150 đề thi cao học ( Đề 61 - Đề 90)
150 đề thi cao học ( Đề 61 - Đề 90)
ĐỀ SỐ 61
CÂU 1: (2 điểm)
x2 + x − 2
Cho hàm số: y =
x+1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng trên đồ thị (C) tồn tại vô số cặp điểm tại đó
các tiếp tuyến của đồ thị song song với nhau.
CÂU 2: (2 điểm)
4x 2 x
1) Giải phương trình: cos = cos
3
3
l x ( 11x + 14 y) = 3
og
2) Giải hệ phương trình:
l y ( 11y + 14 x) = 3
og
CÂU 3: (3 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho điểm F(3; 0) và
đường thẳng (d) có phương trình: 3x - 4y + 16 = 0
a) Viết phương trình đường tròn tâm F và tiếp xúc với (d).
b) Chứng minh rằng parabol (P) có tiêu điểm F và đỉnh là gốc toạ độ
tiếp xúc với (d).
2) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi
một. Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) và S, S1, S2, S3 lần
lượt là diện tích của các mặt (BCD), (ABC), (ACD), (ABD). Chứng minh
rằng:
1 1 1 1
= + +
a)
AH 2 AB 2 AC 2 AD 2
b) S2 = S1 + S2 + S3
2 2
2
CÂU 4: (2 điểm)
eπ
∫ cosl x) dx
(n
1) Tính tích phân: I =
1
2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số F(t) xác định
bởi:
t
x2
F(t) = ∫ xcos dx
0
CÂU 5: (1 điểm)
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên chia hết cho 5, mỗi số có 5 chữ số phân biệt.
1
2) Giải phương trình: sin4x + cos4x - cos2x + sin22x = 0
4
ĐỀ SỐ 62
CÂU 1: (3,5 điểm)
Cho hàm số: y = x3 - 3x2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và
trục hoành.
3) Xét đường thẳng (D): y = mx, thay đổi theo tham số m. Tìm m để
đường thẳng (D) cắt đường cong (C) tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai
điểm có hoành độ dương.
CÂU 2: (2 điểm)
Tính các tích phân sau đây:
π
π
2
1) I = ∫ xsi xdx
n 2) J = si 2 xcos xdx
3
∫n
0
0
CÂU 3: (2,5 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho hypebol (H):
2
x2 y
− = 1 . Gọi F là một tiêu điểm của hypebol (H) (xF < 0) và I là trung
16 9
điểm của đoạn OF. Viết phương trình các đường thẳng tiếp xúc với
hypebol (H) và đi qua I.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho điểm A(3; -3; 4)
và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 7 = 0. Tìm điểm đối xứng của điểm A qua
mặt phẳng (P).
CÂU 4: (2 điểm)
1 + 1 =4
y3
1) Giải hệ phương trình: x
xy = 9
ĐỀ SỐ 63
CÂU 1: (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =
x2 + x − 1
x−1
2) Tìm m để đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân biệt. Khi đó chứng minh rằng cả hai giao điểm cùng thuộc một
nhành của (C).
CÂU 2: (2,5 điểm)
( ) +( )
x x
1) Giải phương trình: 2+ 3 2− 3 =4
2) Cho ∆ ABC có ba góc nhọn. Chứng minh rằng: tgA + tgB + tgC =
tgAtgBtgC
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = tgA + tgB + tgC
CÂU 3: (1,5 điểm)
Chứng minh rằng nếu: y = ln x + x + 4 thì đạo hàm y' =
2
1
x2 + 4
2
x2 + 4dx
∫
Sử dụng kết quả này tính tích phân: I =
0
CÂU 4: (3 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho parabol (P): y 2 =
4x. Từ điểm M bất kỳ trên đường chuẩn của (P) vẽ hai tiếp tuyến đến
(P), gọi T1, T2 là các tiếp điểm. Chứng minh rằng T1, T2 và tiêu điểm F của
(P) thẳng hàng.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho mặt phẳng
x = 2 t
(α): x + y + z + 10 = 0 và đường thẳng ∆ : y = 1 − t (t ∈ R)
z = 3 + t
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ' là hình chiếu
vuông góc của ∆ lên mặt phẳng (α).
3) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi
một, sao cho OA = a; OB = b; OC = 6 (a, b > 0). Tính thể tích tứ diện
OABC theo a và b. Với giá trị nào của a và b thì thể tích ấy đạt giá trị lớn
nhất, tính giá trị lớn nhất đó khi a + b = 1.
