäp hôïp caùc Parabola (Pλ) ñi qua nhieàu nhaát hai ñieåm coá ñònh A vaø B goïi laø chuøm Parabol (Pλ); vôùi λ ≠ 0 laø tham soá ñaëc
tröng cuûa chuøm.
• Khi chuøm (Pλ) qua ñuùng hai ñieåm A, B phaân bieät ta ñöôïc chuøm coù hai ñieåm ñeá, ñöôøng thaúng (AB) ñöôïc goïi laø ñöôøng ñeá cuûa
chuøm (Pλ) luùc ñoù.
• Phöông trình cuûa chuøm (Pλ) ñi qua hai ñieåm ñeá A, B vaø nhaän d ≡ (AB) : y = αx + q laøm ñöôøng ñeá, coù daïng:
(Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x B ) + αx + β (λ ≠ 0) (*)
(y A ≠ y B vaø α ≠ 0) , laø tröôøng hôïp toång quaùt cuûa (*).
Khi ñöôøng ñeá xieân goùc:
Khi ñöôøng ñeá naèm ngang: (y A = y B hay α = 0 ) , ta coù tröôøng hôïp (P ) coù ñöôøng ñeá baèng (d ) : y = y A = β
λ
(vuoâng goùc vôùi caùc truïc ñoái xöùng cuûa (Pλ)).
⇒ (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x B ) + y A (1)
Khi α ≠ 0, A ≡ B ta coù tröôøng hôïp (Pλ) laø chuøm töï tieáp xuùc (coù truïc ñoái xöùng cuûa (Pλ) song song (Oy)).
⇒ (Pλ ) : y = λ(x − x A )2 + αx + β (2)
Khi α = 0, A ≡ B ta coù tröôøng hôïp (Pλ) laø chuøm töï tieáp xuùc taïi ñænh (chung ñænh, ñöôøng ñeá vuoâng goùc vôùi truïc ñoái
xöùng duy nhaát cuûa (Pλ))
⇒ (Pλ ) : y = λ(x − x A )2 + y A (3)
• Chuøm Parabola:
(Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x B ) + αx + β
Phaàn ñaëc tröng cho soá löôïng Phaàn ñaëc tröng
ñieåm coá ñònh maø ( Pλ )ñi qua cho ñöôøng ñeá
⎧
⎪ Hoï ( Pλ )
Hai ñieåm coá ñònh (I)
qua
⎪ Moät ñieåm coá ñònh (II)
B1: Xaùc ñònh: ⎨
⎪ Ñöôøng ñeá ( d) Xieân goùc (ñeá xieân) (III)
⎪
⎩ Ñeá baèng (IV)
B2: Hoï (Pλ) thoûa caùc caëp thöù töï (I, III); phöông trình (Pλ) coù daïng toång quaùt nhö ôû (*).
B
Khi (Pλ) thoûa (I, IV): phöông trình (Pλ) coù daïng ñaëc bieät nhö ôû (1).
Khi (Pλ) thoûa (II, III): phöông trình (Pλ) coù daïng ñaëc bieät nhö ôû (2).
Khi (Pλ) thoûa (II, IV): phöông trình (Pλ) coù daïng ñaëc bieät nhö ôû (3).
B3: Ñöa caùc giaù trò cuï theå cuûa giaû thieát vaøo phöông trình cuûa (Pλ), ta seõ xaùc ñònh ñöôïc
B λ = λ0 baèng caùc phöông trình ñaëc tröng.
Laáy x0 thay vaøo caùc phöông trình (Pλ) ta coù ngay ycbt.
