Các quy luật phân phối xác suất
Các quy luật phân phối xác suất.
trong cuộc sống có nhiều cái tuân theo một quy luật nào đó, hoặc không có quy luật. Có quy luật chúng ta biết nhưng cũng có những quy luật chúng ta không biết. Những cái mà chúng ta biết quy luật chỉ chiếm số lượng nhỏ nhoi so với vô số những cái mà chúng ta đã biết.
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
Trong cuoäc soáng coù nhöõng “ñieàu, caùi” tuaân theo moät
quy luaät naøo ñoù, hoaëc khoâng coù quy luaät. Coù quy luaät
chuùng ta bieát, nhöng cuõng coù quy luaät maø chuùng ta chöa
bieát. Nhöõng caùi maø chuùng ta bieát quy luaät chæ chieám soá
löôïng nhoû nhoi so vôùi voâ soá nhöõng caùi maø chuùng ta chöa
bieát.
CHÖÔNG 3:
Vaäy tình yeâu coù quy luaät khoâng? Ngöôøi noùi coù (cho raèng
CAÙC QUY LUAÄT PHAÂN PHOÁI XAÙC SUAÁT quy luaät muoân ñôøi cuûa tình yeâu laø giaän hôøn, ñau khoå, bò
ngaên caám,... roài môùi ñöôïc haïnh phuùc. Y nhö phim!),
ngöôøi noùi khoâng (cho raèng heå thaáy thích nhau, hôïp
nhaõn..., vaø coøn vì ñieàu gì nöõa thì chæ ctmb, laø yeâu. Khoâng
caàn bieát “seõ ra sao ngaøy sau”. Thí duï nhö coâ gaùi 20 laáy
1 oâng giaø 60, hay chaøng trai 26 laáy baø giaø 62, hay gaëp nhau
treân maïng,.... Y nhö kòch!). CTMB!
2
Caùc quy luaät thoâng duïng seõ hoïc:
Ñaïilöôïng ngaãu nhieân rôøi raïc
ÔÛ ñaây ta chæ nghieân cöùu 1 soá quy luaät phaân phoái Quy luaät pp sieâu boäi
thoâng duïng trong xaùc suaát (ñöôïc öùng duïng nhieàu Quy luaät pp nhò thöùc
trong kinh teá), vaø ta coù theå ñònh löôïng noù ñöôïc.
Quy luaät pp Poisson
Khoâng nghieân cöùu veà “tình yeâu”, vaø caøng khoâng
lyù thuyeát suoâng.
Ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân tuïc
Quy luaät pp chuaån (chuaån taéc)
Quy luaät pp Chi bình phöông
Quy luaät pp Student
3
Quy luaät pp Fisher 4
1
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
I)QUY LUAÄT PHAÂN PHOÁI SIEÂU BOÄI Toång quaùt: Ta coù 1 taäp hôïp coù N phaàn töû, trong ñoù coù
VD: Hoäp coù 10, trong ñoù coù 4 bi T. choïn ngaãu nhieân 3 M phaàn töû coù tính chaát A quan taâm. Laáy NN n phaàn
töû töø taäp. Tính xaùc suaát coù k phaàn töû coù tính chaát A
bi töø hoäp. Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 2 bi T? trong n phaàn töû laáy ra?
Giaûi: Giaûi:
Goïi X laø soá bi T laáy ñöôïc (trong 3 bi laáy ra). Goïi X= soá phaàn töû coù tính chaát A trong n phaàn töû laáy
Tính P(X=2)=? ra.
P(X=2)= C(2,4)*C(1,6) /C(3,10) P(X=k)= C(k,M)*C(n-k,N-M) /C(n,N)
Luùc ñoù X goïi laø coù quy luaät pp sieâu boäi.
Nhaän xeùt gì töø thí duï naøy?
Kyù hieäu XH(N,M,n)
5 6
Tính chaát:
Sô ñoà XH(N,M,n)
n EX= np , vôùi p=M/N
k varX= npq (N-n)/(N-1)
(N-n)/(N-1) goïi laø heä soá hieäu chænh.
VD: ÔÛ VD treân thì N=10, M=4, tính chaát A quan taâm laø
laáy ñöôïc bi T. n=3, k=2. XH(10,4,3).
M
Caâu hoûi:
A N-M 1) tính soá bi T laáy ñöôïc trung bình?
