Các định lý tổng quát của động lực học
Các định lý tổng quát của động lượng đo tác dụng của lực.lên chất điểm hay cơ hệ
đó. Các định lý tổng quát của động lực học cho phép ta nghiên cứu tính chất
quan trọng của chuyển động mà không cần biết chi tiết chuyển động đó.
-148-
Ch−¬ng 12
C¸c ®Þnh lý tæng qu¸t cña ®éng lùc häc
C¸c ®Þnh lý tæng qu¸t cña ®éng lùc häc lµ hÖ qu¶ cña ®Þnh luËt c¬ b¶n cña
Niu-T¬n. Nã thiÕt lËp mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i l−îng do chuyÓn ®éng cña chÊt
®iÓm hay c¬ hÖ víi c¸c ®¹i l−îng ®o t¸c dông cña lùc.lªn chÊt ®iÓm hay c¬ hÖ
®ã. C¸c ®Þnh lý tæng qu¸t cña ®éng lùc häc cho phÐp ta nghiªn cøu tÝnh chÊt
quan träng cña chuyÓn ®éng mµ kh«ng cÇn biÕt chi tiÕt chuyÓn ®éng ®ã. V× thÕ
nã cho phÐp ta gi¶i thuËn lîi mét sè bµi to¸n cña ®éng lùc häc ®Æc biÖt lµ bµi
to¸n vÒ ®éng lùc häc cña c¬ hÖ mµ nÕu ¸p dông ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®Ó gi¶i th×
sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n.
12.1. C¸c ®Æc tr−ng h×nh häc khèi cña c¬ hÖ vµ vËt r¾n.
Khi kh¶o s¸t ®éng lùc häc cña c¬ hÖ ng−êi ta ph¶i ®Ó ý ®Õn khèi l−îng cña
chóng vµ sù ph©n bè khèi l−îng Êy trong kh«ng gian. C¸c ®Æc tr−ng liªn quan
®Õn ph©n bè khèi l−îng cña c¬ hÖ hay vËt r¾n lµ khèi t©m vµ m« men qu¸n tÝnh.
12.1.1. Khèi t©m cña hÖ
XÐt hÖ N chÊt ®iÓm M1, M2,...Mn cã khèi l−îng m1, m2, ...m.N. VÐc t¬ ®Þnh
r r r
vÞ chóng lµ: r 1, r 2,.... r N.( H×nh 12.1) .Ta cã ®Þnh nghÜa sau:
Khèi t©m cña hÖ lµ ®iÓm C x¸c ®Þnh
r
b»ng biÓu thøc: z r2 M2
M1 C
N r
r
∑ m k rk r r Mn
k =1 r1 rC r
rC = ;
M rn
O
(12-1)
y
N x
Víi M = ∑ mk . H×nh 12.1
k =1
ChiÕu biÓu thøc (12-1) lªn c¸c trôc
-149-
to¹ ®é oxyz (h×nh 10-1) ta ®−îc:
N
∑ mk xk
k =1
xc =
M
N
∑ mk yk
k =1
yC = (12-2)
M
N
∑ mkzk
k =1
zC =
M
Trong ®ã xC, yC, zC lµ to¹ ®é khèi t©m C; xk, yk, zk lµ to¹ ®é cña chÊt ®iÓm
thø k trong c¬ hÖ. Tr−êng hîp ®Æc biÖt trong tr−êng träng lùc hÖ lµ vËt r¾n khèi
t©m sÏ trïng víi träng t©m cña vËt.
12.1.2. M« men qu¸n tÝnh cña vËt
12.1.2.1. M« men qu¸n tÝnh cña vËt ®èi víi mét t©m
M« men qu¸n tÝnh cña vËt ®èi víi mét t©m ký hiÖu lµ Jo b»ng tæng c¸c tÝch
sè gi÷a c¸c khèi l−îng cña mçi chÊt ®iÓm víi b×nh ph−¬ng kho¶ng c¸ch gi÷a
chÊt ®iÓm ®ã víi ®iÓm O (h×nh 10-1)
N
Jo = ∑ mk rk2 (12-3)
k =1
12.1.2.2. M« men qu¸n tÝnh cña vËt ®èi víi mét trôc
M« men qu¸n tÝnh cña vËt ®èi víi mét trôc z ký hiÖu lµ Jz b»ng tæng c¸c
tÝch khèi l−îng mk cña mçi chÊt ®iÓm trong vËt víi b×nh ph−¬ng kho¶ng c¸ch dk
tõ chÊt ®iÓm ®Õn trôc (h×nh 12-1).
N
Jz = ∑ mkd2
k (12-4)
k =1
Gäi to¹ ®é c¸c chÊt ®iÓm Mk trong hÖ to¹ ®é oxyz lµ xk,yk, zk th× m« men
qu¸n tÝnh cña hÖ ®èi víi c¸c trôc to¹ ®é lµ ox, oy, oz vµ ®èi víi gèc to¹ ®é O viÕt
®−îc:
-150-
Jx = ∑ m k (y 2
k + z 2 );
k
Jy = ∑ m k (x 2
k + z 2 );
k
Jz = ∑ m k (y 2
k + x 2 );
k (12-5)
Jo = ∑ m k rk2 = ∑ m k ( x 2
k + y 2 + z 2 ).
k k
Tõ ®ã suy ra:
J x + J y + J z = J o. (12-6)
Trong kü thuËt ta tÝnh m« men qu¸n tÝnh cña vËt ®èi víi mét trôc theo
biÓu thøc:
Jz = M.ρ2
M lµ khèi l−îng cña vËt, ρ gäi lµ b¸n kÝnh qu¸n tÝnh cña vËt víi trôc z.
