Bài tập chuỗi
Các biến chuỗi sử dụng để lưu trữ một chuỗi các ký tự. Như các biến khác, các biến này phải được khai báo trước sử dụng. Một hằng chuỗi là một dãy các ký tự nằm trong dấu nháy kép. Mỗi ký tự trong một chuỗi được lưu trữ như là một phần tử của mảng. Ký tự "\0" (null) được tự động thêm vào trong cách biểu diễn bên trong của chuỗi để đánh dấu điểm kết thúc chuỗi. Vì vậy, khi khai báo một chuỗi,...
CHUOÃI SOÁ – CHUOÃI HAØM
¥
åx
Tính toång vôùi :
n
n =1
1
a) x n = q n b) x n =
(| q |< 1)
n(n + 1)
1 1
c) x n = d) x n =
(n ³ 2)
( )
n -1
2
n +1 + n n(n + 1)
. Giaûi:
Ñaët Sn = x1 + x 2 + ... + x n
1 - qn
a) Sn = q + q 2 + ... + q n = q
1- q
¥
q
åx = lim Sn =
n
1- q
n ®¥
n =1
1 1
b) Ta coù x k = - , töø ñoù
k k +1
æ 1ö æ 1 1ö æ1 1ö 1
Sn = ç1 - ÷ + ç - ÷ + ... + ç - ÷ =1-
è n n +1ø n +1
è 2ø è 2 3ø
¥
åx = lim Sn = 1
n
n ®¥
n =1
1æ 1 1ö
1
c) Ta coù x k = =ç - ÷, k ³ 2
k -1 2 è k -1 k +1 ø
2
1 ææ 1 ö æ 1 1 ö æ 1 1 ö 1 öö
æ1
Sn = x 2 + x 3 + ... + x n = ç ç1 - ÷ + ç - ÷ + ç - ÷ + ... + ç - ÷÷
è n -1 n +1 ø ø
2 èè 3ø è 2 4 ø è 3 5 ø
1æ 1 1 1ö
= ç1 + - - ÷
2 è 2 n n +1ø
¥
1æ 1ö 3
å x n = nlim Sn = 2 ç1 + 2 ÷ = 4
è ø
®¥
n =1
k +1 - k
1
d) Ta coù x k = =
( ) k. k + 1
k +1 + k k(k + 1)
1 1
=
-
k +1
k
1ö æ1 1ö
æ1 æ1 1ö
neân Sn = ç - ÷+ç - ÷ + ... + ç - ÷
n +1 ø
è1 2ø è 2 èn
3ø
1
.
= 1-
n +1
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
¥
åx
Vaäy = lim Sn = 1
n
n ®¥
n =1
Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa caùc chuoãi sau :
¥ ¥
1 1
a) å 2 å2
b) n
n =1 n n =1
¥ ¥
n 1
c) å n ån
d)
n =1 2 n =1
2n + 3n
¥
¥
1
å ln n f) å
e)
6n
n=2 n =1
. Giaûi:
¥ ¥
1 1 1 1
, "n ³ 1 vaø å hoäi tuï neân å 2 hoäi tuï.
a) 2 £
n(n + 1) n =1 n(n - 1)
n n =1 n
¥ ¥
1
1 1
b) å n = å q n vôùi 0 < q = < 1 neân å n hoäi tuï.
2
n =1 2 n =1 2
n
n n
c) do ® 0 neân n < 2 2 , "n ³ n 0 .
=
( 2)
n n n ®¥
22
n
n 22
Töø ñoù n £ n , n ³ n 0
2 2
n 1
hay n £ , n ³ n0
()
n
2 2
¥
1 n
å2
å
maø hoäi tuï neân hoäi tuï.
( 2)
n n
n =1
1 1
d) ñaët Sn = 1 + + ... +
2 n
1
vôùi e0 = , vaø moïi soá nguyeân n Î N laây n ³ N vaø m =2n
2
1 1 1 1
thì Sm - Sn = + + ... + ³ ( = e)
n +1 n + 2 n+n 2
1
ån
do ñoù theo tieâu chuaån Cauchy, ( Sn )n khoâng hoäi tuï, neân phaân kyø.