A* 2) tính phöông sai cuûa soá bi T laáy ñöôïc?
Giaûi:
1)p=M/N= 4/10
EX= np= 3(4/10)= 12/10
2)q=1-p= 6/10
N 7
varX= npq (N-n)/(N-1)= 3(4/10)(6/10) (10-3)/(10-1)
8
2
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
Vaäy quy luaät phaân phoái sieâu boäi laø 1 caùi gì ñoù raát gaàn II)QUY LUAÄT PP NHÒ THÖÙC
guõi, thaân thöông vôùi chuùng ta. Ñoù laø baøi toaùn “boác bi töø
hoäp”. ÔÛ chöông 2, ta chöa bieát quy luaät pp sieâu boäi thì VD1: Tung 1 con xuùc xaéc 3 laàn.
ta vaãn laøm “ñaøng hoaøng” ñaáy thoâi. Tuy nhieân ta thaáy noù Goïi X= soá laàn xuaát hieän maët 1 trong 3 laàn tung
tuaân theo 1 quy luaät ppxs naøo ñoù, vaø ta cuï theå noù thaønh Laäp baûng ppxs cho X?
quy luaät sieâu boäi. Ñoù chính laø “Haõy ñaët teân cho em, haõy
cho em moät danh phaän” (Thuyeát “Chính Danh” cuûa
Khoång Töû).
9 10
Giaûi VD1: Nhaä n xeùt :
Goïi Ai laø bc laàn tung thöù i ñöôïc maët 1, i=1,3 Ta thaáy moã i laà n tung 1 con xuù c xaé c thì khaû naê ng ñöôï c maët 1 laø
p= P(Ai)= 1/6, q=1-p= P(Ai*)= 5/6
P(X=0)= P(A1*A2*A3*)= P(A1*)P(A2*)P(A3*)
p=1/6, khaû naê ng ñöôïc caùc maë t coøn laïi laø q=5/6.
= (5/6)(5/6)(5/6) = C(0,3) p 0q3-0 Ta tung 3 laà n con xuù c xaé c.
P(X=1)= P(A1A2*A3*+ A1*A2A3*+ A1*A2*A 3) *Muoá n cho X=0 thì trong 3 laà n tung ta coù 0 laà n ñöôïc maë t 1. Töù c
= P(A1)P(A2*)P(A3*)+ P(A1*)P(A2)P(A3*) laø choï n C(0,3) laà n ñöôïc ñöôïc maë t 1 trong 3 laàn tung. Xaùc suaát
+P(A1*)P(A2*)P(A3) ñöôï c maët 1 trong moã i laà n tung laø p. vaä y xaùc suaá t khoâng ñöôïc
= (1/6)(5/6)(5/6)+ (5/6)(1/6)(5/6)+ (5/6)(5/6)(1/6)
ñöôï c maët 1 trong 3 laà n tung laø p 0q3-0.
= 3(1/6)(5/6)(5/6)= C(1,3)p 1q3-1
P(X=2)= P(A1)P(A2)P(A3*)+ P(A1)P(A2*)P(A3) *Muoá n cho X=1 trong 3 laàn tung ta choï n ra 1 laà n ñöôïc maë t 1,
+ P(A1*)P(A2)P(A3) töù c laø C(1,3) caù ch choï n. Xaù c suaá t ñöôï c moä t laàn maë t 1 trong 3
= (1/6)(1/6)(5/6)+ (1/6)(5/6)(1/6)+ (5/6)(1/6)(1/6) laà n tung laø p 1q3-1.
= 3(1/6)(1/6)(5/6)= C(2,3)p 2q3-2 Vaä y xaù c suaát X=1 laø C(1,3) p1q3-1.
P(X=3)= P(A1)P(A2)P(A3)
Töông töï cho X=2, X=3.
= (1/6)(1/6)(1/6) = C(3,3) p 3q3-3 11 12
Nhaän xeùt gì? Luùc ñoù ta noù i X coù quy luaä t phaâ n phoái nhò thöù c.
