Bất phương trình đại số
Cho phép tính giá trị cực biểu thức đối xứng của các nghiệm ( tức là biểu thức chứa x1, x2 và không thay đổi giá trị khi ta thay đổi vai trò x1, x2
Chuyeân ñeà 1: PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ
& BAÁT PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ
TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA
CAÙC HAÈNG ÑAÚNG THÖÙC CÔ BAÛN
1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a 2 + b 2 = (a + b) 2 − 2ab
2. (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 a 2 + b 2 = (a − b) 2 + 2ab
3. a2 − b2 = (a + b)(a − b)
4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a 3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b)
5. (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
6. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
7. a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
AÙp duïng:
Bieát x + y = S vaø xy = P . Haõy tính caùc bieåu thöùc sau theo S vaø P
a) A = x 2 + y 2 b) B = (x - y) 2 c) C = x 3 + y 3 d) D = x4 + y4
A. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ
I. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc nhaát:
⎧x : aån soá
1. Daïng : ax + b = 0 (1) ⎨
⎩a, b : tham soá
2. Giaûi vaø bieän luaän:
Ta coù : (1) ⇔ ax = -b (2)
Bieän luaän:
b
Neáu a ≠ 0 thì (2) ⇔ x = −
•
a
• Neáu a = 0 thì (2) trôû thaønh 0.x = -b
* Neáu b ≠ 0 thì phöông trình (1) voâ nghieäm
* Neáu b = 0 thì phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x
Toùm laïi :
b
• a ≠ 0 : phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát x = −
a
• a = 0 vaø b ≠ 0 : phöông trình (1) voâ nghieäm
• a = 0 vaø b = 0 : phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x
AÙp duïng:
1
Ví duï : Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình sau:
1) m 2 x + 2 = x + 2m
x−m x−2
2) =
x +1 x −1
3. Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình:
Ñònh lyù: Xeùt phöông trình ax + b = 0 (1) ta coù:
(1) coù nghieäm duy nhaát a ≠0
• ⇔
⎧a = 0
(1) voâ nghieäm
• ⇔ ⎨
⎩b ≠ 0
⎧a = 0
(1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x ⇔
• ⎨
⎩b = 0
AÙp duïng:
Ví duï :
1) Vôùi giaù trò naøo cuûa a, b thì phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi moïi x
a 4 − ( x + 1)a 2 + x − b = 0
2) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù nghieäm
2x + m x − 2m + 3
− 4 x −1 =
x −1 x −1
II.Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc hai:
⎧x : aån soá
1. Daïng: ax 2 + bx + c = 0 (1) ⎨
⎩a, b , c : tham soá
2. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình :
Xeùt hai tröôøng hôïp
Tröôøng hôïp 1: Neáu a = 0 thì (1) laø phöông trình baäc nhaát : bx + c = 0
c
b ≠ 0 : phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát x = −
•
b
• b = 0 vaø c ≠ 0 : phöông trình (1) voâ nghieäm
• b = 0 vaø c = 0 : phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x
Tröôøng hôïp 2: Neáu a ≠ 0 thì (1) laø phöông trình baäc hai coù
b
Bieät soá Δ = b 2 − 4 ac ( hoaëc Δ ' = b '2 − ac vôùi b' = )
2
Bieän luaän:
Neáu Δ < 0 thì pt (1) voâ nghieäm
b'
b
Neáu Δ = 0 thì pt (1) coù nghieäm soá keùp x1 = x2 = − ( x1 = x2 = − )
2a a
− b' ± Δ '
−b ± Δ
Neáu Δ > 0 thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1,2 = ( x1,2 = )
a
2a
AÙp duïng:
2
x 2 + 2x − 3
5 − 12 x
Ví duï 1: Giaûi caùc phöông trình sau: = −3
=x b)
a)
12 x − 8 ( x − 1) 2
Ví duï 2: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : x 2 − 2 x = m( x − 1) − 2
3. Ñieàu kieän veà nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai:
Ñònh lyù : Xeùt phöông trình : ax 2 + bx + c = 0 (1)
⎧a = 0
⎧a ≠ 0
⎪
Pt (1) voâ nghieäm ⇔ ⎨b = 0 hoaëc ⎨
⎩Δ < 0
⎪c ≠ 0
⎩
⎧a ≠ 0
Pt (1) coù nghieäm keùp ⇔⎨
⎩Δ = 0
⎧a ≠ 0
Pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät ⇔⎨
⎩Δ > 0
⎧a ≠ 0
Pt (1) coù hai nghieäm ⇔⎨
⎩Δ ≥ 0
⎧a = 0
⎪
Pt (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi x ⇔ ⎨b = 0
⎪c = 0
⎩
Ñaëc bieät
Neáu pt(1) coù heä soá a,c thoaû a.c < 0 thì pt(1) luoân coù hai nghieäm phaân bieät.
