Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
Bài 1) ĐHCĐ 2002 K.A
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho hai ñöôøng thaúng:
x = 1+ t
x − 2 y + z = 0
∈1 : x + 2 y − 2 z + 4 = 0 vaø ∈2 : y = 2 + t
z = 1 + 2t
a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng ∈1 vaø song song vôùi ñöôøng thaèng ∈2
b) cho ñieåm M(2 ; 1,4). Tìm toïa ñoä ñieåm H thuoäc ñöôøng thaúng ∈2 sao cho ñoaïn thaúng MH coù ñoä daøi nhoû
nhaát.
Bài 2) ĐHCĐ 2002 K.B
1
1.Trong maët phaúng toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxy cho hình chöõ nhaät ABCD coù taâm ;0 , phöông trình
2
ñöôøng thaúng AB laø x – 2y + 2 = 0 vaø AB = 2AD. Tìm toïa ñoä caùc ñænh A,B,C,D bieát raèng A coù hoaønh ñoä
aâm.
2.Cho hình laäp phöông ABCDA1B1C1D1 coù caïnh baèng a.
a) Tính theo a khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A1B vaø B1D.
b) Goïi M,N,P laàn löôït laø caùc trung ñieåm cuûa caùc caïn h BB1, CD, A1D1. Tính goùc giöõa hai ñöôøng thaúng
MP, C1N.
Bài 3) ĐHCĐ 2002 K.D
1.Cho hình töù dieän ABCD coù caïnh AD vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) ; AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC
= 5cm. Tính khoaûng caùch töø ñieåm A tôùi maët phaúng (BCD).
2.Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng (P) : 2x – y + 2 = 0
(2m + 1) x + (1 − m) y + m − 1 = 0
Vaø ñöôøng thaúng dm : ( m laø tham soá ).
mx + (2m + 1) z + 4m + 2 = 0
Xaùc ñònh m ñeå ñöôøng thaúng dm song song vôùi maët phaúng (P).
Bài 4) ĐHCĐ 2003 K.A
1) Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’. Tính soá ño cuûa goùc phaúng nhò dieän [B,A’C,D].
2) Trong khoâng gian vôùi heä truïc toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho hình hoäp chöõ nhaät
ABCD.A’B’C’D’ coù A truønh vôùi goác cuûa heä toïa ñoä, B(a; 0; 0) , D(0; a; 0), A’(0; 0; b) (a>0, b>0).
Goïi M laø trung ñieåm caïnh CC’.
a) tính theå tích khoái töù dieän BDA’M theo a vaø b.
a
b) Xaùc ñònh tyû soá ñeå hai maët phaúng (A’BD) vaø (MBD) vuoâng goùc vôùi nhau.
b
Bài 5) ĐHCĐ 2003 K.B
1) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho tam giaùc ABC coù AB = AC ,
2
BAD = 900. Bieát M(1; -1) laø trung ñieåm caïnh BC vaø G ;0 laø troïng taâm tam giaùc ABC. Tìm toïa
3
ñoä caùc ñænh A, B, C.
2) Cho hình laêng truï ñöùng ABCD.A’B’C’D’ coù ñaùy ABCD laø moät hình thoi caïnh a, goùc BAD = 600. Goïi
M laø trung ñieåm caïnh AA’ vaø N laø trung ñieåm caïnh CC’. Chöùng minh raèng boán ñieåm B’, M, D, N
cuøng thuoäc moät maët phaúng. Haõy tính ñoä daøi canh AA’ theo a ñeå töù giaùc B’MDN laø hình vuoâng.
-1-
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
3) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho hai ñieåm A(2; 0; 0), B(0;0;8) vaø ñieåm C
uuur
sao cho AC =(0; 6; 0). Tính khoaûng caùch töø trung ñieåm I cuûa BC ñeán ñöôøng thaúng OA.
Bài 6) ĐHCĐ 2003 K.D
1) Trong maët phaúng toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho ñöôøng troøn
(C) : (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 vaø ñöôøng thaúng d : x – y – 1 = 0
Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C’) ñoái xöùng vôùi ñöôøng troøn (C) qua ñöôøng thaúng d.
Tìm toïa ñoä caùc giao ñieåm cuûa (C) vaø (C’).
2) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho ñöôøng thaúng :
x + 3ky − z + 2 = 0
dk : tìm k ñeå ñöôøng thaúng dk vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) : x – y – 2z +5 = 0.
kx − y + z + 1 = 0
3) Cho hai maët phaúng (P) vaø (Q) vuoâng goùc vôùi nhau, coù giao tuyeán laø ñöôøng thaúng ♠. Treân ♠
laáy
hai ñieåm A, B vôùi AB = a . trong maët phaúng (P) ñieåm C , trong maët phaúng (Q) laáy ñieåm D sao cho
AC, BD vuoâng goùc vôùi ♠ vaø AC = BD = AB. Tính baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD vaø
tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (BCD) theo a.
Bài 7) ĐHCĐ 2004 K.A
1) Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho hai ñieåm A (0; 2) vaø B( − 3 ; −1 ). Tìm toïa ñoä tröïc taâm vaø toïa ñoä
taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa tam giaùc OAB.
2) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac Oxyz cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi, AC
caét BD taïo goác toïa ñoä O. Bieát A(2; 0; 0), B (0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Goïi M laø trung ñieåm caïnh SC.
a) Tính goùc vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôûng thaúng SA, BM.
b) Giaû söû maët phaúng (ABM) caét ñöôøng thaúng SD taïi ñieåm N. Tính theå tích khoái hình choùp A.ABMN
Bài 8) ĐHCĐ 2004 K.B
1) trong maët phaúng toaï ñoä Oxy cho hai ñieåm A(1; 1), B(4; -3). Tìm ñieåm C thuoäc ñöôøng thaèng x – 2y – 1
= 0 sao cho khoaûng caùch töø C ñeán AB baèng 6.
2) Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy baèng a, goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy baèng ϕ (00 <
ϕ < 900). Tính tang cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (SAB) vaø (ABCD) theo ϕ . Tính theå tích khoái choùp
S.ABCD theo a vaø ϕ .
x = −3 + 2t
3) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho ñieåm A(-4; -2; 4) vaø ñöôøng thaúng d : y = 1 − t Vieát
z = −1 + 4t
phöông trình ñöôøng thaúng ♠ ñi qua ñieåm A, caét vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d.
Bài 9) ĐHCĐ 2004 K.D
1) trong maët phaúng vôùi heä toaï ñoä Oxy cho tam giaùc ABC coù caùc ñænh A(-1; 0); B (4; 0); C(0;m) vôùi m
≠ 0. tìm toaï ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC theo m. xaùc ñònh m ñeå tam giaùc GAB vuoâng taïi G.
2) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho hình laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1. Bieát A(a; 0; 0), B(-a; 0;
0), C(0; 1; 0), B1(-a; 0; b), a > 0, b > 0.
a) Tình khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 theo a, b.
b) Cho a, b thay ñoåi nhöng luoân thoaû maõn a + b = 4. Tìm a,b ñeå khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng B1C
vaø AC1 lôùn nhaát.
3) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho ba ñieåm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) vaø maët phaúng (P) : x
+ y + z – 2 = 0. Vieát phöông trình maët caàu ñi qua ba ñieåm A, B, C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P).
-2-
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
Bài 10) ĐHCĐ 2005 K.A
1) trong maët phaúng vôùi heä toaï ñoä Oxy cho 2 ñöôøng thaúng
d1 : x – y = 0 vaø d2 : 2x + y – 1 = 0
tìm toaï ñoä caùc ñænh hình vuoâng ABCD bieát raèng ñæng A thuoäc d1 , C thuoäc d2 vaø caùc ñænh B, D thuoäc
truïc hoaønh.
x −1 y + 3 z − 3
2) Trong khoâng gian vôùi heä truïc Oxyz cho ñöôøng thaúng d : = = vaø maët phaúng (P) : 2x +
−1 2 1
y – 2z + 9 = 0.
a) tìm toaï ñoä ñieåm I sao cho khoaûng caùnh töø I ñeán maët phaúng (P) baèng 2.
b) Tìm toïa ñoä giao ñieåm A cuûa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P). Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng
thaúng ♠ naèm trong maët phaúng (P), bieát ♠ ñi qua A vaø vuoâng goùc goùc vôùi d.
Bài 11) ĐHCĐ 2005 B
1) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñieåm A(2;0) vaø B(6;4). Vieát phöông trình ñöôøng troøn
(C) tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh taïi ñieåm A vaø khoaûng caùch töø taâm cuûa (C) ñeán ñieåm B baèng 5.
2) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hình laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1 vôùi A(0;-3;0), B(4;0;0),
C(0;3;0), B1(4;0;4).
a) Tìm toïa ñoä caùc ñænh A1, C1. Vieát phöông trình maët caàu coù taâm laø A vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng
(BCC1B1).
b) Goïi M laø trung ñieåm cuûa A1B1. Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua hai ñieåm A, M vaø song song
vôùi BC. Maët phaúng (P) caét ñöôøng thaúng A1C1 taïi ñieåm N. Tính ñoä daøi MN.
Bài 12) ĐHCĐ 2005 D
x2 y 2
1) Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho ñieåm C(2;0) vaø elíp (E) : + = 1 . Tìm toïa ñoä caùc ñieåm A, B
4 4
thuoäc (E), bieát raèng hai ñieåm A,B ñoái xöùng vôùi nhau qua truïc hoaønh vaø tam giaùc ABC laø tam giaù
ñeàu.
2) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñöôøng thaúng
x −1 y + 2 z +1 x + y − z − 2 = 0
d1 : = = vaø d2 :
3 −1 2 x + 3 y − 12 = 0
a) chöùng minh raèng d1 , d2 song song vôùi nhau. Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa caû hai
ñöôøng thaúng d1 vaø d2.
b) Maët phaúng toïa ñoä Oxz caét hai ñöôøng thaúng d1, d2 laàn löôït taïi caùc ñieåm A,B. Tính dieän tích
tam giaùc OAB ( O laø goác toïa ñoä).
Bài 13) ĐHCĐ 2006 A
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ vôùi A(0;0;0), B(1;0;0),
D(0;1;0) , A’(0;0;1). Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD.
1. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A’C vaø MN.
1
2. Vieát phöông trìng maët phaúng A’C vaø taïo vôùi maët phaúng Oxy moät goùc α bieát cos α = .
6
Bài 14) ĐHCĐ 2006 A
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(0;1;2) vaø hai ñöôøng thaúng :
x = 1+ t
x y −1 z + 1
d1 : = = , d2 : y = −1 − 2t
2 1 −1 z = 2 + t
-3-
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
1) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (P) qua A, ñoàng thôøi song song vôùi d1 vaø d2.
2) Tìm toïa ñoä caùc ñieåm M thuoäc d1, N thuoäc d2 sao cho ba ñieåm A, M, N thaúng haøng.
Bài 15) ĐHCĐ 2006 D
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(1;2;3) vaø hai ñöôøng thaúng:
x−2 y + 2 z −3 x −1 y −1 z + 1
d1 : = = , d2 : = =
2 −1 1 −1 2 1
1) Tìm toïa ñoä ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua ñöôøng thaúng d1.
2) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ♠ ñi qua A, vuoâng goùc vôùi d1 vaø caét d2.
Bài 16) ĐHCĐ 2007 A
Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oyxz, cho hai ñöôøng thaúng
x = −1 + 2t
x y −1 z + 2
d1: = = vaø d2: y = 1 + t
2 −1 1 z = 3
1. Chöùng minh raèng d1 vaø d2 cheùo nhau.
2. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P): 7x + y – 4z = 0 vaø caét hai ñöôøng
thaúng d1, d2.
Bài 17) ĐHCĐ 2007 B
Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho maët caàu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 vaø maët phaúng
(P): 2x – y + 2z – 14 = 0.
1. Vieát phöông trình maët phaúng (Q) chöùa truïc Ox vaø caét (S) theo moät ñöôøng troøn coù baùn kính baèng 3.
2. Tìm toaï ñoä ñieåm M thuoäc maët caàu (S) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán maët phaúng (P) lôùn nhaát.
Bài 18) ĐHCĐ 2007 D
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho hai ñieåm A( 1;4;2) , B(-1;2;4) vaø ñöôøng thaúng
x −1 y + 2 z
d: = = .
−1 1 2
1) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua troïng taâm G cuûa tam giaùc OAB vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng
(OAB).
2) Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng d sao cho MA2 + MB2 nhoû nhaát.
Bài 19) ĐHCĐ 2008 A
Trong khoâng gian vôùi heâ toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(2;5;3) vaø ñöôøng thaúng
x −1 y z−2
d: = = .
2 1 2
1) Tìm toïa ñoä hình chieàu vuoâng goùc cuûa ñieåm A treân ñöôøng thaúng d.
2) Vieát phöông trình maët phaúng ( α ) lôùn nhaát.
Bài 20) ĐHCĐ 2008 B
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ba ñieåm A(0;1;2), B(2;-2;1),
C(-2;0;1)
1) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua ba ñieåm A, B, C.
2) Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm M thuoäc maët phaúng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC
Bài 21) ĐHCĐ 2008 D
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho boán ñieåm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)
1) Vieát phöông trình maët caàu ñi qua boán ñieåm A,B,C,D
2) Tìm toïa ñoä taâm ñöôøng troùn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.
-4-
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
Bài 22. (Các bài toán tìm hình chi u)
1. Cho đi m M ( 2; −3;1) và m t ph ng (P): x + 3 y − z + 2 = 0 . Tìm hình chi u H c a M trên (P).
x = 1 + 2t
2. Cho đi m M ( 2; −1;1) và đư ng th ng d : y = −1 − t . Tìm hình chi u H c a M trên d.
z = 2t
x − 2 y − z − 2 = 0
3. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đư ng th ng d :
x + 2 y − 4 = 0
Tìm hình chi u c a d trên m t ph ng (P): 2 x − y + 2 z − 3 = 0 .
Bài 23. (Các bài toán v kho ng cách)
1. Trên tr c Oy tìm đi m cách đ u hai m t ph ng ( P ) : x + y − z + 1 = 0 và ( Q ) : x − y + z − 5 = 0 .
2. Gi s (P) là m t ph ng có phương trình ( P ) : x + 2 y − 3z + 7 = 0 và A ( 2; 4; −6 ) ; B ( 4;0; −2 ) là hai
đi m cho trư c.
Bài 24. (Bài toán v đư ng vuông góc chung)
x = −1 + 2t
x y −1 z + 2
Cho hai đư ng th ng d1 : = = ; d2 : y = 1 + t
2 −1 1 z = 3
1. Ch ng minh d1, d2 là hai đư ng th ng chéo nhau.
2. Vi t phương trình đư ng vuông góc chung c a d1 và d2.
x −1 y z +1
Bài 25. Cho đư ng th ng ( d ) : = = và hai đi m A ( 3;0; 2 ) , B (1; 2;1) . K AA’, BB’ vuông góc
3 −2 1
v i đư ng th ng (d). Tính đ dài đo n th ng A’B’.
Bài 26. Cho hai đi m A ( −1;3; −2 ) , B ( −9; 4;9 ) và m t ph ng (P): 2 x − y + z + 1 = 0 . Tìm đi m K trên m t
ph ng (P) ao cho AK + BK nh nh t.
x = 2 + 3t
Bài 27. L p phương trình m t ph ng ch a đư ng th ng y = 1 − 5t và có kho ng cách đ n đi m A (1; −1;0 )
z = t
b ng 1.
x = 1− t x = 2t
Bài 28. Cho hai đư ng th ng: d1 : y = t và d 2 : y = 1 − t
z = −t z = t
1. Ch ng minh d1 và d2 là hai đư ng th ng chéo nhau.
2. Vi t phương trình các m t ph ng (P), (Q) sao cho (P) ch a d1, (Q) ch a d2 và (P)//(Q).
x −7 y −3 z −9 x − 3 y −1 z −1
Bài 29. Vi t phương trình hình chi u c a ( ∆1 ) : = = theo phương ( ∆ 2 ) : = =
1 2 −1 −7 2 3
lên m t ph ng (α): x + y + z + 3 = 0 .
x +1 y + 3 z − 2
Bài 30. L p phương trình đư ng th ng (∆) đi qua M ( −4; −5;3) , c t ( d1 ) : = = và c t
1 −2 −1
x − 2 y + 1 z −1
( d2 ) : = = .