12.1.2.3. M« men qu¸n tÝnh cña mét sè vËt ®ång chÊt
- VËt lµ mét thanh máng ®ång chÊt
Gäi chiÒu dµi cña thanh lµ l, khèi l−îng cña nã lµ M. Chän trôc Ax däc
theo thanh (h×nh 12-2).
y
XÐt mét phÇn tö cña thanh cã
chiÒu dµi dx ë vÞ trÝ c¸ch A mét ®o¹n mk B
A x
xR, cã khèi l−îng dm = ρ1.dx ë ®©y
ρ1 lµ khèi l−îng riªng trªn mét ®¬n xk dx
vÞ chiÒu dµi cña thanh ρ = M/l
H×nh 12-2
BiÓu thøc m« men qu¸n tÝnh A D
y
cña thanh lÊy ®èi víi trôc Az vu«ng gãc víi x
thanh t¹i A lµ:
dx
l l l3 1
JAz = ∫0x 2 dm = ρ i ∫0x 2 dx = ρ = Ml 2
3 3 B C
x
(127)
H×nh 12.3
-151-
- VËt lµ mét tÊm ph¼ng h×nh ch÷ nhËt (h×nh 12-3)
Gäi c¸c c¹nh cña h×nh lµ a, b, khèi l−îng cña tÊm ph¼ng lµ M. Chia h×nh
thµnh nhiÒu gi¶i nhá song song víi trôc o mçi gi¶i cã bÒ réng lµ dx, cã m« men
1
qu¸n tÝnh ®èi víi trôc Ax lµ Jk = m k a 2 (theo h×nh 12-3)
3
Trong ®ã mk lµ khèi l−îng cña gi¶i ®ang xÐt.
M« men qu¸n tÝnh cña c¶ h×nh ®èi víi trôc Ax lµ :
n n
1 1 n
Jx = ∑ J kx = ∑ m k a 2 = a 2 ∑ m k ;
k =1 k =1 3 3 k =1
1 2
Jx = a M (12-8)
3
T−¬ng tù suy ra:
1 2 y
Jy = b M (12- 9) R
3
- VËt lµ mét vµnh trßn ®ång chÊt
Gäi b¸n kÝnh vµ khèi l−îng cña vµnh lµ R vµ C x
M. TÝnh m« men qu¸n tÝnh cña vµnh ®èi víi trôc
Cz vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng cña vµnh vµ ®i qua
t©m C. (h×nh 12-4). H×nh 12.4
Ta cã: y
n n R
Jcz = ∑ m k rk2 = ∑ mkR ;
2
k =1 k =1 drk
n x
Jcz = R 2 ∑ m k = MR 2 . (12-10) rk
k =1 O
C«ng thøc (12-10) còng dïng ®Ó tÝnh m«
men qu¸n tÝnh cña mét èng trôc trßn ®ång chÊt ®èi
víi trôc cña nã. H×nh 12.5
-152-
- VËt lµ mét tÊm ph¼ng trßn ®ång chÊt
Gäi b¸n kÝnh vµ khèi l−îng cña tÊm lµ R vµ M. Ta cã thÓ tÝnh m« men
qu¸n tÝnh ®èi víi trôc Cz ký hiÖu lµ Jcz vµ m« men qu¸n tÝnh ®èi víi trôc Cx hay
Cy trïng víi ®−êng kÝnh cña nã ký hiÖu lµ Jx, Jy.
Chia tÊm thµnh nhiÒu vµnh nhá cïng t©m C b¸n kÝnh mçi vµnh thø k lµ rk.
BÒ réng cña mçi vµnh thø k lµ drk. Khèi l−îng cña líp vµnh thø k lµ :
mk = ρ.2π.rk.drk
M
Trong ®ã ρ lµ khèi l−îng riªng cña tÊm trªn mét ®¬n vÞ diÖn tÝch ρ = .
πR 2
Theo c«ng thøc (12-10) m« men qu¸n tÝnh cña líp vµnh thø k nµy ®èi víi
trôc Cz viÕt ®−îc.
Jkcz = mkrk2 = 2πρ.rk3drk
M« men qu¸n tÝnh cña c¶ tÊm ®èi víi tôc Cz viÕt ®−îc:
n n
Jcz = ∑ J cz = ∑ 2πρrk3 drk
k
k =1 k =1
R 1
hay: Jcz = ∫o 2πρrk3 drk =
2
πρR 4 .
Cuèi cïng ta cã:
1
Jcz = MR 2 (12-11)
2
§Ó tÝnh Jcz vµ Jcy ta cã nhËn xÐt mäi ®iÓm cña tÊm cã zx = 0, v× thÕ theo
(12-5) viÕt ®−îc:
n n
Jcx = ∑ m k (y 2
k + z ) = ∑ mk y2 ;
2
k k
k =1 k =1
n n
Jcy = ∑ m k (x 2 + z 2 ) = ∑ m k x 2 ;
k k k
k =1 k =1
-153-
n
Jcz = ∑ m k (x 2
k + y 2 ).
k
k =1
Tõ c¸c biÓu thøc trªn suy ra trong tr−êng hîp nµy:
Jcz = Jcx + Jcy.