1 1
e) Töø n > ln n , n ³ 2 ta coù >
ln n n
¥
1 1
maø å phaân kyø neân å phaân kyø.
n n = 2 ln n
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
2 n + 3n 1 1 1 1
å3 å2
f) Vôùi x n = = n + n vaø caùc chuoãi : vaø hoäi tuï.
6n n n
32
2n + 3n
¥
Vaäy å hoäi tuï.
6n
n =1
Chöùng minh raèng chuoãi:
2.4 2.4.6
+ ... phaân kyø.
1+ +
1.3 1.3.5
. Giaûi:
2.4.6...2n
Soá haïng toång quaùt x n = >1
1.3.5...(2n - 1)
¥
åx
Þ daõy ( x n ) n khoâng coù giôùi haïn laø 0 neân phaân kyø.
n
1
¥ ¥
å (a ) å ( b ) vôùi a
Cho vaø ³ 0 "n
n n n
n =1 n =1
b n ³ 0 "n
an
= c ( ³ 0 ) . CMR
vaø lim
n ®¥ b
n
¥ ¥
å ( bn ) hoäi tuï thì å ( a n )
a) c = 0 , vaø hoäi tuï.
n =1 n =1
¥ ¥
å ( bn ) phaân kyø thì å (a )
b) c = ¥ , vaø phaân kyø.
n
n =1 n =1
¥ ¥
å (a n ) å ( b ) cuøng baûn chaát, nghóa laø cuøng phaân kyø hay cuøng
c) 0 < c < ¥ thì vaø n
n =1 n =1
hoäi tuï, luùc ñoù seõ ghi a n ~ b n (n ® ¥)
. Giaûi:
an
a) do lim = 0 neân $n 0 sao cho 0 £ a n £ b n , "n ³ n 0
bn
n ®¥
¥ ¥
å ( bn ) hoäi tuï daãn ñeán å (a )
Vaäy hoäi tuï.
n
n =1 n =1
an
b) do lim = ¥ neân $n 0 sao cho b n £ a n , "n ³ n 0
bn
n ®¥
¥ ¥
å ( bn ) phaân kyø daãn ñeán å ( a ) phaân kyø.
Vaäy n
n =1 n =1
an
c) lim = c vôùi 0 < c < ¥ , $n 0 :
bn
n ®¥
c 3c
b n £ a n £ .b n , "n ³ n 0
2 2
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
¥ ¥ ¥
3c
å ( bn ) hoäi tuï thì å2 .b n hoäi tuï, do ñoù å ( a n ) hoäi tuï
neáu
n =1 n =1 n =1
¥ ¥ ¥
c
å (b ) phaân kyø thì å .b n phaân kyø do ño å ( a n ) phaân kyø.
neáu n
n =1 2
n =1 n =1
Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa caùc chuoãi sau:
1 1
a) å b) å
1+ n2
n(n + 1)
1 1
å å
c) d)
( ln n )
n
n(n + n 2 )
n! 1
ån å
e) f)
2
n ln n
xn xn
g) å n (x ³ 0) h) å
n n!
2n + 1 p
¥ ¥
1
i) å 2 j) å sin
n = 4 n - 4n + 3 n =1 n n
. Giaûi:
¥
¥
1 1 1
1
ån å
a) (n ® ¥) vaø do phaân kyø neân phaân kyø.
~
n(n + 1) n n(n + 1)
n =1 n =1
1 1 1
£ 2 neân å
b) hoäi tuï.
1+ n 1+ n2
2
n
1
c) Ñaët x n = ta coù
( ln n )
n
1
® 0 (< 1)
xn =
n
ln n n ®¥
1
å hoäi tuï
( ln n )
n
1 1 1
å
d) ( n ® ¥ ) neân hoäi tuï.
~ 3
n(n + n 2 )
n(n + n ) 2
n 2
( n + 1)! ´ n 2 = n 2 ® ¥ , neân chuoãi
n! x n!
ån
e) x n = 2 töø ñoù n +1 = phaân kyø.
