150 đề thi cao học ( Đề 121 - Đề 150)
150 đề thi cao học ( Đề 121 - Đề 150)
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
ĐỀ SỐ 121
CÂU 1: (2 điểm)
Cho hàm số: y = 4x3 + (a + 3)x2 + ax
1) Tuỳ theo các giá trị của a, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số.
2) Xác định a để y ≤ 1 khi x ≤ 1.
CÂU 2: (2 điểm)
1 a− b a+ b
= +
1) Giải và biện luận phương trình: x +
x a+ b a− b
x+ y
yx
= 32
2) Giải hệ phương trình: 4
l ( x − y) = 1 − l ( x + y)
og3 og3
CÂU 3: (2 điểm)
si xcos = 1
n y
1) Giải hệ phương trình: 4
3t = t
gx gy
2) Chứng minh bất đẳng thức sau: x4 + y4 + z2 + 1 ≥ 2x(xy2 - x + z + 1)
CÂU 4: (2 điểm)
1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 5 chữ số khác
nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà số đó nếu có mặt số
1 và số 6 thì hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
cotgx
2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x) =
1 + si 9 x
n
CÂU 5: (2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz có các đường thẳng:
x = 2 + at
x + 2 y − 3z + 1 = 0
(D): y = −1 + 2t
(∆ ):
2x − 3y + z + 1 = 0 z = 3 − 3t
1) Với a cho trước, hãy xác định phương trình mặt phẳng (P) đi qua (∆ ) và
song song với (D).
Trang:1
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
2) Xác định a để tồn tại một mặt phẳng (Q) đi qua (∆ ) và vuông góc với (D).
Khi đó hãy viết phương trình của mặt phẳng (Q) đó.
ĐỀ SỐ 122
CÂU 1: (2 điểm)
ax2 + bx + c
Cho hàm số: y =
x− 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi a = 1, b = -4, c
= 8.
2) Xác định a, b, c biết rằng hàm số có đạt cực trị bằng 1 khi x = 1 và đường
1− x
tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng y = .
2
CÂU 2: (1 điểm)
( )
x2 + 2 − 3m 2 x − 6m 2 < 0
Tìm m để hệ sau có nghiệm:
x2 − ( 2m + 5) x + m 2 + 5m + 6 ≥ 0
CÂU 3: (2 điểm)
1
1) Giải phương trình: l x+ 3 3 − 1 − 2x + x =
2
og
2
2) Giải phương trình:
π π π π π
2 3 si x − cos x − + 2 cos x − = 3 + 4 si 2 x + cos − x cos + x
2
n n
8 8 8 3 3
CÂU 4: (2 điểm)
π π
sin 2 xdx cos 2 xdx
6 6
Đặt I = và J =
∫ sin x + 3 cos x ∫ sin x + 3 cos x
0 0
1) Tính I - 3J và I + J.
5π
3 cos2xdx
∫
2) Từ các kết quả trên, hãy tính các giá trị của I, J và K =
3π si + 3 cos x
nx
2
CÂU 5: (3 điểm)
Trang:2
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
Cho góc tam diện vuông Oxyz. trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B,
C có OA = a, OB = b, OC = c (a, b, c > 0).
1) Chứng minh rằng ∆ ABC có ba góc nhọn.
2) Gọi H là trực tâm của ∆ ABC. Chứng minh OH ⊥ (ABC). Hãy tính OH theo a, b,
c.
3) Chứng minh rằng bình phương diện tích ∆ ABC bằng tổng bình phương diện
tích các mặt còn lại của tứ diện OABC.
ĐỀ SỐ 123
CÂU 1: (2 điểm)
x3
Cho các đường: y = - + 3x (P) y = m(x - 3) (T)
3
1) Tìm m để (T) là tiếp tuyến của (P).
2) Chứng minh rằng họ (T) đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
3) Gọi A, B, C là các giao điểm của (P) và (T). Hãy tìm m để OB ⊥ OC (O là
gốc toạ độ).
CÂU 2: (2 điểm)
1) Giải và biện luận phương trình: x + 2 ( x − 1) + m = 0
2) Biết: a.cosx + b.cos2x + c.cos3x = 0 với ∀x. Chứng minh rằng: a = b = c = 0.