3
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
Toång quaùt:
*ta thöïc hieän pheùp thöû T n laàn, kyù hieäu laø T1, T2,...Tn. Moãi laàn
Nhaän xeùt: thöïc hieän T ta quan taâm bieán coá A coù xaõy ra hay khoâng.
ta thaáy caùc laàn tung laø ñoäc laäp nhau, coù nghóa laø keát *caùc T1, T2,...Tn goïi laø daõy pheùp thöû ñoäc laäp neáu keát quaû xaõy
quaû ôû caùc laàn tung khoâng aûnh höôûng laãn nhau. ra ôû caùc laàn thöû khoâng aûn h höôûng laãn nhau.
ÔÛ moãi laàn tung thì ta quan taâm ñeán vieäc coù ñöôïc maët
*xaùc suaát p=P(A) laø coá ñònh qua caùc laàn thöû.
1 hay khoâng - bieán coá A quan taâm, vaø xaùc suaát cuûa A
laø khoâng ñoåi qua caùc laàn tung vaø baèng p. Luùc ñoù ta goïi: X= soá laàn bieán coá A xaõy ra trong n laàn thöû.
Thì X coù quy luaät phaân phoái nhò thöùc, kyù hieäu XB(n,p).
Xaùc suaát X nhaän giaù trò k (coù k laàn bieá n coá A xaõy ra trong n laàn
13 thöû) laø: 14
k n-k
P(X=k) = C(k,n)p q , vôùi q=1-p
VD1: Vôùi VD ôû baø i treâ n thì XB(3, 1/6). löu yù quan troïng:
quy luaät phaân phoái nhò thöùc raát deã aùp duïng! nhöng ñieàu khieán
Tính chaát: XB(n,p) cho sinh vieân laøm sai laø:
EX= np
-khoâng phaân bieä t ñöôïc laø caùc pheùp thöû coù ñoäc laäp khoâng
varX= npq
np-q modX np+p -vaø P(A) coù coá ñònh khoâng.
VD1: VD2: Coù 3 maùy thuoäc 3 ñôøi (vers ion) khaùc nhau. Cho moãi maùy
Xaùc ñònh EX, varX, modX? saûn xuaát ra 1 saûn phaåm. Tyû l eä saûn phaåm toát do töø ng maùy saûn
Giaû i VD1: xuaát laàn löôït laø 0,7 ; 0,8 ; 0,9. Tính xaùc suaát trong 3 saûn phaåm
XB(3, 1/6)
saûn xuaát ra thì coù 2 saûn phaåm toát?
EX= 3(1/6)= 3/6 , varX= 3(1/6)(5/6)
(3/6)-(5/6) modX (3/6)+(1/6) --> -2/6 modX 4/6 15 16
--> modX= 0
4
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
Giaû i VD2: Baøi taäp: Trong caùc ÑLNN sau, ÑL naøo coù quy luaät pp
Ta khoâng theå aù p duï ng quy luaä t pp nhò thöùc cho baø i toaùn naøy, taïi nhò thöùc, ÑL naøo khoâng coù? Taïi sao?
sao? Cmkb!
Tung moät ñoàng xu saáp ngöõa 3 laàn.
Neáu ta khoâ ng bieá t quy luaät ppxs thì sao, khoâ ng leû botay.com aø !?
Ta haõy trôû veà moä t caù ch laøm gaàn guõ i vaø cô baûn nhaát laø : ñaët bieán Goïi X= soá laàn ñöôïc maët ngöõa.
Hoäp coù 4 bi T, 3 bi X. Laáy töø kieän ra 3 bi.
coá , xaù c ñònh giaù trò cuû a X thoâng qua caùc bieá n coá .
Goïi X= soá bi X laáy ñöôïc. Xeùt cho 3 caùch laáy:
Goïi X= soá saû n phaå m toát trong 3 saû n phaåm. C1: laáy ngaãu nhieân 3 bi
Ñaët Ai= bc maùy i saûn xuaá t ra saûn phaåm toá t. C2: laáy laàn löôït 3 bi
P(X=2)= P(A3*A2A1)+P(A3A2*A1)+ P(A3A2A1*) C3: laáy coù hoaøn laïi 3 bi
= P(A3*)P(A2)P(A1)+P(A3)P(A2*)P(A1)+P(A3)P(A2)P(A1*) Moät maùy saûn xuaát ra saûn phaåm coù tyû leä pheá phaåm laø
= (0,1)(0,8)(0,7)+(0,9)(0,2)(0,7)+(0,9)(0,8)(0,3) 17 2%. Cho maùy saûn xuaát ra (laàn löôït) 10 saûn phaåm. 18
Goïi X= soá pheá phaåm coù ñöôïc.