2 3 −5
-5-
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
Bài 31. Vi t phương trình đư ng th ng (∆) đi qua A ( 3; −2; −4 ) song song v i m t ph ng
x − 2 y + 4 z −1
( P ) : 3x − 2 y − 3z − 7 = 0 , đ ng th i c t đư ng th ng ( d ) : = =
3 −2 2
Bài 32. Cho hai đư ng th ng:
x = 2t
x + y − 3 = 0
d1 : y = t và d 2 :
z = 4 4 x + 4 y + 3z − 12 = 0
1. Ch ng minh d1 và d2 chéo nhau.
2. L p phương trình m t c u (S) nh n đo n vuông góc chung c a d1 và d2 làm đư ng kính.
x −1 y + 2 z
Bài 33. Cho đư ng th ng d: = = và m t ph ng (P): 2 x + y − 2 z + 2 = 0
3 1 1
1. Vi t phương trình m t c u (S) có tâm n m trên d, ti p xúc v i (P) và có bán kính b ng 1.
2. G i M là giao đi m c a (d) v i (P), T là ti p đi m c a (S) v i (P). Tính MT.
Bài 34. L p phương trình m t c u có tâm t i đi m I ( 2;3; −1) và c t đư ng th ng (d) có phương trình:
x = 11 + 2t
y = t t i hai đi m AB sao cho AB = 16.
z = −25 − 2t
Bài 35. Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho hai đi m A ( 0; 0; 4 ) ; B ( 2;0; 0 ) . Vi t phương trình m t c u
qua O, A, B và ti p xúc v i m t ph ng (P): 2 x + y − z − 5 = 0 .
x − y − 2 = 0
Bài 36. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đư ng th ng (d ) : và m t c u (S):
2 x − y − 6 = 0
x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 2 y + 2 z − 1 = 0 . Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a (d) sao cho giao tuy n c a m t
ph ng (P) và m t c u (S) là đư ng tròn có bán kính r = 1.
Bài 37. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho b n đi m A (1; −1; 2 ) , B (1;3; 2 ) , C ( 4;3; 2 ) và D ( 4; −1; 2 ) .
G i A’ là hình chi u c a A lên m t ph ng Oxy. Vi t phương trình m t c u (S) qua A’, B, C, D.
Vi t phương trình ti p di n v i m t c u (S) t i đi m A’.
Bài 38. Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho m t c u (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y + 4 z − 3 = 0 và hai
x + 2 y − 2 = 0 x −1 y z
đư ng th ng ( ∆1 ) : , ( ∆2 ) : = =
x − 2z = 0 −1 1 1
Vi t phương trình ti p di n v i m t c u (S), bi t nó song song v i (∆1) và (∆2).
x −1 y + 1 z −1
Bài 39. L p phương trình m t c u (S) có tâm I (1;0;3) và c t đư ng th ng: ∆ : = =
2 1 2
T i hai đi m A, B sao cho tam giác IAB vuông.
Bài 40. L p phương trình m t c u (S) có tâm I ( −4;1;1) và c t m t ph ng (α ) : x + 2 y − 2 z + 1 = 0 theo giao
tuy n là m t đư ng tròn có bán kính b ng 2 2 .
x + z −1 = 0
Bài 41. L p phương trình m t c u có tâm thu c đư ng th ng d: và c t m t ph ng (P) theo thi t
y − 2 = 0
di n là đư ng tròn l n có bán kính b ng 4, đây (P): y − z = 0 .
-6-
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
2 2 2
Bài 42. Cho m t c u (S): x + y + z − 2 x − 4 y − 6 z − 11 = 0 và m t ph ng (P): x − 2 y + 3 z − 20 = 0 . Hãy tìm
tâm và bán kính c a đư ng tròn giao tuy n gi a m t c u (S) và m t ph ng (P).
Bài 43. Cho m t c u (S): x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 2 y + 4 z + 5 = 0 và m t ph ng ( P ) : x + 2 y + z − 1 = 0 .
1. Tìm tâm và bán kính c a m t c u (S).
2. Ch ng minh r ng m t ph ng (P) c t m t c u (S)
3. Tìm tâm và bán kính đư ng tròn là giao tuy n c a (S) và (P).
8 x − 11y + 8 z − 30 = 0
Bài 44. L p phương trình m t ph ng ch a đư ng th ng và ti p xúc v i m t c u
x − y − 2z = 0
x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 6 y + 4 z − 15 = 0 .
5 x − 4 y + 3 z + 20 = 0
Bài 45. L p phương trình m t c u có tâm I ( 2;3; −1) , c t đư ng th ng d: t i hai đi m
3x − 4 y + z − 8 = 0
A, B sao cho AB = 16 .
x = − 5 + 2t x = − 7 + t1
2 2 2
Bài 46. Cho (S): x + y + z − 10 x + 2 y + 26 z170 = 0 ; ∆ 1 : y = 1 − 3 t và ∆ 2 : y = − 1 − 2 t1
z = − 13 + 2 t z = 8
Vi t phương trình (α ) ti p xúc m t c u (S) và song song v i ∆ 1 và ∆ 2 .
B i 47: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iÓm A(-1;2;3) v hai mÆt ph¼ng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) ®i qua ®iÓm A v vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (P),(Q).
B i 48: LËp ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) trong c¸c tr−êng hîp sau:
r r
a) §i qua hai ®iÓm A(0;-1;4) v cã cÆp VTCP l a ( 3; 2;1) v b ( −3;0;1)
b) §i qua hai ®iÓm B(4;-1;1) v C(3;1;-1) v cïng ph−¬ng víi trôc víi 0x.
B i 49: Cho tø diÖn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t c¸c mÆt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB v song song vãi c¹nh CD.
B i 50: ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (P)
a) §i qua ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) v vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chøa 0x v ®i qua A(4;-1;2) ,
d) Chøa 0y v ®i qua B(1;4;-3)
B i 51: Cho hai ®iÓm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz
a) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) l trung trùc cña AB.
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) v vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng y0z
c) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A v song song víi mÆt ph¼ng (P).
x = −t
B i 52: Cho ®−êng th¼ng (D) v mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh l : (d ) : y = 2 + 2t , t ∈ R v (P): x+y+z+1=0
z = 1 + 2t
T×m ph−¬ng tr×nh cña ®−êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mÆt ph¼ng (P) v vu«ng gãc víi ®−êng
th¼ng (D)
B i 53: Cho mÆt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iÓm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng
th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC v vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã
B i 54: LËp ph−¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®−êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2;1;3) v vu«ng gãc víi mÆt
ph¼ng (P) trong c¸c tr−êng hîp sau:
a) ( P ) : x + 2 y + 3 z - 4 = 0 b) ( P ) : x + 2 y + 3 z − 1 = 0 .
-7-
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
B i 55: LËp ph−¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®−êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(1;2;3) v song song víi
x = 2 + 2t
®−êng th¼ng ( ∆ ) cho bëi : ( ∆ ) : y = −3t t∈R.
z = −3 + t
B i56: XÐt vÞ trÝ t−¬ng ®èi cña ®−êng th¼ng (d) v mÆt ph¼ng (P) ,biÕt:
x = 1 + t x = 12 + 4t
a) (d ) : y = 3 − t , t ∈ R (P): x-y+z+3=0 b) (d ) : y = 9 + t , t ∈ R (P): y+4z+17=0
z = 2 + t z = 1 + t
B i 57: (§HNN_TH-98): Cho mÆt ph¼ng (P) v ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 v
(d ) : x − 1 = y = z + 2 .
2 1 −3
a) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) v (P) .
b) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) v n»m trong mÆt ph¼ng (P) .
B i 58: Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :
x = 1 + 2t
(d1 ) : x − 2 y −1 z −1
= = (d 2 ) : y = t + 2 (t ∈ R )
1 2 1 z = −1 + 3t
a) CMR hai ®−êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña nã.
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2).
B i 59: (§HNN-96): cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :
x = −7 + 3t x = 1 + t1
(d1 ) : y = 4 − 2t (d 2 ) : y = −9 + 2t1 (t, t 1 ∈ R )
z = 4 + 3t z = −12 − t
1
a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) .
B i 60: Cho 3 ®−êng th¼ng (d1),(d2), (d3) cã ph−¬ng tr×nh :
(d1 ) : x − 2 = y + 2 = z − 1 , (d 2 ) : x − 7 = y − 3 = z − 9 , (d 3 ) : x + 1 = y + 3 = z − 2
3 4 1 1 2 −1 3 −2 −1
a) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) v song song víi ®−êng th¼ng
(d3).
b) Gi¶ sö (d ) ∩ (d1 ) = {A}, (d ) ∩ (d 2 ) = {B} .LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ®−êng kÝnh AB.
x = 2 + t
x −7 y −3 z −9
B i 61 Cho 2 ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh : (d1 ) : y = 1 − t t ∈ R , (d 2 ) : = =
z = 2t 1 2 −1
a) CMR (d1) v (d2) chÐo nhau.
