150 đề thi cao học ( Đề 91 - Đề 120)
150 đề thi cao học ( Đề 91 - Đề 120)
ĐỀ SỐ 91
CÂU 1: (2,5 điểm)
Cho hàm số: y = x3 - 6x2 + 9x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) a) Từ đồ thị hàm số đã cho hãy suy ra đồ thị của hàm số: y =
3
x − 6x2 + 9 x
Biện luận số nghiệm của phương
b) theo m trình:
3
x − 6x2 + 9 x − 3 + m = 0
CÂU 2: (2 điểm)
x3 + y3 = 8
1) Giải hệ phương trình:
x + y + 2xy = 2
2. x − 2 x+ 2
3
≤1
2) Giải bất phương trình: x x
3 −2
CÂU 3: (2 điểm)
1) Giải phương trình lượng giác: tgx + 2cotg2x = sin2x
2) Tính các góc của ∆ ABC nếu các góc A, B, C của tam giác đó
5
3( cos B + cos C ) + =0
thoả mãn hệ thức: cos2A + 2 2
2
CÂU 4: (2,5 điểm)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' (AA', BB', CC', DD' song
song và AC là đường chéo của hình chữ nhật ABCD) có AB = a, AD = 2a,
AA' = a 2 ; M là một điểm thuộc đoạn AD, K là trung điểm của B'M.
1) Đặt AM = m (0 ≤ m < 2a). Tính thể tích khối tứ diện A'KID theo
a và m, trong đó I là tâm của hình hộp. Tìm vị trí của điểm M để thể tích
đó đạt giá trị lớn nhất.
2) Khi M là trung điểm của AD;
a) Hỏi thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (B'CK) là hình gì?
Tính diện tích thiết diện đó theo a.
b) Chứng minh rằng đường thẳng B'M tiếp xúc với mặt cầu đường
kính AA'
CÂU 5: (1 điểm)
1
3 2
Tính tích phân: ∫ x 1 − x dx
0
ĐỀ SỐ 92
CÂU 1: (2,5 điểm)
2
1) Cho hàm số: y = x − x + 1
x−1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Xác định điểm A(x1; y1) với x1 > 1 thuộc đồ thị của hàm số trên sao
cho khoảng cách từ A đến giao điểm của 2 tiệm cận của đồ thị là nhỏ
nhất.
x+ 3
2) Tìm tập giá trị của hàm số: y = và các tiệm cận của đồ
x2 + 1
thị của hàm số đã cho.
CÂU 2: (2 điểm)
1) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình:
a.9x + (a - 1)3x + 2 + a - 1 > 0 nghiệm đúng với ∀x
2) Giải và biện luận phương trình: l x a + l ax a + l a2 x a = 0
og og og a
là tham số
CÂU 3: (2 điểm)
1) Cho biểu thức P = cosA + cosB + cosC, trong đó A, B, C là ba góc
của một tam giác bất kỳ. Chứng minh P đạt giá trị lớn nhất nhưng không
đạt giá trị nhỏ nhất.
1
x. nx
si
∫ 1 + x. nx dx ≤ 1 − l 2
n
2) Chứng minh bất đẳng thức:
si
0
CÂU 4: (2 điểm)
Cho hình chóp S.ABC đỉnh S, đáy là tam giác cân, AB = AC = 3a, BC
= 2a. Biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) đều hợp với mặt phẳng
đáy (ABC) một góc 600 Kẻ đường cao SH của hình chóp.
1) Chứng minh rằng H là tâm vòng tròn nội tiếp ∆ ABC và SA ⊥ BC.
2) Tính thể tích của hình chóp.
CÂU 5: (1,5 điểm)
1) Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh
trục Oy hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (x - a)2 + y2 = b2 với 0 < b <
a.
2) Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi
một được thành lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
ĐỀ SỐ 93
CÂU 1: (2,5 điểm)
1) Số đo ba góc của ∆ ABC lập thành một cấp số cộng và thoả mãn
đẳng thức:
3+ 3
sinA + sinB + sinC =
2
a) Tính các góc A, B, C.
b) Biết nửa chu vi tam giác bằng 50 (đơn vị dài). Tính các cạnh
của tam giác.
1
2) Giải phương trình: cot = t +
gx gx
si x
n
CÂU 2: (2 điểm)
x− 3 ≤ m + 1
Cho bất phương trình: mx -
1
1) Giải bất phương trình với m = .
2
2) Với giá trị nào của m thì bất phương trình có nghiệm.
CÂU 3: (2 điểm)
1
= 3m − 2 cớ nghiệm
1) Với giá trị nào của m thì phương trình: x−1
2
duy nhất.
2) Cho các số x1, x2, y1, y2, z1, z2 thoả mãn các điều kiện:
2
x2z2 ≥ y2
x1z1 ≥ y1
x1x2 > 0 2
Chứng minh rằng: ( x1 + x2 ) ( z1 + z2 ) ≥ ( y1 + y2 ) 2
CÂU 4: (1,5 điểm)
π
2
si xcos
n x
dx (a,b ≠ 0)
Tính: I =
∫
a2 cos x + b2 si 2 x
2
n
0
CÂU 5: (2 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a trong mặt phẳng (P). Hai điểm M, N
di động trên cạnh CB và CD, đặt CM = x, CN = y. Trên đường thẳng At
vuông góc với (P), lấy điểm S. Tìm liên hệ giữa x và y để:
1) Các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau góc 450.
2) Các mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
ĐỀ SỐ 94
CÂU 1: (2 điểm)
Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + m.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 0.
2) Tìm tất cả các giá trị của hàm số để hàm số nghịch biến trên một
đoạn có độ dài bằng1.
CÂU 2: (2 điểm)
x + y + xy = 11
1) Giải hệ phương trình: 2
x + y + 3( x + y) = 28
2
2) Giải phương trình: 8.3x + 3.2x = 24 + 6x
CÂU 3: (3 điểm)
1) Giải phương trình: 1 + 3tgx = 2sin2x
2) Với A, B, C là 3 góc của một tam giác, chứng minh rằng:
si A + si B − si C
n n n AB C
= t t cot
gg g
cos + cos − cos + 1 22 2
A B C
3) Với a, b, c là ba số thực dương thoả mãn đẳng thức: ab + bc + ca
b2 + 2a2 c2 + 2b2 a2 + 2c2
= abc. Chứng minh rằng: + + ≥3
ab bc ca
CÂU 4: (2 điểm)
Cho một lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân đỉnh
A, góc ABC = α , BC' hợp với đáy (ABC) góc β . Gọi I là trung điểm của
AA'. Biết góc BIC là góc vuông
1) Chứng minh rằng ∆ BCI vuông cân.
2) Chứng minh rằng: tg2α +tg2β = 1
CÂU 5: (1 điểm)
1
π
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
cos cos x +
x
4
ĐỀ SỐ 95
CÂU 1: (2 điểm)
x2 − x + 1
Cho hàm số: y =
x−1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Tìm tất cả những điểm M trên đồ thị sao cho tổng khoảng cách
từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
CÂU 2: (2 điểm)
2
Cho f(x) = ( m − 1) 6 −
x
+ 2m + 1
6x
2
1) Giải bất phương trình f(x) ≥ 0 với m = .
3
( )
2) Tìm m để: x − 61− x f( x) ≥ 0 với ∀x ∈ [0; 1].
CÂU 3: (1,5 điểm)
π
4
1) Tính tích phân: I = si 4 xdx
∫n
0
1
2) Tính tích phân: J = ∫ e si ( πx) dx
n2
x
0
CÂU 4: (2,5 điểm)
1) Có bao nhiêu số chẵn gồn 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó
chữ số đầu tiên là chữ số lẻ?
2) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có
đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn?
3) Trên mặt phẳng cho thập giác lồi (hình 10 cạnh lồi) A1A2...A10.
a) Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của các tam giác này là các
đỉnh của thập giác lồi trên.
b) Hỏi trong số các tam giác trên có bao nhiêu tam giác mà cả ba cạnh
của nó đều không phải là cạnh của thập giác.
CÂU 5: (2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho điểm I(1; 1; 1) và
x − 2 y + z − 9 = 0
đường thẳng (D) có phương trình:
2 y + z + 5 = 0
1) Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của I lên đường thẳng
(D).
2) Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm tại I và cắt đường thẳng
(D) tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.
ĐỀ SỐ 96
CÂU 1: (2,25 điểm)
Cho phương trình: x4 - 4x3 + 8x
1) Giải phương trình với k = 5.
2) Tìm k để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
CÂU 2: (2 điểm)
Biết rằng a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và S là diện tích
tam giác đó, hãy xác định dạng của tam giác nếu:
1
( a + b − c) ( a − b + c)
1) S =
4
3
( a + b + c) 2
2) S =
36
CÂU 3: (2,25 điểm)
2x + 1
Cho hàm số: y =
x+ 2
1) Chứng minh rằng đường thẳng y = -x + m luôn cắt đồ thị tại hai
điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn AB ngắn nhất.
2 si x + 1
n
= t có đúng hai nghiệm
2) Tìm t sao cho phương trình:
si x + 2
n
thoả mãn điều kiện: 0 ≤ x ≤ π .
CÂU 4: (3,5 điểm)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với độ dài cạnh bằng 1.
Điểm M chạy trên cạnh AA', điểm N chạy trên cạnh BC sao cho AM =
BN = h với 0 < h < 1.
1) Chứng minh rằng khi h thay đổi, MN luôn cắt và vuông góc với
một đường thẳng cố định.
2) Gọi T là trung điểm cạnh C'D'. Hãy dựng thiết diện tạo với mặt
phẳng (MNT) cắt hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng
mặt phẳng đó chia hình lập phương ra hai phần có thể tích bằng nhau.
3) Tìm h để thiết diện có chu vi ngắn nhất.
ĐỀ SỐ 97
CÂU 1: (2,5 điểm)
( a + b) x + ( a − b) y = a
1) Giải và biện luận hệ phương trình:
( 2a − b) x + ( 2a + b) y = b
2) Giải và biện luận phương trình: x2 − 2m + 2 x2 − 1 = x
CÂU 2: (2,5 điểm)
1 1 2
+ =
1) Giải phương trình:
cos si 2x si 4x
x n n
2) Xác định a để hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất:
2 x + x = y + x2 + a
x2 + y2 = 1
CÂU 3: (2 điểm)
Cho hàm số: y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0.
2) Với những giá trị nào của m thì hàm số chỉ có cực tiểu và không
có cực đại?
CÂU 4: (1,5 điểm)
Cho phương trình: x2 + (2a - 6)x + a - 13 = 0 với 1 ≤ a độ thoả mãn điều kiện
2
y0 > x 0 ). Xác định k để diện tích ấy nhỏ nhất.
ĐỀ SỐ 98
CÂU 1: (3 điểm)
Cho hàm số: y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x - 1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
2) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0; -1) và tiếp xúc
với đồ thị của hàm số (1).
3) Với những giá trị nào của m thì hàm số (1) có cực đại, cực tiểu
và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị song song
với đường thẳng y = kx (k cho trước)? Biện luận theo k số giá trị của m.