CÂU 5: (1 điểm)
Hãy khai triển nhị thức Niutơn (1 - x)2n, với n là số nguyên dương.
Từ chứng rằng:
đó minh 1.
C 1 n + 3C 3 n + .. ( 2n − 1) C 2 n−1 = 2. 2 n + 4. 4 n + .. 2nC 2 n
.+ .+
C2 C2
2 2 2n 2n
ĐỀ SỐ 64
CÂU 1: (2 điểm)
x2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = . Gọi
x−1
đồ thị là (C)
2) Tìm trên đường thẳng y = 4 tất cả các điểm mà từ đó có thể tới
đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 450.
CÂU 2: (3 điểm)
Giải các phương trình sau đây:
4x − 1 + 4 x2 − 1 = 1
1)
2) sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x)
( )
3) PxA 2 + 72 = 6 A 2 + 2 Px trong đó Px là số hoán vị của x phần
x x
tử, A 2 là số chỉnh hợp chập 2 của x phần tử (x là số nguyên dương).
x
CÂU 3: (2 điểm)
1) Tuỳ theo giá trị của tham số m, hãy tìm GTNN của biểu thức:
P = (x + my - 2)2 + [ 4x + 2( m − 2 ) y − 1] 2 .
π π
g g
2) Tìm họ nguyên hàm: I = ∫ t x + cot x + dx
3 6
CÂU 4: (2 điểm)
Cho hình chóp SABC đỉnh S, đáy là tam giác cân AB = AC = 3a, BC
= 2a. Biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) đều hợp với mặt phẳng
đáy (ABC) một góc 600. Kẻ đường cao SH của hình chóp.
1) Chứng tỏ rằng H là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC và SA ⊥ BC.
2) Tính thể tích hình chóp.
CÂU 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng với ∀x ≥ 0 và với ∀α > 1 ta luôn có:
xα + α − 1 ≥ αx . Từ đó chứng minh rằng với ba số dương a, b, c bất kỳ
a3 b3 c3 abc
+ + ≥ ++.
thì:
b3 c3 a3 bca
ĐỀ SỐ 65
CÂU 1: (2,5 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (x + 1)2(x -
2).
2) Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; 0) và có hệ số góc là k.
Hãy xác định tất cả giá trị của k để đường thẳng ∆ cắt đồ thị của hàm số
sau tại bốn điểm phân biệt:
y = x3 − 3 x − 2 .
CÂU 2: (2 điểm)
Giải các phương trình:
x+ 5
x+ 2 + 2 x+1 + x+ 2 − 2 x+1 =
1)
2
cos ( cos + 2 si x) + 3si x(si x + 2 )
x x n nn
=1
2)
si 2x − 1
n
CÂU 3: (2,5 điểm)
1) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số a:
a + 2x + a − 2x = a
2) Giải phương trình:
2
(l 2 2x + l x 2x) l 2 x2 + l 2
x
og 2
+l x l 2 x = 2
og og og og og
2 x
CÂU 4: (2 điểm)
Cho tứ diện SPQR với SP ⊥ SQ, SQ ⊥ SR, SR ⊥ SP. Gọi A, B, C
theo thứ tự là trung điểm của các đoạn PQ, QR, RP.
1) Chứng minh rằng các mặt của khối tứ diện SABC là các tam giác
bằng nhau.
2) Tính thể tích của khối tứ diện SABC khi cho SP = a, SQ = b, SR
= c.
CÂU 5: (1 điểm)
π
4
2
cos x
∫ si 2x + cos2x dx
Tính tích phân: I =
n
0
ĐỀ SỐ 66
CÂU 1: (2,5 điểm)
2
Cho hàm số: y = x + x (C)
x− 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
2) Đường thẳng (∆ ) đi qua điểm B(0; b) và song song với tiếp tuyến
của (C) tại điểm O(0; 0). Xác định b để đường thẳng ( ∆ ) cắt (C) tại hai
điểm phân biệt M, N. Chứng minh trung điểm I của MN nằm trên một
đường thẳng cố định khi b thay đổi.
CÂU 2: (2 điểm)
1) Giải bất phương trình: x2 − 4x + 3 − 2x2 − 3x + 1 ≥ x − 1
3
π
2
2) Tính tích phân: I =
si 3 xdx
∫ n
0
CÂU 3: (2 điểm)
1) Giải và biện luận phương trình: 2m(cosx + sinx) = 2m2 + cosx -
3
sinx +
2
nếu:
2) Tam giác ABC là tam giác gì
a2 si 2 B + b2 si 2A = 4abcos si B
n n An
si 2A + si 2B = 4 si A si B
n n n n
CÂU 4: (2 điểm)
1) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho các điểm A(2;
0; 0),
B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của OA và
OP 2
BC; P, Q là hai điểm trên OC và AB sao cho = và hai đường thẳng
3
OC
MN, PQ cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng (MNPQ) và tìm tỷ số
AQ
?
AB
2) Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P) có đỉnh tại gốc toạ độ và
đi qua điểm A ( 2; 2 ) . Đường thẳng (d) đi qua điểm I ; cắt (P) tại hai
5 1
2
2
điểm M, N sao cho
MI = IN. Tính độ dài MN.
CÂU 5: (1,5 điểm)
a2 + b2 + c2 = 2
Biết các số a, b, c thoả mãn: . Chứng minh:
ab+ bc+ ca = 1
4 4 4 4 4 4
− ≤ a ≤ ; − ≤ b ≤ ; − ≤ c≤
3 3 3 3 3 3
ĐỀ SỐ 67
CÂU 1: (2 điểm)
Cho hàm số: y = x4 - 4x2 + m (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 3.
2) Giả sử (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Hãy xác định m
sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích
phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau.
CÂU 2: (2 điểm)
2 x + y = 3
x2
1) Giải hệ phương trình:
2 y + x = 3
y2
2
2) Giải phương trình: 2 x−1 − 2 x −x
= ( x − 1) 2
CÂU 3: (2 điểm)
3π x 1 π 3x
n
1) Giải phương trình lượng giác: si − = si +
n
10 2 2 10 2
2) Cho ∆ ABC có độ dài các cạnh là a, b, c và diện tích S thoả mãn:
8
S = (c + a - b)(c + b - a). Chứng minh rằng: tgC = .
15
CÂU 4: (2 điểm)
1 + 2x − 3 1 + 3x
1) Tính: lm
i
x2
x→ 0
π
4
2) Tính: I = l ( 1 + t ) dx
∫ n gx
0
CÂU 5: (2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ trực truẩn Oxyz:
1) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua các điểm M(0;
π
0; 1) N(3; 0; 0) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc .
3
2) Cho 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là ba số
dương, thay đổi và luôn thoả mãn a2 + b2 + c2 = 3.
Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ điểm O(0; 0; 0) đến mặt
phẳng(ABC) đạt giá trị lớn nhất.
ĐỀ SỐ 68
CÂU 1: (2,5 điểm)
x2 + m x − m − 1
(Cm)
Cho hàm số: y =
x+1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1.
2) Chứng minh rằng họ (Cm) luôn đi qua một điểm cố định.
3) Tìm m để hàm số (Cm) có cực trị. Xác định tập hợp các điểm cực
tr ị.
CÂU 2: (3 điểm)
1) Giải phương trình: si 2000 x + cos2000
x=1
n
2) Giải bất phương trình: 1 + l x 2000 < 2
og
1
2
π
3) Chứng minh bất đẳng thức: 1 ≤ dx
∫ ≤
4
2 1 − x2000
0
CÂU 3: (2 điểm)
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2;
-1) và
D(7, -2, 3).
1) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D nằm trên cùng một mặt phẳng.
2) Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.
3) Tìm trên đường thẳng AB điểm M sao cho tổng MC + MD là nhỏ
nhất.
CÂU 4: (1 điểm)
π
4
si x − cos
n x
∫ dx
Tính tích phân: I =
si x + cos
n x
π
−
4
BÀ I5: (1,5 điểm)
Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc.
1) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
2) Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh cùng giới tính
đứng kề nhau?
ĐỀ SỐ 69
CÂU 1: (2 điểm)
Giải bất phương
1) trình:
x2 − 8x + 15 + x2 + 2x − 15 ≤ 4x2 − 18x + 18
2) Xác định giá trị của a để hệ bất phương trình:
x + 3y ≥ ( x + y) 2 + a
có nghiệm duy nhất.
( x − y) 2 ≤ 3y − x − a
CÂU 2: (1 điểm)
Giải phương trình: cos2x + cos4x + cos6x = cosxcos2xcos3x + 2
CÂU 3: (3 điểm)
1) Cho hàm số: y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1
a) Với các giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm
cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 2.
b) (C0) là đồ thị hàm số ứng với m = 0. Tìm điều kiện của a và b để
đường thẳng y = ax + b cắt (C0) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB
= BC. Khi đó chứng minh rằng đường thẳng y = ax + b luôn đi qua một
điểm cố định.
π
2
2) Tính tích phân: 1 + si x dx
n
∫ 1 + cosx
0
CÂU 4: (2 điểm)
Cho các đường tròn: (C): x2 + y2 = 1 (Cm): x2 + y2 - 2(m + 1)x +
4my = 5
1) Chứng minh rằng có hai đường tròn ( C m 1 ) , ( C m 2 ) tiếp xúc với
đường tròn (C) ứng với hai giá trị m1, m2 của m.
2) Xác định phương trình các đường thẳng tiếp xúc với cả hai
đường tròn ( C m 1 ) , ( C m 2 ) ở trên.
CÂU 5: (2 điểm)
Cho hai đường thẳng chéo nhau (d), (d') nhận đoạn AA' = a làm
đoạn vuông góc chung (A ∈ (d), A' ∈ (d')). (P) là mặt phẳng qua A' và
vuông góc với (d'). (Q) là mặt phẳng di động nhưng luôn song song với (P)
và cắt (d), (d') lần lượt tại M, M'. N là hình chiếu vuông góc của M trên
(P), x là khoảng cách giữa (P) và (Q), α là góc giữa (d) và (P).
1) Tính thể tích hình chóp A.A'M'MN theo a, x, α .
2) Xác định tâm O của hình cầu ngoại tiếp hình chóp trên. Chứng
minh rằng khi (Q) di động thì O luôn thuộc một đường thẳng cố định và
hình cầu ngoại tiếp hình chóp A.A'M'MN cũng luôn chứa một đường tròn
cố định.
ĐỀ SỐ 70
CÂU 1: (2,5 điểm)
x2 − 3x + 3
Cho hàm số: y = f( x) =
2x2 + x − 1
1) Tìm tập xác định và xét sự biến thiên của f(x);
2) Tìm các tiệm cận, điểm uốn và xét tính lồi lâm của đồ thị f(x)
đạo cấp của bằng:
3) CMR hàm n f(x)
2 n−1
2
( − 1) n n!
−
n+1
n+ 1
( 2x − 1) ( x + 1)
CÂU 2: (2 điểm)
5+ x
lg
5− x Cho hàm số: y = f(x) = x3 + ax + 2, (a là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = -3.
2) Tìm tất cả giá trị của a để đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành
tại một và chỉ một điểm.
CÂU 2: (2 điểm)
1) Giải bất phương trình: x+1 > 3 − x+ 4
2) Giải phương trình: 4 l ( 10x) − 6 l x = 2. l (100x )
2
g g
3g
CÂU 3: (1 điểm)
π
Với n là số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 2, tìm x ∈ 0; thoả mãn
2
phương trình:
2−n
n n
x= 2 2
si x + cos
n
CÂU 4: (2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác trực truẩn Oxyz cho đường
thẳng
x + 1 y − 1 z− 3
= = và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 3 = 0
(d):
−2
1 2
1) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng (d) với mặt phẳng
(P) . Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
2) Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d') của đường thẳng (d)
trên mặt phẳng (P).
CÂU 5: (3 điểm)
si 2x
n
1) Tìm 2 số A, B để hàm số: h(x) = có thể biểu diễn
( 2 + si x) 2
n
A. x
cos B. x
cos
+
được dưới dạng: h(x) = 2 + si x , từ đó tính tích phân J =
( 2 + si x) 2 n
n
0
∫ h( x) dx
π
−
2
2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số g(x) = sinx.sin2x.cos5x
3) Tính tổng: S = C 1 − 2C 2 + 3C 3 − 4C 4 + .. ( − 1) n−1 . . n
.+ nCn
n n n n
k
(n là số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 2, C n là số tổ hợp chập k của n phần
tử )
ĐỀ SỐ 72
CÂU 1: (2 điểm)
x+ 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =
x− 3
2) Tìm trên đồ thị của hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ điểm
M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến đường tiệm
cận ngang.
CÂU 2: (3 điểm)
1) Với những giá trị nào của m thì hệ bất phương trình:
x2 + 10x + 9 ≤ 0
2
x − 2 x + 1 − m ≤ 0
có nghiệm
2 2 2
− 3x+ 2 + 6 x+ 5 + 3x+ 7
2) Giải phương trình: 4 x = 4 2x
+ 4x +1
3) Cho các số x, y thoả mãn: x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1. Hãy tìm giá
y
x
+
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
y+1 x+1
CÂU 3: (2 điểm)
1) Giải phương trình lượng giác: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
2) Hãy tính các góc của ∆ ABC nếu trong tam giác đó ta có:
9
sin2A + sin2B + 2sinAsinB = + 3cosC + cos2C.
4
CÂU 4: (2 điểm)
Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a.
1) Giả sử I là một điểm thay đổi ở trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí
của I để diện tích ∆ IAB là nhỏ nhất.
2) Giả sử M là một điểm thuộc cạnh AB. Qua điểm M dựng mặt
phẳng song song với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB
lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy xác định vị trí của M
để diện tích tứ giác MNPQ là lớn nhất.
CÂU 5: (1 điểm)
x + y = 4
Với những giá trị nào của m thì hệ phương trình: 2 2 2
x + y = m
có nghiệm?
ĐỀ SỐ 73
CÂU 1: (2 điểm)
x2 − x + 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =
x−1
2) Tìm trên đồ thị của hàm số hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác
nhau của đồ thị để khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất.
CÂU 2: (1,5 điểm)
Giải phương trình lượng giác: sin3x.cos3x + cos3x.sin3x = sin34x
CÂU 3: (3 điểm)
1) Giải phương trình: 3 − x + x2 − 2 + x − x2 = 1
( x + y) 1 + 1 = 5
xy
2) Giải hệ phương trình:
)
(
x2 + y2 1 + 1 = 49
x2 y2
3) Cho các số x, y thay đổi thoả mãn điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y
= 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3x + 9y.
CÂU 4: (2 điểm)
Cho họ đường tròn: x2 + y2 - 2mx - 2(m + 1)y + 2m - 1 = 0
1) Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ đường tròn luôn luôn đi qua
hai điểm cố định.
2 Chứng minh rằng với mọi m, họ đường tròn luôn cắt trục tung tại
hai điểm phân biệt.
CÂU 5: (1,5 điểm)
1
dx
∫
(x2 + 3x + 2)2
Tính tích phân:
0
ĐỀ SỐ 74
CÂU 1: (2 điểm)
2x2 + x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = (H)
x+1
2) Tìm những điểm M trên đường thẳng y = 1 sao cho từ M có thể
kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị (H).
CÂU 2: (2 điểm)
Cho f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)3 - 3sin2x + m.
1) Giải phương trình f(x) = 0 khi m = -3.
2) Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x). Từ đó tìm
m sao cho (f(x))2 ≤ 36 với mọi x.
CÂU 3: (2 điểm)
Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
1) Có bao nhiêu tập con X của A thoả mãn điều kiện X chứa 1 và
không chứa 2?
2) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau
lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123?
CÂU 4: (2 điểm)
Cho hai đường tròn: (C1): x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0
(C2): x2 + y2 - 10x - 6y + 30 = 0 có tâm lần lượt là I và J
1) Chứng minh (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) và tìm toạ độ tiếp điểm
H.
2) Gọi (D) là một tiếp tuyến chung không đi qua H của (C1) và (C2).
Tìm toạ độ giao điểm K của (D) và đường thẳng IJ. Viết phương trình
đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với hai đường tròn (C1) và (C2) tại H.
CÂU 5: (2 điểm)
Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
SA ⊥ (ABC) và SA = a. M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt góc
ACM = α , hạ SH vuông góc với đường thẳng CM.
1) Tìm quỹ tích điểm H khi điểm M chạy trên đoạn AB. Góc α bằng bao
nhiêu để thể tích tứ diện SAHC đạt giá trị lớn nhất.
2) Hạ AI ⊥ SC, AK ⊥ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKL
theo a và α.
ĐỀ SỐ 75
CÂU 1: (2 điểm)
x+1
Cho hàm số: y =
x−1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ kẻ được
đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số (ở phần 1).
CÂU 2: (3 điểm)
1
1) Giải phương trình: 2tgx + cotg2x = 2sin2x +
si 2x
n
Giải phương
2) trình:
( ) ( )
l 2 x2 + 3x + 2 + l 2 x2 + 7x + 12 = 3 + l 2 3
og og og
