5 đề thi vào lớp 10 chọn lọc
Tập hợp 15 đề thi môn Toán vào lớp 10 giúp các em học sinh ôn tập, rèn luyện kỹ năng làm bài, luyện thi đạt điểm cao trong kì thi tuyển sinh
§Ò thi m«n To¸n Su tÇm
§Ò thi tuyÓn sinh
*Trêng THPT NguyÔn Tr·i
( H¶i D¬ng 2002- 2003, dµnh cho c¸c líp chuyªn tù nhiªn)
Thêi gian: 150 phót
Bµi 1. (3 ®iÓm)
Cho biÓu thøc.
x+2−4 x−2 + x+2+4 x−2
A= 4 4
− +1
x2 x
1) Rót gän biÓu thøc A.
2) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó biÓu thøc A lµ mét sè nguyªn
Bµi 2.( 3 ®iÓm)
1) Gäi x 1 vµ x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
x2 -(2m-3)x +1-m = 0
T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó: x 1 2+ x 2 2 +3 x 1 .x 2 (x 1 + x 2 ) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt
2) Cho a,b lµ c¸c sè h÷u tØ tho¶ m·n: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003
Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh: x2 +2x+ab = 0 cã hai nghiÖm h÷u tØ.
Bµi 3. ( 3 ®iÓm)
BC
1) Cho tam gi¸c c©n ABC, gãc A = 1800. TÝnh tØ sè .
AB
2) Cho h×nh qu¹t trßn giíi h¹n bëi cung trßn vµ hai b¸n kÝnh OA,OB
vu«ng gãc víi nhau. Gäi I lµ trung ®iÓm cña OB, ph©n gi¸c gãc AIO c¾t OA
t¹i D, qua D kÎ ®êng th¼ng song song víi OB c¾t cung trong ë C. TÝnh gãc
ACD.
Bµi 4. ( 1 ®iÓm)
Chøng minh bÊt ®¼ng thøc:
| a 2 + b 2 − a 2 + c 2 | ≤ | b-c|
víi a, b,c lµ c¸c sè thùc bÊt k×.
§Ò thi m«n To¸n Su tÇm
*Trêng n¨ng khiÕu TrÇn Phó, H¶i Phßng.(150’)
2x − x 2 − 1
Bµi 1. ( 2 ®iÓm) cho biÓu thøc: P(x) =
3x 2 − 4 x + 1
1) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P(x) x¸c ®Þnh. Rót gän P(x)
2) Chøng minh r»ng nÕu x > 1 th× P(x).P(-x) < 0
Bµi 2. ( 2 ®iÓm)
x 2 − 2(2m + 1) x + 3m 2 + 6m
1) cho ph¬ng tr×nh: = 0 (1)
x−2
2
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn khi m =
3
b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x 1 vµ x 2 tho¶ m·n x
1 +2 x 2 =16
2x 1 1
2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + =2
1+ x 2 2x
Bµi 3 (2 ®iÓm)
1) Cho x,y lµ hai sè thùc tho¶ m·n x2+4y2 = 1
5
Chøng minh r»ng: |x-y| ≤
2
n2 + 4
2) Cho ph©n sè : A=
n+5
Hái cã bao nhiªu sè tù nhiªn tho¶ m·n 1 ≤ n ≤ 2004 sao cho A lµ ph©n sè cha tèi gi¶n
Bµi 4( 3 ®iÓm) Cho hai ®êng trßn (0 1 ) vµ (0 2 ) c¾t nhau t¹i P vµ Q. TiÕp tuyÕn chung
gÇn P h¬n cña hai ®êng trßn tiÕp xóc víi (0 1 ) t¹i A, tiÕp xóc víi (0 2 ) t¹i B. TiÕp tuyÕn cña
(0 1 ) t¹i P c¾t (0 2 ) t¹i ®iÓm thø hai D kh¸c P, ®êng th¼ng AP c¾t ®êng th¼ng BD t¹i R.
H·y chøng minh r»ng:
1)Bèn ®iÓm A, B, Q,R cïng thuéc mét ®êng trßn
2)Tam gi¸c BPR c©n
3)§êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c PQR tiÕp xóc víi PB vµ RB.