AÙp duïng:
Ví duï 1: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù hai nghieäm phaân bieät:
2x 2 − x + 1
= m−x
x −1
Ví duï 2: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù ba nghieäm phaân bieät:
( x + 1)( x 2 + 2mx + m + 2) = 0
4. Ñònh lyù VIEÙT ñoái vôùi phöông trình baäc hai:
Ñònh lyù thuaän: Neáu phöông trình baäc hai : ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) coù hai nghieäm x1, x2 thì
⎧ b
⎪S = x1 + x 2 = − a
⎪
⎨
⎪ P = x .x = c
⎪
⎩
12
a
Ñònh lyù ñaûo : Neáu coù hai soá α , β maø α + β = S vaø α .β = P ( S 2 ≥ 4 P) thì α , β laø nghieäm cuûa
phöông trình
x2 - Sx + P = 0
YÙ nghóa cuûa ñònh lyù VIEÙT:
3
Cho pheùp tính giaù trò caùc bieåu thöùc ñoái xöùng cuûa caùc nghieäm ( töùc laø bieåu thöùc chöùa x1, x2 vaø khoâng
x 2 + x2 2
1 1
thay ñoåi giaù trò khi ta thay ñoåi vai troø x1,x2 cho nhau .Ví duï: A = 1 + 2 + 2 ) maø khoâng
x1 x 2 x1 x 2
caàn giaûi pt tìm x1, x2 , tìm hai soá khi bieát toång vaø tích cuûa chuùng ….
Chuù yù:
c
Neáu pt (1) coù caùc heä soá thoaû maõn a+b+c=0 thì pt (1) coù hai nghieäm laø x1 = 1 vaø x 2 =
a
c
Neáu pt (1) coù caùc heä soá thoaû maõn a-b+c=0 thì pt (1) coù hai nghieäm laø x1 = −1 vaø x 2 = −
a
AÙp duïng:
Ví duï 1 : Cho phöông trình: x 2 − 2 x + m − 1 = 0 (1)
Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa maõn x12 + x 2 = 4
2
Ví duï 2: Cho phöông trình: x 2 − 2mx + 3m − 2 = 0 (1)
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa maõn 5 x1 + 3x2 = 4
Ví duï 3: Cho phöông trình: (3m − 1)x 2 + 2(m + 1)x − m + 2 = 0 (1)
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa maõn x1 − x 2 = 2
5. Daáu nghieäm soá cuûa phöông trình baäc hai:
Döïa vaøo ñònh lyù Vieùt ta coù theå suy ra ñònh lyù sau:
Ñònh lyù: Xeùt phöông trình baäc hai : ax 2 + bx + c = 0 (1) ( a ≠ 0)
⎧Δ > 0
⎪
⎨P > 0
Pt (1) coù hai nghieäm döông phaân bieät ⇔
⎪S > 0
⎩
⎧Δ > 0
⎪
⎨P > 0
Pt (1) coù hai nghieäm aâm phaân bieät ⇔
⎪S < 0
⎩
P 89x 2 − 25
Ví du 1ï: Giaûi phöông trình : 32x 3 = vôùi x > 0; x ≠ 1
2x
Ví duï 2: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù 4 nghieäm phaân bieät: x 4 − 2 x 2 − 3 = m
III . Phöông trình baäc ba:
1. Daïng: (a ≠ 0)
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1)
2 .Caùch giaûi: AÙp duïng khi bieát ñöôïc moät nghieäm cuûa phöông trình (1)
