Các định luật của niu-tơn và phương trình vi phân chuyển động
Động lực là phần tổng quát của cơ học. Động lực học nghiên cứu chuyển
động của vật thể dưới tác dụng của lực. Động lực học thiết lập các định luật liên
hệ giữa lực tác dụng với những đặc trưng động học và áp dụng các định luật đó
có thể giải các bài toán kỹ thuật.
-135-
PhÇn 3
§éng lùc häc
Ch−¬ng 11
C¸c ®Þnh luËt cña niu-t¬n vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n
chuyÓn ®éng
11.1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n
§éng lùc lµ phÇn tæng qu¸t cña c¬ häc. §éng lùc häc nghiªn cøu chuyÓn
®éng cña vËt thÓ d−íi t¸c dông cña lùc. §éng lùc häc thiÕt lËp c¸c ®Þnh luËt liªn
hÖ gi÷a lùc t¸c dông víi nh÷ng ®Æc tr−ng ®éng häc vµ ¸p dông c¸c ®Þnh luËt ®ã
cã thÓ gi¶i c¸c bµi to¸n kü thuËt.
VËt thÓ trong ®éng lùc häc ®−îc xÐt d−íi d¹ng m« h×nh : chÊt ®iÓm, c¬ hÖ,
vËt r¾n.
ChÊt ®iÓm lµ mét ®iÓm h×nh häc cã mang khèi l−îng. ChÊt ®iÓm lµ m«
h×nh ®¬n gi¶n nhÊt vµ c¬ b¶n nhÊt cña vËt thÓ trong ®éng lùc häc.
C¬ hÖ lµ tËp hîp nhiÒu chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng phô thuéc lÉn nhau.
VËt r¾n lµ c¬ hÖ ®Æc biÖt khi kho¶ng c¸ch gi÷a hai chÊt ®iÓm bÊt kú trong
®ã lu«n lu«n kh«ng ®æi.
Kh¸c víi tÜnh häc, lùc trong ®éng lùc häc cã thÓ lµ kh«ng ®æi, cã thÓ biÕn
®æi c¶ vÒ ®é lín vµ ph−¬ng chiÒu.
Lùc phô thuéc vµo thêi gian nh− lùc kÐo ®Çu m¸y, phô thuéc vµo vÞ trÝ cña
vËt nh− lùc hÊp dÉn, lùc ®µn håi cña lß xo, phô thuéc vµo vËn tèc nh− lùc c¶n cña
kh«ng khÝ. Mét c¸ch tæng qu¸t trong ®éng lùc häc lùc lµ mét hµm cña thêi gian,
r r r r
vÞ trÝ vµ vËn tèc. Ta cã : F = F(t, r , v ) .
Trong ®éng lùc häc c¸c lùc ®−îc ph©n chia thµnh néi lùc, ngoµi lùc hay
r r
ho¹t lùc vµ ph¶n lùc liªn kÕt. Néi lùc ký hiÖu lµ Fi . Fi lµ lùc t¸c ®éng t−¬ng hç
-136-
gi÷a c¸c chÊt ®iÓm trong mét c¬ hÖ.
r
Ngo¹i lùc ký hiÖu Fe lµ c¸c lùc do chÊt ®iÓm hay vËt thÓ ngoµi hÖ t¸c dông
r
vµo hÖ. Ph¶n lùc liªn kÕt ký hiÖu N lµ lùc t¸c dông do c¸c vËt g©y liªn kÕt lªn c¬
hÖ kh¶o s¸t. Ho¹t lùc lµ c¸c lùc t¸c dông lªn c¬ hÖ kh«ng kÓ ph¶n lùc liªn kÕt,
r
th−êng ký hiÖu lµ Fa
§Ó kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña vËt bao giê còng chän tr−íc mét hÖ quy
chiÕu. HÖ quy chiÕu kh«ng phô thuéc vµo thêi gian gäi lµ hÖ quy chiÕu qu¸n
tÝnh, ng−îc l¹i hÖ quy chiÕu phô thuéc vµo thêi gian gäi lµ hÖ quy chiÕu kh«ng
qu¸n tÝnh .
11.2. C¸c ®Þnh luËt cña Niu -T¬n
C¬ së lý luËn cña ®éng lùc häc chñ yÕu lµ c¸c ®Þnh luËt cña NIU - TON.
I-s¸c Niu T¬n (1643-1727) lµ nhµ b¸c häc lçi l¹c ®· ®Æt nÒn mãng cho c¬
häc cæ ®iÓn vµ ®· x©y dùng lý thuyÕt c¬ häc hoµn thiÖn c©n ®èi. V× thÕ c¬ häc cæ
®iÓn cßn gäi lµ c¬ häc Niu - T¬n.
Sau ®©y giíi thiÖu c¸c ®Þnh luËt cña Niu - T¬n vµ xem nh− lµ hÖ tiÒn ®Ò
cña c¬ häc.
§Þnh luËt 1(§Þnh luËt qu¸n tÝnh)
ChÊt ®iÓm kh«ng chÞu t¸c dông cña lùc nµo sÏ ®øng yªn hoÆc chuyÓn
®éng th¼ng ®Òu.
Tr¹ng th¸i ®øng yªn hoÆc chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu lµ tr¹ng th¸i chuyÓn
®éng theo qu¸n tÝnh. Khi chuyÓn ®éng theo qu¸n tÝnh chÊt ®iÓm sÏ cã :
r r
v = const vµ w = 0 .
§Þnh luËt 2 (®Þnh luËt c¬ b¶n cña ®éng lùc häc )
D−íi t¸c dông cña lùc chÊt ®iÓm sÏ chuyÓn ®éng víi gia tèc cïng ph−¬ng
chiÒu víi lùc (h×nh 9-1)
v
r r
F = m.W M
F
W
H×nh 11.1
-137-
m lµ hÖ sè tû lÖ, phô thuéc vµo l−îng vËt chÊt cã trong chÊt ®iÓm.
Theo ®Þnh luËt nµy lùc lµ nguyªn nh©n lµm cho chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng cã
gia tèc.
r r
BiÓu thøc (11-1) cho thÊy : NÕu lùc F kh«ng ®æi m cµng lín W cµng nhá
vµ ng−îc l¹i, ®iÒu ®ã chøng tá kkèi l−îng m lµ sè do qu¸n tÝnh cña vËt (tÝnh ú
cña vËt)
Tõ hÖ thøc (11-1) nÕu lùc lµ träng l−îng cña vËt sÏ cã :P = mg. ë ®©y g
®−îc gäi lµ gia tèc träng tr−êng.
HÖ thøc (11-1) gäi lµ ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc.
§Þnh luËt 3 (®Þnh luËt vÒ tÝnh ®éc lËp t¸c dông cña lùc)
D−íi t¸c dông ®ång thêi cña mét hÖ lùc chÊt ®iÓm sÏ chuyÓn ®éng víi gia
tèc b»ng tæng h×nh häc c¸c gia tèc mµ chÊt ®iÓm thu ®−îc khi nã chÞu t¸c dông
®éc lËp tõng lùc mét .
r r r r
w = w 1 + w 2 + ..... + w n . (11-2)
r
w lµ gia tèc cña chÊt ®iÓm khi hÖ lùc cïng t¸c dông ®ång thêi ;
r r r
w 1 , w 2 , w n lµ gia tèc cña chÊt ®iÓm khi nã chÞu t¸c dông tõng lùc:
r r r
F1 , F2 ,....Fn ®éc lËp .
Tõ hÖ (11-2) nÕu nh©n hai vÕ víi khèi l−îng m sÏ ®−îc :
r r r r
mw = mw 1 + mw 2 + ..... + mw n
Theo ®Þnh luËt hai th× :
r r r r n r
Do ®ã ta cã : mw = F1 + F2 + ..... + Fn = ∑ F (11-3)
i =1
HÖ thøc (11-3) lµ ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc khi chÊt ®iÓm
chÞu mét hÖ lùc t¸c dông.
§Þnh luËt 4 (®Þnh luËt t¸c dông vµ ph¶n t¸c dông )
-138-
Lùc t¸c dông t−¬ng hç gi÷a hai chÊt ®iÓm lµ nh÷ng lùc cïng ph−¬ng, cïng
®é lín vµ ng−îc chiÒu.
§Þnh luËt nµy m« t¶ t¸c dông t−¬ng hç gi÷a hai chÊt ®iÓm vµ lµ c¬ së
nghiªn cøu cho ®éng lùc häc cña hÖ.
CÇn chó ý r»ng hai lùc t−¬ng hç kh«ng ph¶i lµ mét cÆp lùc c©n b»ng v×
chóng ®Æt lªn hai chÊt ®iÓm kh¸c nhau.
11-3. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm
vµ c¬ hÖ.
XÐt chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng trong hÖ quy chiÕu qu¸n tÝnh oxyz, d−íi t¸c
r r r r
dông cña c¸c lùc F1 , F2 , F3 ,....Fn . §èi víi chÊt ®iÓm tù do c¸c lùc nµy lµ c¸c ho¹t
lùc ®Æt lªn chÊt ®iÓm. §èi víi chÊt ®iÓm kh«ng tù do c¸c lùc nµy bao gåm c¶
ho¹t lùc vµ ph¶n lùc liªn kÕt. C¨n cø vµo ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc
ta cã thÓ thµnh lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm d−íi c¸c
d¹ng kh¸c nhau.
11.3.1.D¹ng vÐc t¬
r
Gäi vÐc t¬ ®Þnh vÞ cña chÊt ®iÓm lµ r ta cã :
r
r d2r
w = 2 = &&
r
dt
Khi ®ã ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n viÕt cho chÊt ®iÓm nh− sau :
r
d2 r n r
m 2 = ∑ F1 (11-4)
dt i =1
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n (11-4) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng
cña chÊt ®iÓm d−íi d¹ng vÐc t¬.
11.3.2. D¹ng to¹ ®é §Ò c¸c
ChiÕu ph−¬ng tr×nh (9-4) lªn c¸c trôc to¹ ®é oxyz sÏ ®−îc :
-139-
n
m&& = ∑ X i ;
x
i =1
n
m&& = ∑ Yi ;
y (11-5)
i =1
n
m&& = ∑ Z i .
z
i =1
ë ®©y x, y, z lµ to¹ ®é cña chÊt ®iÓm trong hÖ oxyz, cßn Xi, Yi, Zi lµ h×nh
r
chiÕu cña lùc Fi lªn c¸c trôc ox, oy, oz.
HÖ ph−¬ng tr×nh (11-5) ®−îc gäi lµ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng
cña chÊt ®iÓm d−íi d¹ng to¹ ®é §Ò c¸c.
11.3.3. D¹ng to¹ ®é tù nhiªn
Gäi Wτ, Wη, Wβ lµ h×nh chiÕu cña gia tèc ®iÓm vµ Fiτ, Fiη, Fiβ lµ h×nh
chiÕu cña Fi lªn c¸c trôc cña hÖ to¹ ®é tù nhiªn. Sau khi chiÕu ph−¬ng tr×nh (11-
4) lªn c¸c trôc cña hÖ to¹ ®é tù nhiªn ta ®−îc :
n
mw = m&& = ∑ Fiτ ;
τ
s
i =1
v2 n η
mw = m = ∑ Fi ;
η
(11-6)
ρ i =1
n
mw = 0 = ∑ Fiβ .
β
i =1
§èi víi c¬ hÖ chóng ta cã thÓ t¸ch mét chÊt ®iÓm trong hÖ ra ®Ó xÐt. Gäi
r
hîp c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm thø k ®−îc t¸ch ra lµ Fke vµ hîp c¸c néi
r
lùc t¸c dông lªn nã lµ Fki .
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm viÕt d−íi d¹ng vÐc t¬ :
r r r
m k w k = Fki + Fke
r
Trong ®ã mk vµ w k lµ khèi l−îng vµ gia tèc cña chÊt ®iÓm thø k .
-140-
Khi xÐt tÊt c¶ c¸c chÊt ®iÓm ta sÏ thu ®−îc N ph−¬ng tr×nh sau :
r r r
m1 w 1 = F1i + F1e ;
r r r
m 2 w 2 = F21i + F2 e ; (11-7)
...........................
r r r
m n w n = Fni + Fne .
HÖ ph−¬ng tr×nh (11-7) ®−îc gäi lµ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng
cña hÖ d−íi d¹ng vÐc t¬. NÕu chiÕu hÖ ph−¬ng tr×nh (11.7) lªn c¸c trôc cña hÖ
to¹ ®é §Ò c¸c hoÆc hÖ to¹ ®é tù nhiªn ta sÏ ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn
®éng cña c¬ hÖ d−íi d¹ng to¹ ®é §Ò c¸c vµ hÖ to¹ ®é tù nhiªn.
11-4. Hai bµi to¸n c¬ b¶n cña ®éng lùc häc
Tõ ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm ta thÊy trong ®éng
lùc häc cã hai bµi to¸n c¬ b¶n sau ®©y :
- Bµi to¸n c¬ b¶n thø nhÊt: Cho biÕt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm x¸c ®Þnh
lùc ®· g©y ra chuyÓn ®éng ®ã. Bµi to¸n nµy gäi lµ bµi to¸n thuËn.
- Bµi to¸n c¬ b¶n thø hai: Cho biÕt c¸c lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm vµ ®iÒu
kiÖn ban ®Çu cña chuyÓn ®éng x¸c ®Þnh quy luËt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm. Bµi
to¸n nµy gäi lµ bµi to¸n nghÞch.
Sau ®©y giíi thiÖu c¸ch gi¶i hai bµi to¸n c¬ b¶n nãi trªn.
§èi víi bµi to¸n thø nhÊt ta thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña chuyÓn
®éng chÊt ®iÓm. Tõ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ta x¸c ®Þnh ®−îc lùc t¸c dông lªn tõng
chÊt ®iÓm. §iÒu c¬ b¶n cña bµi to¸n lµ x¸c ®Þnh gia tèc cña chÊt ®iÓm ®iÒu nµy
®· ®−îc gi¶i quyÕt trong ®éng häc.
§èi víi bµi to¸n thø hai, ta thay lùc vµo vÕ ph¶i cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n
sau ®ã tÝch ph©n ph−¬ng tr×nh vi ph©n t×m ®−îc. §Ó t×m d¹ng chuyÓn ®éng cô thÓ
ta x¸c ®Þnh h»ng sè tÝch ph©n c¨n cø vµo c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña chuyÓn ®éng.
NÕu ph−¬ng tr×nh vi ph©n viÕt d−íi d¹ng to¹ ®é §Ò c¸c sau khi lÊy tÝch ph©n hai
-141-
lÇn sÏ xuÊt hiÖn 6 h»ng sè tÝch ph©n, nghÜa lµ c¸c nghiªm x, y, z thu ®−îc lµ c¸c
hµm cña thêi gian vµ 6 h»ng sè tÝch ph©n ®ã :
x=f1(t,C1,C2....C6)
y= f2(t,C1,C2....C6)
z= f3(t,C1,C2....C6)
C¸c h»ng sè tÝch ph©n trªn ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu ;
Khi t=0 x=x0 ; y=y0; z=z0 ;
x = x 0 ; y = y0 ; z = z0
& & & & & &
ThÝ dô 11-1:
ChÊt ®iÓm cã khèi l−îng m chuyÓn ®éng theo ®−êng enlip x=acoskt vµ
y=bsinkt h·y t×m lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm (h×nh 11-2).
Bµi gi¶i :
y
b v M
Bµi to¸n nµy thuéc bµi to¸n c¬ b¶n thø
F x
nhÊt. C¨n cø vµo ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng O r a
x=acoskt
y=bsinkt
H×nh 11.2
X¸c ®Þnh ®−îc :
&& = ak 2 cos kt = − k 2 x ;
x
&& = bk 2 sin kt = − k 2 y ;
y
Ta cã ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng nh− sau :
&&m = Fx = − mk 2 x
x
&&m = Fy = −mk 2 y
y
Lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm sÏ lµ F víi :
F = Fx2 + Fy2 = mk 2 x 2 + y 2 = mk 2 r
-142-
r
C¸c gãc chØ ph−¬ng cña F lµ :
Fx − x
cos(F, x ) = =
F r
Fy −y
cos( F, y) = =
F r
MÆt kh¸c ta còng cã :
x
cos(r, x ) =
r
y
cos(r, y) =
r
r
DÔ dµng nhËn thÊy F cïng ph−¬ng nh−ng ng−îc chiÒu víi vÐc t¬ ®Þnh vÞ
r
r cña chÊt ®iÓm.
r r
Ta cã : F = −mkr .
ThÝ dô 11-2 : §Ó ph©n lo¹i h¹t ng−êi ta cho h¹t ®i qua mét sµng dao ®éng
ngang cã nhiÒu lç. BiÕt r»ng vËn tèc cña h¹t khi b¾t ®Çu chuyÓn ®éng qua lç
r
v 0 (h×nh 11-3). H¹t cã h×nh d¹ng cÇu, b¸n kÝnh R. Bá qua lùc c¶n cña kh«ng khÝ
x¸c ®Þnh ®é dµi bÐ nhÊt b cña lç ®Ó h¹t cã thÓ r¬i qua lç ®−îc.
-143-
Bµi gi¶i:
→ R
vo y
§Ó h¹t r¬i qua lç sµng träng
t©m cña h¹t t¹i vÞ trÝ bÊt ®Çu ch¹m
mÐp bªn kia cña lç ph¶i n»m d−íi b
x
mÆt ph¼ng ngang cña sµng. §Ó gi¶i H×nh
quyÕt ®−îc ®iÒu kiÖn ®ã ta x¸c
®Þnh qu·ng ®−êng h¹t ®i ®−îc theo ph−¬ng ngang (ph−¬ng ox) khi t©m h¹t r¬i
xuèng ®−îc mét ®o¹n x=R. Lùc t¸c dông lªn h¹t coi nh− ®· biÕt ®ã lµ träng
l−îng b¶n th©n cña nã. Bµi to¸n ë ®©y thuéc lo¹i bµi to¸n c¬ b¶n thø hai.
Chän hÖ to¹ ®é oxy g¾n víi sµng (h×nh 11-3) coi sµng ®øng yªn cßn h¹t
chuyÓn ®éng so víi sµng. Lùc t¸c dông lªn h¹t cã :
Fy = 0 Fx = +mg.
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña h¹t viÕt ®−îc :
m&& = mg ;
x hay && = g ;
x
m&& = 0 ;
y hay && = 0 ;
y
TÝch ph©n hai vÕ ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc :
gt 2
x = gt + C
& x= + C1 t + C 2
2
y = C3
& y = C3 t + C 4
§Ó x¸c ®Þnh h»ng sè tÝch ph©n ta dùa vµo ®iÒu kiÖn ®Çu ®· cho cña chuyÓn
®éng.
Khi t = 0 x = x 0 suy ra C1=0
& &
x=x0 suy ra C4=0.
Thay vµo nghiÖm ®· t×m ®−îc ta cã :
gt 2
x= y = v0 t
2
-144-
Ph−¬ng tr×nh quü ®¹o thu ®−îc :
2x
y = v0
g
2R
Khi x=R th× y = b − R = v 0
g
2R
Suy ra b = R + v 0
g
§Ó h¹t ch¾c ch¾n r¬i qua lç ta ph¶i cã :
2R
b ≥ R + v0
g
ThÝ dô 11.3 :
Mét chÊt ®iÓm cã khèi l−îng m chuyÓn ®éng trong mÆt ph¼ng ngang d−íi
r r r
t¸c dông cña lùc hót vÒ t©m O lµ F = −k 2 mr . ë ®©y r lµ vÐc t¬ ®Þnh vÞ cßn k lµ
hÖ sè tû lÖ. H·y t×m ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng vµ quü ®¹o cña chÊt ®iÓm. Cho
biÕt t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu t0 = 0 , x0 = 1 , y0 = 0 , x = 0 , y = v 0 (h×nh 11-4)
& &
Bµi gi¶i:
Bµi to¸n nµy thuéc bµi to¸n c¬ b¶n thø hai. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn
®éng cña chÊt ®iÓm viÕt d−íi d¹ng vÐc t¬ :
r r
mW = − k 2 m r
chä hÖ to¹ ®é oxy nh− h×nh vÏ ta cã thÓ thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n d−íi
d¹ng to¹ ®é §Ò c¸c nh− sau :
y M
m&& = −k mx
x 2
y
F l x
m&& = − k 2 my
y
O x
Khö khèi l−îng m ë hai vÕ
ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc :
H×nh 11.4
-145-
&& = − k 2 x = 0
x
&& = − k 2 y = 0
y
NghiÖm tæng qu¸t cña hai ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:
x=c1coskt + c2sinkt
y=c3coskt + c4sinkt
C¸c h»ng sè tÝch ph©n c1, c2, c3, c4 ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ®Çu cña
chuyÓn ®éng.
Ki t =t0 = 0 cã :
x = x0 = l = C1; x = 0 = kC 2
&
y = y0 = 0 = C3; y = v 0 = kC 4
&
Suy ra :
C1 = 1; C2 = 0; C3 = 0; vµ C4 = v0/k
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng chÊt ®iÓm ®−îc viÕt :
x=lcoskt; y = (v0sinkt)/k
Khö t trong ph−¬ng tr×nh trªn sÏ t×m ®−îc ph−¬ng tr×nh quü ®¹o d¹ng
x2 y2
+ 2 =1
l2 v0 / k 2
§©y lµ ph−¬ng tr×nh ®−êng enlip nhËn c¸c trôc ox, oy lµ trôc
ThÝ dô 11-4: Con l¾c to¸n häc gåm chÊt ®iÓm M cã khèi l−îng m treo vµo
®Çu sîi d©y kh«ng d·n vµ kh«ng träng l−îng, chuyÓn ®éng trong mÆt ph¼ng
th¼ng ®øng. X¸c ®Þnh ph¶n lùc N cña d©y (h×nh
vÏ 11-5). Cho biÕt lóc ®Çu con l¾c ë vÞ trÝ M0 vµ
ϕo
cã vËn tèc v0 ϕ
Bµi gi¶i : Mo
→ →
h N vo
XÐt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm M. C¸c τ
M
→
P
H×nh 11.5
-146-
lùc t¸c dông lªn nã gåm P vµ N. Cã thÓ thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n viÕt d−íi
d¹ng täa ®é t− nhiªn nh− s¨u :
m&& = −P sin ϕ = −mg sin ϕ
s (a)
V2
m = − P cos ϕ + N = − mg cos ϕ + N (b)
ρ
Thay lϕ = s vµo ph−¬ng tr×nh (a)
g
Ta ®−îc : mlϕ = − mg sin ϕ
&& hay : ϕ + sin ϕ = 0
&&
l
XÐt dao ®éng lµ nhá lÊy sinϕ ≈ ϕ, ta cã
g
ϕ + k 2ϕ = 0
&& (c) Trong ®ã : k 2 =
l
NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh nµy lµ : ϕ = Asin(kt + ∝)
A, ∝ lµ h»ng sè ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ®iÒu kiÖn ®Çu cña chuyÓn ®éng .
§Ó t×m N c¨n cø vµo ph−¬ng tr×nh (b).
Ta cã :
mv 2
N= + mg cos ϕ
l
d 2 ϕ d ω dω d ϕ dω
2
§Ó tÝnh v ta chó ý : = = =ω
dt dt dϕ dt dϕ
Thay kÕt qu¶ trªn vµo ph−¬ng tr×nh ( c) ta cã :
g
ϕ + sin ϕ = 0 ta cã :
&&
l
dω g
ω = − sin ϕ
dt l
g
ωdω = − cos ϕ + c
l
-147-
H»ng c ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu. Gäi gãc ban ®Çu vµ vËn tèc
gãc ban ®Çu kµ ϕ0 vµ ω0 ta sÏ cã :
ω0 g
2 2
v0 g
c= − cos ϕ 0 = 2 − cos ϕ 0
2 l 2l l
Thay c vµo biÓu thøc (c) ta ®−îc :
2
2g v0 g
ω = cos ϕ + 2 − cos ϕ 0 ;
2
l l l
v 2 = l 2 ω2 = v 0 + 2gl(cos ϕ − cos ϕ 0
2
Cuèi cïng nhËn ®−îc :
2
v0
N = P( + 3 cos ϕ − 2 cos ϕ 0 )
gl
Nh− vËy ph¶n lùc N phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn ban ®Çu vµ vÞ trÝ cña ®iÓm M.
KÕt qu¶ nµy còng ®óng cho c¶ khi dao ®éng lµ kh«ng nhá.