CÂU 3: (1,75 điểm)
2
+ 1 + 3a = 0
Cho phương trình: (1 - a)tg2x -
cosx
1
1) Giải phương trình khi a = .
2
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình có nhiều hơn một
π
nghiệm trong khoảng 0; .
2
CÂU 4: (2 điểm)
1) Cho k và n là các số nguyên thoả mãn: 0 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng:
( )2
n
Cn n
C 2 n+ k . 2 n − k ≤ C 2 n .
Trang:3
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
2) Gọi (D) là miền được giới hạn bởi các đường y = -3x + 10; y = 1; y = x2
(x > 0). Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo nên khi (D) quay xung quanh trục
Ox.
CÂU 5: (2,25 điểm)
2
x2 y
− = 1 . Gọi (d) là đường thẳng qua O có hệ số góc
Cho Hypebol (H):
9 4
k, (d') là đường thẳng qua O và vuông góc với (d).
1) Tìm điều kiện đối với k để (d) và (d') đều cắt (H).
2) Tính theo k diện tích hình thoi với 4 đỉnh là 4 giao điểm của (d), (d') và (H).
3) Xác định k để hình thoi ấy có diện tích nhỏ nhất.
ĐỀ SỐ 124
CÂU 1: (2 điểm)
2
Cho các đường: y = x − 2x + 2 (H) y = -x + m (T)
x−1
1) Xác định m để (T) cắt (H) tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường
thẳng:
y = x + 3.
2) Tìm các giá trị k sao cho trên (H) có hai điểm khác nhau P, Q thoả mãn
xP + yP = k
điều kiện: . Chứng minh rằng khi đó P và Q cùng thuộc một nhánh
xQ + yQ = k
của (H).
CÂU 2: (2 điểm)
1) Hãy biện luận giá trị nhỏ nhất của F = (x - 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2 theo a
2) Tìm m để phương trình: 1 − x2 + 23 1 − x2 = m có nghiệm duy nhất
CÂU 3: (1,5 điểm)
1) Giải phương trình lượng giác:
2cos2x + sin2x.cosx + cos2x.sinx= 2(sinx + cosx)
Trang:4
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
1 1 1
+ + ..
.+ < 44
2) Chứng minh rằng:
1+ 2 2+ 3 2004 + 2005
CÂU 4: (1,5 điểm)
1) Xác định các số A, B, C sao cho:
+ ∫
C
dx A B
∫ = + dx
( x + 1) ( x + 2 ) 2 x+ 2 x+1 x+ 2
2) Tính diện tích S(t) hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số:
1
trên đoạn [0; t] (t > 0) và trục hoành. Tìm t→ +∞ S( )
lm
i t
y=
( x + 1) ( x + 2 ) 2
CÂU 5: (3 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình hộp chữ nhật
ABCD.AA'B'C'D' với A'(0; 0; 0) B'(a; 0; 0), D'(0; b; 0), A(0; 0; c) trong đó a, b, c >
0. Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, B'C', C'D', DD'.
1) Viết phương trình tham số của hai đường thẳng PR, QS.
2) Xác định a, b, c để hai đường thẳng PR, QS vuông góc với nhau.
3) Chứng minh rằng hai đường thẳng PR, QS cắt nhau.
4) Tính diện tích tứ giác PQRS.
ĐỀ SỐ 125
CÂU 1: (3 điểm)
x + ( m + 1) x − m + 4m − 2
2 2
(Cm)
Cho hàm số: y =
x−1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 0.
2) Tìm m để hàm số có cực trị. Khi đó hãy viết phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm cực đại và cực tiểu.
3) Tìm m để tích các tung độ điểm cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
CÂU 2: (1 điểm)
x2 + y2 = a2 − 2
Cho hệ phương trình:
x + y = 2a − 3
Gọi (x, y) là nghiệm của hệ. Xác định a để tích xy là nhỏ nhất
CÂU 3: (2 điểm)
1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Trang:5
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
3
+ 3t 2 x + m ( t + cot ) − 1 = 0
g gx gx
2
si x
n
2) Không dùng máy tính chứng minh rằng: log23 > log34
CÂU 4: (2 điểm)
1) Cho hàm số: f(x) = ax + b với a2 + b2 > 0. Chứng minh rằng:
2 2
π π
2 2
∫ f( x) si xdx + ∫ f( x) cos > 0
n xdx
0 0
2) Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. hỏi có bao nhiêu
cách xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng
liền nhau.
