Các dạng bài tập phương trình lượng giác
Tài liệu ôn thi đại học môn toán. Các dạng cơ bản của phương trình lượng giác và các ví dụ thiết thực và bài tập.
BT Phương trình Lượng Giác
Các dạng bài tập lượng giác
Dạng 1 Phương trình bậc nhất và bậc hai , bậc cao với 1 hàm số lượng
giác
Đặt HSLG theo t với sinx , cosx có điều kiện t ≤ 1
Giải phương trình ……….theo t
Nhận t thoả mãn điều kiện giải Pt lượng giác cơ bản
Giải phương trình:
2cos2x- 4cosx=1
1/ 2/ 4sin3x+3 2 sin2x=8sinx
sinx ≥ 0
1-5sinx+2cosx=0
3/ 4cosx.cos2x +1=0 4/
cos x ≥ 0
5/ Cho 3sin x-3cos x+4sinx-cos2x+2=0 (1) và cos2x+3cosx(sin2x-8sinx)=0 (2).
3 2
1
Tìm n0 của (1) đồng thời là n0 của (2) ( nghiệm chung sinx= )
3
3 4
6/ sin3x+2cos2x-2=0 7/ a/ tanx+ -2 = 0 b/ +tanx=7
cot x cos 2 x
c* / sin6x+cos4x=cos2x
5π 7π
8/sin( 2 x + )-3cos( x − )=1+2sinx 9/ sin 2 x − 2sin x + 2 = 2sin x − 1
2 2
sin 2 2 x + 4 cos 4 2 x − 1
10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 12/ =0
2sin x cos x
13/ sin x + 1 + cos x = 0 14/ cos2x+3cosx+2=0
4sin 2 2 x + 6sin 4 x − 9 − 3cos 2 x
15/ =0 16/ 2cosx- sin x =1
cos x
Dạng 2: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx+bcosx=c
Cách 1: asinx+bcosx=c b
a b Cách : 2 a sin x + cos x = c
Đặt cosx= 2 ; sinx= a
a + b2 a 2 + b2 b
Đặ t = tan α ⇒ a [ sin x + cos x.tan α ] = c
⇒ a + b sin( x + α ) = c
2 2 a
c
⇔ sin( x + α ) = cos α
a
x 2t 1− t2
Cách 3: Đặt t = tan ta có sin x = ;cos x = ⇒ (b + c)t 2 − 2at − b + c = 0
2 1+ t 2
1+ t 2
Đăc biệt :
π π
1. sin x + 3 cos x = 2sin( x + ) = 2 cos( x − )
3 6
π π
2. sin x ± cos x = 2 sin( x ± ) = 2 cos( x m )
4 4
π π
3. sin x − 3 cos x = 2sin( x − ) = −2 cos( x + )
3 6
Điều kiện Pt có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2
Giải phương trỡnh
1/ 2sin15x+ 3 cos5x+sin5x=k với k=0 và k=4 với k=0
1 6
2/ a : 3 sin x + cos x = b: 4sin x + 3cos x + =6
cos x 4sin x + 3cos x + 1
1
Tạ Tuấn Anh
BT Phương trình Lượng Giác
1
c: 3 sin x + cos x = 3 +
3 sin x + cos x + 1
2π 6π
3/ cos 7 x − 3 sin 7 x + 2 = 0 *tìm nghiệm x ∈ ( ; )
5 7
1 + cos x + cos 2 x + cos 3x 2
4/( cos2x- 3 sin2x)- 3 sinx-cosx+4=0 5/ = (3 − 3 sin x)
2 cos 2 x + cos x − 1 3
cos x − 2sin x.cos x
6/ = 3
2 cos 2 x + sin x − 1
Dạng 3 Phương trỡnh đẳng cấp đối với sinx và cosx
Đẳng cấp bậc 2: asin2x+bsinx.cosx+c cos2x=0
Cách 1: Thử với cosx=0 Với cosx ≠ 0 .Chia 2 vế cho cos2x ta được:
atan2x+btanx +c=d(tan2x+1)
Cách2: áp dụng công thức hạ bậc
Đẳng cấp bậc 3: asin3x+b.cos3x+c(sinx+ cosx)=0 hoặc
asin3x+b.cos3x+csin2xcosx+dsinxcos2x=0
Xét cos3x=0 và cosx ≠ 0 Chia 2 vế cho cos2x ta được Pt bậc 3 đối với tanx
Giải phương trỡnh
1/a/ 3sin2x- 3 sinxcosx+2cos2x cosx=2 b/ 4 sin2x+3 3 sinxcosx-2cos2x=4
c/3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 d/ 2 sin2x+6sinxcosx+2(1+ 3 )cos2x-5- 3 =0
2/ sinx- 4sin3x+cosx=0 2 cách +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0
π
x = + kπ
4
+ sin3x- sinx+ cosx- sinx=0 ⇔ (cosx- sinx)(2sinxcosx+2sin2x+1)=0
2 2
3/ tanx sin x-2sin x=3(cos2x+sinxcosx)
4/ 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0 5/ 4cos3x+2sin3x-3sinx=0
3
6/ 2 cos x= sin3x 7/ cos3x- sin3x= cosx+ sinx
8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x 9/sin3(x- π /4)= 2 sinx
Dạng 4 Phương trình vế trái đối xứng đối với sinx và cosx
* a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x+cosx t ≤ 2
t 2 −1
⇒ at + b =c ⇔ bt2+2at-2c-b=0
2
* a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x- cosx t ≤ 2
1− t2
⇒ at + b =c ⇔ bt2 -2at+2c-b=0
2
Giải phương trỡnh
1 1 1
1/ a/1+tanx=2sinx + b/ sin x+cosx= -
cos x tan x cot x
3 3
2/ sin x+cos x=2sinxcosx+sin x+cosx 3/ 1- sin3x+cos3x= sin2x
4/ 2sinx+cotx=2 sin2x+1 5/ 2 sin2x(sin x+cosx)=2
6/ (1+sin x)(1+cosx)=2 7/ 2 (sin x+cosx)=tanx+cotx
2
Tạ Tuấn Anh
BT Phương trình Lượng Giác
3
8/1+sin3 2x+cos32 x= sin 4x 9/* a* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2
2
9/b*: cos4x+sin4x-2(1-sin2xcos2x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0
1 1 10
10/ sin x − cos x + 4sin 2 x = 1 11/ cosx+ +sinx+ =
cos x sin x 3
12/ sinxcosx+ sin x + cos x =1
Dang 5 Giải phương trình bằng phương pháp hạ bậc
Công thức hạ bậc 2 Công thức hạ bậc 3
1 + cos 2 x 1 − cos 2 x 3cos x + cos 3 x 3sin x − sin 3 x
cos2x= ; sin2x= cos3x= ; sin3x=
2 2 4 4
Giải phương trỡnh
1/ sin x+sin23x=cos22x+cos24x
2
2/ cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2
2 2 2
3/sin x+ sin 3x-3 cos 2x=0
π 5x 9x
4/ cos3x+ sin7x=2sin2( + )-2cos2
4 2 2
5/ sin 4 x+ sin 3x= cos 2x+ cos x với
2 2 2 2 x ∈ (0; π )
π
6/sin24x-cos26x=sin( 10,5π + 10x ) với x ∈ (0; ) 7/ cos4x-5sin4x=1
2
8/4sin3x-1=3- 3 cos3x 9/ sin22x+ sin24x= sin26x
10/ sin2x= cos22x+ cos23x 11/ (sin22x+cos42x-1): sin x cos x =0
π kπ π kπ
12/ 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3 x = 24 + 2 ; 8 +
2 13/ 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x
π x
14/ cos4xsinx- sin22x=4sin2( − )-7/2 với x − 1 BT Phương trình Lượng Giác
1 x x
11/ cos8x+sin8x= 12/ (sinx+3)sin4 -(sinx+3) sin2 +1=0
8 2 2
Dang 7 : Phương trình LG biến đổi về tích bằng 0
1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0
3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin x+2cosx-2+sin2 x=0
3
3
5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/ sin2x+ 2 cos2x+ 6 cosx=0
2
sin 3x sin 5 x
7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/ =
3 5
1 5
9/ 2cos2x-8cosx+7= 10/ cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+ cos2x
cos x 4
11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x
12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3
1 1
14/ 2sin3x- =2cos3x+ 15/cos3x+cos2x+2sinx-2=0
sin x cos x
1
16/cos2x-2cos3x+sinx=0 17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- )=0
cos x
1 − cos 2 x
18/sin2x=1+ 2 cosx+cos2x 19/1+cot2x=
sin 2 2 x
1
20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+ 21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0
sin 2x
22/ 1+tanx=sinx+cosx 23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx
π 1 1 2
24/ 2 2 sin( x + )= + 25/ 2tanx+cotx= 3 +
4 sin x cos x sin 2x
26/ cotx-tanx=cosx+sinx 27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8
Dang 8 : Phương trình LG phải thực hiện công thúc nhân đôi, hạ bậc
cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x-1=1-2sin2x 2t 1− t2 2t
sin2x=2sinxcosx sinx = ; cosx= tanx=
1+ t2 1+ t2 1− t2
2 tan x
tan2x=
1 − tan 2 x
Giải phương trỡnh
1
1/ sin3xcosx= + cos3xsinx 2/ cosxcos2xcos4xcos8x=1/16
4
3/tanx+2cot2x=sin2x 4/sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x
5/ sin4x=tanx 6/ sin2x+2tanx=3 7/ sin2x+cos2x+tanx=2
8/tanx+2cot2x=sin2x 9/ cotx=tanx+2cot2x
3
10/a* tan2x+sin2x= cotx b* (1+sinx)2= cosx
2
Dạng 9 : Phương trình LG phải thực hiện phép biến đổi tổng_tích và
tích_tổng
Giải phương trỡnh
1/ sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 2/cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0
sin 3 x − sin x
3/ = sin 2 x + cos 2 x tìm x ∈ ( 0; 2π ) 4/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0
1 − cos 2 x
3 ( cos 2 x + cot 2 x ) π π
5/ sin5x+ sinx+2sin2x=1 6/ = 4sin + x cos − x
cot 2 x − cos 2 x 4 4
7/ tanx+ tan2x= tan3x 8/ 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x
4
Tạ Tuấn Anh
BT Phương trình Lượng Giác
Dang 10 : Phương trình LG phải đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm B
Giải phương trỡnh
3π x 1 π 3 x x = 3π + k 2π ; 4π + k 2π ; 14π + k 2π π π π π
1/ sin( − )= sin( + ) 5 15 15
2/ sin( 3 x −
)=sin2x sin( x + ) x = 4 + k 2
10 2 2 10 2 4 4
3π x
3/(cos4x/3 – cos2x): 1 − tan 2 x =0 x = k 3π 4/ cosx-2sin( − )=3 x = k 4π
2 2
7π π kπ
)=sin(4x+3 π ) x = ± 6 + kπ ; 2
π π
5/ cos( 2 x −
6/3cot2x+2 2 sin2x=(2+3 2 )cosx x = ± 3 + k 2π ; ± 4 + k 2π
2
2 π 1 1
7/2cot2x+ +5tanx+5cotx+4=0 x=− + kπ 8/ cos2x+ 2 =cosx+ x = kπ
4
cos 2 x cos x cos x
1 1 π π 7π 1 + sin 2 x 1 + tan x x = { kπ ; α + kπ } , tan α = 2
9/sinx- cos2x+ +2 2 =5 x = 2 + k 2π ; − 6 + k 2π ; 6 + k 2π 11/ +2 =3
sin x sin x
1 − sin 2 x 1 − tan x
Dang 11 : Phương trình LG phải thực hiện các phép biến đổi phức tạp
Giải phương trỡnh
1/ 3 + 4 6 − (16 3 − 8 2) cos x = 4 cos x − 3 x=±
π
4
+ k 2π
π
2/cos
4
(
)
3 x − 9 x 2 − 16 x − 80 =1 tìm n0 x ∈ Z x = { −21; −3}
π π
3/ 5cos x − cos 2 x +2sinx=0 x = − 6 + k 2π 4/3cotx- tanx(3-8cos2x)=0 x=±
3
+ kπ
2 ( sin x + tan x ) 2π π
5/ − 2 cos x = 2 x = ± 3 + k 2π 6/sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx= 2sin 2x x=
4
+ k 2π
tan x − sin x
kπ π k
7/tan2xtan23 xtan24x= tan2x-tan23 x+tan4x x=
4 8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x x = 3 π + k 2π
5 −1
9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x) x = kπ 10/ sin x + sin x = 1 − sin 2 x − cos x x = kπ ;sin x =
2
π π
11/cos2
4
( )
4
sin x + 2 cos 2 x -1=tan2 x + tan 2 x
π
x = − + k 2π
4
x π x π x 2π 3x π 5π 5π 5π
12/ 2 cos − − 6 sin − = 2sin − − 2 sin + x = −
12
+ k 5π ; −
3
+ k 5π ;
4
+ k 5π
5 12 5 12 5 3 5 6
Dang 12 : Phương trình LG không mẫu mực, đánh giá 2 vế ,tổng 2 lượng
không âm,vẽ 2 đồ thị bằng đạo hàm
Giải phương trỡnh
π
1/ cos3x+ 2 − cos 2 3x =2(1+sin22x) x = kπ 2/ 2cosx+ 2 sin10x=3 2 +2sinxcos28x x=
4
+ kπ
3/ cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 với x ∈ ( 0; π )
2π
4/ 8cos4xcos22x+ 1 − cos 3x +1=0 x = ±
3
+ k 2π
x2
6/ 5-4sin2x-8cos2x/2 =3k tìm k ∈ Z* để hệ có nghiệm
sin x
5/ π = cos x x= 0 7/ 1- =cosx
2
8/( cos2x-cos4x)2=6+2sin3x x=
π
2
+ kπ 9/ ( 1
2
)
1 − cos x + 1 + cos x cos 2 x = sin 4 x x=±
π
4
+ k 2π
5
Tạ Tuấn Anh