CÂU 2: (1 điểm)
si x + si y = 2
n n
Giải hệ phương trình:
cos + cos = 2
x y
CÂU 3: (3 điểm)
1) Xác định m để mọi nghiệm của bất phương trình:
2 1
+1
1x 1x nghiệm của bất phương
cũng là trình:
+ 3 > 12
3 3
( m − 2) 2 x2 − 3( m − 6) x − ( m + 1) < 0
2) x, y là hai số thay đổi luôn luôn thoả mãn điều kiện: x2 + y2 = 1
Xác định các giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức:
A = x 1+ y+ y 1+ x
CÂU 4: (1,75 điểm)
1
Tính: I(a) = ∫ x x − adx
0
với a là tham số. Sau đó vẽ đồ thị hàm I(a) của đối số a.
CÂU 5: (1,25 điểm)
Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của
y2
x2
− = 1 đến các tiệm cận của nó là một số không đổi.
Hypebol 2 2
a b
ĐỀ SỐ 99
CÂU 1: (2 điểm)
Cho hàm số: y = -x4 + 2x2 + 3 có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Dựa vào đồ thị (C). hãy xác định các giá trị của m để phương
trình: x4 - 2x2 + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt.
CÂU 2: (3 điểm)
− π ; π
x
+ sin 2 x trên
1)Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: f(x) = 2 2
2
x − y = sin x − sin y
2) Giải hệ phương trình:
cos 2 x − 3 sin y + 1 = 0
3) Giải phương trình: 3cosx + cos2x - cos3x + 1 = 2sinxsin2x
CÂU 3: (2 điểm)
3 3
x 2 + x + 1 − x3 + 1
1) Tính giới hạn: lim
x
x →0
1
dx
∫
2) Tính tích phân: I =
0 ( x + 1) x2 + x + 1
CÂU 4: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho các
điểm A(2; 1) B(0; 1) C(3; 5) D(-3; -1). Tính toạ độ các đỉnh hình vuông có
hai cạnh song song đi qua A và C, hai cạnh song song còn lại đi qua B và
D, biết rằng tọa độ các đỉnh hình vuông đều dương.
2) Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥
(ABCD) và SA = 2a. Tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau BD và
SC theo a.
BàI5: (1 điểm)
x + y ≤ 2
Tìm a để hệ sau có nghiệm:
x + y + 2 x( y − 1) + a = 2
ĐỀ SỐ 100
CÂU 1: (2,5 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =
x2 + 4x + 3
x+ 2
2) Tìm k để đường thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân
biệt A, B.
3) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB khi k thay đổi.
CÂU 2: (2,5 điểm)
2 x + y − 1 = m
1) Giải và biện luận theo m hệ phương trình:
2 y + x − 1 = m
2) Trong các nghiệm (x, y) của bất phương trình: l x2 + y2 ( x + y) ≥
og
1. Hãy tìm nghiệm có tổng x + 2y lớn nhất.
CÂU 3: (1 điểm)
ksi x + 1
n
Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = nhỏ hơn -1
cos + 2
x
CÂU 4: (3 điểm)
1) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ các tiêu điểm tới một
tiếp tuyến bất kỳ của một elíp bằng bình phương độ dài nửa trục nhỏ của
elíp.
2) Cho ∆ ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt
phẳng (ABC) tại A lấy điểm M. Gọi H là trực tâm của ∆ ABC, O là trực
tâm của ∆ BCM.
a) CM: MC ⊥ (BOM), OH ⊥ (BCM)
b) Đường thẳng OH cắt d tại N. Chứng minh rằng tứ diện BCMN
có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
CÂU 5: (1 điểm)
7
với b ∈ 3; . Giải bất phương
Cho hàm số: f(x) = x2 + bx + 1
2
trình:
f f( x) ] > x
[
ĐỀ SỐ 101
CÂU 1: (2 điểm)
1) Chứng minh rằng nếu đồ thị của hàm số: y = x3 + ax2 + bx + c
cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau, thì điểm uốn nằm trên trục
hoành.
2) Cho hàm số: y = x3 - 3mx2 + 2x(m - 4)x + 9m2 - m
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau.
CÂU 2: (2 điểm)
bx − y = ac2
1) Cho hệ phương trình:
( b − 6) x + 2by = c + 1
Tìm a sao cho tồn tại c để hệ có nghiệm với ∀b.