CÂU 5: (2 điểm)
Cho hai nửa mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến (∆ ).
Trên (∆ ) lấy đoạn AB = a (a là độ dài cho trước). Trên nửa đường thẳng Ax vuông
góc với (∆ ) và ở trong (P) lấy điểm M với AM = b (b > 0). Trên nửa đường thẳng
a2
Bt vuông góc với (∆ ) và ở trong (Q) lấy điểm N sao cho BN =
b
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BMN) theo a, b.
2) Tính MN theo a, b. Với những giá trị nào của b thì MN có độ dài cực tiểu. Tính
độ dài cực tiểu đó.
ĐỀ SỐ 126
CÂU 1: (3 điểm)
x2 − x + 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y =
x−1
2) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:
x2 − x + 2
=l 2m
og
x −1
2
3) Xác định tham số a để phương trình sau có nghiệm: x − x + 2 - ax + a - 1 =
x−1
0
Trang:6
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
CÂU 2: (2 điểm)
x2 − 3x − 4 ≤ 0
1) Tìm m để hệ sau có nghiệm: 3
x − 3 x x − m 2 − 15m ≥ 0
l x ( 3x + 2y) = 2
og
2) Giải hệ phương trình:
l y ( 3y + 2x) = 2
og
CÂU 3: (2 điểm)
1) Giải phương trình: sin2x + cos2x + tgx = 2
2) Cho ∆ ABC có các cạnh BC = a, CA = b và các góc A, B, C thoả mãn hệ
thức:
C
a + b = (atgB + btgA)tg . Chứng minh rằng ∆ ABC cân hoặc vuông
2
CÂU 4: (1 điểm)
Parabol (P): y2 = 2x chia diện tích hình tròn (C) tâm O bán kính 2 2 theo tỷ
số nào?
CÂU 5: (2 điểm)
1) Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 + 4x + 3 = 0 và (C2): x2 + y2 - 8x + 12 = 0.
Xác định phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn trên.
2) Lập phương trình đường thẳng qua điểm M(-4; -5; 3) và cắt hai đường
x + 1 y + 3 z− 2 x − 2 y + 1 z− 1
= = = =
thẳng: (d1): (d2):
−2 −1 −5
3 2 3
ĐỀ SỐ 127
CÂU 1: (3 điểm)
( m + 1) x2 − 2m x − (m 3 − m 2 − 2) với m ≠ -1
Cho hàm số: y =
x− m
Trang:7
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
1) Với các giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng
(0; 2)
2) Xác định tiệm cận xiên của đồ thị. Chứng minh rằng tiệm cận xiên luôn
tiếp xúc với một parabol cố định.
3) Tìm m > 0 để tâm đối xứng nằm trên parabol y = x2 + 1. Khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị của hàm số với giá trị m tìm được.
4) Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó ta có thể kẻ được đúng một tiếp
tuyến tới đồ thị của hàm số ở phần 3.
CÂU 2: (2 điểm)
1) Chứng minh rằng không tồn tại m để phương trình sau có hai nghiệm trái
dấu: m.4x + (2m + 3)2x - 3m + 5 = 0
( ) ( )
2) Giải phương trình: ( x − 1) l 5 3 + l 5 3x+1 + 3 = l 5 11. x − 9
3
og og og
CÂU 3: (2 điểm)
Cho f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)2 - 3sin2x + m
1) Giải phương trình f(x) = 0 khi m = -3.
2) Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x).
Từ đó tìm m sao cho f2(x) ≤ 36 ∀x
CÂU 4: (1 điểm)
π
4
si xcos
n x
Tính tích phân: I =
∫ si 2x + cos2x dx
n
0
CÂU 5: (2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai đường thẳng ∆ 1, ∆ 2 có
x = 1 − t x = 2 t'
phương trình: (∆ 1): y = t y = 1 − t (t, t' ∈ R)
'
(∆ 2):
z = − t z = t'
1) Chứng minh rằng hai đường thẳng ∆ 1, ∆ 2 chéo nhau.
2) Viết phương trình các mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau và lần lượt đi
qua ∆ 1 ∆ 2.
3) Tính khoảng cách giữa ∆ 1 và ∆ 2 .
