Bài giảng xác suất thống kê
Tài liệu tham khảo về môn lý thuyết thống kê
Comunicación y Gerencia
NGUYỄN VĂN ĐẮC
BÀI GIẢNG
XÁC SUẤT & THỐNG KÊ
Giới thiệu môn học
Lý thuyết xác suất là ngành khoa học ra đời vào nửa
cuối thế kỷ thứ 17 ở nước Pháp, đối tượng nghiên cứu là
các quy luật của hiện tượng ngẫu nhiên. Hơn 300 năm tồn
tại và phát triển, đến nay lý thuyết này đã có nội dung vô
cùng phong phú, được áp dụng trong nhiều ngành khoa học
cũng như trong cuộc sống đời thường.
Thống kê toán học(TKTH) là khoa học về các
phương pháp toán học để xử lí các kết quả thực nghiệm
hoặc các dữ liệu thống kê nhằm rút ra các kết luận khoa
học và thực tiễn. Để có được những phán đoán chính xác,
TKTH phải dựa vào lí thuyết xác suất.
Giới thiệu môn học
Mục đích của môn học Xác suất & thống kê trong
chương trình đào tạo tại các trường kỹ thuật là trang
bị cho kỹ sư tương lai những khái niệm và kết quả cơ
bản của lý thuyết xác suất & thống kê toán học, nhằm
giúp người học tiếp thu các môn học có liên quan và
cung cấp cách thức thu thập xử lý số liệu trong quá
trình công tác sau này.
Nội dung môn học
Chương I Biến cố và xác suất của biến cố
Chương II Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất
Chương III Kỳ vọng toán
Chương IV Một số phân phối xác suất thường gặp
Chương V Mẫu ngẫu nhiên và phân phối của một số thống kê cơ bản
Chương VI Ước lượng tham số
Chương VII Kiểm định giả thiết
Chương VIII Hồi quy và tương quan tuyến tính
Tài liệu tham khảo
[1] Ronald E. Walpole, Raymond H.Myers và Sharon L.Myers, Xác suất và thống kê
dành cho kỹ sư và nhà khoa học(Bản dịch lần 1 của Bộ môn ĐS-XS&TK ĐHTL).
[2] Morris H. DeGroot, Mark J. Schervish, Probability and Statistics(Third edition).
[3] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu về lí thuyết xác suất và các ứng dụng,Nhà XBGD,1997.
[4] Trần Mạnh Tuấn, Xác suất & Thống kê lý thuyết và thực hành tính toán, Nhà xuất
bản ĐHQGHN, 2004.
Chương I
BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I.1 Phép thử và không gian mẫu
I.2 Biến cố và các phép toán biến cố
I.3 Định nghĩa xác suất của một biến cố
I.4 Quy tắc cộng xác suất
I.5 Xác suất điều kiện
I.6 Quy tắc nhân xác suất
I.7 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes.
I.1 Phép thử và không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên là một khái niệm không có định
nghĩa. Nó là danh từ để đặt tên cho một hành động
hoặc một quá trình mà ta không thể đoán trước được
kết quả của nó. Phép thử ngẫu nhiên được gọi tắt là
phép thử.
Định nghĩa
Tập hợp gồm tất cả các kết quả của phép thử được
gọi là không gian mẫu(sample space) và ký hiệu
bởi S hoặc Ω .
Mỗi phần tử trong không gian mẫu là một
kết quả của phép thử hoặc là một điểm mẫu.
Ví dụ I.1 Tung một đồng xu.
Ω = {S, N}.
Không gian mẫu
Ví dụ I.2 Lấy ngẫu nhiên hai số x, y trong [0, 2].
Không gian mẫu là
S = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 2 và 0 ≤ y ≤ 2}.
Ví dụ I.3 Tung một con xúc xắc.
+ Nếu ta quan tâm đến số chấm xuất hiện, thì không
gian mẫu là S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
+ Nếu ta quan tâm đến số chẵn chấm hay số lẻ chấm
xuất hiện, thì không gian mẫu là S2 = {C, L}.
Ví dụ I.4 Tung một đồng xu, nếu mặt ngửa xuất hiện
ta tung đồng xu đó lần thứ hai còn mặt sấp xuất hiện ta
tung một con xúc xắc. Hãy xác định không gian mẫu?
Sơ đồ cây cho kết quả của phép thử là
Tung lần 1 Tung lần 2 Điểm mẫu
N NN
S NS
N
1 S1
2 S2
S
3 S3
4 S4
5 S5
6 S6
Như vậy không gian mẫu là
S = {NN, NS, S1, S2, S3, S4, S5, S 6}.
I.2 Biến cố và các phép toán biến cố
Định nghĩa
Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố.
+ Dùng A, B, C, A1, A2,… để ký hiệu cho biến cố.
+ Đặc biệt, sự kiện không bao giờ xảy ra khi thực hiện
phép thử thì được ký hiệu bởi ∅ và gọi là biến cố không,
còn sự kiện chắc chắn sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử thì
được ký hiệu bởi S và gọi là biến cố chắc chắn.
+ Mỗi điểm mẫu cũng là một biến cố, người ta còn gọi là
mỗi điểm mẫu là một biến cố sơ cấp.
Định nghĩa
Ví dụ I.5 Gieo hai đồng xu một lần
Không gian mẫu là S = {SS, SN, NS, NN}.
Đặt A = {SS, SN, NS}, B = {NN}, C = {SN, NS, NN}.
a) Biến cố nào kéo theo biến cố nào? Biến cố nào tương
đương với biến cố “có ít nhất một lần xuất hiện mặt
ngửa”?
b) Tìm biến cố đối của B?
c) Hãy phát biểu bằng lời biến cố giao của A và B. Hai biến
cố A và B có xung khắc?
d) Xác định biến cố A + B.
Ví dụ I.6 Ba xạ thủ A, B, C bắn mỗi người một viên
đạn vào một mục tiêu. Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố “
xạ thủ A bắn trúng”, “xạ thủ B bắn trúng”, “xạ thủ C bắn
trúng”.
i) Hãy mô tả bằng lời các biến cố sau
ABC, A’B’C’, A+B+C.
ii) Xét các biến cố sau
D = “Có ít nhất hai xạ thủ bắn trúng”
E = “Có nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng”
F = “Chỉ có một xạ thủ bắn trúng”
G = “chỉ có xạ thủ C bắn trúng”.
CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TOÁN BIẾN CỐ
I.3 Định nghĩa xác suất của một biến cố
Vào năm 1651, Blaise Pascal nhận được
bức thư của nhà quý tộc Pháp, De Méré,
nhờ ông giải quyết các rắc rối nảy sinh
trong trò chơi đánh bạc. Pascal đã toán
học hoá các trò trơi đánh bạc này, nâng
lên thành những bài toán phức tạp hơn và
trao đổi với Fermat, một nhà toán học.
Những cuộc trao đổi đó đã nảy sinh ra Lí
Blaise Pascal Pierre de Fermat
thuyết xác suất – Lí thuyết toán học về
các hiện tượng ngẫu nhiên.
* James BERNOULLI là người phát minh ra Luật Số Lớn.
Chính vì lý do đó, ngày nay Hội Xác Suất Thống Kê Thế Giới
mang tên BERNOULLI
* Leibniz có nhiều công lao trong việc xây dựng lý
thuyết xác suất
Gottfried Wilhelm Leibniz James BERNOULLI
• Nếu số phần tử trong không gian mẫu là đếm được
(nội dung còn lại chỉ đề cập đến loại không gian này),
thì:
Giả sử không gian mẫu của một phép thử là S = {s1, s2, s3,…}.
Từ đặc điểm của phép thử, ta gán cho mỗi điểm mẫu si số thực
pi với điều kiện pi thuộc [0; 1] và tổng các pi bằng 1, gọi pi là xác
suất của si. Tổng xác suất của các điểm mẫu trong A được gọi
là xác suất của A (the probability of A), ký hiệu P(A).
Định nghĩa
Cho phép thử với không gian mẫu S mà mỗi điểm mẫu
đã được gán xác suất và A là một biến cố của phép thử.
P(A) := tổng xác suất của các điểm mẫu trong A.
P(S) = 1 và P(∅) = 0.
0 ≤ P(A) ≤ 1
Ví dụ I.7
Một con xúc xắc được đổ chì sao cho khả năng xuất hiện
mặt có số chấm chẵn gấp đôi khả năng xuất hiện mặt có số
chấm lẻ. Gieo con xúc xắc đó một lần.
Đặt A = “số chấm xuất hiện nhỏ hơn 4”
B = “số chấm xuất hiện là chẵn”
C = “số chấm xuất hiện chia hết cho 3”.
a) Tính P(A)?
b) Tính P(A+B), P(AC)?
Ví dụ I.8
Gieo một đồng xu cân đối hai lần. Tính xác suất để ít
nhất một lần mặt ngửa xuất hiện?
Tr ường hợp riêng của định nghĩa
Nếu một phép thử có N biến cố sơ cấp đồng khả năng
và có đúng n biến cố sơ cấp trong biến cố A, thì
n
P(A) =
N
Ví dụ I.9 Một đống kẹo trộn lẫn 6 chiếc bạc hà, 4
chiếc kẹo bơ, và 3 chiếc chocolate. Chọn ngẫu nhiên một
chiếc từ đống kẹo này, hãy tìm xác suất để được
• một chiếc bạc hà;
• một chiếc kẹo bơ hoặc một chocolate.
Ví dụ I.10
Rút ngẫu nhiên 5 cây từ bộ bài 52 cây, hãy tìm xác suất để
được 2 cây Át và 3 cây J.