Do ®èi xøng nªn sù ph©n bè khèi l−îng cña tÊm ®èi víi trôc cx vµ cy hoµn
toµn nh− nhau. Ta cã:
Jcx = Jcy = Jcz/2= MR2/4. (12-11)
C«ng thøc (10-11) còng cã thÓ tÝnh m« men qu¸n tÝnh cho vËt lµ mét trôc
trßn ®ång chÊt ®èi víi trôc cña nã.
12.1.2.4. M« men qu¸n tÝnh ®èi víi c¸c trôc song song.
-§Þnh lý Huy-Ghen: M« men qu¸n tÝnh cña mét vËt ®èi víi mét trôc z1
nµo ®ã b»ng m« men qu¸n tÝnh cña nã ®èi víi trôc z song song víi trôc z1 ®i qua
khèi t©m cña vËt céng víi tÝch khèi l−îng cña vËt víi b×nh ph−¬ng kho¶ng c¸ch
gi÷a hai trôc.
Jz1 = Jcz + Md2 (12-12)
Chøng minh: z
Theo ®Þnh nghÜa Jz1 = ∑ m k d' 2
k (a) z'
B
d αk dk
KÎ trôc cz song song víi z1 vµ ®i qua khèi Mk
t©m c (h×nh 12-6) d'k
yk y
Ta cã: xk
C
d' 2 = dk2 + d2 - 2dkdcosαk.
k
Gäi to¹ ®é cña ®iÓm Mk lµ xk, yk, zk. x
xk = dkcosαk suy ra:
d'k2 = dk2 + d2 - 2dxk
H×nh 12.6
Thay kÕt qu¶ vµo biÓu thøc (a) sÏ ®−îc:
Jz1 = ∑ mk(dk2 + d2 - 2xkd) = ∑ mkdk2 + ∑ mkd2 - 2 ∑ mkdxk),
-154-
trong ®ã: ∑ mkdk2 = Jcz;
∑ mkd2 = Md2 cßn ∑ mkdxk = d ∑ mkxk = dMxC
Do gèc to¹ ®é trïng víi khèi t©m c nªn xC =0.
Do ®ã: ∑ mkdxk = 0 Cuèi cïng ®−îc: Jz1 = Jcz + Md2.
§Þnh lý ®· ®−îc chøng minh.
12.2. §Þnh lý ®éng l−îng vµ ®Þnh lý chuyÓn ®éng cña
khèi t©m
12.2.1. §Þnh lý ®éng l−îng
12.2.1.1. §éng l−îng cña chÊt ®iÓm vµ cña hÖ
r
§éng l−îng cña chÊt ®iÓm lµ mét ®¹i l−îng vÐc t¬ ký hiÖu lµ k b»ng tÝch
gi÷a khèi l−îng vµ vÐc t¬ vËn tèc cña chÊt ®iÓm.
r r
k = m v. (12-14)
r
§éng l−îng cña hÖ lµ ®¹i l−îng vÐc t¬ ký hiÖu K b»ng tæng h×nh häc
®éng l−îng c¸c chÊt ®iÓm trong hÖ.
r n r n
r
K= ∑ kk = ∑ mv v k. (12-15)
k=1 k=1
§¬n vÞ ®o ®éng l−îng lµ kgm/s
Ta còng cã thÓ biÓu diÔn ®éng l−îng cña hÖ qua khèi l−îng vµ vËn tèc
khèi t©m cña hÖ.
Tõ (12-1) suy ra:
r r
∑mk r k = M r c.
§¹o hµm hai vÕ theo thêi gian nhËn ®−îc:
r r
∑mk v k = M v o.
§éng l−îng cña hÖ b»ng tÝch gi÷a khèi l−îng vµ vÐc t¬ vËn tèc khèi t©m
cña hÖ.
-155-
12.2.1.2. Xung l−îng cña lùc (xung lùc)
Lùc t¸c dông trong mét kho¶ng thêi gian nhá bÐ dt th× ®¹i l−îng vÐc t¬ ®o
b»ng tÝch gi÷a lùc víi kho¶ng thêi gian v« cïng bÐ ®ã lµ xung l−îng phÇn tö cña
r r r
lùc F ký hiÖu lµ d s = F .dt. (12-17)
r
NÕu lùc F t¸c dông trong kho¶ng thêi gian h÷u h¹n tõ to ®Õn t th× ®¹i
l−îng vÐc t¬ tÝnh b»ng tÝch ph©n c¸c xung lùc phÇn tö trong kho¶ng thêi gian ®ã
r r
gäi lµ xung l−îng cña lùc F trong kho¶ng thêi gian tõ to ®Õn t vµ ký hiÖu lµ s .
r t r tr
s = ∫to d s = ∫to Fdt (12-18)
r
Theo (10-18) nÕu lùc F = const th×:
r r
s = F .τ
ë ®©y τ = t - to
12.2.1.3. §Þnh lü ®éng l−îng
§Þnh lý 12.1: §¹o hµm theo thêi gian ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm b»ng hîp
lùc c¸c lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm.
r
n r
d
(mv) = ∑ Fi (12-19)
dt i =1
Chøng minh: XÐt chÊt ®iÓm cã khèi l−îng m chuyÓn ®éng víi vËn tèc v
r r r
d−íi t¸c dông cña hÖ lùc ( F 1, F 2,... F n). Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n viÕt cho chÊt ®iÓm:
r n r
mW = ∑ Fi
i =1
r r
dv
Thay W = vµo biÓu thøc trªn sÏ ®−îc:
dt
r n r
d r
m W = (mv) = ∑ Fi
dt i =1
§Þnh lý ®−îc chøng minh.