Bµi 5. (1 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC cã BC < CA< AB. Trªn AB lÊy D, Trªn AC lÊy ®iÓm
E sao cho DB = BC = CE. Chøng minh r»ng kho¶ng c¸ch gi÷a t©m ®êng trßn néi tiÕp vµ
t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC b»ng b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ADE
§Ò thi m«n To¸n Su tÇm
Trêng TrÇn §¹i NghÜa - TP HCM
(n¨m häc: 2004- 2005 thêi gian: 150 phót
)
2
C©u 1. Cho ph¬ng tr×nh x +px +1 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt a 1 , a 2
vµ ph¬ng tr×nh x2 +qx +1 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt b 1 ,b 2 . Chøng minh:
(a 1 - b 1 )( a 2 - b 1 )( a 1 + b 1 . b 2 +b 2 ) = q2 - p2
C©u 2: cho c¸c sè a, b, c, x, y, z tho¶ m·n
x = by +cz
y = ax +cz
z = ax +by ; víi x + y+z ≠ 0
1 1 1
Chøng minh: + + =2
1+ a 1+ b 1+ c
C©u 3: a) T×m x; y tho¶ m·n 5x2+5y2+8xy+2x-2y+2= 0
b) Cho c¸c sè d¬ng x;y;z tho¶ m·n x3+y3+z3 =1
x2 y2 z2
Chøng minh: + + ≥2
1− x2 1− y2 1− z2
C©u 4. Chøng minh r»ng kh«ng thÓ cã c¸c sè nguyªn x,y tho¶ m·n ph-
¬ng tr×nh: x3-y3 = 1993.
§Ò thi m«n To¸n Su tÇm
Chuyªn Lª Quý §«n _ tØnh B×nh §Þnh
(n¨m häc 2005-2006, m«n chung, thêi gian:150’)
C©u 1(1®):
1 1 1 1
tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A= + víi a= vµ b=
a +1 b +1 2+ 3 2+ 3
C©u 2(1.5®):
Gi¶i pt: x 2 − 4x + 4 + x = 8
C©u 3(3®):
Cho hµm sè y=x2 cã ®å thÞ (P) vµ hai ®iÓm A,B thuéc (P) cã hoµnh ®é
lÇn lît lµ -1 vµ 2.
a) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB.
b) VÏ ®å thÞ (P) vµ t×m to¹ ®é cña ®iÓm M thuéc cung AB cña ®å thÞ
(P) sao cho tam gi¸c MAB cã diÖn tÝch max.
C©u4(3,5®):
Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ cã trùc t©m H. Ph©n gi¸c
trong cña gãc A c¾t ®êng trßn (O) t¹i M. KÎ ®êng cao Ak cña tam
gi¸c.Chøng minh:
a) ®êng th¼ng OM ®i qu trung ®iÓm N cña BC.
b) c¸c gãc KAM vµ MAO b»ng nhau.
c) AH=2NO.
C©u 5 (1®):
tÝnh tæng:
S= 1.2 +2.3 + 3.4 + …+n(n+1).
Su tÇm
§Ò thi m«n To¸n
§Ò thi häc sinh giái quËn t©n phó TP.HCM
n¨m häc 2003-2004
§Ò thi to¸n 6 (thêi gian 90 phót)
Bµi 1. (5,5 ®iÓm)
−5
1) Cho biÓu thøc. A =
n−2
a) T×m c¸c sè nguyªn n ®Ó biÓu thøc A lµ ph©n sè
b) T×m c¸c sè nguyªn n ®Ó biÓu thøc A lµ sè nguyªn
2) T×m x biÕt:
a) x chia hÕt cho 12; x chia hÕt cho 25; x chia hÕt cho 30; 0 ≤ x ≤ 500
b) (3x - 24)73 =2.74
c)|x-5| =16+2(-3)
3) B¹n §øc ®¸nh sè trang s¸ch b»ng c¸c sè tù nhiªn tõ 1 ®Õn 145. Hái
b¹n §øc ®· sö dông bao nhiªu ch÷ sè? Trong nh÷ng ch÷ sè ®· sö dông th×
cã bao nhiªu ch÷ sè 0?
Bµi 2. ( 2 ®iÓm) Cho ®o¹n th¼ng AB. Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm
M, trªn tia ®èi cña tia BA lÊy ®iÓm N sao cho AM = BN. So s¸nh ®é dµi c¸c
®o¹n th¼ng BM vµ AN.