ĐỀ SỐ 128
Trang:8
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
CÂU 1: (2,5 điểm)
x2 + 3x + 3
Cho hàm số: y = (1)
x+ 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên, từ đó suy ra đồ thị
x2 + 3x + 3
của hàm số: y =
x+ 2
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (1) biết rằng tiếp tuyến này
vuông góc với đường thẳng: 3y - x + 6 = 0.
3) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x2 + (3 - a)x + 3 - 2a = 0
(2)
và so sánh các nghiệm đó với số -3 và -1.
CÂU 2: (2 điểm)
1) Giải phương trình: x2 − 2x + 5 + x − 1 = 2
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x + 3 = m x2 + 1
CÂU 3: (1,5 điểm)
Xét phương trình: sin4x + cos4x = m (m là tham số)
1) Xác định m để phương trình có nghiệm.
3
2) Giải phương trình đó khi m = .
4
CÂU 4: (2 điểm)
2
dx
∫
( )
1) Tính tích phân: I = 4
+1
1xx
2) Chứng minh rằng: với n là số tự nhiên, n ≥ 2 ta có:
n−1
1 1 1
+ + ..
.+ =
A2 2
A2 n
A3
2 n
CÂU 5: (2 điểm)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại các
đỉnh A và D. Biết rằng AB = 2a, AD = CD = a, (a > 0). Cạnh bên SA = 3a vuông
góc với đáy.
1) Tính diện tích tam giác SBD theo a.
2) Tính thể tích tứ diện SBCD theo a.
Trang:9
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
ĐỀ SỐ 129
CÂU 1: (2,5 điểm)
2x2 − 5x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (C)
x− 2
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với: x + 4y - 1 = 0
2x2 − 5 x
=m
3) Biện luận theo m số nghiệm phương trình:
x−2
CÂU 2: (1,5 điểm)
x + y + xy = 2m + 1
Chứng minh rằng với ∀m hệ sau luôn có nghiệm:
xy( x + y) = m + m
2
CÂU 3: (2 điểm)
3x 4x
2
+ 1 = 3 cos
1) Giải phương trình: 2 cos
5 5
2) Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì:
12
(a + b2 + c2)
ab + bc + ca >
2
CÂU 4: (1,5 điểm)
Tính diện tích phần mặt phẳng hữu hạn được giới hạn bởi các đường
x
1
thẳng: x = 0, x = , trục Ox và đường cong y =
1 − x4
2
CÂU 5: (2,5 điểm)
1) Cho hai đường tròn tâm A(1; 0) bán kính r1 = 4 và tâm B(-1; 0) bán kính r2 = 2
a) Chứng minh rằng hai đường tròn đó tiếp xúc trong với nhau.
b) Tìm tập hợp tâm I(x, y) của các đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn
trên. Tập hợp đó gồm những đường gì?
2) Cho Elip: 4x2 + 9y2 = 36 điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng qua M
và cắt Elip tại hai điểm M1, M2 sao cho MM1 = MM2
Trang:10
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
ĐỀ SỐ 130
CÂU 1: (2,5 điểm)
Cho parabol: y = x2 + (2m + 1)x + m2 - 1
1) Tìm quỹ tích đỉnh của parabol khi m biến thiên.
2) Chứng minh rằng khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng y = x
với parabol không phụ thuộc vào m.
3) Chứng minh rằng với ∀m parabol luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố
định.
CÂU 2: (1,75 điểm)
1) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
− 2x2 + 10x − 8 = x2 − 5x + m
2) Giải bất phương trình: 2. x + 3. x > 6 x − 1
2 3
CÂU 3: (1,75 điểm)
1) Giải phương trình: sin2x + sin22x + sin23x = 2
3
2) Tính số đo các góc của ∆ ABC, biết rằng: cosA = sinB + sinC -
2
CÂU 4: (1,5 điểm)
1) Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ
số 1, 2, 3, 4, 5, 6?
2) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,
3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn số 345?
CÂU 5: (2,5 điểm)
Trang:11
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình lập phương
ABCD.A'B'C'D'. Biết A'(0; 0; 0), B'(a; 0; 0) D'(0; a; 0), A(0; 0; a) trong đó a > 0. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B'C'.
1) Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua M và song song với hai đường
thẳng AN và BD'.
2) Tính thể tích tứ diện AMND'.
