Bài Tập Giải Tích Tổ Hợp
Bài 1: Cho 2 đường thẳng song song (d1) và (d2).Trên d1 có 17 điểm phân biệt ,d2 có 20 điểm phân biệt .Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong 37 điểm trên.
Bài Tập Giải Tích Tổ Hợp
Dạng 1: Tính số lượng
Bài 1: Cho 2 đường thẳng song song (d1) và (d2).Trên d1 có 17 điểm
phân biệt ,d2 có 20 điểm phân biệt .Tính số tam giác có các đỉnh là 3
điểm trong 37 điểm trên.
Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ .Thầy chủ
nhiệm muốn chọn 3 học sinh để tham gia tổ chức lễ khai giảng .Hỏi có
bao nhiêu cách
a) Chọn ra 3 học sinh trong lớp ?
b) Chọn ra 3 hoc sinh trong lớp trong đó có 1 nam và 2 nữ ?
c) Chọn ra 3 học sinh trong lớp trong đó có ít nhất 1 nam ?
Bài 3: Cho tập A= {1,2,3,….,9}.Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác
nhau nhỏ hơn 600 000 xây dựng từ A
Bài 4 : Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan
Bác Hồ trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi.Cần chọn ra nhóm 3 học
sinh đi dự cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh
em sinh đôi nào cả.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Bài 5: Có bao nhiêu số nguyên dương là ước của 75000?
Bài 6: Trên 1 mặt phẳng, 9 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng
song song khác thì tạo nên bao nhiêu hình bình hành trên mặt phẳng
đó?
Bài 7: Xét 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số gồm 2,3,4,5.Hỏi
có bao nhiêu số như thế:
a) Năm chữ số 1 đứng kề nhau?
b) Các chữ số đều xuất hiện tùy ý?
Bài 8: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A,B,C,D,E vào một cái ghế dài sao
cho
a) Bạn C ở chính giữa ?
b) Hai bạn A,E ngồi ở 2 đầu ghế?
Bài 9: Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5.Tìm tổng của các số gồm 5 chữ số tạo bởi
các hoán vị của năm chữ số đó?
Bài 10: Trong 1 phòng học có 2 chiếc ghế dài .Người ta cần xếp 10 học
sinh gồm 5 nam và 5 nữ vào 2 dãy ghế đó sao cho nam ngoài 1 ghế ,nữ
ngồi 1 ghế .Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Bài 11: Hỏi từ 10 chữ số 0,1,2,….,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6
chữ số khác nhau sao cho trong đó luôn có mặt chữ số 0 và 1?
Bài 12: Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó luôn có đúng 3
chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ ?
Bài 13: Có 9 viên bi xanh ,5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng
a) Có bao nhiêu cách chọn 6 viên bi trong đó có đúng 2
bi đỏ?
b) Có bao nhiêu cách chon 6 viên bi mà số bi xanh bằng
s ố bi đ ỏ
Bài 14: Trong lớp học có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ.Cần chọn ra
3 học sinh sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ.Hỏi có bao nhiêu cách
chọn ?
Bài 15: Có 5 nhà toán học nam ,3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam
.Cần lập 1 đoàn công tác gồm có 3 người có cả nam ,nữ ,có cả nhà toán
học và nhà vật lý học.Hỏi có bao nhiêu cách?
Bài 16: Cho tập hợp gồm 10 phần tử khác nhau .Hỏi có bao nhiêu tập
hợp con khác rỗng gồm số phần tử chẵn?
Bài 17:Một lớp học có 30 nam và 16 nữ .Cần 6 học sinh để lập 1 nhóm
tốp ca .Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho:
a) Phải có ít nhất 2 nữ
b) Có đúng 2 nam
Bài 18: Một đội văn nghệ gồm 20 người ,trong đó có 10 nam và 10 nữ
.Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 người sao cho:
a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó?
b) Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó?
Bài 19: Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người.Trong ngày cần cử 3
người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người làm nhiệm vụ ở địa điểm B,
4 người thường trực ở đồn .Hỏi có bao nhiêu cách phân công?
Bài 20: Có bao nhiêu số có 7 chữ số khác nhau bằng cách lập từ các chữ
số 1,2,3,4,5,7,9 sao cho 2 chữ số chẵn không đứng kề nhau?
Bài 21: Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số khác nhau từ tập
A={1,2,3,4,5,6} trong đó chữ số 1 và 6 đều xuất hiện 2 lần ,các chữ số
khác có mặt đúng 1 lần
Bài 22: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng của các chữ số của
mỗi số là số lẽ?
Bài 23: Từ 3 chữ số 1,2,3 co thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5
chữ số mà trong đó có mặt đầy đủ 3 chữ số trên?