Baøi taäp (tt): Trong caùc ÑLNN sau, ÑL naøo coù quy luaät
pp nhò thöùc, ÑL naøo khoâng coù? Taïi sao?
III)QUY LUAÄT PHAÂN PHOÁI POISSON
Moät xaï thuû baén 3 phaùt ñaïn vaøo bia. ÔÛ laàn baén sau seõ ruùt
VD1: Xeùt soá ngöôøi ñeán sieâu thò trong 1 thaùng. Moät
kinh nghieäm caùc laàn baén tröôùc neân xaùc suaát truùng cuûa
töøng phaùt laàn löôït laø: 0,7 ; 0,8 ; 0,9. thaùng coù 30 ngaøy.
Goïi X= soá ngöôøi ñeán sieâu thò trong 1 ngaøy.
Goïi X= soá phaùt baén truùng.
Moät ngöôøi laáy laàn löôït 4 vôï. Do ruùt kinh nghieäm ôû caùc
laàn laáy tröôùc neân khaû naêng ly dò vôï ôû caùc laàn laáy laàn Ta thaáy: trong 1 ngaøy coù theå coù 0, 1, 2, .... ñeán sieâu thò
löôït laø: 0,9 ; 0,8 ; 0,6 ; 0,5. neân X coù caùc giaù trò laø 0, 1, 2, ....
Goïi X= soá laàn ly dò vôï. Ta khoâng ñoaùn bieát chính xaùc trong 1 ngaøy naøo ñoù seõ
Xaùc suaát ñeå moät chieác duø khoâng bung ra khi nhaûy duø laø
coù bao nhieâu ngöôøi ñeán. Nhöng ta bieát soá ngöôøi trung
0,001. Chieác duø ñöôïc duøng 3 laàn (coù theå vôùi 3 ngöôøi bình ñeán sieâu thò trong moät ngaøy laø =600 ngöôøi. Luùc
khaùc nhau! Hic hic). ñoù ta noùi X laø ÑLNN coù quy luaät pp Poisson.
19 20
Goïi X= soá laàn duø khoâng bung.
5
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
VD2: Coù moät mieàn A, trong mieàn A coù nhieàu vuøng A1,
A2,...Baén 1 phaùt ñaïn ñaïi baùc vaøo mieàn A. ta xeùt khaû Toång quaùt:
naêng coù k maûnh ñaïn rôi vaøo vaøo vuøng A1. X laø ÑLNN rôøi raïc coù caùc giaù trò laø k= 0, 1, 2,... vôùi giaù
trò trung bình laø , vaø xaùc suaát töông öùng laø:
Goïi X= soá maûnh ñaïn rôi vaøo vuøng A1.
P(X=k)= exp(-). k /k!
Thì ta noùi X coù quy luaät pp Poisson. Kyù hieäu XP().
Ta thaáy soá maûnh ñaïn coù theå rôi vaøo vuøng A1 coù theå laø 0,
1, 2,... Tính chaát: XP()
Ta bieát soá maûnh ñaïn trung bình rôi vaøo vuøng A1 laø EX= varX=
=2,5. -1 modX
Thì luùc ñoù X laø ÑLNN coù quy luaät phaân phoái Poisson.
21 22
VD1:
Ta bieát trung bình trong 1 ngaøy coù 600 ngöôøi ñeán sieâu
thò.
1)tính xaùc suaát trong ngaøy 1/1/2007 coù 700 ngöôøi ñeán VD2:
sieâu thò? XP(2,5)
2)Xaùc ñònh soá ngöôøi chaéc chaén nhaát coù theå ñeán sieâu thò
1)tính xaùc suaát coù 3 maûnh ñaïn rôi vaøo vuøng A1?
trong ngaøy 1/1/2007?
2)xaùc ñònh soá maûnh ñaïn chaéc chaén nhaát coù theå rôi
Giaûi:
vaøo vuøng A1?
Goïi X = soá ngöôøi ñeán sieâu thò trong ngaøy 1/1/2007
3)tính xaùc suaát coù ít nhaát 5 maûnh ñaïn rôi vaøo vuøng
ta coù XP(600)
A1?
1) P(X=700)= exp(-600). 600700/700!