BiÓu thøc (12-19) thùc chÊt lµ ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n viÕt d−íi d¹ng ®éng
l−îng cho chÊt ®iÓm.
-156-
§Þnh lý 12.2: BiÕn thiªn ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm trong kho¶ng thêi gian
tõ to ®Õn t1 b»ng tæng h×nh häc xung l−îng cña c¸c lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm
trong kho¶ng thêi gian ®ã.
nr n r
r r
∑ ∫to Fk dt = ∑ S k
t1
mv1 - mvo = (12-20)
k =1 k =1
Chøng minh: Tõ ph−¬ng tr×nh (10-19) suy ra:
r n r
∑ ∫to Fk dt
t1
d(m v ) =
k =1
TÝch ph©n hai vÕ ph−¬ng tr×nh nµy t−¬ng øng víi c¸c cËn t¹i to vµ t1 sÏ cã:
r t1 n r n t1 r
d (mv) = ∫to ∑ Fk dt = ∑ ∫to Fdt;
mv1
∫mvo k =1 k =1
r r n r
mv1 - mvo = ∑ Sk
k =1
§Þnh lý ®· ®−îc chøng minh.
§Þnh lý 12.3: §¹o hµm theo thêi gian ®éng l−îng cña hÖ b»ng vÐc t¬
chÝnh cña c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ.
r
dK N r
= ∑ Fke (12-21)
dt k =1
Chøng minh: XÐt hÖ gåm N chÊt ®iÓm. Ký hiÖu hîp ngo¹i lùc vµ hîp néi
r r
lùc ®Æt lªn chÊt ®iÓm thø k lµ F ke vµ F ki.
Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc viÕt cho chÊt ®iÓm ®ã lµ:
r r r
mk( Wk ) = F ke + F ki (a)
ViÕt cho N chÊt ®iÓm cña hÖ ta sÏ cã N ph−¬ng tr×nh (a) nghÜa lµ k = 1...N
Céng vÕ víi vÕ cña N ph−¬ng tr×nh trªn víi nhau ta sÏ ®−îc:
N r N r N r
∑ m k Wk = ∑ Fke + ∑ Fki
k =1 k =1 k =1
Theo ®Þnh luËt Niu T¬n c¸c lùc t¸c dông t−¬ng hç b»ng nhau vÒ ®é lín,
-157-
cïng ph−¬ng nh−ng ng−îc chiÒu v× vËy tæng h×nh häc c¸c néi lùc ( c¸c lùc t¸c
dông t−¬ng hç cu¶ c¸c chÊt ®iÓm trong hÖ) lu«n lu«n b»ng kh«ng.
r
Ta cã: ∑ F ki = 0
Cßn l¹i:
N r N r
∑ m k Wk = ∑ Fke
k =1 k =1
r r
N N dv k N
r d v
Thay ∑ m k Wk = ∑ m k = ∑ m k v k = K,
k =1 k =1 dt k =1 dt
d v N r
Ta cã: K = ∑ Fke .
dt k =1
§Þnh lý ®· ®−îc chøng minh.
§Þnh lý 12.4: BiÕn thiªn ®éng l−îng cña hÖ trong kho¶ng thêi gian tõ to
®Õn t1 b»ng tæng h×nh häc xung l−îng c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ trong
kho¶ng thêi gian ®ã.
r r N r
k1 - k0 = ∑ S ke (12-22)
k =1
Chøng minh:
Tõ ph−¬ng tr×nh (12-10) suy ra:
r N r
dk = ∑ Fke dt
k =1
TÝch ph©n hai vÕ biÓu thøc nµy t−¬ng øng víi c¸c cËn t¹i thêi ®iÓm ®Çu vµ
cuèi sÏ ®−îc:
r t1 r
dk = ∫to ∑ Fke dt = ∑ ∫to Fke dt ;
k1 t1
∫ko
r r r
k1 - ko = ∑ s ke .
§Þnh lý ®· ®−îc chøng minh.
Chý ý r»ng c¸c biÓu thøc (10-19); (10-20), (10-21) vµ (10-22) lµ c¸c biÓu
-158-
thøc vÐc t¬, nÕu chiÕu c¸c biÓu thøc nµy lªn ba trôc to¹ ®é oxyz ta sÏ ®−îc c¸c
biÓu thøc h×nh chiÕu t−¬ng øng ph¶n ¸nh sù biÕn thiªn ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm
vµ hÖ theo h−íng c¸c trôc to¹ ®é.
§Þnh luËt b¶o toµn ®éng l−îng cña hÖ
Tõ biÓu thøc (12-21) suy ra:
r
Khi ∑ F ke = 0 th× K = const.