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng vu«ng gãc chung cña (d1) v (d2).
c) LËp ph−¬ng tr×nh mËt cÇu (S) cã ®−êng kÝnh l ®o¹n vu«ng gãc chung cña (d1) v (d2).
d) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng c¸ch ®Òu (d1) v (d2).
B i 62: ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) biÕt :
a) T©m I(1;2;-2) v tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P):6x-3y+2z-11=0.
b) (C§GTVT-2000): T©m I(1;4;-7) v tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P) :6x+6y-7z+42=0.
-8-
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
c) B¸n kÝnh R = 9 v tiÕp xóc víi (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iÓm M(1;1;-3).
B i 63:(§H HuÕ-96): Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ 0xyz ,cho bèn ®iÓm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng ®i qua D v vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC).
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.
B i 64: Cho bèn ®iÓm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a) (§HKT-99): CMR SB vu«ng gãc SA.
b) (§HKT-99): CMR h×nh chiÕu cña c¹nh SB lªn mÆt ph¼ng (0AB) vu«ng gãc víi c¹nh 0A. Gäi K l
giao ®iÓm cña h×nh chiÕu ®ã víi 0A. H y x¸c ®Þnh to¹ dé cña K.
c) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.
d) (§HKT-99): Gäi P,Q lÇn l−ît l ®iÓm gi÷a cña c¸c c¹nh S0,AB . T×m to¹ ®é cña ®iÓm M trªn SB sao
cho PQ v KM c¾t nhau.
B i 65: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é 0xyz ,cho bèn ®iÓm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) (HVKTQS-98): T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn (ABC) v tÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD.
b) (HVKTQS-98): ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè ®−êng th¼ng vu«ng gãc chung cña AC v BD.
c) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.
d) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD.
B i 66: Cho bèn ®iÓm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
a) (HVNHTPHCM-99):ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng BC .H¹ AH vu«ng gãc BC .T×m to¹
®é cña ®iÓm H.
b) (HVNHTPHCM-99):ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (BCD) .T×m kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn mÆt ph¼ng
(BCD).
c) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.
B i 67: Trong kh«ng gian 0xyz, cho h×nh chãp .biÕt to¹ ®é bèn ®Ønh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4),
D(3;1;0).
a) LËp ph−¬ng tr×nh c¸c mÆt cña h×nh chãp. b) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ngo¹i tiÕp h×nh
chãp .
c) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABCD
B i 68: (HVKTMM-97) Cho bèn ®iÓm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tø diÖn ABCD cã cÆp c¹nh ®èi diÖn b»ng nhau . b) X¸c ®Þnh to¹ ®é träng t©m G cña tø
diÖn.
c) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp ,néi tiÕp tø diÖn ABCD.
B i 2:LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ®iÓm M(2;1;-1) v qua hai giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (P1) v (P2)
cã ph−¬ng tr×nh : (P1): x - y + z - 4 = 0 v (P2) 3x – y + z – 1 = 0
3x − 2 y + z − 3 = 0
B i 3: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®−êng th¼ng (d ) : v song song víi mÆt ph¼ng
x − 2 z = 0
(Q) cã ph−¬ng tr×nh: 11x - 2y - 15z – 6 = 0.
B i 4: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua giao tuyÕn cña (P1): y + 2z – 4 = 0 v (P2) : x + y – z – 3 = 0 v song
song víi mÆt ph¼ng (Q): x + y + z - 2 = 0 .
3x − 2 y + z − 3 = 0
B i 5: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®−êng th¼ng (d ) : v vu«ng gãc víi (Q) cã
x − 2 z = 0
ph−¬ng tr×nh:
a) (§HNNI-95): (Q): x - 2 y + z + 5 = 0 . b) ( Q ) : x + y − 3z + 1 = 0
B i 6: LËp ph−¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng qua hai giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (P1): 3 x - y + z - 2 = 0 v (P2):
x + 4 y - 5 = 0 v vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng : 2 x - z + 7 = 0 .
3x − 2 y + z − 3 = 0
B i 7: LËp ph−¬ng tr×nh chøa mÆt ph¼ng ®−êng th¼ng : (d ) : v song song víi ®−êng th¼ng
x − 2 z = 0
(d) cã ph−¬ng tr×nh :
-9-
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
3x − y + 2 z − 7 = 0 x−2 y −3 z +5
a) (d ) : b) (d ) : = =
x + 3 y − 2 z + 3 = 0 −2 4 5
x − 2 y = 0
B i 8:LËp ph−¬ng tr×nh chøa mÆt ph¼ng ®−êng th¼ng : (d ) : v vu«ng gãc ®−êng th¼ng (d)
3x − 2 y + z − 3 = 0
cã ph−¬ng tr×nh :
3x − y + 2 z − 7 = 0 x−2 y −3 z +5
a) (d ) : b) (d ) : = =
x + 3 y − 2 z + 3 = 0 −2 4 5
B i 9: LËp ph−¬ng tr×nh chøa mÆt ph¼ng ®−êng th¼ng v víi mÆt ph¼ng (Q) mét gãc 60 ®é biÕt:
(d ) :
3x − 2 y + z − 3 = 0
v (Q):3x+4y-6=0
x − 2 z = 0
x − 3z − 2 = 0
B i 10: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa ®−êng th¼ng (d ) : v cã kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm
y + 5z − 1 = 0
A(1;-1; 0) tíi (P) b»ng 1.
x − z − 2 = 0
B i 11: Cho ®−êng th¼ng (d) v hai mÆt ph¼ng (d ) : v (P1): 5x+5y-3z-2=0 v (P2):2x-y+z-6=0.
y + z −1 = 0
LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa ®−êng th¼ng (d) sao cho: (P ) ∩ (P1 ) v (P ) ∩ (P2 ) l hai ®−êng vu«ng
gãc.
B i 12: (§HKT-93): cho hai ®−êng th¼ng (d1) v (d2) cã ph−¬ng tr×nh :
(d1 ) : (d 2 ) :
x − 8 z + 23 = 0 x − 2z − 3 = 0
, .
y − 4z + 1 = 0 y + 2z + 2 = 0
a) ViÕt ph−¬ng tr×nh c¸c mÆt ph¼ng (P1 ) , (P2 ) song song víi nhau v lÇn l−ît chøa (d1 ) (d 2 )
b) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1 ) , (d 2 )
c) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (D) song song víi trôc Oz v c¾t c¶ 2 ®−êng th¼ng (d1 ) , (d 2 )
B i to¸n 4. Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm tíi mÆt ph¼ng
B i 1:TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M(2;2;1) ®Õn mÆt ph¼ng (P) trong c¸c tr−êng hîp sau:
a) ( P ) : 2 x + y - 3 z + 3 = 0 b) ( P ) : − x − 2 y − 3z + 1 = 0
B i 2:Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz , cho tø diÖn cã 4 ®Ønh A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6)
a) LËp ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t mÆt ph¼ng (ABC)
b) TÝnh chiÒu d i ®−êng th¼ng cao h¹ tõ ®Ønh D cña tø diÖn, tõ ®ã suy ra thÓ tÝch cña tø diÖn
B i 3:Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz , cho tø diÖn cã 4 ®Ønh A(1;1;1) B(-2;0;2) C(0;1;-3) D(4;-1;0)
a) (§H LuËt 1996) TÝnh chiÒu d i ®−êng th¼ng cao h¹ tõ ®Ønh D cña tø diÖn
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ph©n gi¸c cña 2 mÆt (ABC) v (BCD) c¾t ®o¹n AD
B i 3: (§HNN_TH-98): Cho mÆt ph¼ng (P) v ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 v
(d ) : x − 1 = y = z + 2 .
2 1 −3
a) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) v (P) .
b) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) v n»m trong mÆt ph¼ng (P) .
B i 4: (§H Khèi A-2002): Trong kh«ng gian 0xyz ,cho mÆt ph¼ng (P) v ®−êng th¼ng (dm) cã ph−¬ng tr×nh :
(2m + 1) x + (1 − m) y + m − 1 = 0
( P ) : 2 x - y + 2 = 0 , (d m ) : x¸c ®Þnh m ®Ó (dm)//(P)
mx + (2m + 1) z + 4m + 2 = 0
B i 3: Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi:
(d1 ) : x + 7 = y − 5 = z − 9 , (d 2 ) : x = y + 4 = z + 18
3 −1 −4 3 −1 4
a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) song song víi nhau .
- 10 -
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) song song ,c¸ch ®Òu (d1),(d2) v thuéc mÆt ph¼ng chøa (d1),(d2).