VI. TÌM GIAÙ TRÒ CUÛA THAM SOÁ ÑEÅ CÖÏC TRÒ HAØM SOÁ:
⎧Δy' > 0
1. Naèm cuøng phía vôùi truïc hoaønh ⇔⎨
⎩y1 .y 2 < 0
2. Naèm ôû hai goùc phaàn tö:
12
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
(I) vaø (III) (II) vaø (IV)
⎧Δy' > 0 ⎧Δy' > 0 ⎧Δy' > 0 ⎧Δy' > 0
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨x1 > 0; y1 > 0 hoaëc ⎨x 1 < 0 < x 2 ⎨x1 < 0; y1 > 0 hoaëc ⎨x1 < 0 < x 2
⎪x < 0; y < 0 ⎪a > 0 vaø y = 0 VN ⎪x > 0; y < 0 ⎪a < 0 vaø y = 0 VN
⎩ 2 2 ⎩ y' ⎩ 2 2 ⎩ y'
VII. ÑÒNH THAM SOÁ ÑEÅ HAØM BAÄC 3 CAÉT TRUÏC HOAØNH TAÏI 1 HOAËC 3 ÑIEÅM:
y = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ PTHÑ giao ñieåm : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (*)
(*) coù nghieäm ñaëc bieät x0
(x − x 0 )(ax2 + bx + c) = 0
Coù nghieäm keùp Coù 1 nghieäm Coù 3 nghieäm
⎡ ⎧y = 0 ax + bx + c = 0
2
ax 2 + bx + c = 0
⎢⎨ coù nghieäm chung voâ nghieäm hoaëc nghieäm keùp
⎢ ⎩ y' = 0 coù 2 nghieäm x ≠ x 0
⎢ ⎡ax 2 + bx + c = 0 nghieäm keùp ⎧Δ ≤ 0
⎢⎢ ⎪ ⎧Δ > 0
⇔⎨ b ⇔⎨
⎢ ⎢ax 2 + bx + c = 0 nghieäm x = α
⎣⎣ ⎪ x 0 = − 2a ⎩g(x 0 ) ≠ 0
⎩
(*) khoâng coù nghieäm ñaëc bieät
y' = 3ax2 + 2bx + c
⎡y max y min = 0 ⎡Δy' ≤ 0
⎢ ⎢ ⎧Δy' > 0
⎢⎧y = 0 nghieäm chung ⎢⎧Δy' > 0 ⎨
⎢ ⎨y' = 0 ⎢⎨y max y min < 0 ⎩y max y min < 0
⎣⎩ ⎣⎩
⎧ Δy ' ≤ 0
Ghi chuù: PT baäc 3: y=0 khoâng theå coù 3 nghieäm phaân bieät ⇔⎨
⎩y max y min > 0
VIII. ÑÒNH THAM SOÁ ÑEÅ HAØM BAÄC 3 CAÉT TRUÏC HOAØNH TAÏI 3 ÑIEÅM COÙ HOAØNH ÑOÄ DÖÔNG (HAY AÂM):
Hoaønh ñoä
Hoaønh ñoä döông Hoaønh ñoä aâm
Lôùn hôn α Nhoû hôn α
⎧Δy' > 0 ⎧Δy' > 0
⎪ ⎪ ⎧Δy' > 0 ⎧Δy' > 0
⎪af (0 ) < 0
⎪ ⎪af (0 ) > 0
⎪
⎪af (α ) < 0
⎪
⎪af (α ) > 0
⎪
⎨x CÑ > 0 ⎨x CÑ < 0 ⎨ ⎨
⎪x > 0 ⎪x < 0 ⎪α < x1 < x 2 ⎪x1 < x 2 < α
⎪ CT ⎪ CT ⎪y max y min < 0
⎩ ⎪y max y min < 0
⎩
⎪y max y min < 0
⎩ ⎪y max y min < 0
⎩
CHUÛ ÑEÀÀ 4: GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT - NHOÛ NHAÁT
I. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT - NHOÛ NHAÁT TREÂN ÑOAÏN [a;b]:
• f lieân tuïc treân [a;b] coù M[GTLN] vaø m[GTNN] cuûa f treân [a;b]
⇔ m ≤ f (x ) ≤ M ∀x ∈ [a; b]
• Tìm giaù trò cöïc trò cuûa f(x) treân [a;b] ñeå tìm maxf vaø minf.