2) 600-1 modX 600 --> modX = 599 hoaëc 600
23 24
6
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
Giaûi VD2: IV)PHAÂN PHOÁI CHUAÅN
Moät ÑLNN lieâ n tuï c coù haø m maät ñoä nhö sau ñöôïc goïi laø coù quy
1)P(X=3)= exp(-2,5). 2,53/3! luaä t pp chuaån. Kyù hieäu XN(,2)
2)2,5-1 modX 2,5 --> modX = 2 1 1 x
2
Haø m maä t ñoä : f ( x) e 2
3)P(X5)= 1-P(X4)
2
Tính chaá t 1: XN(,2)
=1- P( X k ) =1- exp(2,5) (2,5)k / k!
4 4
E(X) =
k 0 k 0
D(X) = 2
mod(X) = med(X) =
Caâ u hoûi:
ñaëc bieät: neáu =0 vaø =1 thì XN(0,1): goïi laø pp chuaån taéc. PP
Gôïi yù cuûa baøi toaù n ñeå coù theå aù p duï ng quy chuaån taéc coù haø m maät ñoä laø haø m maä t ñoä Gauss:
luaä t pp Poisson laø gì? 25
( x) 1 exp( 1 x 2 ) 26
2 2
Tính chaá t 2: XN(,2)
VD1: Chieàu daøi cuûa moät loaïi chi tieát maùy coù quy luaät
P( X ) ( ) ( ) phaân phoái chuaån vôùi chieàu daøi thieát keá laø = 30cm, ñoä
1
P( X ) ( )
leäch chuaån laø =2cm.
2 1) Moät chi tieát maùy ñöôïc xem laø ñaït yeâu caàu khi saûn
P( X ) 1 P( X ) 1 ( ) xuaát ra coù chieàu daøi naèm trong khoaûng 28 ñeán 31. choïn
2
P(| X | ) 2 ( )
NN 1 chi tieát maùy, tính xaùc suaát chi tieát naøy ñaït yeâu
caàu?
P(| X | ) ( ) ( ) 2) Moät chi tieát maùy ñöôïc xem laø “quaù daøi” khi chieàu daøi
x
Vôùi ( x) (t )dt cuûa noù lôùn hôn 34,5cm. choïn NN 1 chi tieát maùy, tính
0 xaùc suaát chi tieát naøy “quaù daøi”?
Löu yù : (x) laø haøm leû, töù c laø: (-x)= -(x) ; (+)= 0,5 3) Moät chi tieát maùy ñöôïc xem laø “quaù ngaén” khi chieàu
Caùc giaù trò cuûa (x) ñöôïc tính saún thaønh baû ng, laø baû ng F. daøi cuûa noù nhoû hôn 20cm. choïn NN 1 chi tieát maùy, tính
Tính chaá t 3 (Qui taéc k–sigma): xaùc suaát chi tieát naøy “quaù ngaén”?
XN(,2) 27 28
P(| X | k. ) 2 (k )
7
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
GiaûiVD1:
Goïi X laø chieàu daøi cuûa chi tieát maùy saûn xuaát ra.
XN(,2)
Theo ñeà baøi thì XN(30cm,(2cm)2) VD2: Caùc voøng bi do moät maùy töï ñoäng saûn xuaát ra ñöôïc
1) P(28ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
VD1: moät loâ haøng coù 1000 saûn phaåm, trong ñoù coù 600 saûn phaå m VD2: saûn phaåm do 1 maùy töï ñoä ng saûn xuaát ra. Tyû leä saûn phaåm
loaïi I. choïn NN 10 saûn phaåm töø loâ haøng. Tính xaùc suaát trong 10 hoûng do maùy saûn xuaát laø 1%. Khaûo saùt 100 saûn phaåm do maù y
sp laáy ra coù 6 sp loaïi I? saûn xuaát. Tính xaùc suaát coù 30 sp hoûng?
Giaûi VD1: Giaûi VD2:
Goïi X = soá sp loaïi I trong 10 sp laáy ra. Goïi X= soá sp hoûng trong 100 sp do maùy saûn xuaát.
XH(1000, 600, 10) XB(100; 0,01)
Ta thaáy n=10 ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
VI)QUY LUAÄT PP CHI BÌNH PHÖÔNG VII)PHAÂN PHOÁI T-STUDENT
Giaû söû Xi (i =1, .., n) laø caù c ÑLNN ñoäc laä p tuaân theo quy luaä t Giaû söû hai ÑLNN ñoä c laä p X coù phaâ n phoái chuaå n taé c N(0,1) vaø Y
phaâ n phoá i chuaå n taé c N(0,1). Ñaë t: coù phaâ n phoá i theo quy luaät Chi bình phöông vôù i n baä c töï do
n 2(n). Khi ñoù :
2 = X i2
i1 t X
Y /n
thì 2 tuaâ n theo quy luaät Chi bình phöông vôù i n baä c töï do, kyù coù phaâ n phoá i t-student vôù i n baä c töï do (Degrees of freedom), kyù
hieä u 2 ~ 2(n). hieä u t ~ t(n). Haø m maä t ñoä xaù c suaá t cuû a t-student xaù c ñònh bôû i
Haøm maät ñoä xaù c suaá t cuû a ÑLNN 2 xaù c ñònh bôû i: bieå u thöùc:
( n 1)
n 1 x
2 n 1
f ( x) C .x 2 .e 2 , x 0 f ( x ) C .(1 x ) 2 Vôù i C 2
n n . ( n / 2 )
0 ,x 0
Tính chaát : t ~ t(n)
vôù i : C 1 ; ( ) x 1e x dx , > 0. -E(t)= 0, var(t)= n
n2
(n / 2).2 n / 2 0 -Ñoà thò phaâ n phoái xaù c suaá t cuû a t ñoái xöù ng qua truïc tung. Khi
Tính chaá t : ~ 2(n)
2
baä c töï do n taêng leâ n thì phaâ n phoá i t-student xaáp xæ vôù i
E(2)= n, var(2)=2n. 37
phaâ n phoái chuaå n taé c N(0,1).
38
Löu yù : Ta khoâng xeù t baø i taä p cho quy luaä t Chi bình phöông. Löu yù : Ta khoâng xeù t baøi taä p cho quy luaät Student.
n n
VIII)Phaân phoái Fisher (F)
1 2
2
x
X1, X2 laø caùc ÑLNN lieân tuïc ñoäc laäp coù phaân phoái Chi bình C. n n , x 0
f ( x)
1 2
phöông, trong ñoù X12(n1), X22(n2).
( n n x) 2
X /n 2 1
Ñaët F 1 1 F(n1,n2)
0 ,x 0
X /n n n
2 2 ( 1 2 ).n n1/ 2.n n2 / 2
Ta noùi F coù phaân phoái Fisher vôùi hai baäc töï do, trong ñoù baäc töï Vôù i C 2
n
1
n
2
( 1).( 2 )
do thöù nhaát laø n1, baäc töï do thöù hai laø n2. Haøm maät ñoä cuûa phaân 2 2
phoái F xaùc ñònh baèng bieåu thöùc: Tính chaá t: F F(n1,n2)
n 2n 2 (n n 2 2)
E (F ) 2 , var( F ) 2 1 2
39
n 2 n (n 2)2 (n 4)
40
2 1 2 2
10
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
CAÙC ÑÒNH LYÙ
X1 , X2 laø 2 ñaïi löôï ng ngaãu nhieân ñoäc laä p IX)CAÙC MÖÙC PHAÂN VÒ CUÛA QLPP
1) X1 B(n1, p) , X2 B(n2, p)
X1+X2 B(n1+n2, p) Phaân vò möùc , /2 cuûa phaân phoái chuaån taéc
2) X1 P(1) , X2 P(2) Phaân vò möùc , /2 cuûa phaân phoái Student
X1+X2 P(1+2) Phaân vò möùc , /2 cuûa phaân phoái Chi bình phöông
3) X1 N(1, 2 ) , X2 N(2, 2 )
1 2
X1+X2 N(1+2, ) 2 2
1 2
4) X1 2(n1) , X2 2(n2)
X1+X2 2 (n1+n2)
5) X1 N(0,1) , X2 N(0,1)
41 42
X 2 X 2 2(2)
1 2
PHAÂN VÒ MÖÙC /2 CUÛA PP CHUAÅN TAÉC PHAÂN VÒ MÖÙC CUÛA PP CHUAÅN TAÉC
43 44
11
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
PHAÂN VÒ MÖÙC /2 CUÛA PP STUDENT PHAÂN VÒ MÖÙC CUÛA PP STUDENT
45 46
PHAÂN VÒ MÖÙC /2 CUÛA PP CHI BÌNH PHAÂN VÒ MÖÙC CUÛA PP CHI BÌNH
PHÖÔNG PHÖÔNG
47 48
12
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
X)BAØI TAÄP
Trong thöïc haønh, ngöôøi ta ít khi xeùt caùc quy luaät pp
moät caùch « leû loi moät mình », ngöôøi ta thöôøng « hôïp
hoân » 2 hoaëc 3 quy luaät vôùi nhau trong 1 baøi toaùn. Ñieàu Baøi 11: Moät soït cam coù 1000 traùi trong ñoù coù 400
naøy ñoøi hoûi ngöôøi laøm phaûi bieát : traùi hö. Laáy ngaãu nhieân ra 3 traùi.
Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 3 traùi hö
phaân bieät caùc quy luaät pp
Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 1 traùi hö
khi naøo thì aùp duïng caùc quy luaät pp naøo ñöôïc
vaø aùp duïng nhö theá naøo
Cuoäc « hôïp hoân » naøy coù hoaøn haûo hay khoâng laø do ta
coù « kheùo tay hay laøm » khoâng!
49 50
Giaûi baøi 11: Baøi 10: Saûn phaåm sau khi hoaøn taát ñöôïc ñoùng thaønh
kieän, moãi kieän goàm 10 saûn phaåm vôùi tyû leä thöù phaåm laø
Goïi X laø soá traùi hö trong 3 traùi laáy ra. 20%. Tröôùc khi mua haøng, khaùch haøng muoán kieåm tra
baèng caùch töø moãi kieän choïn ngaãu nhieân 3 saûn phaåm.
X H(1000, 400, 3) 1) Tìm luaät ppxs cuûa soá sp toát trong 3 sp laáy ra.
Ta thaáy n = 3 ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
Giaûi baø i 10:
1) X = soá sp toát trong 3 saû n phaåm laáy ra. X ~ H(10,8,3)
P(mua) = P(X=3) = p = 0,4667
2) Y = soá kieä n ñöôïc mua trong 100 kieän Baøi 17: Xaùc suaát ñeå moät aán coâng laønh ngheà saép laàm
Y ~ B (100 ; p ) = B(100; 0,4667) N(np, npq) moät maãu töï laø 0,002. Tính gaàn ñuùng xaùc suaát ñeå trong
a) 2000 maãu töï thì aán coâng saép laàm:
P(X 50) 1
50100*0.4667 1) Ñuùng 1 maãu töï
100*0.4667*(10.4667) 100*0.4667*(10.4667)
2) Ít hôn 5 maãu töï
= 1 (0.67) 0.2004*0.3187 0.0639 (tra baûng E) 3) Khoâng laàm maãu töï naøo.
24.8891
b) P(60Y 100) 10046.67 6046.67 (10.69) (2.67)
24.8891 24.8891
= 0.5–0.4962 =0.0038 (tra baûng F) 53 54
Giaûi baøi 17:
Baøi 12: ÔÛ moät toång ñaøi ñieän thoaïi, caùc cuù ñieän thoaïi
Goï i X laø soá maã u töï maø aán coâ ng saé p laàm trong goïi ñeán xuaát hieän ngaãu nhieân, ñoäc laäp vôùi nhau vaø toác
ñoä trung bình 2 cuoäc goïi trong 1 phuùt . Tìm xaùc suaát ñeå:
2000 maãu töï.
1) Coù ñuùng 5 cuù ñieän thoaïi trong 2 phuùt
X B(2000; 0,002)
2) Khoâng coù cuù naøo trong khoaûng thôøi gian 30 giaây
n = 2000 khaù lôùn vaø p = 0,002 khaù beù
3) Coù ít nhaát moät cuù trong khoaûng thôøi gian 10 giaây.
AÙp duï ng coâ ng thöùc gaàn ñuùng theo Poisson
Ta coù : X P() vôùi = np = 2000 0,002 = 4
4 1
1) P(X = 1) = e .4 0,0733
1!
2) P(0 X 4) = 0,6288
55 56
3) P(X = 0)
14
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
Giaûi baøi 12:
Baøi 27: Troïng löôïng cuûa 1 loaïi traùi caây coù quy
1) X= soá cuù ñieän thoaïi xuaát hieän trong khoaûng thôøi luaät phaân phoái chuaån vôùi troïng löôïng trung bình
gian 2 phuùt. X ~ P(4)
P(X=5) = e-4 45/5! = 0,156 laø 250g, ñoä leäch chuaån veà troïng löôïng laø 5g.
2) X = soá cuù ñieän thoaïi xuaát hieän trong khoaûng thôøi 1) Moät ngöôøi laáy 1 traùi töø trong soït traùi caây ra.
gian 30 giaây . X ~ P(1)
Tính xaùc suaát ngöôøi naøy laáy ñöôïc traùi loaïi 1
P (X=0) = e-1 = 0,3679
3) X = soá cuù ñieän thoaïi xuaát hieän trong khoaûng thôøi (traùi loaïi 1 laø traùi coù troï ng löôïng > 260 g )
gian 10 giaây . X ~ P(1/3) 2) Neáu laáy ñöôïc traùi loaïi 1 thì ngöôøi naøy seõ
P (X 1) = 1 – P (X=0) = 1-e-1/3 = 0,2835
mua soït ñoù. Ngöôøi naøy kieåm tra 100 soït, tính
57
xaùc suaát mua ñöôïc 6 soït. 58
Giaûi: Baøi 26: Ñoä daøi cuûa moät chi tieát ñöôïc tieän ra coù phaân
phoái chuaån N( cm ; (0,2cm)2). Saûn phaåm coi laø ñaït neáu
1) X= troïng löôïng cuû a loïai traùi caây naøy (g) ñoä daøi sai leäch vôùi ñoä daøi trung bình khoâng quaù 0,3cm.
1) Tính xaùc suaát ñeå choïn ngaãu nhieân 1 saûn phaåm thì
X ~ N (250g , (5g)2 ) ñöôïc sp ñaït yeâu caàu.
2) Choïn ngaãu nhieân 3 saûn phaåm. Tính xaùc suaát coù ít nhaát
P (X > 260)= 0,5–(2) = 0,0228
2 sp ñaït yeâu caàu.
3) Neáu saûn phaåm toát maø bò loaïi trong kieåm tra thì maéc
2) Y= soá soït ñöôïc mua. phaûi sai laàm loaïi 1, neáu saûn phaåm khoâng ñaït maø ñöôïc
nhaän thì maéc phaûi sai laàm loaïi 2 . Giaû söû khaû naêng maéc sai
Y ~B (100 ; 0,0228) P (2,28) laàm loaïi 1, loaïi 2 laàn löôït laø 0,1 vaø 0,2. Tính xaùc suaát ñeå
2,28 2,286 trong 3 laàn kieåm tra hoaøn toaøn khoâng nhaàm laàn.
P(Y=6) = e 59 60
6!
15
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
Giaûi baøi 26:
MÔØI GHEÙ THAÊM TRANG WEB:
1) Goïi X laø ÑLNN bieåu thò chieàu daøi cuûa chi tieát.
X N( cm , (0,2cm)2)
p(ñaït) = p(| X – | 0,3 ) = 0,866 http://kinhteluong.ungdung.googlepages.com
2) Goïi Y laø soá saûn phaåm ñaït yeâu caàu trong soá 3 saûn http://xacsuatthongke.googlepages.com
phaåm ñöôïc choïn ra. Ta coù Y B(3 ; 0,866)
http://toiuuhoa.googlepages.com
P(Y 2) = P(Y = 2) + P(Y = 3)
3) Choïn moät saûn phaåm, goïi T laø bieán coá gaëp saûn phaåm http://diemthi.caopt.googlepages.com
toát vaø H laø bieán coá gaëp saûn phaåm hoûng. Goïi F laø bieán coá
nhaàm laãn trong kieåm tra saûn phaåm naøy.
http://phamtricao.googlepages.com
P(F)= P(T)P(F/T)+P(H)P(F/H)= 0,8660,1+0,1340,2
Goïi Z laø soá saûn phaåm bò nhaàm laãn trong 3 laàn kieåm tra. www37.websamba.com/phamtricao
Ta coù Z B(3 ; P(F)) 61 www.phamtricao.web1000.com 62
P(caû 3 laàn khoâng nhaàm laãn) = P(Z = 0)
16