Böôùc 1: Nhaåm moät nghieäm cuûa phöông trình (1). Giaû söû nghieäm laø x = x0
Böôùc 2: Söû duïng pheùp CHIA ÑA THÖÙC hoaëc sô ñoà HOOÙCNE ñeå phaân tích veá traùi thaønh nhaân
töû vaø ñöa pt (1) veà daïng tích soá :
(1) ⇔ (x-x0)(Ax2+Bx+C) = 0
⎡ x = x0
⇔⎢2
⎣ Ax + Bx + C = 0 (2)
Böôùc 3: Giaûi phöông trình (2) tìm caùc nghieäm coøn laïi ( neáu coù).
AÙp duïng:
Ví duï 1: Giaûi caùc phöông trình sau:
a) 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4 = 0 b) x 3 + x 2 − x + 2 = 4 x − 1
Ví duï 2: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù ba nghieäm phaân bieät
x 3 − 3 x 2 + 2 = mx + m − 2
Chuù yù
Ta coù theå aùp duïng phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû baèng kyû thuaät söû duïng sô ñoà HOOÙCNE,
ñeå giaûi caùc phöông trình ña thöùc baäc cao (vôùi ñieàu kieän nhaåm ñöôïc moät nghieäm cuûa ña thöùc)
Ví duï: Giaûi phöông trình: x 4 − 5 x 3 + x 2 + 21x − 18 = 0
IV. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC BOÁN QUY VEÀ BAÄC HAI BAÈNG PHEÙP ÑAËT AÅN PHUÏ
1.Daïng I: ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0)
Ñaët aån phuï : t = x2
2. Daïng II. ( k ≠ 0 ) trong ñoù a+b = c+d
( x + a)( x + b)( x + c)( x + d ) = k
Ñaët aån phuï : t = (x+a)(x+b)
3.Daïng III: ( x + a) 4 + ( x + b) 4 = k (k ≠ 0)
5
a+b
Ñaët aån phuï : t = x +
2
4.Daïng IV: ax 4 + bx 3 + cx 2 ± bx + a = 0
Chia hai veá phöông trình cho x2
1
Ñaët aån phuï : t = x ±
x
B. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ
6
I. Baát phöông trình baäc nhaát:
≥, 0 (1)
2. Giaûi vaø bieän luaän:
Ta coù : (1) ⇔ ax > −b (2)
Bieän luaän:
b
Neáu a > 0 thì
• ( 2) ⇔ x > −
a
b
Neáu a < 0 thì (2) ⇔ x < −
•
a
Neáu a = 0 thì (2) trôû thaønh : 0.x > −b
•
* b ≤ 0 thì bpt voâ nghieäm
* b > 0 thì bpt nghieäm ñuùng vôùi moïi x
AÙp duïng:
Ví duï1: Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình : mx + 1 > x + m 2
⎧2 x + 9 ≥ 0
⎪
Ví duï 2: Giaûi heä baát phöông trình sau: ⎨4 − x ≥ 0
⎪3x + 1 ≥ 0
⎩
⎧2 x − 1 ≤ x + 4
Ví duï 3: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä phöông trình sau coù nghieäm: ⎨
⎩−5x + 2m − 1 < x + m
II. Daáu cuûa nhò thöùc baäc nhaát:
1. Daïng: f ( x ) = ax + b (a ≠ 0)
2. Baûng xeùt daáu cuûa nhò thöùc:
x b
+∞
−
−∞
a
ax+b Traùi daáu vôùi a Cuøng daáu vôùi a
0
AÙp duïng:
x+7
Ví duï : Xeùt daáu caùc bieåu thöùc sau: A = ( x − 3)( x + 1)( 2 − 3 x ) B=
( x − 2)(2 x − 1)
III. Daáu cuûa tam thöùc baäc hai:
f ( x) = ax 2 + bx + c
1. Daïng: (a ≠ 0)
2. Baûng xeùt daáu cuûa tam thöùc baäc hai:
−∞ +∞
x
7
f(x) Cuøng daáu a
Δ3. Ñieàu kieän khoâng ñoåi daáu cuûa tam thöùc:
Ñònh lyù: Cho tam thöùc baäc hai: f ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)
⎧Δ < 0
f ( x) > 0 ∀x ∈ R ⇔ ⎨
•
⎩a > 0
⎧Δ < 0
f ( x) < 0 ∀x ∈ R ⇔ ⎨
•
⎩a < 0
⎧Δ ≤ 0
f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔ ⎨
•
⎩a > 0
⎧Δ ≤ 0
f ( x) ≤ 0 ∀x ∈ R ⇔ ⎨
•
⎩a < 0
AÙp duïng:
Ví duï1 : Cho tam thöùc f ( x) = (m − 1) x 2 − 2(m + 1) x + 3(m − 2)
Tìm m ñeå f ( x ) > 0 ∀x ∈ R
2x 2 − x + 3a
Ví duï 2: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì −2 ≤ ≤ 3 thoûa vôùi moïi x ∈
x2 + x + 4
IV. Baát phöông trình baäc hai:
≥, 0 ( hoaëc
2. Caùch giaûi: Xeùt daáu tam thöùc baäc hai ôû veá traùi roài choïn nghieäm thích hôïp.
AÙp duïng:
⎧3x − 11 > 0 ⎧3 x 2 − 7 x + 2 > 0
⎪
Ví duï1 : Giaûi caùc heä baát phöông trình: a) ⎨ b) ⎨
⎩− 11x + 10 x + 1 > 0 ⎪− 2 x 2 + x + 3 > 0
2
⎩
x + 5 2x − 1
Ví duï 2 : Giaûi baát phöông trình: >2
+
2x − 1 x + 5
8
Ví duï 3: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù hai nghieäm phaân bieät:
x 2 − (2m + 3) x + 2(m + 3) = 0
2x − 3
Ví duï 4: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá: y = 2x 2 + x − 6 +
2
x − 5x + 4
Ví duï 5: Chöùng minh raèng phöông trình sau voâ nghieäm: x 2 + 2y 2 − 3x + 5y + 8 = 0
Ví duï 6: Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: 3x 2 + 4y 2 = 9 + 6x + 4y
V. So saùnh moät soá α vôùi caùc nghieäm cuûa tam thöùc baäc hai f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )
Ñònh lyù:
⎡ Tam thöùc coù hai nghieäm x1 , x 2 thoûa ⎤
[ a.f(α) < 0 ]
⇔
⎢ ⎥
x1 < α < x 2
⎣ ⎦
⎡⎧ ⎤
⎢ ⎪Δ > 0 ⎥
⎡ Tam thöùc coù hai nghieäm x1 , x 2 thoûa ⎤ ⎢⎪ ⎥
⎢ ⎨a.f(α ) > 0 ⎥
⇔
⎢ ⎥
x1 < x 2 < α
⎣ ⎦ ⎢⎪ S ⎥
⎢⎪ − α < 0 ⎥
⎣⎩ 2 ⎦
⎡⎧ ⎤
⎢ ⎪Δ > 0 ⎥
⎡ Tam thöùc coù hai nghieäm x1 , x 2 thoûa ⎤ ⎢⎪ ⎥
⎢ ⎨a.f(α ) > 0 ⎥
⇔
⎢ ⎥
α < x1 < x 2
⎣ ⎦ ⎢⎪ S ⎥
⎢⎪ − α > 0 ⎥
⎣⎩ 2 ⎦
⎡ Tam thöùc coù hai nghieäm x1 , x 2 thoûa ⎤
⎢ ⎥
[f (α ).f (β) < 0]
⎢ moät nghieäm thuoäc khoaûng (α;β) vaø ⇔
⎥
⎢ nghieäm coøn laïi naèm ngoaøi ñoaïn [α;β] ⎥
⎣ ⎦
AÙp duïng:
Ví duï 1: Cho phöông trình: x 2 − 2mx + 3m − 2 = 0 (1)
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm x1, x2 thoûa maõn 1 < x1 < x2
Ví duï 2: Xaùc ñònh m ñeå phöông trình : x 2 − (m + 5) x + 4 − 5m = 0 coù nghieäm x ∈ [1;4]
Ví duï 3 : Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì mx 2 − 4x + 3m + 1 > 0 vôùi moïi x ∈ (0; + ∞)
Ví duï 4 : Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì 2x 2 + mx + 3 > 0 vôùi moïi x ∈ [ −1;1]
BAØI TAÄP REØN LUYEÄN:
x − 2x + 4
2
Baøi 1: Cho phöông trình: = mx + 2 − 2m (1)
x−2
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät (m>1)
9
Baøi 2: Cho phöông trình: x 2 − ( m + 1) x + 3m − 5 = 0 (1)
5
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm döông phaân bieät ( < m < 3∨ m > 7 )
3
mx 2 + x + m
Baøi 3: Cho phöông trình: (1)
=0
x −1
1
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù hai nghieäm döông phaân bieät (− < m 1 ∧ m ≠ 2)
Baøi 5: Cho phöông trình: ( x − 1)( x 2 + mx + m) = 0 (1)
1
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 3 nghieäm phaân bieät (m < 0 ∨ m > 4 ∧ m ≠ − )
2
Baøi 6: Cho phöông trình: − x 3 + 3x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 (1)
Tìm k ñeå phöông trình (1) coù 3 nghieäm phaân bieät ( −1 < k < 3 ∧ k ≠ 0;2)
Baøi 7: Cho phöông trình : mx 2 + (m − 1) x + 3(m − 1) = 0 (1)
1
1 17
Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa (m = )
+ 2=
2
2
x1 x 2 9
Baøi 8: Cho phöông trình : 2 x 2 + 2(m + 1) x + m 2 + 4m + 3 = 0 (1)
9
Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì pt (1) coù hai nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa x1 x 2 − 2( x1 + x 2 ) =
2
(m = −4)
Baøi 9: Cho phöông trình: mx + x + m − 1 = 0 (1)
2
1 1
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa maõn − >1
x1 x2
6
(0 < m < ∧ m ≠ 1)
5
3
Baøi 10: Cho phöông trình: − x + 3 + = 2 x + m (1)
x −1
Tìm m ñeå pt (1) hai nghieäm phaân bieät x1, x2 sao cho bieåu thöùc d = ( x1 − x 2 ) 2 ñaït GTNN (m = 0)
x2 − x −1
Baøi 11: Cho phöông trình: (1)
= mx − 1
x +1
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù hai nghieäm phaân bieät nhoû hôn -1 (m ∈ ∅)
1 2
Baøi 12: Cho phöông trình: x 3 − mx 2 − x + m + = 0 (1)
3 3
Tìm m ñeå phöông trình (1) coù ba nghieämphaân bieät x1, x2, x3 thoûa maõn x1 + x2 + x3 > 15
2 2 2
( m < −1 ∨ m > 1)
--------------------Heát--------------------
10