3) Tính góc và khoảng cách giữa các đường thẳng AN và BD'.
ĐỀ SỐ 131
CÂU 1: (2 điểm)
1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x + 1 +
x−1
π
2) Từ đồ thị trên, hãy suy ra số nghiệm x ∈ 0; của phương trình:
2
1 1 1
t + cot + + = m tuỳ theo giá trị của tham số m
gx gx
sinx + cosx +
2 si x cos
n x
CÂU 2: (2 điểm)
1) Giải và biện luận phương trình:
l a 4 ax + l x 4 ax + l a 4 x + l x 4 x = l a x
og og og og og
a a
3
x+ 2 x−1 + x− 2 x−1 >
2) Giải bất phương trình:
2
CÂU 3: (2 điểm)
π
1) Tìm các nghiệm x ∈ ;3π của phương trình:
2
5π 7π
sin 2x + − 3 cos x − = 1 + 2 si x
n
2 2
2) Chứng minh rằng với 4 số thực bất kỳ x1, x2, x3, x4 ta luôn có:
a) x1 + x2 + x3 + x2 ≥ ( x1 + x2 ) ( x3 + x4 )
2 2
2 4
( )( )( )( )
b) x1 + 1 x2 + 2 x3 + 4 x2 + 8 ≥ ( x1x3 + 2 ) 2 ( x2 x4 + 4 ) 2
2 2
2 4
CÂU 4: (2 điểm)
Trang:12
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
(x2 + 1)ex dx
1
1) Tính tích phân sau: I = ∫
( x + 1) 2
0
2) Cho A là một tập hợp có 20 phần tử.
a) Có bao nhiêu tập hợp con của A?
b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?
CÂU 5: (2 điểm)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M và N lần
lượt là trung điểm của BC và DD'.
1) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (A'BD).
2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và MN theo a.
ĐỀ SỐ 132
CÂU 1: (2,5 điểm)
u( x)
1) Cho hàm số: y = . Chứng minh rằng nếu y'(x0) = 0, thì ta có:
v( x)
u'x0 ) u( x0 )
(=
v'x0 ) v( x0 )
(
2x2 + 3x + m − 2
2) Chứng minh rằng nếu hàm số: y = (1) đạt cực đại tại x1 và
x+ 2
cực tiểu tại x2 thì ta có: y( x1 ) − y( x2 ) = 4 x1 − x2 .
3) Kiểm tra lại kết quả trong phần 2) bởi việc khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
(1) với m = 2.
CÂU 2: (2 điểm)
x + y = 1
1) Giải hệ phương trình: x y
2 − 2 = 2
2) Tìm a, b để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
( ax+ b) 2 + 3 ( ax− b) 2 + 3 a2 x2 − b2 = 3 b
3
CÂU 3: (2 điểm)
( )
2 − cos 3x = 2 1 + si 2 2x
2
1) Giải phương trình: cos3x + n
Trang:13
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
2) Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của ∆ ABC và a + b = tg
C
( at + bt ) Thì ∆ ABC cân.
gA gB
2
CÂU 4: (1,5 điểm)
(x2 − 1)dx
Tính nguyên hàm: ∫ 2
(x + 1) 1 + x4
CÂU 5: (2 điểm)
y2
x2
+ = 1 nhận các đường thẳng 3x - 2y - 20 = 0 và x + 6y - 20
1) Nếu Elip: 2 2
a b
= 0 làm tiếp tuyến, hãy tính a2 và b2.
y2
x2
+ = 1 (E). Tìm quan hệ giữa a, b, k, m để (E) tiếp xúc đường
2) Cho Elip
a2 b2
thẳng y = kx + m.
3) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
2 x − z − 1 = 0 3x + y − 2 = 0
(d1): (d2):
− x − y + 4 = 0 3y − 3z − 6 = 0
ĐỀ SỐ 133
CÂU 1: (3 điểm)
x2 − x + 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y =
x−1
x2 − x + 2
2) Tìm tập hợp các điểm N(x, y) thoả mãn: y ≥
x−1
3) Biện luận theo m số nghiệm x ∈ [0; π ] của phương trình:
cos2x + (m - 1)cosx + m + 2 = 0
CÂU 2: (1 điểm)
x+1 + y = m
Xác định tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:
y+1 + x =1
CÂU 3: (2 điểm)
Trang:14
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
Giải phương
1) trình:
π π
2 ( 2 si x − 1) = 4( si x − 1) − cos 2x + − si 2x +
n n n
4 4
n
2) Cho a > 0. Chứng minh rằng: xn + (a - x)n ≥ 2
a
2
CÂU 4: (2 điểm)
1
1) Tính tích phân: I = ∫ x x − m dx tuỳ theo m.
0
2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số: y = 3x2 − 3x + 1
CÂU 5: (2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương
x + 2 y − 3 = 0
trình: x + y + z = 0 và đường thẳng (d) có phương trình:
3x − 2z − 7 = 0
1) Xác định giao điểm A của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P).
2) Viết phương trình của đường thẳng (∆ ) đi qua A, vuông góc với đường
thẳng (d) và nằm trong mặt phẳng (P).
ĐỀ SỐ 134
CÂU 1: (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x3 - 3x2 - 9x + 1
2) Tìm điều kiện đối với a và b sao cho đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị
trên tại 3 điểm khác nhau A, B, C với B là điểm giữa của đoạn AC.
CÂU 2: (2 điểm)
1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x2 + 2 x − m + m 2 + m − 1 ≤ 0
Trang:15
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
4x − 2 1
2) Giải bất phương trình: l x2 ≥
og
x− 2 2
CÂU 3: (2 điểm)
Cho phương trình: sin6x + cos6x = asin2x
1) Giải phương trình khi a = 1.
2) Tìm a để phương trình có nghiệm.
CÂU 4: (2 điểm)
1) Từ các chữ cái của Câu : "TRƯỜNG THPT LÝ THƯỜNG KIỆT" có
bao nhiêu cách xếp một từ (từ không cần có nghĩa hay không) có 6 chữ cái mà trong
từ đó chữ "T" có mặt đúng 3 lần, các chữ khác có mặt không quá một lần và trong
từ đó không có chữ "Ê".
1
x−1
∫
(x )( )
dx
2) Tính tích phân sau: I = 2 2
− 2x x − 2x + 2
1
2
CÂU 5: (2 điểm)
Cho các đường tròn (C): x2 + y2 = 1 và (Cm): x2 + y2 - 2(m + 1)x + 4my = 5.
1) Chứng minh rằng có hai đường tròn ( C m 1 ) , ( C m 2 ) tiếp xúc với đường
tròn (C) ứng với 2 giá trị m1, m2 của m.
2) Xác định phương trình đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn ( C m 1 )
và ( C m 2 ) .
ĐỀ SỐ 135
CÂU 1: (2 điểm)
x2 cos + 2xsi α + 1
α n
Cho hàm số: y =
x+ 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi α = 0.
Trang:16
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
2) Xác định α để đường tròn có tâm ở gốc toạ độ và tiếp xúc với tiệm cận
xiên của đồ thị hàm số có bán kính lớn nhất.
CÂU 2: (2 điểm)
1) Tìm điều kiện của y để bất phương trình sau đúng với ∀x ∈ R
y2 y y
2 − l 2 x − 21 + l 2 x − 2 1 + l 2 >0
og og og
y + 1 y + 1 y + 1
1 1
− x ≥ x+
2) Giải bất phương trình:
4 2
CÂU 3: (2 điểm)
6
=6
1) Giải phương trình: 3cosx + 4sinx +
3 cos + 4 si x + 1
x n
2) Chứng minh rằng: ∀x, y, z ta có: 19x2 + 54y2 + 16z2 + 36xy - 16xz - 24yz ≥
0
CÂU 4: (2 điểm)
1) Chứng minh rằng phương trình: 5x 5 + 4x4 + 6x3 - 2x2 + 5x + 4 = 0 có
nghiệm.
2) Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng:
1 1 1 1
C 0 + C 1 2 + C 2 2 2 + C 3 2 3 + .. C n2n
.+
n n n n n
n+1
2 3 4
CÂU 5: (2 điểm)
Trong không gian, cho đoạn OO' = h không đổi và hai nửa đường thẳng Od,
O'd' cùng vuông góc với OO' và vuông góc với nhau. Điểm M chạy trên Od, điểm N
chạy trên O'd' sao cho ta luôn có OM2 + O'N2 = k2, k cho trước.
1) Chứng minh rằng MN có độ dài không đổi.
2) Xác định vị trí của M trên Od, N trên O'd' sao cho tứ diện OO'MN có thể
tích lớn nhất.
ĐỀ SỐ 136
CÂU 1: (2,5 điểm)
Trang:17
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
Cho hàm số: y = x3 - 3ax2 + 4a3
1) Với a > 0 cố định, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Xác định a để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị là đối xứng với
nhau qua đường thẳng y = x.
3) Xác định a để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt A, B, C
với
AB = AC.
CÂU 2: (2 điểm)
2( 2y − 1)
1
− 3( 2 y − 1) 2 = 0
+
( )
2 2 2
3x + 2x
+ 2x
3x
1) Giải hệ phương trình:
2
+ 3( 2y − 1) + 1 = 0
( )
2 2
+ 2x
3x
2) Giải và biện luận bất phương trình: x− m < x - 2
CÂU 3: (1,5 điểm)
1
Cho phương trình lượng giác: sin4x + cos4x = msin2x - (1)
2
1) Giải phương trình (1) khi m = 1.
2) Chứng minh rằng với mọi tham số m thoả mãn điều kiện m ≥ 1 thì
phương trình (1) luôn luôn có nghiệm.
CÂU 4: (1,5 điểm)
Cho một hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 27, diện tích toàn phần bằng 9t
và các cạnh lập thành một cấp số nhân.
1) Tính các cạnh của hình hộp đó khi a = 6.
2) Xác định t để tồn tại hình hộp chữ nhật có các tính chất nêu trên.
CÂU 5: (2,5 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai đường thẳng ∆ 1, ∆ 2 có
x − 8z + 23 = 0 x − 2z − 3 = 0
phương trình: ∆ 1: ∆ 2:
y − 4z + 10 = 0 y + 2z + 2 = 0
1) Viết phương trình các mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và lần lượt đi
qua ∆ 1 và ∆ 2.
2) Tính khoảng cách giữa ∆ 1 và ∆ 2
3) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với trục Oz và cắt cả hai đường
thẳng ∆ 1 và ∆ 2
Trang:18
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
ĐỀ SỐ 137
CÂU 1: (3 điểm)
x2 − x + 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (C). Từ đó
x−1
x2 − x + 1
suy ra đồ thị hàm số: y =
x−1
2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 - (m + 1)x + m + 1 = 0
3) Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt ∈ [-3; 0]:
(t2 + 2t)2 − ( m + 1) (t2 + 2t) + m + 1 = 0
CÂU 2: (1 điểm)
2 2
Giải và biện luận phương trình: x − 2m x − 2m = x + 2x
CÂU 3: (2 điểm)
3 1
+
1) Giải phương trình: 8sinx =
cos si x
x n
a2
+ b2 + c2 > ab+ bc+ ca
2) Cho a > 36 và abc = 1. Chứng minh rằng:
3
3
CÂU 4: (1,5 điểm)
n
1
∑ C n ( 2x − 1)
k k
Chứng minh rằng: x = n
n
2 k= 0
CÂU 5: (2,5 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD)
và SA= a 2 . Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc ACM = α . Hạ SN ⊥
CM.
1) Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố định và tính thể tích tứ diện
SACN theo a và α .
Trang:19
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
2) Hạ AH ⊥ SC, AK ⊥ SN. Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và tính độ dài đoạn
HK.
ĐỀ SỐ 138
CÂU 1: (3 điểm)
x2
Cho hàm số: y =
x−1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
- 1.
3) Dùng đồ thị đã vẽ được ở phần 1), hãy biện luận số nghiệm của phương
trình:
(m là tham số)
z4 - mz3 + (m + 2)z2 - mz + 1 = 0
CÂU 2: (2 điểm)
1) Giải phương trình: 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x2 − 5x + 2
2) Giải và biện luận phương trình:
l 2 x2 − 3x + 2 + l 1 ( x − m ) = x − m − x2 − 3x + 2
og og
2
CÂU 3: (2 điểm)
1) Giải phương trình lượng giác: cos3x - 2cos2x + cosx = 0
C
2) Cho ∆ ABC thoả mãn hệ thức: tgA + tgB = 2cotg . Chứng minh ∆ ABC
2
cân.
CÂU 4: (1 điểm)
2π
π dx
∫ 5 − 3 cosx < π
Chứng minh bất đẳng thức: <
4 0
Trang:20