Khi ∑Xk = 0 th× Kx = const.
NghÜa lµ khi vÐc t¬ chÝnh cña ngo¹i lùc hoÆc tæng h×nh chiÕu cña c¸c
ngo¹i lùc lªn mét trôc nµo ®ã b»ng kh«ng th× ®éng l−îng cña hÖ hoÆc h×nh chiÕu
®éng l−îng cña hÖ lªn trôc ®ã b¶o toµn.
Cuèi cïng chó ý r»ng trong c¸c biÓu thøc kh«ng cã néi lùc ®iÒu nµy chøng
tá néi lùc kh«ng cã t¸c dông lµm thay ®æi ®éng l−îng cña mét hÖ.
ThÝ dô 12-1: Mét h¹t ngò cèc cã träng l−îng P tr−ît trong r·nh n»m
nghiªng mét gãc α so víi ph−¬ng ngang. BiÕt hÖ sè ma s¸t gi÷a c¸c h¹t vµ r·nh
lµ f, vËn tèc ban ®Çu cña h¹t lµ vo. TÝnh xem sau bao l©u th× vËn tèc h¹t t¨ng lªn
gÊp ®«i. (h×nh 12-7)
Bµi gi¶i
Xem h¹t nh− mét chÊt ®iÓm. Lùc t¸c dông r
N r
lªn h¹t gåm träng l−îng P, lùc ma s¸t Fms vµ F ms
ph¶n lùc ph¸p tuyÕn N.
r
ViÕt biÓu thøc h×nh chiÕu lªn trôc ox cña x α P
®Þnh lý ®éng l−îng ta cã:
H×nh 12.7
m x 1 − mx o = ∑ x i = ∫0 (P sin α − Fms )dt
t
& &
x 1 = v;
& x 0 = v o ; Fms = P.cosα.f
& ta cã:
mv-mvo = (Psinα-fPcosα)t.
Khi v = 2vo th× thêi gian cÇn thiÕt lµ:
-159-
mv o vo
t= = .
mg sin α − fmg cos α g (sin α − f cos α)
ThÝ dô 12-2: N−íc ch¶y ra tõ mét vßi víi vËn tèc u = 10m/s vµ ®Ëp th¼ng
gãc vµo mét t−êng ch¾n (h×nh 10-8). §−êng kÝnh miÖng vßi d = 4cm. X¸c ®Þnh
¸p lùc cña n−íc lªn t−êng. LÊy khèi l−îng
riªng cña n−íc lµ ρ = 1000kg/m3 d
d
Bµi gi¶i: b1 b1
a a1
XÐt chuyÓn ®éng cña khèi n−íc aabc
R x
(xem h×nh vÏ 12.8). Ngo¹i lùc t¸c dông lªn
hÖ gåm: a ut1 a1
c c
Träng l−îng P, hîp lùc cña ¸p lùc t¹i
c1 c1
mÆt c¾t cña khèi n−íc vµ ¸p lùc do ph¶n lùc
H×nh 12.8
cña t−êng lªn n−íc.
Theo biÓu thøc (12-22) ta cã:
k1x - kox = ∑Skk (a)
Gi¶ thiÕt sau thêi gian t1 khèi n−íc chuyÓn ®Õn vÞ trÝ a1a1b1c1. Tõ h×nh vÏ
ta thÊy phÇn n−íc cã ¶nh h−ëng ®Õn sù biÕn ®æi ®éng l−îng cña khèi n−íc lªn
ph−¬ng x lµ phÇn n»m trong ®o¹n aa1. V× vËy cã thÓ thÊy:
k1x - kox = -mu
ë ®©y m lµ khèi l−îng cña phÇn n−íc n»m trong ®o¹n aa1
γ πd 2
m= ut 1
g 4
Cßn ∑Sx lµ xung lùc cña c¸c lùc t¸c dông lªn khèi n−íc theo ph−¬ng x.
NÕu gäi c¸c hîp lùc theo ph−¬ng x nµy lµ Rx ta sÏ cã:
∑Skx = Rxt1 = Rt1.
Thay vµo biÓu thøc (a) c¸c kÕt qu¶ t×m ®−îc sÏ cã:
-160-
mu = Rt1
R=
Nh− vËy ta t×m ®−îc ¸p lùc cña n−íc lªn t−êng còng b»ng R = 12,8kN cã
ph−¬ng vu«ng gãc víi t−êng theo chiÒu h−íng vµo mÆt t−êng.
12.2.2. §Þnh lý chuyÓn ®éng cña khèi t©m
- §Þnh lý 12.5:Khèi t©m cña hÖ chuyÓn ®éng nh− mét chÊt ®iÓm mang
khèi l−îng cña c¶ hÖ d−íi t¸c dông cña lùc b»ng vÐc t¬ chÝnh cña hÖ c¸c ngo¹i
lùc t¸c dông lªn hÖ.
r n
M WC = ∑ Fke (12-23)
i =1
Chøng minh: XÐt c¬ hÖ N chÊt ®iÓm cã khèi l−îng lµ m1, m2, ...mN chuyÓn
r r r r r
®éng d−íi t¸c dông cña hÖ ngo¹i lùc F 1e, F 2e, ... F Ne vµ hÖ c¸c néi lùc F 1i, F 2i, ...
r r r
F Ni. ë ®©y F ke vµ F kilµ hîp lùc cña ngo¹i lùc vµ néi lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm
thø k.