( n + 1) n! n + 1
2 2
n xn
1
n ln n = n ® ¥
f) Xeùt
1 ln n
n
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
1 1
ån å
maø phaân kyø, vaäy phaân kyø.
n ln n
xn
å n n hoäi tuï theo tieâu chuaån Cauchy.
g)
xn
å n! hoäi tuï theo tieâu chuaån D’Alembert.
h)
2n + 1 2n + 1
1
~ ( n ® ¥ ) neân å 2
i) do 2 phaân kyø
n - 4n + 3 n n - 4n + 3
p
1
sin
n = n sin p ® p
j) Xeùt n
1 n n ®¥
2
n
p1 p
1
neân n sin ~ 2 ( n ® ¥ ) . Vaäy å sin hoäi tuï.
nn n n
p
é1.3.5...(2n - 1) ù
¥
å ê 2.4.6...2n ú
< VI.6> Cho chuoãi soá
n =1 ë û
Chöùng minh raèng chuoãi hoäi tuï khi vaø chæ khi p > 2
. Giaûi:
p
é1.3.5...(2n - 1) ù
Ñaët x p = ê
ë 2.4.6...2n ú
n
û
1 3 5 (2n - 1) 3 5 (2n - 1) (2n + 1) 1
ta coù x 2 = . . ... .1. . ... . .
n
2 4 (2n - 2) 2n + 1
246 2n 2n
æ 1 öæ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö æ 1ö 1
= ç1 - ÷ç1 - ÷ ... ç1 - ÷ . ç1 + ÷ ç1 + ÷ ... ç1 + ÷ .
è 2 øè 4 ø è 2 ø è 2 ø è 4 ø è 2n ø 2n + 1
1ö æ 1ö 1
æ 1 öæ
= ç1 - 2 ÷ ç1 - 2 ÷ ... ç1 - .
2÷
è 2 ø è 4 ø è (2n) ø 2n + 1
1¥ 1 1
11 1 1
= å 2 £ 2=
do + 2 + ... +
( 2n ) 4 k =1 k 4 2
2
2
24
11
neân x 2 ³ .
n
2 2n + 1
11
maø vì å . åx
phaân kyø, ta coù phaân kyø.
2
n
2 2n + 1
Töø ñoù suy ra
¥
åx
p £ 2 : ta coù x p ³ x 2 neân phaân kyø.
p
n n n
1
p > 2:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
p
éæ 1ö1ù
1ö æ
p
1 öæ 2
Ta coù x p = (x ) = êç1 - 2 ÷ ç1 - 2 ÷ .. ç1 -
22
ú
2÷
n n
ëè 2 ø è 4 ø è (2n) ø 2n + 1 û
1
£ p
( 2n + 1) 2
¥ ¥
1 p
å åx
maø hoäi tuï ( > 1) , neân hoäi tuï.
p
n
p
2
n =1 n +1
(2n + 1) 2
Khaûo saùt söï hoäi tuï tuyeät ñoái cuûa
x 2n +1 xn
a) å (-1) å (-1)
b)
2n +1 n +1
( 2n + 1) ! ( x + 2)
n
. Giaûi:
2n +1
x 2n +1 x
a) Ñaët a n = (-1) 2n +1
=
( 2n + 1)! ( 2n + 1)!
( 2n + 1)! =
2n + 3 2
x x
a
Ta coù n +1 = ®0
.
( 2n + 3)! x ( 2n + 2 ) ( 2n + 3) n ®¥
2n +1
an
åa hoäi tuï vôùi "x Î .
Vaäy n
x 2n +1
å (-1) hoäi tuï tuyeät ñoái taïi "x Î .
hay 2n +1
( 2n + 1) !
n
x
xn
b) Ñaët a n = (-1) ("x ¹ -2) .
n +1
=
( x + 2)
n n
x+2
x
an =
n
x+2
x
Ta coù -1
x
> 1 Û x < -1
x+2
åa
x = -1 thì an =1 neân phaân kyø.
n
xn
å (-1)
Vaäy hoäi tuï tuyeät ñoái khi vaø chæ khi x > -1
n +1
( x + 2)
n
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
åa åa b
Cho ( b n )n bò chaën vaø a n ³ 0, "n . Giaû söû hoäi tuï. CMR hoäi tuï.
n n n
. Giaûi:
Do ( b n )n bò chaën neân $M > 0 : | b n |£ M, "n
neân ( a n ³ 0 ).
M.a n ³| a n .b n |, "n
å Ma åa b åa b
vaø hoäi tuï neân hoäi tuï, do ñoù hoäi tuï.
n n n n n
( ln n )
k
å
Xeùt tính hoäi tuï cuûa vôùi k > 1 vaø p > 1
np
. Giaûi:
Vôùi p > 1, ta coù p = 1 + a trong ñoù a > 0 .
( ln n )
k
( ln n )
k
a
np
Xeùt = ®0 ( > 0)
a
1 2
n ®¥
n 2
a
1+
n 2
( ln n )
k
¥
1
å å
Maø hoäi tuï, neân hoäi tuï.
a
np
1+ n =2
n 2
¥
1
ån
Khaûo saùt tính hoäi tuï cuûa (a, b > 0)
a
ln b n
n=2
. Giaûi:
1
Xeùt haøm soá f (x) = xaùc ñònh treân [2, ¥) vaø laø haøm soá giaûm.
x ln b x a
Hôn nöõa ôû baøi taäp tích phaân, ta coù
¥
dx
ò x a lnb x hoäi tuï.
a >1
2
¥
dx
òx phaân kyø
a 1 hoäi tuï
a
ln b x
2
¥
dx
òx
- b £1 phaân kyø
a
ln b x
2
¥
1
ån
Töø ñoù hoäi tuï khi vaø chæ khi a > 1 hay a = 1 vaø b > 1
a
ln b n
n=2
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
åa åb åa b
Cho vaø hoäi tuï. CMR hoäi tuï
2 2
n n n n
. Giaûi:
a 2 + b2
Ta coù a n b n £ , "n.
n n
2
a 2 + b2
maø å a , å b hoäi tuï neân å a + b hoäi tuï vaø do ñoù å n hoäi tuï vaäy
2 2 2 2
n
n n n n
2
åa b åa b
hoäi tuï, suy ra hoäi tuï.
n n n n
åa
Cho a n ³ 0, "n vaø phaân kyø
n
¥ ¥
a an
å 1 + na phaân kyø, coøn å 1+ n a
CMR hoäi tuï.
2
n =1 n =1
n n
. Giaûi:
¥
an an
å1+ a
Giaû söû ® 0 , neáu ngöôïc laïi thì phaân kyø.
1 + a n n ®¥ n =1 n
e
Ta coù : "e > 0 , ñaët e' =
1+ e
an
$n 0 : n ³ 0 Þ < e'
1+ an
e'
= e , n ³ n0 .
Þ an <
1 - e'
Vaäy lim a n = 0
n
töø ñoù a n £ a n , "n ³ N 0 (N0 ñuû lôùn).
å
Suy ra luùc ñoù a n phaân kyø.
an a 1
Hôn nöõa ³ n= (a n > 0)
an
1+ an 2 an 2
an 1
Vaø neáu an = 0.
³ an
1+ an 2
an
1
å2 å1+ a
do a n phaân kyø neân phaân kyø.
n
an 1
Deã daøng kieåm chöùng £ 2 , "n
1 + a n .n 2
n
an
1
ån å 1+ n a
töø ñoù do hoäi tuï, ta coù hoäi tuï.
2
2
n
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
an
åa å
Cho a n ³ 0 , "n vaø hoäi tuï. CM hoäi tuï.
n
n
. Giaûi:
å( ) = åa 1
2
ån
Töø vaø hoäi tuï.
an n 2
an
å
Theo , hoäi tuï.
n
Tìm mieàn hoäi tuï cuûa :
xn
å nx ån
a) b)
n
n
xn
å2 d) å 2
c) -n n
x
n + 2n
. Giaûi:
a) a n = n Þ n a n = n n ® 1 taïi x = ±1 chuoãi phaân kyø
n ®¥
å nx laø ( -1,1)
Vaäy mieàn hoäi tuï cuûa n
1 1
b) a n = Þ n an = ® 0
n
n n n ®¥
xn
chuoãi å n coù mieàn hoäi tuï laø ( -¥, +¥ )
n
1
c) a n = 2- n Þ n | a n | =
2
å2 x n hoäi tuï treân "x :| x |< 2 vaø phaân kyø vôùi "x :| x |> 2
-n
( -2 )
n
å
x=-2 : phaân kyø.