2 3x+1 + 2 y− 2 = 3. y+ 3x
2
2) Giải hệ phương trình:
3x2 + 1 + xy = x + 1
CÂU 3: (2 điểm)
1
1) Giải phương trình: cos3xcos3x - sin3xsin3x = cos34x +
4
1
2) Cho ∆ ABC. Chứng minh rằng: cosAcosBcosC ≤ . Dấu "=" xảy
8
ra khi nào?
CÂU 4: (2 điểm)
x2 − 1
∫
(x2 + 5x + 1)(x2 − 3x + 1)
dx
1) Tìm họ nguyên hàm: I =
2) Trên mặt phẳng cho thập giác lồi (hình 10 cạnh lồi) A1A2...A10.
a) Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của các tam giác này là các
đỉnh của thập giác lồi trên.
b) Hỏi trong số các tam giác trên có bao nhiêu tam giác mà cả ba cạnh
của nó đều không phải là cạnh của thập giác.
CÂU 5: (2 điểm)
1) Lập phương trình các cạnh ∆ ABC nếu cho B(-4; -5) và hai
đường cao có phương trình: (d1): 5x + 3y - 4 = 0 và (d2): 3x + 8y + 13 = 0
2) Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có phương trình:
x − 1 y z+ 2
==
(P): 2x + y + z - 1 = 0 (d):
1 −3
2
Viết phương trình của đường thẳng qua giao điểm của (P) và (d),
vuông góc với (d) và nằm trong (P).
ĐỀ SỐ 102
CÂU 1: (3 điểm)
Cho hàm số: y = -x4 + 2mx2 - 2m + 1 (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) CMR: (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định A, B với ∀m.
3) Tìm m để các tiếp tuyến với (Cm) tại A, B vuông góc với nhau.
4) Xác định m đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm lập thành
cấp số cộng.
CÂU 2: (2 điểm)
2
+ 2x
1) Giải và biện luận phương trình: ( x − 2 ) x a (a là
= x− 2
tham số)
2
2) Giải bất phương trình: 1 − 1 − 4x < 3
x
CÂU 3: (1 điểm)
Cho bất phương trình: x2 + 2x(cosy + siny) + 1 ≥ 0
Tìm x để bất phương trình được nghiệm đúng với ∀y.
CÂU 4: (1,5 điểm)
π
2
1) Tính tích phân: I =
∫ 1 − si 2xdx
n
0
3 3
x2 + x + 1 − x3 + 1
2) Tính giới hạn: lm
i
x
x→ 0
CÂU 5: (2,5 điểm)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Hai điểm M,
N chuyển động trên hai đoạn thẳng BD và B'A tương ứng sao cho BM =
B'N = t. Gọi α và β lần lượt là các góc tạo bởi đường thẳng MN với các
đường thẳng BD và B'A.
1) Tính độ dài đoạn MN theo a và t. Tìm t để độ dài MN đạt giá trị nhỏ
nhất.
2) Tính α và β khi độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ nhất.
1
3) Trong trường hợp tổng quát, Chứng minh hệ thức: cos2α + cos2β =
2
ĐỀ SỐ 103
CÂU 1: (2,5 điểm)
m x+ m − 1
Cho hàm số: y = (Cm)
x+ m −1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 2.
2) Tìm M ∈ (C) để tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ
nhất.
3) CMR: ∀m ≠ 1, đồ thị (Cm) luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố
định.
CÂU 2: (1,75 điểm)
x + xy + y = m + 2
Cho hệ phương trình: 2 2
x y + xy = m + 1
1) Giải hệ phương trình với m = -3
2) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.
