Bài tập ánh xạ liên tục
Giải tích cơ sở - Chuyên ngành: Giải tích, PPDH Toán - Phần 1: Không gian Metric - Bài tập Ánh xạ liên tục
GI I TÍCH (CƠ S )
Tài li u ôn thi cao h c năm 2005
Phiên b n đã ch nh s a
PGS TS Nguy n Bích Huy
Ngày 26 tháng 1 năm 2005
§5. Bài ôn t p
Bài 1:
Trên X = C[0,1] ta xét metric h i t đ u. Cho t p h p A = {x ∈ X : x(1) = 1, 0 ≤ x(t) ≤
1
x2 (t) dt.
1 ∀t ∈ [0, 1]} và ánh x f : X → R, f (x) =
0
1. Ch ng minh inf f (A) = 0 nhưng không t n t i x ∈ A đ f (x) = 0.
2. Ch ng minh A không là t p compact.
Gi i
1. • Đ t α = inf f (A). Ta có f (x) ≥ 0 ∀x ∈ A nên α ≥ 0.
V i xn (t) = tn , ta có xn ∈ A
1
1
t2n dt =
α ≤ f (xn ) = −→ 0 (n → ∞)
2n + 1
0
Do đó α = 0.
• N u f (x) = 0, ta có:
1
x2 (t) dt = 0, x2 (t) ≥ 0, x2 (t) liên t c trên [0, 1]
0
=⇒ x(t) = 0 ∀t ∈ [0, 1]
=⇒ x ∈ A.
/
2. Ta có:
f liên t c trên X, nh n giá tr trong R (xem bài t p §3)
∀x ∈ A
f (x) = inf f (A)
=⇒ A không compact (xem lý thuy t §4).
1
Bài 2:
Cho (X, d) là không gian metric compact và ánh x X → X th a mãn
∀x, y ∈ X, x = y.
d(f (x), f (y )) < d(x, y ) (1)
Ch ng minh t n t i duy nh t đi m x0 ∈ X th a mãn x0 = f (x0 ) (ta nói x0 là đi m b t đ ng c a
ánh x f ).
Gi i
Ta xét hàm g : X → R, g (x) = d(f (x), x), x ∈ X . Ta ch c n ch ng minh t n t i duy nh t
x0 ∈ X sao cho g (x0 ) = 0.
Áp d ng b t đ ng th c t giác và đi u ki n (1), ta có
|g (x) − g (y )| = |d(f (x), x) − d(f (y ), y )| ≤ 2d(x, y )
nên g liên t c. T đây và tính compact c a X ta có:
∃x0 ∈ X : g (x0 ) = inf g (X ) (2)
Ta s ch ng minh g (x0 ) = 0. Gi s g (x0 ) = 0; ta đ t x1 = f (x0 ) thì x1 = x0 , do đó:
d(f (x1 ), f (x0 )) < d(x1 , x0 )
⇒ d(f (x1 ), x1 ) < d(f (x0 ), x0 )
⇒ g (x1 ) < g (x0 ), m u thu n v i (2).
V y g (x0 ) = 0 hay f (x0 ) = x0 .
Đ ch ng minh s duy nh t ta gi s trái l i, có x = x0 và x = f (x ). Khi đó:
d(x , x0 ) = d(f (x ), f (x0 )) < d(x , x0 )
Ta g p mâu thu n.
Bài 3:
Cho các không gian metric (X, d), (Y, ρ) và ánh x f : X → Y . Trên X × Y ta xét metric
(x, y ), (x , y ) ∈ X × Y.
d1 ((x, y ), (x , y )) = d(x, x ) + ρ(y, y ),
và xét t p h p G = {(x, f (x)) : x ∈ X }.
1. Gi s f liên t c, ch ng minh G là t p đóng.
2. Gi s G là t p đóng và (Y, ρ) là không gian compact, ch ng minh f liên t c.
Gi i
1. Xét tùy ý dãy {(xn , f (xn ))} ⊂ G mà lim(xn , f (xn )) = (a, b) (1)
Ta c n ch ng minh (a, b) ∈ G hay b = f (a).
T (1), ta có
lim xn = a (2), lim f (xn ) = b (3).
2
T (2) và s liên t c c a f ta có lim f (xn ) = f (a); k t h p v i (3) ta có b = f (a) (đpcm).
2. Xét tùy ý t p đóng F ⊂ Y , ta c n ch ng minh f −1 (F ) là t p đóng trong X :
Đ ch ng minh f −1 (F ) đóng, ta xét tùy ý dãy {xn } ⊂ f −1 (F ) mà lim xn = a và c n ch ng t
a ∈ f −1 (F ).
Ta có:
f (xn ) ∈ F, n ∈ N ∗
F là t p compact (do F đóng, Y compact)
=⇒ ∃{xnk } : lim f (xnk ) = b ∈ F .
k→∞
Khi đó:
lim (xnk , f (xnk )) = (a, b), (xnk , f (xnk )) ∈ G, G đóng
k→∞
=⇒ (a, b) ∈ G hay b = f (a).
V y f (a) ∈ F hay a ∈ f −1 (F ) (đpcm).
Bài 4:
Cho không giam metric compact (X,d) và các ánh x liên t c fn : X → R (n ∈ N ∗ ) th a mãn
các đi u ki n sau:
f1 (x) ≥ f2 (x) ≥ . . . , ∀x ∈ X (∗)
lim fn (x) = 0
n→∞
Ch ng minh dãy {fn } h i t đ u trên X v không, nghĩa là:
∀ε > 0 ∃n0 : ∀n ≥ n0 =⇒ sup |fn (x)| < ε (∗∗)
x∈ X
Áp d ng phương pháp sau: v i ε > 0 đã cho, đ t
n ∈ N∗
Gn = {x ∈ X : fn (x) < ε},
Ch c n ch ng minh t n t i n0 sao cho Gn0 = X .
Gi i
Trư c tiên t gi thi t (*) ta suy ra r ng fn (x) ≥ 0 ∀x ∈ X , ∀n ∈ N ∗ . Ta có:
−
Gn là t p m (do fn liên t c và Gn = fn 1 (−∞, ε))
Gn ⊂ Gn+1 , (do fn (x) ≥ fn+1 (x))
∞
Gn (do ∀x ∈ X ∃nx : ∀n ≥ nx ⇒ fn (x) < ε)
X=
n=1
Do X là không gian compact ta tìm đư c n1 , n2 , . . . , nk sao cho
k
X= Gni
i=1
3
Đ t n0 = max{n1 , . . . , nk } ta có X = Gn0 . Khi n ≥ n0 ta có Gn ⊃ Gn0 nên Gn = X . T đây
ta th y (**) đúng.
Bài 5:
Cho không gian metric compact (X, d) và ánh x liên t c f : X → X . Ta đ nh nghĩa
∞
A1 = f (X ), An+1 = f (An ), n = 1, 2, . . . , A= An .
n=1
Ch ng minh A = ∅ và f (A) = A.
Gi i
Ta có
∅ = A1 ⊂ X, A1 compact (do X compact và f liên t c).
Dùng quy n p, ta ch ng minh đư c r ng
∅ = An ⊃ An+1 , An compact ∀n = 1, 2, . . .
T đây ta có {An } là h có tâm các t p đóng trong không gian compact. Do đó A = 0.
• Bao hàm th c f (A) ⊂ A đư c suy t
f (A) ⊂ f (An−1 ) = An ∀n = 1, 2, . . . ( do A ⊂ An−1 , v i quy ư c A0 = X ).
• Đ ch ng minh A ⊂ f (A), ta xét tùy ý x ∈ A. Vì x ∈ An+1 = f (An ) nên
∀n = 1, 2, . . . ∃xn ∈ An : x = f (xn ).
Do X compact nên có dãy con {xnk }, lim xnk = a. Khi đó
k→∞
lim f (xnk ) (do cách xây d ng {xn })
x=
k→∞
= f (a) (do f liên t c)
Ta còn ph i ch ng minh a ∈ A. C đ nh n, ta có
xnk ∈ An khi nk ≥ n (do xnk ∈ Ank ⊂ An )
=⇒ a = lim xnk ∈ An (do An đóng).
k→∞
V y a ∈ An ∀n = 1, 2, . . . ; do đó a ∈ A và x = f (a) ∈ f (A). (đpcm).
4