2n
2n
å 2n phaân kyø
X= 2 :
Vaäy mieàn hoäi tuï laø ( -2, 2 ) .
1 1
d) a n = Þ n an = ®1
n + 2n
2
n + 2n n ®¥
n 2
åa x n hoäi tuï vôùi "x : | x |< 1
n
vaø phaân kyø vôùi "x : | x |> 1
taïi x = ±1 chuoãi hoäi tuï.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Vaäy mieàn hoäi tuï laø [ -1,1]
Tìm mieàn hoäi tuï cuûa
xn
a) å åx
b) n
ln n
n
xn 2n
å ( 4n - 1)! å ( 2n + 7 )! x n
c) d)
. Giaûi:
a) Baùn kính hoäi tuï laø R = 1.
x = 1 chuoãi phaân kyø.
x = -1 chuoãi hoäi tuï (theo Leibnitz)
mieàn hoäi tuï laø [-1,1)
b) Baùn kính hoäi tuï laø R=1
taïi x = ±1 chuoãi phaân kyø.
Mieàn hoäi tuï laø (-1, 1).
( 4n - 1)! =
1 a 2
c) a n = , thì n +1 =
( 4n - 1)! ( 4n + 3)! 4n ( 4n + 1) ( 4n + 2 ) ( 4n + 3)
an
Baùn kính hoäi tuï R = ¥
Mieàn hoäi tuï laø (-¥, +¥)
( 2n + 7 ) ! =
2n +1
2n a 2
d) a n = thì n +1 = ´
( 2n + 7 )! ( 2n + 9 )! ( 2n + 8) ( 2n + 9 )
n
an 2
mieàn hoäi tuï laø (-¥, +¥) .
¥
1
åx
Chöùng minh raèng hoäi tuï ñeàu treân [0, ] vaø khoâng hoäi tuï ñeàu treân (0,
n
2
n =0
1).
. Giaûi:
n
æ1ö 1
Ta coù x n £ ç ÷ , "x Î [0, ]
è 2ø 2
1
1
Vaø å n hoäi tuï neân å x n hoäi tuï ñeàu treân [ 0, ]
2
2
ñaët Sn (x) = 1 + x + x + ... + x
2 n
1 - x n +1
=
1- x
1
"x Î (0,1) ta coù limSn (x) = = S(x)
1- x
n
x n +1
1
xeùt Sn (x) - =
1- x 1- x
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
vôùi n cho tröôùc, ta coù :
xn xn
= ¥ neân $x : >1
lim
x ®1 1 - x 1- x
Vaäy Sn(x) khoâng hoäi tuï ñeàu veà S(x) treân (0, 1).
¥
å (1 - x ) x
CMR khoâng hoäi tuï ñeàu treân [0, 1].
n
n =0
. Giaûi:
1 - x n +1
¥
Ñaët Sn ( x ) = å (1 - x ) x = (1 - x ) = 1 - x n +1 (k ¹ 1)
k
1- x
k =0
Sn (x) = 0 taïi x = 1 .
ì1 , x ¹ 1
Vaäy Sn (x) ® S(x) = í
î0 , x = 1
do ñoù : f n (x) = (1 - x ) x n lieân tuïc treân [0, 1] vaø S(x) khoâng lieân tuïc treân [0, 1] neân
Sn (x) khoâng hoäi tuï ñeàu veà S(x) treân [0, 1].
1
ån
Chöùng minh hoäi tuï ñeàu treân [0, ¥)
+ x2
2
. Giaûi:
1 1
£ a n = 2 , "x Î [ 0, ¥ )
Vôùi f n (x) =
n +x
2 2
n
åa åf
do hoäi tuï neân (x) hoäi tuï ñeàu.
n n
sin nx
å hoäi tuï ñeàu treân .
Chöùng minh
nn
. Giaûi:
sin nx
Vôùi f n (x) =
nn
1 1
ån åf
do f n (x) £ vaø hoäi tuï neân (x) hoäi tuï ñeàu.
n
nn n
treân [ 0, ¥ )
åx e
Xeùt tính hoäi tuï ñeàu cuûa n - nx
. Giaûi:
Xeùt haøm soá f n (x) = x n e- nx ta coù f n' (x) = nx n -1.e- nx - nx n e- nx
= nx n -1e - nx (1 - x )
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
x0 1 +¥
+ 0 -
'
f (x)
n
e- n
f n (x)
0 0
Vaäy 0 £ f n (x) £ e- n , "x Î [ 0, ¥ )
åe åf
maø hoäi tuï vaäy (x) hoäi tuï ñeàu.
-n
n
xn
å 1 + x n hoäi tuï ñeàu treân moïi ñoaïn [0, c] vôùi 0 < c < 1 ,
Chöùng minh chuoãi
nhöng khoâng hoäi tuï ñeàu treân [ 0,1) .
. Giaûi:
Vôùi moïi soá c Î (0,1) .
xn
Xeùt haøm soá f n (x) = taêng (theo bieán x)
1+ xn
cn
£ cn , " Î [ 0, c]
Do ñoù f n (x) £
1+ x n
åc åf
Do hoäi tuï neân (x) hoäi tu ñeàu treân [0, c].
n
n
Xeùt treân [0, 1)
xk n
Ñaët Sn (x) = å
k =1 1 + x
k
"m, n cho tröôùc ta coù
x n +1 x m +1
(m > n)
Sm (x) - Sn (x) = + ... +
1 + x n +1 1 + x m +1
xn xn
1 1
= neân $x Î [ 0,1) :
do lim >
x ®1 1 + x n 1+ x n
2 3
åf
vaäy (x) khoâng hoäi tuï ñeàu treân [0, 1).
n
¥
1
Cho f (x) = å
n =1 1 + n x
2
a) Tìm mieàn xaùc ñònh cuûa f.
b) Xeùt tính lieân tuïc cuûa f.
. Giaûi:
a)
x = 0 , chuoãi khoâng hoäi tuï neân f khoâng xaùc ñònh.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
1 1
, soá haïng toång quaùt khoâng xaùc ñònh, haøm soá khoâng xaùc ñònh
x=-
1+ n2x
2
n
-1 -1 -1 1 1
"x Î \ {0, , 2 , 2 ,...} ñöôïc choïn tröôùc ~ 2 ( n ® ¥ ) neân
1+ n x n
2
123
1
å 1 + n 2 x hoäi tuï tuyeät ñoái , f xaùc ñònh.
-1 -1 -1
Vaäy mieàn xaùc ñinh cuûa f laø D = \{0, , 2 , 2 ,...}
123
b) Laáy x0 baát kyø treân D.
Toàn taïi a, b Î : x 0 Î [ a, b] Ì D
1
giaûm (theo bieán x) treân [ a, b] neân
Do f n (x) =
1 + n 2x
f n (b) £ f n (x) £ f n (a), "x Î [ a, b] , "n Î N , vì vaäy f n (x) £ max( f n (b) , f n (a ) ) = a n
åa åf
Trong ñoù a n = f n (a) hay a n = f n (b) vaø coù hoäi tuï. Suy ra (x) hoäi tuï ñeàu
n n
treân [ a, b] , maø caùc haøm fn lieân tuïc treân [ a, b] , vaäy f lieân tuïc treân [ a, b] . Töùc laø f lieân
tuïc tai x0 vaø do ñoù f lieân tuïc treân D.
nx 2
treân [ 0, ¥ )
Xeùt tính lieân tuïc cuûa f (x) = å
x3 + n3
. Giaûi:
nx 2 nx 2 x 2
Vôùi x ³ 0 thì : £ 3= 2
x3 + n3 x n
Vôùi baát kyø x ³ 0 toàn taïi a > 0 thoûa 0 £ x £ a neân
nx 2 n.a 2 a 2
0£ 3 £ 3=2
x + n3 n n
2
a
maø å 2 hoäi tuï
n
nx 2
å x 3 + n 3 hoäi tuï ñeàu treân [0, a]
neân
nx 2 nx 2
suy ra f (x) = å lieân tuïc treân [0, a] (vì f n (x) = 3 lieân tuïc, "n )
x3 + n3 x + n3
Þ f lieân tuïc taïi moi x Î [ 0, ¥ ) .