CÂU 3: (2 điểm)
1 2
( 1 + cot 2x. gx) = 0
− g cot
1) Giải phương trình: 48 - 4 2
cos x si x n
2) Chứng minh rằng, không tồn tại tam giác mà cả ba góc trong của
1
n2
nó đều là nghiệm của phương trình: ( 4 cos − 1) 7 si x − si 2x − 6 = 0
x n
2
CÂU 4: (1,75 điểm)
π
1+ cosx
1) Tính tích phân: l ( 1 + si x)
2
n
∫ n 1 + cosx dx
0
π
3
xsi x
n
∫ dx
2) Tính tích phân: 2
π cos x
−
3
CÂU 5: (2 điểm)
1) Lập phương trình các cạnh của ∆ ABC biết đỉnh C(4; -1) đường
cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình tương ứng là
(d1): 2x - 3y + 12 = 0 và
(d2): 2x + 3y = 0
2) Cho hai điểm A(1; 2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng (d) có
phương trình:
x + 1 y − 2 z− 2
= =
(d) :
−2
3 2
a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) và đường thẳng AB cùng nằm
trong một mặt phẳng.
b) Tìm điểm I ∈ (d) sao cho AI + BI nhỏ nhất.
ĐỀ SỐ 104
CÂU 1: (2,5 điểm)
2x2 + ( a + 1) x − 3
(Cm)
Cho hàm số: y =
x+ a
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với a = 2.
2) Tìm a để tiệm cận xiên của đồ thị (Cm) tiếp xúc parabol y = x2 +
5.
3) Tìm quỹ tích giao điểm của tiệm cận xiên và tiệm cận đứng của
(Cm).
CÂU 2: (1,75 điểm)
x2 + 4y2 = 8
Cho hệ phương trình:
x + 2 y = m
1) Giải hệ phương trình với m = 4.
2) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.
CÂU 3: (1,75 điểm)
1 1 10
1) Giải phương trình: cos + + si x + =
x n
si x 3
cosx n
n
1 + 1 < n với ∀n ∈ N, n > 2
2) Chứng minh bất đẳng thức:
n
CÂU 4: (1,5 điểm)
k
1) Cho n là một số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng C n
n+1
lớn nhất nếu k là số tự nhiên không vượt quá .
2
( )
2) CMR: C 0 + 32 C 2 + 34 C 4 + .. 32004 C 2004 = 2 2004 2 2005 − 1
.+
2005 2005 2005 2005
CÂU 5: (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy cho parabol (P): y2 = 8x
1) Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol.
2) Qua tiêu điểm kẻ đường thẳng bất kỳ cắt parabol tại hai điểm A và B.
Chứng minh rằng các tiếp tuyến với parabol tại A và B vuông góc với
nhau.
3) Tìm quỹ tích các điểm M mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với
parabol, sao cho chúng vuông góc với nhau.
ĐỀ SỐ 105
CÂU 1: (2 điểm)
x2 − 5x + 5
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y =
x−1
(C)
x2 − 5x + 5
2) Từ (C) suy ra đồ thị y = . Biện luận theo m số
x−1
( )
4 t − 5. t + 5 = m 2 t − 1
2
nghiệm phương trình:
CÂU 2: (2,5 điểm)
( )( )
x 3 − 4y2 = m 3 − 4m 2
)( )
(
Cho hệ phương trình:
y 3 − 4x2 = m 3 − 4m 2
1) Giải hệ phương trình với m = 1.
2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
3) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
CÂU 3: (1,75 điểm)
si ( A − B )
a2 − b2 n
=
1) ∆ ABC có đặc điểm gì nếu:
si ( A + B )
a2 + b2 n
2 2
+ 2t x + 5t + 5 cot + 4 = 0
g gx gx
2) Giải phương trình:
si 2 x
n
CÂU 4: (1,75 điểm)
2A y + 5C y = 90
x x
1) Giải hệ phương trình:
5A y − 2C y = 80
x x
k k
(Ở đây A n , C n lần lượt là số chỉnh hợp và tổ hợp chập k của n phần
tử )
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các dường có phương
trình:
