Bài giảng Số tự nhiên, đẳng thức và sắp xếp thứ tự dãy số
Tài liệu tham khảo về bài giảng toán học
H i Toán H c Hà N i
S t nhiên, đ ng th c
và s p th t dãy s
Bài gi ng c a GS. TSKH. Nguy n Văn M u
Chương 1. S t nhiên, phép đ m
Chương 2. Đ ng th c và th t s p đư c c a dãy s
Nguy n Văn M u, Ch t ch H i Toán h c Hà N i
Khoa Toán-Cơ-Tin h c, Đ i H c Khoa H c T Nhiên
334 Nguy n Trãi, Qu n Thanh Xuân, Hà N i
university-logo
Hà N i 06/10/2009
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 1 / 12
N i dung
1 Bài 1. M đ u
2 Bài 2. S t nhiên, s nguyên và phép đ m
3 Bài 3. So sánh, s p th t b s
4 Bài 4. M t s đ ng nh t th c cơ b n và b t đ ng th c liên quan
5 Bài 5. Phương trình b c ba
6 Bài 6. Phương trình b c b n
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 2 / 12
N i dung
1 Bài 1. M đ u
2 Bài 2. S t nhiên, s nguyên và phép đ m
3 Bài 3. So sánh, s p th t b s
4 Bài 4. M t s đ ng nh t th c cơ b n và b t đ ng th c liên quan
5 Bài 5. Phương trình b c ba
6 Bài 6. Phương trình b c b n
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 2 / 12
N i dung
1 Bài 1. M đ u
2 Bài 2. S t nhiên, s nguyên và phép đ m
3 Bài 3. So sánh, s p th t b s
4 Bài 4. M t s đ ng nh t th c cơ b n và b t đ ng th c liên quan
5 Bài 5. Phương trình b c ba
6 Bài 6. Phương trình b c b n
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 2 / 12
N i dung
1 Bài 1. M đ u
2 Bài 2. S t nhiên, s nguyên và phép đ m
3 Bài 3. So sánh, s p th t b s
4 Bài 4. M t s đ ng nh t th c cơ b n và b t đ ng th c liên quan
5 Bài 5. Phương trình b c ba
6 Bài 6. Phương trình b c b n
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 2 / 12
N i dung
1 Bài 1. M đ u
2 Bài 2. S t nhiên, s nguyên và phép đ m
3 Bài 3. So sánh, s p th t b s
4 Bài 4. M t s đ ng nh t th c cơ b n và b t đ ng th c liên quan
5 Bài 5. Phương trình b c ba
6 Bài 6. Phương trình b c b n
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 2 / 12
N i dung
1 Bài 1. M đ u
2 Bài 2. S t nhiên, s nguyên và phép đ m
3 Bài 3. So sánh, s p th t b s
4 Bài 4. M t s đ ng nh t th c cơ b n và b t đ ng th c liên quan
5 Bài 5. Phương trình b c ba
6 Bài 6. Phương trình b c b n
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 2 / 12
Bài 1: M đ u
S t nhiên
1 Phép đ m, tính ch n l
-S 0
- S nghi m c a phương trình
- T p h p và hoán v
2 S h c và Đ i s
3 Đ i s và Gi i tích
4 Bài toán cơ b n
5 Bài toán ngư c
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 3 / 12
Bài 1: M đ u
S t nhiên
1 Phép đ m, tính ch n l
-S 0
- S nghi m c a phương trình
- T p h p và hoán v
2 S h c và Đ i s
3 Đ i s và Gi i tích
4 Bài toán cơ b n
5 Bài toán ngư c
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 3 / 12
Bài 1: M đ u
S t nhiên
1 Phép đ m, tính ch n l
-S 0
- S nghi m c a phương trình
- T p h p và hoán v
2 S h c và Đ i s
3 Đ i s và Gi i tích
4 Bài toán cơ b n
5 Bài toán ngư c
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 3 / 12
Bài 1: M đ u
S t nhiên
1 Phép đ m, tính ch n l
-S 0
- S nghi m c a phương trình
- T p h p và hoán v
2 S h c và Đ i s
3 Đ i s và Gi i tích
4 Bài toán cơ b n
5 Bài toán ngư c
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 3 / 12
Bài 1: M đ u
S t nhiên
1 Phép đ m, tính ch n l
-S 0
- S nghi m c a phương trình
- T p h p và hoán v
2 S h c và Đ i s
3 Đ i s và Gi i tích
4 Bài toán cơ b n
5 Bài toán ngư c
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 3 / 12
Bài 2: S t nhiên, s nguyên và phép đ m
Ví d
1 Tính s các s nguyên thu c (a, b), [a, b), (a, b], [a, b]
2 Xác đ nh đi u ki n đ i v i a, b đ trong (a, b) có 2009 s nguyên.
3 Dãy x1 .x2 , . . . , xn có bao nhiêu s 1, bi t r ng
n n+1
xn = 1 khi √ = √
2 2
n n+1
xn = 0 khi √ = √
2 2
4 Bài toán t ng quát: Tính s ph n t t các c p s c ng, c p s
nhân, c p s t ng quát trong t p đã cho.
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 4 / 12
Bài 2: S t nhiên, s nguyên và phép đ m
Ví d
1 Tính s các s nguyên thu c (a, b), [a, b), (a, b], [a, b]
2 Xác đ nh đi u ki n đ i v i a, b đ trong (a, b) có 2009 s nguyên.
3 Dãy x1 .x2 , . . . , xn có bao nhiêu s 1, bi t r ng
n n+1
xn = 1 khi √ = √
2 2
n n+1
xn = 0 khi √ = √
2 2
4 Bài toán t ng quát: Tính s ph n t t các c p s c ng, c p s
nhân, c p s t ng quát trong t p đã cho.
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 4 / 12
Bài 2: S t nhiên, s nguyên và phép đ m
Ví d
1 Tính s các s nguyên thu c (a, b), [a, b), (a, b], [a, b]
2 Xác đ nh đi u ki n đ i v i a, b đ trong (a, b) có 2009 s nguyên.
3 Dãy x1 .x2 , . . . , xn có bao nhiêu s 1, bi t r ng
n n+1
xn = 1 khi √ = √
2 2
n n+1
xn = 0 khi √ = √
2 2
4 Bài toán t ng quát: Tính s ph n t t các c p s c ng, c p s
nhân, c p s t ng quát trong t p đã cho.
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 4 / 12
Bài 2: S t nhiên, s nguyên và phép đ m
Ví d
1 Tính s các s nguyên thu c (a, b), [a, b), (a, b], [a, b]
2 Xác đ nh đi u ki n đ i v i a, b đ trong (a, b) có 2009 s nguyên.
3 Dãy x1 .x2 , . . . , xn có bao nhiêu s 1, bi t r ng
n n+1
xn = 1 khi √ = √
2 2
n n+1
xn = 0 khi √ = √
2 2
4 Bài toán t ng quát: Tính s ph n t t các c p s c ng, c p s
nhân, c p s t ng quát trong t p đã cho.
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 4 / 12
Bài 2: S t nhiên, s nguyên và phép đ m
Ví d
1 Bài toán v gà siêu tr ng:
C m t con gà rư i, trong m t ngày rư i cho m t qu tr ng rư i,
H i m t con gà trong m t tháng (30 ngày) cho bao nhieu qu tr ng?
H i ba con gà trong m t tu n rư i cho bao nhiêu qu tr ng?
2 Tính ch t c a phân s .
Bài toán. Cho a, b, c > 0, xét hàm s
at bt ct
f (t) = t + t + t . Ch ng minh r ng f (t) là hàm
b + ct c + at a + bt
đ ng bi n trong [0, ∞).
3 Bài toán. Cho a, b, c > 0, Ch ng minh r ng
a5 b5 c5 a4 b4 c4
+ 5 + 5 ≥ 4 + 4 + 4 .
b 5 + c 5 c + a5 a + b 5 b + c 4 c + a4 a + b 4
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 5 / 12
Bài 2: S t nhiên, s nguyên và phép đ m
Ví d
1 Bài toán v gà siêu tr ng:
C m t con gà rư i, trong m t ngày rư i cho m t qu tr ng rư i,
H i m t con gà trong m t tháng (30 ngày) cho bao nhieu qu tr ng?
H i ba con gà trong m t tu n rư i cho bao nhiêu qu tr ng?
2 Tính ch t c a phân s .
Bài toán. Cho a, b, c > 0, xét hàm s
at bt ct
f (t) = t + t + t . Ch ng minh r ng f (t) là hàm
b + ct c + at a + bt
đ ng bi n trong [0, ∞).
3 Bài toán. Cho a, b, c > 0, Ch ng minh r ng
a5 b5 c5 a4 b4 c4
+ 5 + 5 ≥ 4 + 4 + 4 .
b 5 + c 5 c + a5 a + b 5 b + c 4 c + a4 a + b 4
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 5 / 12
Bài 2: S t nhiên, s nguyên và phép đ m
Ví d
1 Bài toán v gà siêu tr ng:
C m t con gà rư i, trong m t ngày rư i cho m t qu tr ng rư i,
H i m t con gà trong m t tháng (30 ngày) cho bao nhieu qu tr ng?
H i ba con gà trong m t tu n rư i cho bao nhiêu qu tr ng?
2 Tính ch t c a phân s .
Bài toán. Cho a, b, c > 0, xét hàm s
at bt ct
f (t) = t + t + t . Ch ng minh r ng f (t) là hàm
b + ct c + at a + bt
đ ng bi n trong [0, ∞).
3 Bài toán. Cho a, b, c > 0, Ch ng minh r ng
a5 b5 c5 a4 b4 c4
+ 5 + 5 ≥ 4 + 4 + 4 .
b 5 + c 5 c + a5 a + b 5 b + c 4 c + a4 a + b 4
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 5 / 12
Bài 3. So sánh, s p th t b s
So sánh
1 S p x p c p s dương (bi u đ hình thang)
2ab √ a+b
min{a, b} ≤ ≤ ab ≤ ≤ max{a, b}
a+b 2
aq + bq 1/q
min{a, b} ≤ ≤ max{a, b}
2
√ 1
2 So sánh và s p th t : 2 2 , 21+ √2 , 3
3 Xác đ nh min, max, med, khái ni m th t g n đ u
4 Khái ni m s p th t d n đ u, xa đ u
university-logo
() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 6 / 12