Bµi 3( 2,5 ®iÓm) Cho gãc XOY = 100 0. VÏ tia ph©n gi¸c Oz cña gãc
XOY; VÏ tia Ot n»m trong gãc XOY sao cho YOT = 250
1) Chøng tá tia OT n»m gi÷a hai tia OZ vµ OY
2) TÝnh sè ®o gãc ZOT
3) Chøng tá r»ng OT lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ZOY
§Ò thi m«n To¸n Su tÇm
M«n to¸n 7 (thêi gian lµm bµi 90 phót)
Bµi 1. ( 3 ®iÓm)
a) TÝnh
1 1 1 2 2 2
+ − + −
2003 2004 2005 − 2002 2003 2004
5 5 5 3 3 3
+ − + −
2003 2004 2005 2002 2003 2004
b) BiÕt . 13+ 23+…..+103 = 3025. TÝnh S = 23+43+63+….+203
x 3 − 3 x 2 + 0,25 xy 2 − 4
c) Cho A = x2 + y
TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt x = 1/2, y lµ sè nguyªn ©m lín nhÊt
Bµi 2. (1 ®iÓm) T×m x biÕt : 3x+3x+1+3x+2 = 117
Bµi 3. ( 1 ®iÓm) Mét con thá ch¹y trªn mét con ®êng mµ hai phÇn ba
con ®êng b¨ng qua ®ång cá vµ ®o¹n ®êng cßn l¹i ®i qua ®Çm lÇy. Thêi
gian thá ®i trªn ®ång cá b»ng nöa thêi gian ®i trªn ®Çm lÇy. Hái vËn tèc cña
thá ch¹y trªn ®o¹n ®êng qua ®Çm lÇy hay vËn tèc cña thá ch¹y trªn ®o¹n ®-
êng qua ®ång cá lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn?
Bµi 4.( 2 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC. VÏ vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c
ABC c¸c tam gi¸c ®Òu ABD vµ ACE. Gäi M lµ giao ®iÓm cña DC vµ BE.
Chøng minh r»ng:
a) ∆ABE = ∆ADC
b) Gãc BMC = 1200
Bµi 5. ( 3 ®iÓm) Cho ba ®iÓm B, H, C th¼ng hµng, BC = 13 cm, BH =
4 cm, HC = 9 cm. Tõ H vÏ tia Hx vu«ng gãc víi ®êng th¼ng BC. LÊy A thuéc
tia Hx sao cho HA = 6 cm .
a) Tam gi¸c ABC là tam gi¸c g×? Chøng minh ®iÒu ®ã.
§Ò thi m«n To¸n Su tÇm
b) Trªn tia HC, lÊy HD = HA. Tõ D vÏ ®êng th¼ng song song víi AH c¾t
AC t¹i E. Chøng minh r»ng AE = AB
§Ò thi häc sinh giái thÜ x· Hµ §«ng ( 2003-2004)
To¸n 7 (120’)
Bµi 1( 4 ®iÓm) Cho c¸c ®a thøc:
f(x) = 2x5 - 4x3 +x2 -2x +2
g(x) = x5 - 2x4 +x2 - 5x +3
3
h(x) = x4 +4x3 +3x2 -8x + 4
16
a)TÝnh M(x) = f(x) -2 g(x) + h(x)
b) TÝnh gi¸ trÞ cña M(x) khi x = − 0,25
c) Cã gi¸ trÞ nµo cña x ®Ó M(x) = 0?
Bµi 2. (4 ®iÓm)
a) T×m 3 sè a,b,c biÕt: 3a=2b,5b=7c, vµ 3a +5c-7b=60
b) T×m x biÕt |2x-3|-x=|2-x|
Bµi 3. (4) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña m vµ n ®Ó biÓu thøc
2
a)P = cã gi¸ trÞ lín nhÊt
6−m
8−n
b) Q = cã gi¸ trÞ nguyªn nhá nhÊt
n−3
Bµi 4.(5) Cho tam gi¸c ABC cã AB Su tÇm
§Ò thi m«n To¸n
Bµi 5. (3) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, gãc A= 100 0.D lµ mét ®iÓm
thuéc miÒn trong cña tam gi¸c ABC sao cho gãc DBC =10 0, gãc DCB =200.
TÝnh gãc ADB?
To¸n 8 (150’)
x+2 2 2 − 4 x 3x + 1 − x 2
Bµi 1(5) Cho A = + − 3 : −
3x x +1 x +1 3x
a) Rót gän A
b) T×m A ®Ó x= 6013
c) T×m x ®Ó A Su tÇm
§Ò thi m«n To¸n
c) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c BDEC
d) §êng th¼ng EDc¾t ®êng th¼ng CB t¹i K. TÝnh c¸c tØ sè sau theo
b,c
Bµi 5(3) Cho tø gi¸c ABCD,M lµ mét ®iÓm trªn CD( kh¸c C, D)
Chøng minh r»ng MA + MB < Max {CA+CB; DA+DB}( Lµ gi¸ trÞ lín nhÊt
trong 2 gi¸ trÞ CA+CB;DA+DB)
§Ò thi häc sinh giái quËn hoµn kiÕm (2003-2004)
To¸n 7 (120’)
Bµi 1( 4) Gi¶i ph¬ng tr×nh
315 − x 313 − x 311 − x 309 − x
+ + + +4=0
101 103 105 107
Bµi 2(4) Cho c¸c sè nguyªn d¬ng x,y,z . Chøng minh r»ng:
x y z
1< + + §Ò thi m«n To¸n Su tÇm
To¸n 8( 120 phót)
Bµi 1(4)
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1 1 1 1 1 1
+ + ...... + x = + + .... +
1.101 2.102 10.110 1.11 2.12 100.110
Bµi 2(4)
T×m x ®Ó hµm sè y= x/(x+2004) 2 cã gi¸ trÞ lín nhÊt
Bµi 3( 4)
Cho ph¬ng tr×nh
a + 3 5 − 3a ax + 3
− = 2
x +1 x − 2 x − x − 2
Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kh«ng nhá h¬n 1?
Bµi 4(4)
Tõ ®iÓm O thuéc miÒn trong cña h×nh thang c©n ABCD( AB=CD) nèi
c¸c ®Ønh cña h×nh thang ®îc 4 ®o¹n th¼ng OA,OB,OC,OD. Chøng minh
r»ng tõ 4 ®o¹n th¼ng nhËn ®îc, cã thÓ dùng ®îc mét tø gi¸c néi tiÕp h×nh
thang nµy( mçi ®Ønh cña tø gi¸c n»m trªn mét c¹nh cña h×nh thang c©n)
Bµi 5(4)
Cho tam gi¸c ABC cã AB= c, BC=a,CA=b. Gäi I b ,I c theo thø tù lµ ®é dµi
c¶u c¸c ®êng ph©n gi¸c cña gãc B vµ gãc C. Chøng minh r»ng nÕu b>c th× I
b §Ò thi m«n To¸n Su tÇm
§Ò thi vµo chuyªn 10( H¶i D¬ng)
thêi gian: 150’
Bµi 1(3) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27
1 1 1
2) x( x − 2) − ( x − 1) 2 = 20
Bµi 2(1) Cho 3 sè thùc d¬ng a,b,c vµ ab>c; a3+b3=c3+1. Chøng minh
r»ng a+b> c+1
Bµi 3(2) Cho a,b,c,x,y lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n c¸c ®¼ng thøc sau:
x+y=a, x3+y3=b3,x5+y5=c5. T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a a,b,c kh«ng phô
thuéc x,y.
Bµi 4(1,5) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (n+1)x2+2x-n(n+2)(n+3)=0 cã
nghiÖm lµ sè h÷u tØ víi mäi sè nguyªn n
Bµi 5(2,5) Cho ®êng trßn t©m O vµ d©y AB( AB kh«ng ®i qua O). M lµ
®iÓm trªn ®êng trßn sao cho tam gi¸c AMB lµ tam gi¸c nhän, ®êng ph©n
gi¸c cña gãc MAB vµ gãc MBA c¾t ®êng trßn t©m O lÇn lît t¹i P vµ Q. Gäi I
lµ giao ®iÓm cña AP vµ BQ
1) Chøng minh r»ng MI vu«ng gãc víi PQ
Su tÇm
§Ò thi m«n To¸n
2) Chøng minh tiÕp tuyÕn chung cña ®êng trßn t©m P tiÕp xóc víi MB
vµ ®êng trßn t©m Q tiÕp xóc víi MA lu«n song song víi mét ®êng th¼ng cè
®Þnh khi M thay ®æi.