Chuù yù 1:
∃ maxf, minf ⇔ f lieân tuïc treân [a; b] ⇒ M = max{f (a), f (b ), fCÑ , fCT }
x∈[a; b ]
1.
m = min {f (a), f (b ), fCÑ , fCT }
x∈[a; b ]
2. Duøng MGT tìm max, min: m ≤ y0 ≤ M .
3. Duøng BÑT Coâsi, Bunhiacoâpsky.
13
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
Chuù yù 2:
1. x 0 ∈ (a; b) .
Neáu f(x) lieân tuïc trong khoaûng (a;b) coù ñieåm cöïc trò
x −∞ x1 x2 +∞ x −∞ x1 x2 +∞
y' + 0 − 0 + y' − 0 + 0 −
max max
y y
min min
2. f(x) taêng hoaëc giaûm treân [a;b]
x x0 +∞ x x0 +∞
y' + y' −
max y = f (b )
y +∞ y
min y = f (a) −∞
II. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT - NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM BAÄC 2 TREÂN [α;β] :
b
• a>0 hoaønh ñoä ñænh x0 = −
2a
[ ] ( )
Neáu x 0 ∈ α; β : min y = f x 0 ; max y = max f α , f β { ( ) ( )}
Neáu x 0 ∉ [ α; β ] : so saùnh f ( α ) vaø f ( β ) suy ra max y vaø min y.
• aTs.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
CHUÛ ÑEÀÀ 5: LOÀI, LOÕM, ÑIEÅM UOÁN, TIEÄM CAÄN
I. LOÀI, LOÕM, ÑIEÅM UOÁN I(x0,f(x0)):
x −∞ x 01 x 02 +∞ x −∞ x0 +∞
y" + 0 − 0 + y" − 0 +
y Loõm Uoán Loài Uoán Loõm y Loài Uoán Loõm
Daáu hieäu ñieåm uoán:
Daáu hieäu 1: f ′′ ( x0 ) = 0 ; f ′′ ( x 0 ) ñoåi daáu ( -∞ ,x 0 ) ; ( x 0 , +∞ )
⎧ f ′′ ( x ) = 0
⎪ ⎧ f ′′ ( x ) = 0
⎪
0 0
Daáu hieäu 2: ⎨ hoaëc ⎨
⎪f ′ ( x 0 ) ≥ 0
⎩ ⎪f′ ( x 0 ) ≤ 0
⎩
II. CAÙC DAÏNG ÑIEÅM UOÁN:
HÌNH DAÏNG ÑIEÅM UOÁN DAÁU HIEÄU NHAÄN BIEÁT ÑIEÅM UOÁN
(T)
⎧∃x ∈ ( a; b ) : f ′′ ( x ) = 0; ∃f ′ ( x ) ≠ 0
⎪ 0
f"0
⎧∃x ∈ ( a; b ) : f ′ ( x ) = 0
⎪ 0
(T) I (C) ( i2 ) ⎨
0
⎪ f ′ ( x ) khoâng ñoåi daáu khi x ñi qua x 0
⎩
(
⇒ I x0 ; f x0 ( ) ) : laø ñieåm uoán cuûa ( C) : y = f ( x )
f"0 ⎢ ( i4 ) : ⎨ f ′ ( x ) khoâng ñoåi daáu khi x baêng qua x 0 hoaëc
⎢ ⎪ f ′′ x ñoåi daáu khi x ñi qua x
(T) ⎣ ⎩ ( ) 0
(
⇒ I x0 , f x0 ( ) ) : laø ñieåm uoán cuûa ( C) : y = f ( x )
III. TIEÄM CAÄN:
Tieäm caän ñöùng x = x0 Tieäm caän ngang y = y0 Tieäm caän xieân y = ax+b
⎡⎧ y
⎢⎪a = lim x
x →∞
⎢⎨
lim y = ∞ lim y = y 0 ⎢⎪b = lim[y − (ax + b )]
⎩ x →∞
x→x 0 x →∞ ⎢
⎢⎧lim = ∞
⎪
⎢ ⎨x →∞
⎢⎪lim[y − (ax + b )] = 0
⎣ ⎩x →∞
Chuù yù:
15
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
y = ax + b + ε(x ) vôùi lim ε(x ) = 0 thì y = ax + b laø tieäm caän xieân
x →∞
P (x )
1. Haøm phaân thöùc y= :
Q(x )
TCÑ: x = x0 TCN TCX TC cong laø Parabola
Tìm nghieäm x0 cuûa Q(x) =
Baäc P(x) ≤ Baäc Q(x) Baäc P(x) > Baäc Q(x) 1 baäc Baäc P(x) > Baäc Q(x) 2 baäc
0
⎛ b' ⎞
P⎜ − ⎟
ax + bx + c P (x ) a
2
a' b − ab' a' ⎠
2. Haøm höõu tyû: y= = = x+ + ⎝
a' x + b' Q(x ) a' a' 2
a' x + b'
⎛ b' ⎞
P⎜ − ⎟
a' ⎠ a a' b − ab'
lim ⎝ = 0⇒ y = x+ : TCX
x →∞ a' x + b' a' a'2
3. Haøm voâ tyû (haøm caên thöùc): y = f(x)
• Neáu
2 b
( )
f x = ax + bx + c = a x+ ( ) ( )
+ ε x . Vôùi lim ε x = 0
x→∞
2a
⎡ ⎛ b ⎞
b
⎢ Nhaùnh traùi : y = - a ⎜ x + ⎟
⇒ TCX : y = a x + =⎢
⎝ 2a ⎠
2a ⎢ ⎛ b ⎞
⎢ Nhaùnh phaûi : y = a ⎜ x + 2a ⎟
⎣ ⎝ ⎠
p
Neáu f (x ) = ax + b + x + px + q = ax + b + x + + ε(x )
2
•
2
⎡ ⎛ p⎞
p
⎢ Nhaùnh traùi : y = ax + b- ⎜ x + ⎟
⇒ TCX : y = ax + b + x + =⎢
⎝ 2⎠
2 ⎢ ⎛ p⎞
⎢ Nhaùnh phaûi : y = ax + b + ⎜ x + 2 ⎟
⎣ ⎝ ⎠
4. Ñaëc bieät:
⎧ lim f ( x ) = ∞
⎪ x→∞
( C) ( ) ( ) ( )
y= f x =g x +ε x maø ⎨ ( )
⇒ T ( )
y = g x laø tieäm caän cong.
⎪ xlim ⎡ f ( x ) − g ( x ) ⎤ = xlim ε ( x ) = 0
⎩ →∞ ⎣ ⎦ →∞
CHUÛ ÑEÀÀ 6: KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ
I. HAØM BAÄC HAI: (P ) : y = f (x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
Tam thöùc baäc hai coù daïng: (P ) : y = f (x ) = ax + bx + c (a ≠ 0)
2
•
-b± Δ
Goïi Δ = b2 − 4ac; khi Δ ≥ 0, ñaët x1,2 = , ta coù f(x1) = f(x2) = 0 thì x1, x2 laø hai nghieäm cuûa tam thöùc baäc hai (cuõng laø
2a
hai nghieäm cuûa phöông trình baäc hai: ax2+bx+c = 0).
• Tính chaát cuûa caùc nghieäm soá x1; x2 (quy öôùc x1 < x2)
16
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
⎧ b
⎪S = x1 + x 2 = − a
⎪
⎨ (Ñònh lyù Viete thuaän)
⎪P = x x = c
⎪
⎩
1 2
a
(⇒ ) Meänh ñeà : x1 - x 2 = Δ
a
(⇒ ) Heä quaû (Ñònh lyù Viete ñaûo): Neáu hai soá thöïc coù toång laø S, coù tích laø P; thì hai soá ñoù laø nghieäm cuûa phöông trình:
f (x ) = x 2 − Sx + P = 0 (Vôùi : S2 - 4P ≥ 0)
c
Neáu P= < 0 ⇔ x1 < 0 < x 2 (hai nghieäm traùi daáu)
a
⎡ b
⎢S = − a < 0 ⇒ x1 > x 2
Ta coù hai tröôøng hôïp nhoû: ⎢
⎢S = − b > 0 ⇒ x < x
⎢
⎣ a
1 2
⎧ c
⎪P = a > 0
⎪
Neáu ⎨ ⇔ x1 < x 2 < 0 (hai nghieäm ñeàu aâm)
⎪S = − b < 0
⎪
⎩ a
⎧ c
⎪P = a > 0
⎪
Neáu ⎨ ⇔ 0 < x1 < x 2 (hai nghieäm ñeàu döông)
⎪S = − > 0 b
⎪
⎩ a
Tính chaát ñoà thò (P ) : y = f (x ) = ax + bx + c
2
•
⎛ b Δ⎞
laø moät Parabola (ñöùng) coù ñænh S⎜ − ; ⎟
⎝ 2a 4a ⎠
b b
Ñeå yù x S = − ; laø nghieäm keùp cuûa tam thöùc baäc hai, thì d : x = − laø truïc ñoái xöùng cuûa (P).
2a 2a
• Daáu tam thöùc baäc hai:
Vieát tam thöùc döôùi daïng: 4af (x ) = 4a2 x2 + 4abx + 4ac (a ≠ 0)
⇔ 4af (x ) = (2ax + b ) + 4ac − b2
2
⇔ 4af (x ) = (2ax + b ) − Δ (*); vôùi Δ = b2 - 4ac
2
Töø (*) ta coù ñònh lyù thuaän veà daáu tam thöùc baäc hai nhö sau:
Tam thöùc baäc hai luoân coù daáu cuûa heä soá a; vôùi moïi giaù trò cuûa x vaø chæ loaïi tröø hai tröôøng hôïp:
⎛ b⎞
Neáu Δ = 0 ⇒ af ⎜ − ⎟ = 0
⎝ 2a ⎠
Neáu Δ < 0 ⇒ af (x ) < 0; ∀x ∈ (x1; x 2 )
−∞ x1 x2 +∞
• Toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x) traùi
Cuøng | Traùi | Cuøng
Δ>0 daáu a 2
• [x1; x 2 ] ≠ φ;{0} ( )
f x = ax + bx + c daáu 0 daáu 0 daáu
a | a | a
17
Ts.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
b
• Khoâng toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x) x −∞ x1 = x 2 = − +∞
2a
traùi daáu a
Δ=0 |
• [x1; x2 ] = {0} ( ) 2
f x = ax + bx + c
Cuøng
daáu 0
Cuøng
daáu
⇒ Söï traùi daáu bò suy bieán
a | a
• Khoâng toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x) x −∞ +∞
traùi daáu a Cuøng
Δ0 a0 b
− 0 b x
2a −
2a
x1 0 x2 x
Δ (P)
−
4a S
y y b
−
2a
0 x
Δ
−
(P) 4a S
ΔTs.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
Chaúng haïn: x1 < α < x 2 < β hay α < x1 < β < x 2
• Töø ñònh lyù ñaûo ôû treân ta coù söï so saùnh moät soá thöïc α vôùi hai nghieäm x1, x2 cuûa tam thöùc f (x ) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
nhö sau:
TH1: af (x ) < 0 ⇔ x1 < α < x 2 (khoâng caàn xeùt daáu Δ, vì luoân luoân coù Δ > 0).
TH2: Δ < 0: vieäc so saùnh khoâng ñaët ra.
⎧
⎪Δ > 0
⎪
TH3: ⎨ af ( α ) > 0 ⇔ α < x1 < x2 ( xem hình 1)
⎪S
⎪ −α> 0
⎩2
α x1 x2
(hình 1) // //
S x1 + x2 x
=
2 2
⎧
⎪Δ > 0
⎪
TH4: ⎨af (α ) > 0 ⇔ x1 < x 2 < α (xem hình 2 )
⎪S
⎪ −αTs.Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït http://www.toanthpt.net
y (C)
x −∞ +∞
a>0 y′ + I
Δ′ < 0 +∞
y 0
x
−∞ −
b
3a
y
(C)
x −∞ +∞
a0 3a
y' + + I
Δ′ = 0 +∞
y 0 b
x
−∞ −
3a
y
b (C)
x −∞ +∞
a