Bài 24: Xếp 3 viên bi đỏ có kích thướt khác nhau và 3 viên bi xanh kích
thướt giống nhau vào 1 dãy gồm 7 ô trống .
a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau mà sao cho 3 viên bi
đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?
Bài 25: Từ 1 tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An
và Bình ,người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người .Tìm cách chọn
trong các trường hợp sau:
a) Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ ?
b) Trong tổ có 1 tổ trưởng ,5 tổ viên ,hơn nữa An và Bình
không đồng thời có mặt trong tổ?
Bài 26: có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong
đó luôn luôn có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1
Bài 27: có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau mà chữ số 2 có
mặt hai lần ,chữ số 3 xuất hiện ba lần và các chữ số còn lại có mặt
không quá một lần
Bài 28: có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từng đôi một
mà tổng của các chữ số này bằng 8
Bài 29: có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau.Tính tổng các chữ số đó?
Bài 30: cho tập A= {0,1,2,3,4,5} có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau
sao cho :
a) vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 10
b) chia hết cho 6
Dạng 2: Tìm hệ số chứa xktrong một khai
triển
Bài 1: Tìm số hạng không chứa x của khai triển Newton sau:
12
⎛ 1⎞
a) ⎜ x + ⎟
⎝ x⎠
17
⎛ 1 4 3⎞
b) ⎜ ⎟
⎜3 2 + x ⎟
⎝x ⎠
5
⎛ 2⎞
Bài 2: Trong khai triển sau: ⎜ 3x 3 − ⎟ tìm hệ số của số hạng chứa
x2 ⎠
⎝
x10
3n
⎛ 1⎞
⎜ 2nx + ⎟
Bài 3: Tổng các hệ số của khai triển bằng 64.Tính
2nx 2 ⎠
⎝
số hạng không chứa x
n
⎛ −1 ⎞
Bài 4: Tổng các hệ số bậc chẵn trong khai triển của ⎜ 4 x + x 4 ⎟ bằng
⎜ ⎟
⎝ ⎠
512. Tính số hạng không chứa x
Bài 5: Tổng của hệ số của số hạng thứ 2 và thứ 3 của khai triển sau:
n
⎛5 2 1 ⎞
⎜ x−6 ⎟ bằng 25,5 .Tính số hạng độc lập với x
⎝ 2 x⎠
Bài 6: Với giá trị bao nhiêu của x thì số thứ tư của khai triển
)
(2 m
x −1 −x
3
−2 bằng 20m, biết rằng hệ số tổ hợp thư tư trong khai
triển gấp 5 lần hệ số tổ hợp thứ hai trong khai triển
n
⎛ ⎞
⎜ 2x + 1 ⎟
Bài 7: Tìm giá trị của x sao cho trong khai triển có
⎜ ⎟
2 x −1 ⎠
⎝
số hạng thứ 3 và thứ 5 có tổng bằng 135,các hệ số của ba số hạng cuối
của khai triển có tổng bằng 22
Bài 8: Tìm giá trị x sao cho khai triển
m
⎛ ⎞
lg(10−3x )
+ 5 2( x−2) lg 3 ⎟
⎜2 sao cho số hạng thứ 6 là 21, các hệ số
⎝ ⎠
thứ hai ,ba ,bốn của khai triển là các số hạng thứ nhất ,ba và năm của
một cấp số cộng
n
⎛a a7 ⎞
⎜ + 3⎟
10
Bài 9: Trong khai triển của có số hạng chứa ab.Tìm số
⎜b b⎟
⎝ ⎠
hạng ấy
n
⎛3 ⎞
− 28
Bài 10: Trong khai triển nhị thức ⎜ x x + x 15 ⎟ hãy tìm số hạng
⎜ ⎟
⎝ ⎠
không phụ thuộc vào x .Biết rằng Cnn + Cnn −1 + Cnn −2 = 79
Bài 11: Tìm số nguyên dương n sao cho trong khai triển sau
n
⎛1 ⎞
+3⎟ tỉ số của sồ hạng thứ 4 và số hạng thứ 3 là 3
⎜ 2
⎝2 ⎠
Bài 12: Với giá trị nào của x thì số hạng thứ 4 của khai
( )
triển 5+ 2 x
16
lớn hơn số hạng thứ 3 và thứ 5
Bài 13: Cho P(x) = (1+x) + 2(1+x)2 + 3(1+x)3 +….+ 20(1+x)20 được
khai triển dưới dạng P(x) = a0+a1x+a2x2+……+a20x20.Tìm a15
Bài 14: Cho P(x) = (1+2x+3x2)10. Xác định hệ số của x3 trong khai triển
của P(x) theo lũy thừa x
Bài 15: Cho P(x) = (1+x+x2+x3)10.Tìm hệ số chứa x10 của khai triển ấy
Bài 16: Cho P(x) = (1+2x)12 thành dạng a0 + a1x + a2x2 +…..+
a12x12.Tìm max(a1,a2,…,a12)
Bài 17: Biết tổng các hệ số của khai triển sau (x2+1)n bằng 1024, hãy
tìm hệ số a của số hạng chứa ax12 trong khai triển đó
Dạng 3: Giải phương trình ,bất phương
trình,hệ phương trình có chứa các công thức
tổ hợp ,chỉnh hợp và giai thừa
Bài 1: giải các phương trình sau
7
C +C +C = x
1 2 3
x x x
2
a)
4
An 24
=
An +1 − C n − 4 23
3 n
b)
C 1 + 6C x2 + 6C x = 9 x 2 − 14 x
3
c) x
−
C xx+12 + 2C x−1 = 7( x − 1)
3
d)
Ax − 2C x = 3 Ax
3 4 2
e)
30
−1
Axx+1 + 2 Px−1 = Px
f)
7
Axy++11 Px − y
= 79
g) Px −1
Px +3
= 720
h) 5
Ax Px −5
5
Ax
= 336
x −5
C x −1
i)
Cxx−1 + Cxx−2 + ..... + Cxx−9 + Cxx−10 = 1023
j)
Bài 2 : giải các bất phương trình và hệ sau:
C xy + 1 C x −1
C xy+ 1 Y
= =
a)
6 5 2
12 63
A2 x − Ax2 ≤ C x + 10
b)
2 x
{ 2 Axy + 5C xy = 90
c)
5 Axy − 2C xy = 80
{
A yx y−x
+C = 126
y
P x −1
d)
P x + 1 = 720
C xy −1 C xy− 2 + C xy−−22 + 2C xy +1 C xy +1
= =
e)
3 2 5
y −1 y −1 y −1
A x −1 + yA x −1
y
A C
=x=x
f)
10 2 1
Dạng 4: Chứng minh các hệ thức giải tích tổ
hợp
Bài 1: Cho hai số nguyên n và m thỏa mãn 0 < m < n.
mC nm = nC nm−− 1
Chứng minh rằng 1
Bài 2: Chứng minh rằng:
C2 n + C2 n + .... + C2 n = C2 n + C2 n + .... + C2 n −1
0 2 2n 1 3 2n
Bài 3: Tính tổng sau:
S = C11 + C11 + C11 + C11 + C11 + C11
6 7 8 9 10 11
Bài 4: Chứng minh rằng:
316 C16 − 315 C16 + 314 C16 − ...... + 30 C16 = 216
0 1 2 16
Bài 5: Tính tổng sau:
S= C 10 + C 10 + C 10 + C 10 + C 100
6 7 8 9 1
Bài 6: Chứng minh rằng:
Cn + 3Cn −1 + 3Cn −2 + Cn −3 = Cn+3
k k k k k
Bài 7: Chứng minh rằng:
C n = C n −−1 + C n −−21 + ..... + C m −1 + C m −1
m −1
m m m m
1
Bài 8: Chứng minh rằng:
Cn + 4Cn −1 + 6Cn −2 + 4Cn −3 + Cn −4 = Cn+4
k k k k k k
Bài 9: Chứng minh rằng:
−
C2002C2002 + C2002C2001 + .....+ C2002C2002−k + C2002C10 = 1001.22002
0 2001 1 2000 k 2001 k 2001
Bài 10: Chứng minh rằng:
2 n−1 − 1
1111 1
1 + C n + Cn + .... + Cn =
n
n +1 n +1
2 3
Bài 11: Chứng minh rằng:
(−1) n n 1
101112
Cn =
Cn − Cn + Cn − .... +
2n + 2 2n + 2
2 4 6
Bài 12: Chứng minh rằng:
2.1.Cn +3.2.Cn +4.3.Cn +.....+n.(n −1).Cn = n(n −1)2n−2
2 3 4 n
Bài 13: Chứng minh rằng:
Cn .3n−1 + 2Cn .3n−2 + 3Cn .3n−3 + ....+ nCn = n.4n−1
1 1 1 1
Bài 14: Tính tổng
S= C 2000 + 2C 2000 + 3C 2000 + ..... + 2001C 2000
0 1 2 2000
Bài 15: Chứng minh rằng:
(C ) + (C ) + (C ) +....+ (Cn )2 = C2n
02 12 22 n n
n n n