*Chuyªn tØnh Bµ §Þa – Vòng Tµu. (2004-2005)
thêi gian:150 phót
Bµi 1:
1/i¶i ph¬ng tr×nh:
5 1
5 x+ = 2x + +4
2 x 2x
2/chøng minh kh«ng tån t¹i c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n:
x3+y3+z3 =x +y+z+2005
Bµi 2:
Cho hÖ ph¬ng tr×nh:
x2 +xy = a(y – 1)
y2 +xy = a(x-1)
1/ gi¶i hÖ khi a= -1
2/ t×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
Bµi 3:
Su tÇm
§Ò thi m«n To¸n
1/ cho x,y,z lµ 3 sè thùc tho¶ m·n x 2+ y2+z2 =1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
A =2xy +yz+ zx.
2/ T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã 4 nghiÖm ph©n
biÖt:
x4 – 2x3 +2(m+1)x2 –(2m+1)x +m(m+1) =0
Bµi 4:
Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) , D lµ mét ®iÓm trªn cung BC
kh«ng chøa ®Ønh A. Gäi I,K vµ H lÇn lît lµ h×nh chiÕu cu¶ D trªn c¸c ®êng
th¼ng BC,AB,vµ AC. §êng th¼ng qua D song song víi BC c¾t ®êng trßn t¹i
N ( N# D); AN c¾t BC t¹i M. Chøng minh:
1/Tam gi¸c DKI ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAM.
BC AB AC
2/ = +
DI DK DH
*Chuyªn to¸n- tin tØnh Th¸i B×nh (2005-2006,150 phót)
Bµi 1 (3®):
1. Gi¶i pt: x + 1 − 3x = 2 x − 1
2. Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxy h·y t×m trªn ®êng th¼ng y= 2x +1 nh÷ng
®iÓm M(x;y) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: y2 – 5y x +6x = 0.
Bµi 2(2,5®):
1. Cho pt: (m+1)x2 – (m-1)x +m+3 = 0 (m lµ tham sè)
t×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m dÓ pt cã nghiÖm ®Òu lµ nh÷ng sè nguyªn.
2. Cho ba sè x,y,z . §Æt a= x +y +z, b= xy +yz + zx, c= xyz. Chøng minh
c¸c ph¬ng tr×nh sau ®Òu cã nghiÖm:
t2 + 2at +3b =0; at2 – 2bt + 3c =0
Bµi 3(3®)
Cho tam gi¸c ABC.
1. Gäi M lµ trung ®iÓm cña AC. Cho biÕt BM = AC. Gäi D lµ ®iÓm ®èi
xøng cña B qua A, E lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua C. chøng minh: DM
vu«ng gãc víi BE.
§Ò thi m«n To¸n Su tÇm
2. LÊy mét ®iÓm O bÊt kú n»m trong tam gi¸c ABC. C¸c tia AO,BO,CO
c¾t c¸c c¹nh BC,CA,AB theo thø tù t¹i c¸c ®iÓm D,E,F. chøng minh:
OD OE OF
a) + + =1
AD BE CF
AD BE CF
b) 1 + 1 + 1 + ≥ 64
OD OE OF
Bµi 4(0.75®)
xÐt c¸c ®a thøc P(x)= x3+ ax2 +bx +c
Q(x)=x 2 +x + 2005
BiÕt ph¬ng tr×nh P(x)=0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt, cßn pt P(Q(x)) =0 v«
nghiÖm.
Chøng minh r»ng P(2005)>1/64
Bµi 5 (0,75®)
Cã hay kh«ng 2005 ®iÓm ph©n biÖt trªn mÆt ph¼ng mµ bÊt kú ba
®iÓm nµo trong chóng ®Òu t¹o thµnh mét tam gi¸c cã gãc tï.
§Ò thi tuyÓn sinh líp 10 tØnh H¶i D¬ng. (2004-2005)
thêi gian :150’
Bµi 1: (3®)
Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxy, cho hµm sè y= (m+2)x 2 (*)
1/ t×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (*) ®i qua ®iÓm:
a) A(-1;3), b) B( 2 ; -1), c) C(1/2; 5)
2/ thay m=0. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ (*) víi ®å thÞ hµm sè
y= x+1.
Bµi 2: (3®)
Cho hÖ ph¬ng tr×nh:
(m-1)x + y = m
x + (m-1)y =2
§Ò thi m«n To¸n Su tÇm
gäi nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ (x;y).
1/ T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m.
2/ T×m gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n 2x2 -7y =1
2x − 3y
3/ T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó biÓu thøc x + y nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 3 (3®)
ˆ
Cho tam gi¸c ABC ( A = 90 0 ). Tõ B dùng ®o¹n th¼ng BD vÒ phÝa ngoµi
ˆ ˆ
tam gi¸c ABC sao cho BC=BD vµ ABC = CBD ; gäi I lµ trung ®iÓm cña CD;
AI c¾t BC t¹i E. Chøng minh:
ˆ ˆ
1. CAI = DBI
2. ABE lµ tam gi¸c c©n.
3. AB.CD = BC.AE
Bµi 4: (1®)
x 5 − 4 x 3 − 3x + 9
x 1
tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A= x 4 + 3x 2 + 11 víi 2 =
x + x +1 4
*Trêng Chu V¨n An vµ HN – AMSTERDAM(2005 – 2006)
(dµnh cho chuyªn To¸n vµ chuyªn Tin; thêi gian :150’)
Bµi 1: (2®)
Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) – abc víi a,b,c lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh nÕu a +b +c
chia hÕt cho 4 th× P chia hÕt cho 4.
Bµi 2(2®)
Cho hÖ ph¬ng tr×nh:
(x+y)4 +13 = 6x2y2 + m
xy(x2+y2)=m
1. GiaØ hÖ víi m= -10.
2. Chøng minh kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt./
Bµi 3 (2®):
§Ò thi m«n To¸n Su tÇm
1 2 3
Ba sè d¬ng x, y,z tho¶ m·n hÖ thøc + + = 6 , xÐt biÓu thøc P = x + y2+ z3
x y z
1. Chøng minh P ≥ x+2y+3z-3
2.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P
Bµi 4 (3®):
Cho tam gi¸c ABC, lÊy 3 ®iÓm D,E,F theo thø tù trªn c¸c c¹nh BC,CA,AB sao cho
AEDF lµ tø gi¸c néi tiÕp. Trªn tia AD lÊy ®iÓm P (D n»m gi÷a A&P) sao cho DA.DP =
DB.DC
1. chøng minh tø gi¸c ABPC néi tiÕp vµ 2 tam gi¸c DEF, PCB ®ång d¹ng.
2. gäi S vµ S’ lÇn lît lµ diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ABC & DEF, chøng minh:
2
s ' EF
≤
s 2 AD
Bµi 5(1®)
Cho h×nh vu«ng ABCD vµ 2005 ®êng th¼ng tho¶ m·n ®ång thêi hai ®iÒu kiÖn:
• Mçi ®êng th¼ng ®Òu c¾t hai c¹nh ®èi cña h×nh vu«ng.
• Mçi ®êng th¼ng ®Òu chia h×nh vu«ng thµnh hai phÇn cã tû sè diÖn tÝch lµ 0.5
Chøng minh trong 2005 ®êng th¼ng trªn cã Ýt nhÊt 502 ®êng th¼ng ®ång quy.
§Ò thi HS giái TP H¶i Phßng (2004-2005)
(to¸n 9 – b¶ng B – thêi gian: 150’)
Bµi 1
a) Rót gän biÓu thøc:
x 2y 2 ( x − y) 2 x2 y2
P= + . −
xy x− y x y
b)Gi¶i ph¬ng tr×nh: ((5 − 2 6 ) x
+ ( (5 + 2 6 ) x
= 10
Bµi 2
Su tÇm
§Ò thi m«n To¸n
a) Sè ®o hai c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng lµ nghiÖm cña ph-
¬ng tr×nh bËc hai: (m-2)x 2 -2(m-1)x +m =0. H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó
2
sè ®o ®êng cao øng víi c¹nh huyÒn cña tam gÝac lµ
5
4x + 3
b) T×m Max & Min cña biÓu thøc y=
x2 +1
Bµi 3
Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O, cã gãc C=45 0. §uêng trßn
®êng kÝnh AB c¾t c¸c c¹nh AC & BC lÇn lît ë M& N
a> chøng minh MN vu«ng gãc víi OC
b> chøng minh 2 .MN = AB
Bµi 4:
Cho h×nh thoi ABCD cã gãc B= 60 0. Mét ®êng th¼ng qua D kh«ng c¾t
h×nh thoi, nhng c¾t c¸c ®êng th¼ng AB,BC lÇn lît t¹i E&F. Gäi M lµ giao cña
AF & CE. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng AD tiÕp xóc víi ®êng trßn ngo¹i
tiÕp tam gi¸c MDF.