B i 4: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :
x = −3 + 2t
(d1 ) : y = −2 + t t ∈ R , (d 2 ) :
4 x + y − 19 = 0
z = 6 + 4t x − z + 15 = 0
a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) c¾t nhau .
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng ph©n gi¸c cña (d1),(d2)
B i5: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :
x = −1 + t
(d1 ) : x −1 y + 2 z − 4
= = (d 2 ) : y = −t (t ∈ R )
−2 1 3 z = −2 + 3t
a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) c¾t nhau.
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng ph©n gi¸c cña (d1),(d2)
B i 6: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :
x = 1 − t x = 2t1
(d1 ) : y = t , (d 2 ) : y = 1 + t1 (t, t 1 ∈ R )
z = −1 z = t
1
a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.
b) ViÕt ph−¬ng tr×nhmÆt ph¼ng(P) song song ,c¸ch ®Òu (d1),(d2) .
B i 7: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :
(d1 ) : x − 2z − 3 = 0
x + 8z + 23 = 0
, (d 2 ) :
y - 4z + 10 = 0 y + 2z + 2 = 0
a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.
b) ViÕt ph−¬ng tr×nhmÆt ph¼ng(P) song song, c¸ch ®Òu (d1),(d2) .
B i8: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :
x + 2 y − z = 0
(d1 ) : x − 1 = y − 2 = z − 3 (d 2 ) :
1 2 3 2 x − y + 3 z − 5 = 0
a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng(P) song song, c¸ch ®Òu (d1),(d2) .
B i to¸n 5. Hai ®−êng th¼ng ®ång ph¼ng v b i tËp liªn quan
B i 1: (§HBK-TPHCM-93): ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2) ,biÕt:
(d1 ) : x + 1 = y − 1 = z − 3 (d 2 ) : x = y − 1 = z − 3
3 2 −2 1 1 2
B i 2: (§HSPII-2000): Cho ®iÓm A(1;-1;1) v hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :
x = t
3x - y - z + 3 = 0
(d1 ) : (d 2 ) : y = −1 − 2t (t ∈ R ) CMR (d1),(d2) v ®iÓm A cïng thuéc mÆt ph¼ng.
2x - y + 1 = 0 z = −3t
2x + y + 1 = 0
(d 2 ) :
3x + y − z + 3 = 0
B i 3: Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi : (d1 ) :
x - y + z − 1 = 0 2 x − y − 1 = 0
a) CMR hai ®−êng th¼ng ®ã c¾t nhau.
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1), (d2).
c) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng ph©n gi¸c cña(d1), (d2)
B i 4: Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :
- 11 -
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
x = 1 + 2t
(d1 ) : x − 2 = y − 1 = z − 1 (d 2 ) : y = t + 2 (t ∈ R )
1 2 1 z = −1 + 3t
a) CMR hai ®−êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña nã.
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2).
c) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng ph©n gi¸c cña(d1),(d2)
B i5: cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :
4 x − y − 2 = 0
(d1 ) : x − 3 = y + 1 = z − 2 , (d 2 ) :
1 4 3 3x − z = 0
a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) song song víi nhau.
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2).
c) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) trong (P) song song c¸ch ®Òu (d1),(d2) .
B i to¸n 6. Hai ®−êng th¼ng chÐo nhau v b i tËp liªn quan
B i 1: (§HNN-96): cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :
x = −7 + 3t x = 1 + t1
(d1 ) : y = 4 − 2t (d 2 ) : y = −9 + 2t1 (t, t 1 ∈ R )
z = 4 + 3t z = −12 − t
1
a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) .
B i 2: (§HTCKT-96): Trong kh«ng gian 0xyz , cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :
(d1): x = - y +1 = z -1, (d 2 ) : - x + 1 = y -1 = z . T×m to¹ ®é ®iÓm A1 thuéc (d1) v to¹ ®é ®iÓm A2 thuéc (d2) ®Ó
®−êng th¼ng A1A2 vu«ng gãc víi (d1) v vu«ng gãc víi (d2) .
B i 3: (§H L 1996) Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :
x = 1 − t x = 2t1
(d1 ) : y = t , (d 2 ) : y = 1 + t1 (t, t 1 ∈ R )
z = −1 z = t
1
a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P),(Q) song song
víi nhau v lÇn l−ît chøa (d1),(d2)
b) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) .
B i 4: (§HTS-96): Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :
x = −1 + 3t
(d1 ) : y = −3 + 2t (t ∈ R ) (d 2 ) :
3x − 2 y − 8 = 0
z = 2 −1 5 x + 2 z − 12 = 0
a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2)
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) .
B i 5: : (PVBC 99) Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) ,biÕt:
(d1 ) : x + 1 =
y −1 z − 2
= ; (d 2 ) :
x−2 y+2
= =
z
2 3 1 2 5 −2
a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) .
B i 6: (§HSPQui Nh¬n-D-96): cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) ,biÕt:
- 12 -
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
x = 1 + 3t
x + y = 0
(d1 ) : (d 2 ) : y = −t
(t ∈ R )
x - y + z − 4 = 0 z = 2 + t
a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2)
B i 7: : cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) ,biÕt:
(d1 ) : x − 7 = y − 3 = z − 9 (d 2 ) : x − 3 = y − 1 = z − 1
1 2 −1 −7 2 3
a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) .
B i 8: (§H HuÕ 1998) Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :
x = 2 + 21 t x = 1
(d1 ) : y = −1 + t1 , (d 2 ) : y = 1 + t 2 (t 1 , t 2 ∈ R )
z = 1 z = 3 − t
2
a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa (d1) v song song víi (d2) .
c) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) .
B i 9: (§HNN-97): Cho hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :
x = −2 + 2t
x + y + 2z = 0
(d1 ) : (d 2 ) : y = −5t
(t ∈ R )
x - y + z + 1 = 0 z = 2 + t
a) Chøng tá r»ng hai ®−êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) TÝnh kho¶ng c¸ch
gi÷a (d1),(d2) .
c) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) ®i qua M(1,1,1) v c¾t ®ång thêi (d1),(d2) .
B i 10: (§HKT-98): Cho tø diÖn SABC víi c¸c ®Ønh S(-2;2;4), A(-2;2;0) ,B(-5;2;0) ,C(-2;1;1). TÝnh kho¶ng
c¸ch gi÷a hai c¹nh ®èi SA v SB.
V. §iÓm, ®−êng th¼ng v MÆt Ph¼ng
B i to¸n1: §−êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng cho tr−íc.
B i 1: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua A(1;2;3) v c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng
x + 8z + 23 = 0
(d 2 ) :
x − 2z − 3 = 0
a) (d1 ) :
y - 4z + 10 = 0 y + 2z + 2 = 0
(d 2 ) :
x −1 y − 2 z − 3 x + 2y − z = 0
b) (d1 ) : = =
1 2 3 2 x − y + 3 z − 5 = 0
B i 2: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua gèc to¹ ®é v c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng:
x = 1 + 2t x = u + 2
(d1 ) : y = 2 + t t ∈ R , (d 2 ) : y = −3 + 2u
z = −3 + 3t z = 3u + 1
B i 3: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) song song víi ®−êng th¼ng (∆) v c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng:
x = 2 + t
x + y + 2 z = 0
(d1 ) : y = 1 − t t ∈ R (d 2 ) :
x + 2z − 2 = 0
(∆ ) :
x − y + z + 1 = 0 z = 2t y − 3 = 0
B i 4: (§HDL-97): ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua A(1;-1;0) v c¾t c¶ hai ®−êng
x y +1 z −1
th¼ng: (d1 ) : = = (d 2 ) : x + 1 = y = z
1 1 2 1 2 1
- 13 -
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
B i 5: (§HTS-99): ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua A(1;-1;0) v c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng:
x = −1 + 3t
3x - 2y - 8 = 0
(d1 ) : (d 2 ) : y = −3 − 2t (t ∈ R )
5x + 2z - 12 = 0 z = 2 − t
B i 6: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi (P) :x+y+z-2=0 v c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng (d1) v (d2):
x = 2 + t
(d1 ) : y = 1 − t t ∈ R (d 2 ) :
x + 2z − 2 = 0
z = 2t y − 3 = 0
B i 7: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) ®i qua gèc to¹ ®é v c¾t c¶ 2 ®−êng th¼ng (d1) v (d2):
x = 2t + 1 x = u + 2
(d1 ) : y = t + 2 t ∈ R (d 2 ) : y = −3 + 2u
z = 3t − 3 z = 3u + 1 − 3 = 0
B i to¸n 2: §−êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm vu«ng gãc víi c¶ hai ®−êng th¼ng cho tr−íc.
B i 1: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua A(1;2;3) v c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng (d1) ,(d2):
x + 8z + 23 = 0
(d 2 ) :
x − 2z − 3 = 0
a) (d1 ) : b)
y - 4z + 10 = 0 y + 2z + 2 = 0
x = −1 + 3t
(d1 ) : (d 2 ) : y = −3 − 2t (t ∈ R )
3x − 2 y − 8 = 0
5 x + 2 z − 12 = 0 z = 2 − t
B i 2: (§HTCKT 1999) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) ®i qua A(1;1;-2) song song víi mÆt ph¼ng (P) v
x + 1 y −1 z − 2
vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng (d): = = , ( P) : x - y - z -1 = 0
2 1 3
B i to¸n 3: §−êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm vu«ng gãc víi mét ®−êng v c¾t mét ®−êng th¼ng kh¸c
B i 1: (§HSP TPHCM-95): ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua A(0;1;1) v vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng
x −1 y + 2 z x + y − z + 2 = 0
(d1) v c¾t (d2) ,biÕt: (d1 ) : = = (d 2 ) :
3 1 1 x + 1 = 0
B i 2: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua A(1;1;1) v vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng (d1) v c¾t (d2) ,biÕt :
(d1 ) : (d 2 ) :
x + y + z -3 = 0 x − 2 y − 2z + 9 = 0
y + z - 1 = 0 y − z +1 = 0
r
B i 3: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng c¾t c¶ ba ®−êng th¼ng (d1) (d2) , (d3) v vu«ng gãc víi vect¬ u (1; 2;3) ,
x - y + 1 = 0
(d 2 ) : (d 3 ) :
x + y −1 = 0 x − y −1 = 0
biÕt: (d1 ) :
z + 1 = 0 z = 0 z = 1
mx - y = 0
(d 2 ) :
mx + y = 0
B i 4: T×m tÊt c¶ c¸c ®−êng th¼ng c¾t (d1), (d2) d−íi cïng mét gãc, biÕt: (d1 ) :
z = a z = −a
B i 5: (§HTL-97):ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua A(3;-2;-4) song song víi mÆt ph¼ng (P) :3x-2y-3z-
x − 2 y + 4 z −1
7=0 v c¾t ®−êng th¼ng (d) biÕt: (d ) : = =
3 −2 2
B i to¸n 4: H×nh chiÕu vu«ng gãc cña®iÓm lªn mÆt ph¼ng
B i 1: T×m to¹ ®é ®iÓm ®èi xøng cña A(-2;1;3) qua (P) cho bëi: 2x+y-z-3=0.
B i 2: (§HKTCN-97): Cho ®iÓm A(1;2;3) v mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh :2x-y+2z-3=0
a) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua A v song song víi (P).
b) Gäi H l h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (P). X¸c ®Þnh to¹ ®é cña H
- 14 -
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
B i3: (§HGTVTTPHCM-99): Cho ba ®iÓm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;-1) .X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng
gãc cña ®iÓm O lªn mÆt ph¼ng (ABC).
B i 4: (§HTCKT-2000): Cho ®iÓm A(2;3;5) v mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh: 2x+3y+z-17=0
a) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) qua A v vu«ng gãcvíi (P).
b) CMR ®−êng th¼ng (d) c¾t trôc 0z , t×m giao ®iÓm M cña chóng.
c) X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (P).
B i 5: Cho mÆt ph¼ng (P) v ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh:
3x − y + 4 z − 27 = 0
(P): 2x+5y+z+17=0 v (d ) :
6 x + 3 y − z + 7 = 0
a) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) v (P).
b) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi (d) qua (P)
B i 6: Cho mÆt ph¼ng (P) v ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh :
x + 2 y − 3 = 0
( P ) : 2 x + y + z + 4 = 0 v (d ) :
3x − 2 z − 7 = 0
a) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) v (P).
b) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi (d) qua (P)
B i 7: (§HQG 1998) Cho c¸c ®iÓm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) (a,b,c d−¬ng ). Dùng h×nh hép ch÷ nhËt nhËn
O,A,B,C l m 4 ®Ønh v gäi D l ®Ønh ®èi diÖn víi ®Ønh O cña h×nh hép ®ã
a) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn mÆt ph¼ng (ABD)
b) TÝnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C xuèng mÆt ph¼ng (ABD). T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi a,b,c ®Ó
h×nh chiÕu ®ã n»m trong mÆt ph¼ng (xOy)
B i to¸n 5: H×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®−êng th¼ng lªn mÆt ph¼ng
B i 1: (§HQG TPHCM 1998) Trong kh«ng gian víi hÖ trôc to¹ ®é trùc chuÈn 0xyz ,cho ®−êng th¼ng (d) v
x + z − 3 = 0
mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh: (P):x+y+z-3=0 v (d ) : LËp ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc
2 y − 3z = 0
cña ®−êng th¼ng (d) lªn (Q).
B i 2: LËp ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña giao tuyÕn (d) cña hai mÆt ph¼ng 3x-y+z-2=0 v x+4y-5=0
lªn mÆt ph¼ng 2x-z+7=0.
B i 3: (§HM§C-98) :Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é trùc chuÈn 0xyz cho ®−êng th¼ng (d) v mÆt ph¼ng (P)
x y − 4 z +1
cã ph−¬ng tr×nh: (d ) : = = v (P): x-y+3z+8=0. H y viÕt ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu
4 3 −2
vu«ng gãc cña (d) lªn (P) .
B i 4: Trong kh«ng gian 0xyz cho ®−êng th¼ng (d) v mÆt ph¼ng (Q) cã ph−¬ng tr×nh :
x = 4 + 3t1 + t 2
3x - 2y + z - 3 = 0
(d ): x - 2z = 0 (Q ) : y = 4 + t1 − 2t 2 (t 1 , t 2 ∈ R ) . LËp ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña
z = −5 − t + t
1 2
®−êng th¼ng (d) lªn (Q) .
2x - y + z + 1 = 0
B i 5: Cho ®−êng th¼ng (d) v mÆt ph¼ng (Q) cã ph−¬ng tr×nh: (d ): (Q): x-y+z+10=0
x + 2y - z - 3 = 0
H y viÕt ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu vu«ng gãc (d1) cña (d) lªn (P) .
B i 6: (§H C n Th¬ 1998) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é vu«ng gãc 0xyz cho ®−êng th¼ng (d) v mÆt ph¼ng
x −1 y − 2 z −1
(P) cã ph−¬ng tr×nh: (d ) : = = v (P): x+y+z+1=0. H y viÕt ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu
1 2 3
vu«ng gãc (d1) cña (d) lªn (P) .
B i 7: (HVQY-95): Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é vu«ng gãc 0xyz cho ®−êng th¼ng (d) v mÆt ph¼ng (P) cã
x −1 y − 2 z −1
ph−¬ng tr×nh : (d ) : = = v (P): x+y+z+1=0.
1 2 3
- 15 -
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
a) H y viÕt ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu vu«ng gãc (d1) cña (d) lªn (Oxy) .
b) CMR khi m thay ®æi ®−êng th¼ng (d1) lu«n tiÕp xóc víi mét ®−êng trßn cè ®Þnh trong mÆt ph¼ng 0xy.
B i 8: (§HQG-98): Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é vu«ng gãc 0xyz cho mÆt ph¼ng (P) v hai ®−êng th¼ng
2y - z + 1 = 0 3 y − z + 12 = 0
(d1) v (d2) cã ph−¬ng tr×nh: (P):x+y-z+1=0, (d1 ) : , (d 2 ) :
x + 2y = 0 x − z + 2 = 0
a) H y viÕt ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc (∆1), (∆2) cña (d1), (d2) lªn (P). T×m to¹ ®é giao ®iÓm I
cña (d1), (d2).
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P1 ) chøa (d1) v vu«ng gãc víi (P).
B i to¸n 6: H×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm lªn ®−êng th¼ng
x − 2 y − 2 z + 9 = 0
B i 1: cho ®iÓm A(1;2;3) v ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh : (d ) : . X¸c ®Þnh to¹ ®é
y − z +1 = 0
h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d) .Tõ ®ã t×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (d) .
x = 2t + 1
B i 2: cho ®iÓm A(1;2;-1) v ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh : (d ) : y = t + 2 t ∈ R .X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh
z = 3t − 3
chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d) .Tõ ®ã t×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (d) .
x −1 y − 2 z + 3
B i 3: cho ®iÓm A(2;1;-3) v ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh : (d ) : = = .X¸c ®Þnh to¹ ®é
1 2 −1
h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d) .Tõ ®ã t×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (d) .
B i 4: (§HhuÕ /A,B ph©n ban 98): Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iÓm A(2;-1;1) v ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng
y + z − 4 = 0
tr×nh : (d ) :
2 x − y − z + 2 = 0
a) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A v vu«ng gãc (d) .
b) X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm B ®èi xøng víi A qua (d) .
B i 5: (§Ò 60-Va): LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua A(3;2;1) v vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng
x y z+3
(d) : = = v c¾t víi ®−êng th¼ng ®ã .
2 4 1
B i 6: (§HTM-2000): LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua A(2;-1;0) v vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng
(d ) :
5x + y + z + 2 = 0
v c¾t víi ®−êng th¼ng ®ã .
x − y + 2z + 1 = 0
B i7: (HV BCVT-2000): Cho 2 ®−êng th¼ng (∆) v (d) cã ph−¬ng tr×nh :
(∆ ) : x − 3 = y − 1 = z − 1 (d ) : x − 7 = y 2 3 = z−−19
−
−7 2 3 1
LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi (d) qua (∆)
B i 8: (§HHH-1999): Trong kh«ng gian cho 2 ®−êng th¼ng (d1),(d2) :
x = t
2 x + y + 1 = 0
(d1 ) : (d 2 ) : y = 1 + 2t t ∈ R
x − y + z − 1 = 0 z = 4 + 5t
a) (d1) , (d2) cã c¾t nhau hay kh«ng
b) Gäi B,C lÇn l−ît l c¸c ®iÓm ®èi xøng cña A(1;0;0) qua (d1),(d2) . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC
B i 9: (§HTM-1999): Trong kh«ng gian cho ®−êng th¼ng (d1) v mÆt ph¼ng (P) :
(d1 ) :
2x − y − 2z − 3 = 0
(P) : x − 2 y + z − 3 = 0
2 x − y − 2 z − 17 = 0
a) T×m ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm A(3;-1;2) qua ®−êng th¼ng (d)
- 16 -
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®−êng th¼ng (d) trªn mÆt ph¼ng (P)
B i10: Trong kh«ng gian 0xyz cho bèn ®−êng th¼ng (d1), (d2), (d3), (d4) cã ph−¬ng tr×nh :
(d1 ) : mx − y = 0 mx + y = 0 mx + y = 0
mx − y = 0
, (d 2 ) : , (d 3 ) : , (d 4 ) :
z = h z = −h z = h z = −h
CMR c¸c ®iÓm ®èi xøng A1, , A2, , A3, A4 cña A bÊt k× trong kh«ng gian qua (d1), (d2), (d3), (d4) l ®ång
ph¼ng. LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa chóng .
B i to¸n 7: §iÓm v mÆt ph¼ng
B i 1: cho hai ®iÓm A(1;0;2) ;B(2;-1;3) v mÆt ph¼ng (P): x-2y+z-4=0.T×m ®iÓm M thuéc (P) sao cho
AM+BM nhá nhÊt.
B i 2: cho hai ®iÓm A(1;1;0) ;B(0;-1;1) v mÆt ph¼ng (P): x-2y+z-4=0.T×m ®iÓm M thuéc (P) sao cho
AM+BM nhá nhÊt.
B i 3: (§HhuÕ /A hÖ ch−a ph©n ban 97):Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é 0xyz cho mÆt ph¼ng (P): 2x-y+z+1=0
v hai ®iÓm A(3;1;0), B(-9;4;9) .T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn mÆt ph¼ng (P) sao cho MA − MB l lín nhÊt .
B i 4: (§HQG-2000):Cho mÆt ph¼ng
(P):x+y+z-1=0 v hai ®iÓm A(1;-3;0) ,B(5;-1;-2)
a) Chøng tá r»ng ®−êng th¼ng ®i qua A,B c¾t mÆt ph¼ng (P) t¹i mét ®iÓm I, t×m to¹ ®é ®iÓm ®ã .
b) T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn mÆt ph¼ng (P) sao cho MA − MB ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
B i 5: (§HM§C-97):
cho ba ®iÓm A(1;4;5) B(0;3;1) ,C(2;-1;0) v mÆt ph¼ng (P): 3x-3y-2z-15=0.Gäi G l träng t©m ∆ABC .CMR
®iÒu kÞªn cÇn v ®ñ ®Ó M n»m trªn mÆt ph¼ng (P) cã tæng c¸c b×nh ph−¬ng kho¶ng c¸ch ®Õn c¸c ®iÓm A,B,C
nhá nhÊt l ®iÓm M ph¶i l h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm G trªn mÆt ph¼ng (P) .X¸c ®Þnh to¹ ®é cña ®iÓm M
®ã.
B i 6: Cho mÆt ph¼ng (P) 3x+3y+mz-6-m=0.
a) CMR (P) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh M, T×m to¹ ®é cña M.
b) Gi¶ sö (P) c¾t 0x,0y,0z theo thø tù t¹i A,B,C .
c) TÝnh 0A,0B,0C ®Ó tø diÖn 0ABC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt .
d) TÝnh 0A,0B,0C ®Ó 0A+0B+0C l nhá nhÊt .
B i to¸n 8: §iÓm v ®−êng th¼ng
B i 1: T×m trªn ®−êng th¼ng (d) ®iÓm M(xM,yM,zM) sao cho x 2 M + y 2 M + z 2 M nhá nhÊt ,biÕt:
x = 2 + t
x − 3 y +1 z − 4
a) (d ) : y = 1 − 2t t ∈ R b) (d ) : = = c)
z = t − 3 −2 3 5
(d ) :
3x − y + 4 z + 1 = 0
2 x + 3 y + z + 7 = 0
x − y − z − 3 = 0
B i 2: Cho ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh : (d ) : .T×m ®iÓm M thuéc (d) sao cho AM +
x + y − 5 = 0
BM nhá nhÊt khi :
a) A(1;2;-1), B(8;1;-2) . b) A(1;2;-1),B(0;1;2).
B i 3: (§HBK-98):Cho ®−êng th¼ng (d) v mÆt ph¼ng (P)cã ph−¬ng tr×nh :
x = 1 + 2t
(d ) : y = 2 − t t ∈ R , ( P) : 2 x - y - 2 z + 1 = 0
z = 3t
a) T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng(d) sao cho kho¶ng c¸ch tõmçi ®iÓm ®ã ®Õn mÆt ph¼ng (P) b»ng 1.
b) Gäi K l ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm I(2;-1;3) qua ®−êng th¼ng (d) .X¸c ®Þnh to¹ ®é K.
B i 4: (§HHång §øc -2000): Cho ®−êng th¼ng (d) v mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh :
- 17 -
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
x = 1 + t
(d ) : y = −1 + t t ∈ R v (P): x+2y+z-1=0.
z = 2t
a) T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng(d) sao cho kho¶ng c¸ch tõmçi ®iÓm ®ã ®Õn mÆt ph¼ng (P) b»ng
6.
b) Gäi K l ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm I(2;0;-1) qua ®−êng th¼ng (d) .X¸c ®Þnh to¹ ®é K.
B i 5: (§H§ n½ng -2000): Cho ®iÓm A(-4;4;0),B(2;0;4),C(1;2;-1),D(7;-2;3).
a) CMR A,B,C,D ®ång ph¼ng . b) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ C®Õn
®−êng th¼ng (AB)
B i to¸n 9: Gãc trong kh«ng gian
B i 1: X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a 2 ®−êng th¼ng (d1),(d2) cã ph−¬ng tr×nh :
x = −3 + 2t x = 2t + 1
4x + y - 19 = 0
a) (d1 ) : y = −2 + 3t & (d 2 ) : b) (d1 ) : y = 2 + t ,
z = 6 + 4t x - z + 15 = 0 z = −3 + 3t
x = u + 2
(d 2 ) : y = −3 + 2u
z = 1 + 3u
2 x + y + 1 = 0
(d 2 ) :
3x + y − z + 3 = 0
c) (d1 ) :
x − y + z −1 = 0 2 x − y + 1 = 0
B i 2: (§HHH-2000): Cho ba ®−êng th¼ng (d1),(d2), (d3) cã ph−¬ng tr×nh :
x = t + 1
(d1 ) : y = −2 + 4t t ∈ R , (d 2 ) :
x − y + 4z − 3 = 0
(d 3 ) : x = y − 1 = z − 5
z = 2 + 3t 2 x − y − z + 1 = 0 3 −1 1
a) X¸c ®Þnh cosin gãc gi÷a (d1),(d2).
b) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) song song víi (d3) ®ång thêi c¾t c¶ (d1),(d2).
B i 3: X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a ®−êng th¼ng (d) v mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi :
(d ) :
4 x + y − 19 = 0
v (P):x+y-7z-58=0.
x − z + 15 = 0
B i 4: (C§SP TP.HCM-99): Cho ®−êng th¼ng (d) v mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh :
(d ): x 1 3 = y 2 4 = z−+13 v (P):2x+y+z-1=0
− −
a) X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a ®−êng th¼ng (d) v mÆt ph¼ng (P) .
b) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ®−êng th¼ng (d) v mÆt ph¼ng (P).
c) LËp ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®−êng th¼ng (d1) ®i qua A vu«ng gãc víi (d) v n»m trong mÆt ph¼ng (P).
B i 5: (§HAN-CS-98): Cho ®−êng th¼ng (d) v mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh :
(d ): x 1 1 = y−−23 = z 2 1 v (P): x+z+2=0
− +
a) X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a ®−êng th¼ng (d) v mÆt ph¼ng (P) .
b) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d1) l h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) lªn mÆt ph¼ng (P).
B i to¸n 10: Tam gi¸c trong kh«ng gian
B i 1: Cho ∆ABC bݪt A(1;2;5), B(1;4;3), C(5;2;1) v mÆt ph¼ng (P):x-y-z-3=0.
a) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng trung tuyÕn ,®−êng cao v ®−êng ph©n gi¸c trong kÎ tõ ®Ønh A.
- 18 -
Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
b) Gäi G l träng t©m ∆ABC .CMR ®iÒu kÞªn cÇn v ®ñ ®Ó ®iÓm M n»m trªn mÆt ph¼ng (P) cã tæng c¸c b×nh
ph−¬ng kho¶ng c¸ch ®Õn c¸c ®iÓm A,B,C nhá nhÊt l ®iÓm M ph¶i l h×nh chØÕu vu«ng gãc cña ®iÓm G trªn
mÆt ph¼ng (P) .X¸c ®Þnh to¹ ®é cña ®iÓm M ®ã.
B i 2: Cho mÆt cÇu (S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z = 0 .
a) Gäi A,B,C lÇn l−ît l giao ®iÓm (kh¸c gèc to¹ ®é ) cña mÆt cÇu (S) víi 0x,0y,0z .C¸c ®Ønh to¹ ®é cña A,B,C
v lËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (ABC).
b) LËp ph−¬ng tr×nh c¸c ®−êng trung tuyÕn , ®−êng cao v ®−êng ph©n gi¸c trong kÎ tõ ®Ønh A cña ∆ABC.
c) X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m v tÝnh b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC.
B i 3 Cho c¸c ®iÓm A(3;1;0), B(2;2;4) ,C(-1;21).
a) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (ABC).
b) LËp ph−¬ng tr×nh c¸c ®−êng trung tuyÕn ,®−êng cao v ®−êng ph©n gi¸c trong kÎ tõ ®Ønh A cña ∆ABC.
c) X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m v tÝnh b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC.
VI. MÆt cÇu
B i to¸n 1. Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu
B i 1: Trong c¸c ph−¬ng tr×nh sau ®©y ,ph−¬ng tr×nh n o l ph−¬ng tr×nh cña mÆt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m
v b¸n kÝnh cña nã ,biÕt:
a) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 6 z + 2 = 0 b) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 2 z + 9 = 0
c) (S ) : 3x 2 + 3 y 2 + 3z 2 − 6 x + 3 y − 9 z + 3 = 0 d) (S ) : − x 2 − y 2 − z 2 + 4 x + 2 y − 5 z − 7 = 0
e) (S ) : 2 x 2 + y 2 + z 2 − x + y − 2 = 0
B i 2: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph−¬ng tr×nh: (S m ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4mx − 2my − 6 z + m 2 + 4m = 0
a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) l mét hä mÆt cÇu .
b) CMR t©m cña (Sm) lu«n n»m trªn mét ®−êng th¼ng cè ®Þnh.
B i 3: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph−¬ng tr×nh: (S m ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4mx − 2m 2 y + 8m 2 − 5 = 0
a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) l mét hä mÆt cÇu .
b) T×m quÜ tÝch t©m cña hä (Sm) khi m thay ®æi.
c) T×m ®iÓm cè ®Þnh M m (Sm) lu«n ®i qua.
B i 4: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph−¬ng tr×nh: (S m ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x sin m − 2 y cos m − 3 = 0
a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) l mét hä mÆt cÇu .
b) CMR t©m cña (Sm) lu«n ch¹y trªn mét ®−êng trßn (C) cè ®Þnh trong mÆt ph¼ng 0xy khi m thay ®æi.
c) Trong mÆt ph¼ng 0xy, (C) c¾t 0y t¹i A v B. §−êng th¼ng y=m(-1Giáo viên: Nguy n Đình Dũng - Trư ng THPT Nông C ng IV LTĐH
c) LËp ph−¬ng tr×nh mËt cÇu (S) cã ®−êng kÝnh l ®o¹n vu«ng gãc chung cña (d1) v (d2).
d) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng c¸ch ®Òu (d1) v (d2).
B i to¸n 2: MÆt cÇu tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng
B i 1: ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) biÕt :
a) T©m I(1;2;-2) v tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P):6x-3y+2z-11=0.
b) (C§GTVT-2000): T©m I(1;4;-7) v tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P) :6x+6y-7z+42=0.
c) B¸n kÝnh R = 9 v tiÕp xóc víi (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iÓm M(1;1;-3).
B i 2: ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m I trªn ®−êng th¼ng (d) v tiÕp xóc víi hai mÆt ph¼ng (P1 ) v (P2 ) ,
biÕt
x − 2 y −1 z −1
a) (§HL-95): (d ) : = = b) (P1 ) :x+2y-2z-2=0. v (P2 ) :x+2y-
−3 2 2
2z+4=0.
− x + 4 y + 2 z − 7 = 0
c) (d ) : , d) (P1 ) :2x+2y-z-12=0. v
x + 5 y + 4 z − 14 = 0
(P2 ) :-2x+2y-z+8=0.
x = −1 + 2t
e) (d ) : y = 3 + t t∈R, f) (P1 ) :3x4y+2z-10=0 (P2 ) :2x-
z = −2 − t
3y+4z-10=0
B i 3: (§HLN-97): Cho ®−êng th¼ng (d) v hai mÆt ph¼ng (P1 ) , (P2 ) ,biÕt :
(d ) : x = y − 1 = z + 1 , (P1 ) :x+y-2z+5=0. v (P2 ) :2x-y+z+2=0
2 3 2
a) Gäi A l giao ®iÓm cña (d) víi (P1 ) v (P2 ) .TÝnh ®é d i ®o¹n AB.
b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cod t©m I trªn ®−êng th¼ng (d) v tiÕp xóc víi hai mÆt ph¼ng (P1 ) v
(P2 ) .
B i to¸n 3: MÆt cÇu c¾t mÆt ph¼ng
B i 1: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m t¹o giao ®iÓm I cña mÆt ph¼ng (P) v ®−êng th¼ng (d) sao cho mÆt
ph¼ng (Q) c¾t khèi cÇu theo thݪt diÖn l h×nh trßn cã diÖn tÝch 12 π ,biÕt :
x = 1 + t
x + y + z − 3 = 0
a) (d ) : y = 3 − t t ∈ R ,(P):x-y-z+3=0 b) (d ) : , (P):x+y-2=0.
z = 2 + t y −1 = 0
B i 2: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m thuéc ®−êng th¼ng (d) v c¾t mÆt ph¨ng (P) theo thiÕt diÖn l ®−êng
x = 12 + 4t
trßn lín cã b¸n kÝnh b»ng 18.biÕt: (d ): y = 9 + 3t t ∈ R v (P):y+4z+17=0.
z = 1 + t
B i 3: Trong kh«ng gian 0xyz , cho hai ®iÓm A(0;0;-3),B(2;0;-1) ,v mÆt ph¼ng (P):3x-8y+7z-1=0 .
a) (HVNH-2000): T×m to¹ ®é ®iÓm C n»m trªn mÆt ph¼ng (P) sao cho tam gi¸c ®Òu .
b) LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®i qua 3 ®iÓm A,B,C v cã t©m thuéc mÆt ph¼ng (P):x-y-z-2=0.
B i to¸n 4: MÆt cÇu tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng
B i 1: ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) biÕt :
x = 1 − t
a) T©m I(1;2;-1) v tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh : (d ) : y = t t∈R
z = −1
- 20 -
Copyright by webtailieu.net