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng viÕt cho hÖ lµ:
n r n r n r
∑ mk W = ∑ Fke + ∑ Fki (a)
k=1 k =1 k =1
MÆt kh¸c tõ c«ng thøc x¸c ®Þnh khèi t©m cña hÖ ta cã:
n r
∑ mk rk = M r C
r
k=1
LÊy ®¹o hµm theo thêi gian hai vÕ ®−îc:
r r r
n
d2r d 2 rC hay n m W = M W
∑ mk =M ∑ k k C
k=1 dt dt k=1
n r
Thay vµo biÓu thøc (a) ë trªn vµ l−u ý r»ng ∑ F ki = 0 ta cã:
k=1
r n r
M W C = ∑ F ke.
k=1
-161-
§Þnh lý ®−îc chøng minh.
Tõ ph−¬ng tr×nh vÐc t¬ (12-21) khi chiÕu lªn c¸c trôc to¹ ®é oxyz ta ®−îc
ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña khèi t©m viªt d−íi d¹ng sau:
d2XC n d 2 YC n d 2 ZC n
M = ∑ Xk ; M = ∑ Yk ; M = ∑ Zk . (12-22)
dt 2 k=1 dt 2 k=1 dt 2 k=1
- §Þnh luËt b¶o toµn chuyÓn ®éng cña khèi t©m:
Tõ biÓu thøc (12-21) suy ra:
n r
NÕu ∑ F k = 0 th× Wc = 0 vµ vc = const.
k=1
NghÜa lµ: nÕu vÐc t¬ chÝnh cña c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ b»ng kh«ng
th× chuyÓn ®éng khèi t©m cña hÖ ®−îc b¶o toµn. §©y lµ ®Þnh luËt b¶o toµn
chuyÓn ®éng cña khèi t©m.
T−¬ng tù tõ biÓu thøc (12-20) suy ra:
n
NÕu ∑ Xk = 0 th× Wx =0 vµ vx = const.
k=1
NghÜa lµ nÕu tæng h×nh chiÕu c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ lªn mét trôc x
nµo ®ã b»ng kh«ng th× chuyÓn ®éng cña khèi t©m theo trôc x ®ã ®−îc b¶o toµn.
§©y lµ ®Þnh luËt b¶o toµn chuyÓn ®éng cña khèi t©m theo mét trôc.
Chó ý trong c¸c ®Þnh lý vÒ chuyÓn ®éng cña khèi t©m kh«ng ®Ò cËp ®Õn
néi lùc v× vËy cã thÓ kÕt luËn néi lùc kh«ng lµm thay ®æi chuyÓn ®éng cña khèi
t©m.
Sau ®©y lµ mét vµi vÝ dô vËn dông ®Þnh lý chuyÓn ®éngcña khèi t©m vµ
®Þnh luËt b¶o toµn chuyÓn ®éng cña khèi l−îng.
ThÝ dô 12-3:
Träng t©m phÇn quay cña ®éng c¬ ®iÖn ®Æt lÖch t©m so víi trôc quay A
mét ®o¹n AB =a. Träng l−îng cña phÇn quay lµ P, träng l−îng cña vá ®éng c¬
(phÇn kh«ng quay) lµ Q. (h×nh 12-9)
-162-
T×m quy luËt chuyÓn ®éng cña phÇn vá ®éng
c¬ trªn sµn n»m ngang. Cho biÕt vËn tèc gãc x
ϖ cña phÇn quay kh«ng ®æi. NÕu ta cè m
®Þnh vá ®éng c¬ trªn sµn b»ng bu l«ng D th× ω Br
P
lùc c¾t lªn bu l«ng ®−îc x¸c ®Þnh nh− thÕ nµo.
A r
Coi ma s¸t gi÷a nÒn vµ ®éng c¬ kh«ng ®¸ng Q
kÕ. r
N
Bµi gi¶i: m1 D
1. Khi ®éng c¬ ®Ó tù do trªn sµn. Ngo¹i
lùc t¸c dông gåm träng l−îng P vµ Q cña H×nh 12.9
®éng c¬, ph¶n lùc ph¸p tuyÕn N cña sµn lªn
®éng c¬. C¸c lùc nµy ®Òu vu«ng gãc víi sµn nªn cã:
∑Xk = 0. Theo ®Þnh luËt b¶o toµn chuyÓn ®éng cña khèi t©m ta cã
vox = const. Lóc ®Çu ®éng c¬ ®øng yªn nªn suy ra xo = const.
Chän hÖ to¹ ®é sao cho khi ë thêi ®iÓm t nµo ®ã gãc quay ϕ = ωt cßn c¸c
®iÓm A vµ B cã c¸c to¹ ®é t−¬ng øng sau:
xA = x; xB = x + asinϕ.
Qx + P( x + a sin ϕ)
ta cã: xC = =0
Q+P
Hay: Qx + Px + Pasinϕ = 0
P.a.s sin ϕ
Suy ra x =
P+Q
§©y chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng dao ®éng ngang cña vá ®éng c¬
trªn sµn quanh vÞ trÝ ban ®Çu.
2. Khi cè ®Þnh ®éng c¬ trªn sµn b»ng bu l«ng D.
Gäi Rx lµ lùc c¾t bu l«ng theo ph−¬ng ngang ta cã ph−¬ng tr×nh vi ph©n
chuyÓn ®éng cña khèi t©m:
-163-
d2xc
m = Rx;
dt 2
Qx A + Px B
ë ®©y : xc = .
P+Q
V× vá ®éng c¬ cè ®Þnh nªn xA = const = 0 cßn xB = asinϕ.
Ta cã:
d2xC P+Q P
Rx = M = aω 2 sin ωt;
dt 2 g P+Q
P 2
Rx = − aω sin ωt;
g
§©y lµ lùc do bu l«ng t¸c dông lªn ®éng c¬, ng−îc l¹i ®éng c¬ còng t¸c
dông mét lùc c¾t bu l«ng b»ng trÞ sè nh−ng ng−îc chiÒu víi Rx.
Lùc c¾t nµy sÏ lín nhÊt khi sinωt = 1 vµ b»ng Paω2/g, t−¬ng øng víi gãc
quay ϕ =900.
ThÝ dô 12-4: Tay quay AB cã a
y
chiÒu dµi r cã träng l−îng P quay ω B
Rz D a
®Òu víi vËn tèc gãc ω vµ truyÒn A x Q
P G
chuyÓn ®éng cho cu lÝt g¾n liÒn víi
pÝt t«ng D cã träng l−îng chung lµ
G. PÝt t«ng D chÞu t¸c ®éng lùc Q H×nh 12.10
theo ph−¬ng ngang (h×nh 12-10). X¸c ®Þnh ph¶n lùc Rx lªn gèi ®ì A theo ph−¬ng
ngang. Cho biÕt kho¶ng c¸ch tõ träng t©m chung cña culÝt vµ pÝt t«ng ®Æt c¸ch cu
lÝt mét ®o¹n a.
Bµi gi¶i:
XÐt c¬ hÖ gåm tay quay AB vµ côm cu lÝt pÝt t«ng. Bá qua ma s¸t ë c¸c
r r
mÆt tr−ît, ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ gåm : träng l−îng P vµ G , ph¶n lùc t¹i gèi
r r r r r r
®ì R A. C¸c ph¶n lùc ph¸p tuyÕn ë mÆt tr−ît N 1, N 2 vµ lùc Q . C¸c lùc P , G ,
-164-
r r
N 1, N 2 vu«ng gãc víi mÆt ngang nªn ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng khèi
t©m cña hÖ theo ph−¬ng ngang viÕt ®−îc:
d2Xc
M = R x − Q, ë ®©y: Mxc = m1x1 + m2x2,
dt 2
P r G
m1 = , x1 = cos ωt ; m2 = ; x2 = a rcosωt
g 2 g
Pr G
Suy ra: Mxc = cos ωt + (a + r cos ωt )
g2 g
d2Xo
Thay vµo biÓu thøc ta ®−îc: Rx = Q + M ;
dt 2
rω 2 P
Hay : Rx = Q - ( + G ) cos ωt.
g 2
§©y chÝnh lµ ph¶n lùc theo ph−¬ng ngang t¹i gèi ®ì A. Ph¶n lùc nµy cã trÞ
sè cùc ®¹i b»ng:
rω 2 P
Rx = Q + ( + G) khi ϕ = ωt= 1800
g 2
12.3. §Þnh lý m« men ®éng l−îng
Trong phÇn nµy sÏ kh¶o s¸t mèi quan hÖ gi÷a ®¹i l−îng ®o chuyÓn ®éng
quay lµ m«men ®éng l−îng víi ®¹i l−îng ®o m« men lùc.
12.3.1. M« men ®éng l−îng
M« men ®éng l−îng cña mét chÊt ®iÓm lÊy ®èi víi t©m O hay ®èi víi trôc
z lµ ®¹i l−îng ký hiÖu lo hay lz b»ng m« men cña vÐc t¬ ®éng l−îng chÊt ®iÓm Êy
lÊy ®èi víi t©m O hay trôc z ®ã. Ta cã:
r r r r r
lo = m o ( m.v) = r xm.v; (12-23)
r
l z = m z ( m.v) = ± m.v'.h (12-24)
r
Trong c¸c biÓu thøc (12-23), (12-24) th× m lµ khèi l−îng, v lµ vËn tèc
-165-
r
chÊt ®iÓm, v' lµ h×nh chiÕu cña v trªn mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc z. BiÓu thøc
(12-24) lÊy dÊu + khi nh×n tõ chiÒu d−¬ng cña trôc z sÏ thÊy v' cã chiÒu quay
vßng quanh z theo chiÒu ng−îc chiÒu k×m ®ång hå vµ lÊy dÊu - trong tr−êng hîp
ng−îc l¹i.
T−¬ng tù nh− m« men lùc dÔ dµng suy ra r»ng:
[ ]
r
lo z = [m o (m.v)]z = m z .(m.v) = l z .
r r r
NghÜa lµ: h×nh chiÕu trªn trôc z vÐc t¬ m« men ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm
lÊy ®èi víi mét ®iÓm trªn trôc b»ng m« men ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm ®èi víi
trôc ®ã.