1
Tính ñaïo haøm cuûa f (x) = å
n + x2
2
. Giaûi:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
-2x
1 2|x |
vôùi f n (x) = ta coù f n' (x) = neân f n' (x) £ 4
(n2 + x2 )
n +x 2
2 2
n
vôùi x 0 Î cho tröôùc
(x) hoäi tuï ñeàu treân [ x 0 - 1, x 0 + 1]
åf '
n
(x) hoäi tuï ñeàu treân [ x 0 - 1, x 0 + 1] , ta laïi coù caùc haøm f n' lieân tuïc neân
åf n
'
é ù
ê å f n (x) ú = å f n (x), "x Î [ x 0 - 1, x 0 + 1]
'
ë û
-2x
vaäy f ' (x) = å , "x Î
(n2 + x2 )
2
Tính caùc toång voâ haïn:
a) -2x + 4x 3 - 6x 5 + ... + (-1)k 2k.x 2k -1... | x |< 1
n -1
2
1 2x 3x nx
b) + 2 + 3 + ... + n + ... | x |< a
aa a a
2 3 n
x x x
c) x + + + ... + + ... | x |< 1
2 3 n
. Giaûi:
¥
å (-1)
a) Xeùt chuoãi 2nx 2n -1 (1) | x |< 1
n
n =1
vôùi f n (x) = (-1) 2nx 2n -1 coù moät nguyeân haøm laø
n
Fn (x) = (-1) n x 2n
Chuoãi (1) coù baùn kính hoäi tuï laø R = 1, neân vôùi moïi x 0 Î (-1,1)
$a > 0 : x 0 Î [ -a, a ] Ì ( -1,1)
(1) hoäi tuï ñeàu treân [ -a, a ] . Hôn nöõa å F (x) cuõng hoäi tuï treân [ -a, a ] neân:
n
'
æ¥ ö ¥
Fn (x) ÷ = å f n (x) , "x Î [ -a, a ]
çå
è1 ø n =1
'
æ¥ ö ¥
Vaø do ñoù ç å Fn (x) ÷ = å f n (x) , "x Î ( -1,1)
è1 ø n =1
Sn (x) = F1 (x) + ... + Fn (x)
æ 1 - (- x 2 )n ö
= - x 2 + x 4 + ... + (-1) n x 2n = - x 2 ç ÷
è 1+ x ø
2
-x 2
¥
töø ñoù å Fn (x) = lim Sn (x) = , x Î ( -1,1)
1+ x2
n ®¥
1
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
'
æ x2 ö -2x
¥
neân å f n (x) = ç - =
2÷
è 1 + x ø (1 + x 2 )
2
åf
b) Chuoãi cho coù daïng (x) vôùi
n
nx n -1
vôùi | x |< a
f n (x) =
an
n
xn æ x ö x
coù nguyeân haøm laø Fn (x) = =ç ÷ , khaû vi lieân tuïc treân .
Do f n' (x) = g n -1 (x)
vaø g 'n (x) = -f n -1 (x)
åf åg
Söï hoäi tuï ñeàu cuûa f (x), g(x) daãn ñeán söï hoäi tuï ñeàu cuûa (x) vaø
' '
(x)
n n
Töø ñoù
'
æ ö
f (x) = ç å fn (x) ÷ = å fn' (x) = å g n (x) = g(x)
'
è ø
'
æ ö
vaø g (x) = ç å g n (x) ÷ = + å g 'n (x) = -å f n (x) = -f (x) .
'
è ø
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