*Trêng Chu V¨n An & HN – AMSTERDAM ( 2005-2006)
(dµnh cho mäi ®èi tîng , thêi gian: 150’)
x x −1 x x +1 x +1
Bµi 1(2®): Cho biÓu thøc P= − +
x− x x+ x x
1.Rót gän P
2. T×m x biÕt P= 9/2
Bµi 2(2®): Cho bÊt ph¬ng tr×nh: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m lµ tham sè).
1. Gi¶i bpt víi m= 1- 2 2
Su tÇm
§Ò thi m«n To¸n
2. T×m m ®Ó bpt nhËn mäi gi¸ trÞ x >1 lµ nghiÖm.
Bµi 3(2®):
Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho ®êng th¼ng (d):2x – y –a2 = 0 vµ
parabol (P):y= ax2 (a lµ tham sè d¬ng).
1. T×m a ®Ó (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A&B. Chøng minh r»ng
khi ®ã A&B n»m bªn ph¶i trôc tung.
2. Gäi xA&xB lµ hoµnh ®é cña A&B, t×m gi¸ trÞ Min cña biÓu thøc T=
4 1
+
x A + xB x A + xB
Bµi 4(3®):
§êng trßn t©m O cã d©y cung AB cè ®Þnh vµ I lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña
cung lín AB. LÊy ®iÓm M bÊt kú trªn cung lín AB, dùng tia Ax vu«ng gãc víi
®êng th¼ng MI t¹i H vµ c¾t tia BM t¹i C.
1. Chøng minh c¸c tam gi¸c AIB & AMC lµ tam gÝac c©n
2. Khi ®iÓm M di ®éng, chøng minh ®iÓm C di chuyÓn trªn mét cung
trßn cè ®Þnh.
3. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó chu vi tam gi¸c AMC ®¹t Max.
Bµi 5(1®):
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã AB < AC vµ trung tuyÕn AM, gãc ACB =
α ,gãc AMB = β . Chøng minh r»ng: (sin α +cos α )2= 1+ sin β
Hå ChÝ Minh n¨m häc 2004-2005, líp 7 (thêi gian:90’)
Bµi 1(3®): TÝnh:
− 1 3 −1 −1
a) 6. − 3. + 1 − − 1
3
3 3
b) (63+3.62 + 33) :13
9 1 1 1 1 1 1 1 1 1
c) − − − − − − − − −
10 90 72 56 42 30 20 12 6 2
Bµi 2(3®):
Su tÇm
§Ò thi m«n To¸n
a b c
a) Cho = = vµ a+b+c #0, a= 2005. TÝnh b,c.
b c a
a+b c+d a c
b) Chøng minh r»ng tõ tû lÖ thøc = #1 ta cã tû lÖ thøc = .
a−b c−d b d
Bµi 3(4®):
§é dµi ba c¹nh cña tam gi¸c tØ lÖ ví 2;3;4. Ba chiÓu cao t¬ng øng víi ba
c¹nh ®ã tØ lÖ víi ba sè nµo?
bµi 4(3®):
VÏ ®å thÞ c¸c hµm sè: 2x víi x ≥ 0
y= x víi x Su tÇm
§Ò thi m«n To¸n
2+ x 2− x
b. Gi¶i ph¬ng tr×nh: + = 2
2 + 2+ x 2 − 2− x
Bµi 2:
a. ( ®Ò nh ë b¶ng B)
b. VÏ c¸c ®êng th¼ng x=6, x=42, y=2, y=17 trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é.
Chøng minh r»ng trong h×nh ch÷ nhËt giíi h¹n b¬Ø c¸c ®êng th¼ng trªn
kh«ng cã ®iÓm nguyªn nµo thuéc ®êng th¼ng 3x + 5y = 7.
Bµi 3:
Cho tø gi¸c ABCD cã c¸c c¹nh ®èi diÖn AD c¾t BC t¹i E & AB c¾t CD t¹i
F, Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®îc ®-
êng trßn lµ: EA.ED + FA.FB = EF2.
Bµi 4:
Cho tam gi¸c ABC c©n ë A, AB =(2/3).BC, ®êng cao AE. §êng trßn t©m
O néi tiÕp tam gi¸c ABC tiÕp xóc víi AC t¹i F.
a. chøng minh r»ng BF lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c
ECF.
b. Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF víi (O). Chøng minh: BMOC lµ tø gi¸c néi
tiÕp.
Thi häc sinh giái tØnh HaØ D¬ng (2004-2005)
( líp 9, thêi gian: 150’)
Bµi 1(3,5®):