NÕu biÓu diÔn m« men ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm ®èi víi 3 trôc to¹ ®é
oxyz lµ hµm theo to¹ ®é vµ h×nh chiÕu cña c¸c täa ®é lªn c¸c trôc ta cã:
r r r
i j k
r r r r r r r r
l = m o (m.v) = r xm.v = x y z =m(yz-zy) i +m(zx-xz) j +m(xyx) k ;
mx my mz
r r r
lo = lx i + ly j + lz k . Suy ra :
lx = m(yz-zy);
ly = m(zx-xz); (12-25)
lz = m(xy- yx).
§èi víi mét hÖ ta cã c¸c ®Þnh nghÜa sau:
M« men ®éng l−îng cña hÖ ®èi víi mét t©m hay mét trôc lµ tæng m« men
®éng l−îng cña c¸c chÊt ®iÓm trong hÖ lÊy ®èi víi t©m hay trôc ®ã. Ký hiÖu m«
men ®éng l−îng cña hÖ ®èi víi t©m O vµ ®èi trôc z lµ lo vµ lz ta cã:
r r n
r n
r r
lo= ∑ m o (m k v k ) = ∑r kxmk v k; (12-26)
k =1 k=1
n r n n
lz = ∑ mz(mk v k) = ∑ lkz = ∑ ±mkkkv'k (12-27)
k=1 k=1 k=1
-166-
Khi hÖ lµ vËt r¾n quay quanh mét trôc z víi vËn tèc gãc ω (h×nh 12-11) ta
cã: z
B
lkz = ±r2kmkω.
Gäi ±ω = ωz ta cã :
ω
lkz = r kmkωz.
2
rk r
rm v
Thay vµo biÓu thøc (12-27) ta cã: vk k k
n n n
lz = ∑ lzk = ∑ r2kmkωz = ωz. ∑ mkr2k.
k=1 k=1 k=1
A
n
Thay ∑ mkr2k = Jz ta ®−îc: H×nh 12.11
k=1
Jz = Jz. ωz
Th−êng ng−êi ta chän h−íng d−¬ng cña trôc quay ®Ó ωz = ω khi ®ã ta cã:
lz = Jz.ω (12-28)
12.3.2. §Þnh lý m« men ®éng l−îng
§Þnh lü 12-6: ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian m« men ®éng l−îng cña
chÊt ®iÓm lÊy ®èi víi mét t©m hay ®èi víi mét trôc b»ng tæng h×nh häc hay
tæng ®¹i sè m« men cña c¸c lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm lÊy ®èi víi t©m (hay trôc
®ã).
( )
d r r n r r
m o (mv ) = ∑ m o Fi ; (12-29)
dt i =1
( )
d r n r
m z (mv ) = ∑ m z Fi ; (12-29)
dt i =1
r r r
Chøng minh: Gi¶ thiÕt chÊt ®iÓm chÞu t¸c dông cña c¸c lùc: F 1, F2 ,.. Fn .
Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc viÕt ®−îc:
r n r
mW = ∑ Fi .
i=1
-167-
r r
d (mv)
Ta cã thÓ biÕn ®æi thµnh: = ∑ Fi .
dt
r
Nh©n h÷u h−íng hai vÕ biÓu thøc trªn víi vÐc t¬ ®Þnh vÞ r nèi tõ t©m o tíi
chÊt ®iÓm vµ l−u ý r»ng:
r
dr r r r r r r r
xm.v = vxmv = 0 vµ r xm v = m o(m v ) ta cã :
dt
r r r
r d (mv ) r d (mv ) d r r d r r n
rr
rx =r + xmv = ( r xmv ) = ∑ r Fi .
dt dt dt dt i =1
BiÓu thøc (12-29) ®· ®−îc chøng minh.
ChiÕu biÓu thøc (12-29) lªn trôc z ta sÏ ®−îc biÓu thøc (12-30).
§Þnh lý 12-7: ®¹o hµm theo thêi gian m« men ®éng l−îng cña hÖ ®èi víi
mét t©m hay mét trôc b»ng tæng m« men cña c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ ®èi
víi t©m (hay trôc ®ã).
d r n r
lo = ∑ m o ( Fke ); (12-31)
dt k =1
d r n r r
lz = ∑ m z ( Fke ); (12-32)
dt k =1
Chøng minh: XÐt c¬ hÖ cã N chÊt ®iÓm. T¸ch mét chÊt ®iÓm thø k ®Ó xÐt.
r r r
Gäi mk, v k lµ khèi l−îng vµ vËn tèc cña nã; gäi F ki, F ke lµ néi lùc vµ ngo¹i lùc
t¸c dông lªn chÊt ®iÓm. ¸p dông biÓu thøc (12-29) cho chÊt ®iÓm nµy ta cã:
d r
dt
r r
( ) r r
( )
lok = m o Fki + m o Fke .
Cho k tõ 1 ®Õn N ta ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh d¹ng trªn. NÕu céng vÕ víi vÕ
hÖ ph−¬ng tr×nh tr×nh trªn ta ®−îc:
d r
( ) ( )
N N r r N r r
∑ lok = ∑ m o Fki + ∑ m o Fke .
i =1 dt k =1 k =1
trong ®ã:
