100 đề ti thử tốt nghiệp
Tài liệu tham khảo và tuyển tập các đề thi thử tuyển sinh cao đẳng, đại học của các trường trung học phổ thông dành cho các bạn ôn thi tốt trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh cao đẳng, đại học. Chúc các bạn thành công trong kỳ thi sắp tới
Đ 1
I . PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH ( 7 đi m )
Câu I ( 3,0 đi m )
Cho hàm s y = − x3 + 3x 2 −1 có đ th (C)
a.Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C).
b. Dùng đ th (C) , xác đ nh k đ phương trình sau có đúng 3 nghi m phân bi t
x 3 − 3x 2 + k = 0 .
Câu II ( 3,0 đi m )
a.Gi i phương trình 3 3 x − 4 = 9 2 x − 2
1
b. Cho hàm s y= . Tìm nguyên hàm F(x ) c a hàm s , bi t r ng đ th c a hàm s F(x) đi
sin 2 x
π
qua đi m M( ; 0) .
6
1
c.Tìm giá tr nh nh t c a hàm s y = x+ +2 v i x > 0 .
x
Câu III ( 1,0 đi m )
Cho hình chóp tam giác đ u có c nh b ng 6 và đư ng cao h = 1 . Hãy tính di n tích c a m t c u
ngo i ti p hình chóp .
II . PH N RIÊNG ( 3 đi m )
Thí sinh h c chương trình nào thì làm ch đư c làm ph n dành riêng cho chương trình đó .
1. Theo chương trình chu n :
Câu IV.a ( 2,0 đi m ) :
Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho đư ng th ng
x+2 y z +3
(d) : = = và m t ph ng (P) : 2 x + y − z − 5 = 0
1 −2 2
a. Ch ng minh r ng (d) c t (P) t i A . Tìm t a đ đi m A .
b. Vi t phương trình đư ng th ng ( ∆ ) đi qua A , n m trong (P) và vuông góc v i (d) .
Câu V.a ( 1,0 đi m ) :
1
Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đư ng : y = ln x, x = , x = e và tr c hoành
e
2. Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 đi m ) :
Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho đư ng th ng
x = 2 + 4t
(d ) : y = 3 + 2t và m t ph ng (P) : − x + y + 2 z + 5 = 0
z = −3 + t
a. Ch ng minh r ng (d) n m trên m t ph ng (P) .
b. Vi t phương trình đư ng th ng ( ∆ ) n m trong (P), song song v i (d) và cách (d) m t kho ng là 14
.
Câu V.b ( 1,0 đi m ) :
Tìm căn b c hai c a s ph c z = − 4i
1
Đ 2
I . PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH ( 7 đi m )
2x + 1
Câu I ( 3,0 đi m ) Cho hàm s y= có đ th (C)
x −1
a.Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C).
b.Vi t phương trình ti p tuy n v i đ th (C) đi qua đi m M(1;8) . .
Câu II ( 3,0 đi m )
x− 2
log
sin 2 x + 4
a. Gi i b t phương trình 3 >1
1
b. Tính tích phân : I = ∫ (3 x + cos 2 x )dx
0
c.Gi i phương trình x 2 − 4 x + 7 = 0 trên t p s ph c .
Câu III ( 1,0 đi m )
M t hình tr có bán kính đáy R = 2 , chi u cao h = 2 . M t hình vuông có các đ nh n m trên hai
đư ng tròn đáy sao cho có ít nh t m t c nh không song song và không vuông góc v i tr c c a hình tr .
Tính c nh c a hình vuông đó .
II . PH N RIÊNG ( 3 đi m )
1.Theo chương trình chu n :
Câu IV.a ( 2,0 đi m ) :
Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho đi m M(1;0;5) và hai m t ph ng
(P) : 2 x − y + 3 z + 1 = 0 và (Q) : x + y − z + 5 = 0 .
a. Tính kho ng cách t M đ n m t ph ng (Q) .
b. Vi t phương trình m t ph ng ( R ) đi qua giao tuy n (d) c a (P) và (Q) đ ng th i vuông góc v i m t
ph ng (T) : 3 x − y + 1 = 0 .
Câu V.a ( 1,0 đi m ) :
Cho hình ph ng (H) gi i h n b i các đư ng y = − x 2 + 2 x và tr c hoành . Tính th tích c a kh i tròn
xoay t o thành khi quay hình (H) quanh tr c hoành .
2.Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 đi m ) :
x + 3 y +1 z − 3
Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho đư ng th ng (d ) : = = và
2 1 1
m t ph ng (P) : x + 2 y − z + 5 = 0 .
a. Tìm t a đ giao đi m c a đư ng th ng (d) và m t ph ng (P) .
b. Tính góc gi a đư ng th ng (d) và m t ph ng (P) .
c. Vi t phương trình đư ng th ng ( ∆ ) là hình chi u c a đư ng th ng (d) lên m t ph ng (P).
Câu V.b ( 1,0 đi m ) :
4− y.log 2 x = 4
Gi i h phương trình sau :
−2 y
log 2 x + 2
=4
2
Đ 3
I . PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH ( 7 đi m )
Câu I ( 3,0 đi m )
Cho hàm s y = x 4 − 2 x 2 − 1 có đ th (C)
a.Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C).
b.Dùng đ th (C ) , hãy bi n lu n theo m s nghi m th c c a phương trình x 4 − 2 x 2 − m = 0
Câu II ( 3,0 đi m )
π
log x − 2log cos + 1
π x 3
cos log x −1
= 2
3
a.Gi i phương trình 3 x
1
b.Tính tích phân : I = ∫ x( x + e x )dx
0
c.Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s y = 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x + 2 trên [−1; 2]
Câu III ( 1,0 đi m )
Cho t di n SABC có ba c nh SA,SB,SC vuông góc v i nhau t ng đôi m t v i SA = 1cm,SB = SC =
2cm .Xác đ nh tân và tính bán kính c a m t c u ngo i ti p t di n , tính di n tích c a m t c u và th
tích c a kh i c u đó .
II . PH N RIÊNG ( 3 đi m )
1. Theo chương trình chu n :
Câu IV.a ( 2,0 đi m ) :
Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho 4 đi m A( − 2;1; − 1) ,B(0;2; − 1) ,C(0;3;0) D(1;0;1) .
a. Vi t phương trình đư ng th ng BC .
b. Ch ng minh r ng 4 đi m A,B,C,D không đ ng ph ng .
c. Tính th tích t di n ABCD .
Câu V.a ( 1,0 đi m ) : Tính giá tr c a bi u th c P = (1 − 2 i ) 2 + (1 + 2 i )2 .
2. Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 đi m ) :
Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho đi m M(1; − 1;1) , hai đư ng th ng
x = 2 − t
x −1 y z
(∆1 ) : = = , (∆ 2 ) : y = 4 + 2t và m t ph ng (P) : y + 2 z = 0
−1 1 4 z = 1
a. Tìm đi m N là hình chi u vuông góc c a đi m M lên đư ng th ng ( ∆ 2 ) .
b. Vi t phương trình đư ng th ng c t c hai đư ng th ng (∆1 ) , (∆ 2 ) và n m trong m t ph ng (P) .
Câu V.b ( 1,0 đi m ) :
x2 − x + m
Tìm m đ đ th c a hàm s (Cm ) : y = v i m ≠ 0 c t tr c hoành t i hai đi m phân bi t A,B sao
x −1
cho tu p tuy n v i đ th t i hai đi m A,B vuông góc nhau .
3
Đ 4
I . PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH ( 7 đi m )
Câu I ( 3,0 đi m )
Cho hàm s y = x3 − 3x + 1 có đ th (C)
a.Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C).
14
b.Vi t phương trình ti p tuy n v i đ th (C) đi qua đi m M( ; −1 ) . .
9
Câu II ( 3,0 đi m )
a.Cho hàm s y = e− x + x . Gi i phương trình y ′′ + y ′ + 2 y = 0
2
π
2
sin 2 x
b.Tính tìch phân : I = ∫ dx
0 (2 + sin x) 2
c.Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s y = 2 sin 3 x + cos 2 x − 4sin x + 1 .
Câu III ( 1,0 đi m )
·
M t hình nón có đ nh S , kho ng cách t tâm O c a đáy đ n dây cung AB c a đáy b ng a , SAO = 30o ,
·
SAB = 60 . Tính đ dài đư ng sinh theo a .
o
II . PH N RIÊNG ( 3 đi m )
Theo chương trình chu n :
Câu IV.a ( 2,0 đi m ) :
x −1 y − 2 z
Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho hai đư ng th ng (∆1 ) : = = ,
2 −2 −1
x = − 2t
(∆ 2 ) : y = −5 + 3t
z = 4
a. Ch ng minh r ng đư ng th ng (∆1 ) và đư ng th ng (∆ 2 ) chéo nhau .
b. Vi t phương trình m t ph ng ( P ) ch a đư ng th ng (∆1 ) và song song v i đư ng th ng (∆ 2 ) .
Câu V.a ( 1,0 đi m ) :
Gi i phương trình x 3 + 8 = 0 trên t p s ph c ..
Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 đi m ) :
Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho đi m M(2;3;0) , m t ph ng (P ) :
x + y + 2 z + 1 = 0 và m t c u (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 8 = 0 .
a. Tìm đi m N là hình chi u c a đi m M lên m t ph ng (P) .
b. Vi t phương trình m t ph ng (Q) song song v i (P) và ti p xúc v i m t c u (S) .
Câu V.b ( 1,0 đi m ) :
Bi u di n s ph c z = −1 + i dư i d ng lư ng giác .
4
Đ 5
I . PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH ( 7 đi m )
Câu I ( 3,0 đi m )
x −3
Cho hàm s y= có đ th (C)
x−2
a.Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C).
b.Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ đư ng th ng (d) : y = mx + 1 c t đ th c a hàm s đã cho t i
hai đi m phân bi t .
Câu II ( 3,0 đi m )
π
ln (1+ sin )
− log 2 ( x 2 + 3 x) ≥ 0
2
a.Gi i b t phương trình e
π
2
x x
b.Tính tìch phân : I = ∫ (1 + sin ) cos dx
0 2 2
ex
c.Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s y = trên đo n [ ln 2 ; ln 4 ] .
ex + e
Câu III ( 1,0 đi m )
Cho hình lăng tr tam giác đ u ABC.A’B’C’ có t t cà các c nh đ u b ng a .Tính th tích c a hình lăng
tr và di n tích c a m t c u ngo i ti p hình lăng tr theo a .
II . PH N RIÊNG ( 3 đi m )
Theo chương trình chu n :
Câu IV.a ( 2,0 đi m ) :
x = 2 − 2t
x − 2 y −1 z
Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho hai đư ng th ng (d1 ) : y = 3
và (d2 ) : = = .
z = 1 −1 2
t
a. Ch ng minh r ng hai đư ng th ng (d1 ), (d 2 ) vuông góc nhau nhưng không c t nhau .
b. Vi t phương trình đư ng vuông góc chung c a (d1 ), (d 2 ) .
Câu V.a ( 1,0 đi m ) :
Tìm môđun c a s ph c z = 1 + 4i + (1 − i )3 .
Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 đi m ) :
Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho m t ph ng ( α ) : 2 x − y + 2 z − 3 = 0 và
x − 4 y −1 z x +3 y +5 z −7
hai đư ng th ng ( d1 ) : = = , ( d2 ) : = = .
2 2 −1 2 3 −2
a. Ch ng t đư ng th ng ( d1 ) song song m t ph ng ( α ) và ( d 2 ) c t m t ph ng ( α ) .
b. Tính kho ng cách gi a đư ng th ng ( d1 ) và ( d 2 ).
c. Vi t phương trình đư ng th ng ( ∆ ) song song v i m t ph ng ( α ) , c t đư ng th ng ( d1 ) và ( d 2 )
l n lư t t i M và N sao cho MN = 3 .
Câu V.b ( 1,0 đi m ) :
Tìm nghi m c a phương trình z = z 2 , trong đó z là s ph c liên h p c a s ph c z .
5
Đ 6
I . PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH ( 7 đi m )
Câu I ( 3,0 đi m )
Cho hàm s y = − x 4 + 2 x 2 có đ th (C)
a.Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C).
b.Vi t phương trình ti p tuy n v i đ th (C) đi qua đi m M ( 2 ;0) . .
Câu II ( 3,0 đi m )
a.Cho lg 392 = a , lg112 = b . Tính lg7 và lg5 theo a và b .
1
b.Tính tìch phân : I = ∫ x(e x + sin x )dx
2
0
x +1
c.Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh n u có c a hàm s y = .
1 + x2
Câu III ( 1,0 đi m )
Tính t s th tích c a hình l p phương và th tích c a hình tr ngo i ti p hình l p phương đó.
II . PH N RIÊNG ( 3 đi m )
1. Theo chương trình chu n :
Câu IV.a ( 2,0 đi m ) :
Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho tam giác ABC v i các đ nh là A(0; −2 ;1) ,
B( −3 ;1;2) , C(1; −1 ;4) .
a. Vi t phương trình chính t c c a đư ng trung tuy n k t đ nh A c a tam giác .
b. Vi t phương trình tham s c a đư ng th ng đi qua đi m C và vuông góc v i m t
ph ng (OAB) v i O là g c t a đ .
Câu V.a ( 1,0 đi m ) :
1
Cho hình ph ng (H) gi i h n b i các đư ng (C) : y = , hai đư ng th ng x = 0 , x = 1 và tr c
2x + 1
hoành . Xác đ nh giá tr c a a đ di n tích hình ph ng (H) b ng lna .
2. Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 đi m ) :
Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho đi m M ( −1; 4; 2) và hai m t ph ng
( P1 ) : 2 x − y + z − 6 = 0 , ( P2 ) : x + 2 y − 2 z + 2 = 0 .
a. Ch ng t r ng hai m t ph ng ( P1 ) và ( P2 ) c t nhau . Vi t phương trình tham s c a
giao tuy n ∆ c a hai m t ph ng đó .
b. Tìm đi m H là hình chi u vuông góc c a đi m M trên giao tuy n ∆ .
Câu V.b ( 1,0 đi m ) :
Cho hình ph ng (H) gi i h n b i các đư ng (C) : y = x 2 và (G) : y = x . Tính th tích c a kh i tròn
xoay t o thành khi quay hình (H) quanh tr c hoành .
Đ 7
I . PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH ( 7 đi m )
6
Câu I ( 3,0 đi m )
Cho hàm s y = x 3 + 3x 2 − 4 có đ th (C)
a.Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C).
b.Cho h đư ng th ng (d m ) : y = mx − 2m + 16 v i m là tham s . Ch ng minh r ng (d m ) luôn c t đ th (C)
t i m t đi m c đ nh I .
Câu II ( 3,0 đi m )
x −1
x −1 x+ 1
a.Gi i b t phương trình ( 2 + 1) ≥ ( 2 − 1)
1 0
b.Cho ∫
0
f ( x)dx = 2 v i f là hàm s l . Hãy tính tích phân : I = ∫ f ( x)dx
−1
.
x
c.Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t n u có c a hàm s y = 2 4 x + 1 .
2
Câu III ( 1,0 đi m )
Cho hình lăng tr ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đ u c nh b ng a . Hình chi u vuông góc c a
A’ xu ng m t ph ng (ABC) là trung đi m c a AB . M t bên (AA’C’C) t o v i đáy m t góc b ng 45o .
Tính th tích c a kh i lăng tr này .
II . PH N RIÊNG ( 3 đi m )
1.Theo chương trình chu n :
Câu IV.a ( 2,0 đi m ) :
Trong không gian v i h t a đ Oxyz .Vi t phương trình m t ph ng (P) qua O , vuông góc v i m t
ph ng (Q) : x + y + z = 0 và cách đi m M(1;2; −1 ) m t kho ng b ng 2 .
1− i
Câu V.a ( 1,0 đi m ) : Cho s ph c z = . Tính giá tr c a z 2010 .
1+ i
2.Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 đi m ) :
x = 1 + 2t
Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho đư ng th ng (d ) : y = 2t
và m t ph ng (P) :
z = −1
2x + y − 2z −1 = 0 .
a. Vi t phương trình m t c u có tâm n m trên (d) , bán kính b ng 3 và ti p xúc (P) .
b. Vi t phương trình đư ng th ng ( ∆ ) qua M(0;1;0) , n m trong (P) và vuông góc v i
đư ng th ng (d) .
Câu V.b ( 1,0 đi m ) :
Trên t p s ph c , tìm B đ phương trình b c hai z 2 + Bz + i = 0 có t ng bình phương hai nghi m b ng
−4i .
7
Đ 8
I . PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH ( 7 đi m )
Câu I ( 3,0 đi m )
x+2
Cho hàm s y= có đ th (C)
1− x
a.Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) .
b.Ch ng minh r ng đư ng th ng (d) : y = mx − 4 − 2m luôn đi qua m t đi m c đ nh c a đư ng cong
(C) khi m thay đ i . .
Câu II ( 3,0 đi m )
a.Gi i phương trình log (2x − 1).log (2x + 1 − 2) = 12
2 2
0
sin 2 x
b.Tính tích phân : I =
−
∫
π
/2 (2 + sin x) 2
dx
x2 − 3x + 1
c.Vi t phương trình ti p tuy n v i đ th (C ) : y = , bi t r ng ti p tuy n này song song v i
x−2
đư ng th ng (d) : 5 x − 4 y + 4 = 0 .
Câu III ( 1,0 đi m )
Cho hình chóp S,ABC . G i M là m t đi m thu c c nh SA sao cho MS = 2 MA . Tính t s th tích
c a hai kh i chóp M.SBC và M.ABC .
II . PH N RIÊNG ( 3 đi m )
Theo chương trình chu n :
Câu IV.a ( 2,0 đi m ) :
Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho tam giác ABC có các đ nh A,B,C l n lư t n m trên các tr c
Ox,Oy,Oz và có tr ng tâm G(1;2; −1 ) Hãy tính di n tích tam giác ABC
Câu V.a ( 1,0 đi m ) :
Cho hình ph ng (H) gi i h n b i các đư ng ( C ) : y = x 2 , (d) : y = 6 − x và tr c hoành . Tính di n tích
c a hình ph ng (H) .
Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 đi m ) :
Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ . Bi t A’(0;0;0) ,
B’(a;0;0),D’(0;a;0) , A(0;0;a) v i a>0 . G i M,N l n lư t là trung đi m các c nh AB và B’C’ .
a. Vi t phương trình m t ph ng (P) đi qua M và song song v i hai đư ng th ng AN và
BD’ .
b. Tính góc và kho ng cách gi a hai đư ng th ng AN và BD’ .
Câu V.b ( 1,0 đi m ) :
1
Tìm các h s a,b sao cho parabol (P) : y = 2 x 2 + ax + b ti p xúc v i hypebol (H) y = T i đi m M(1;1)
x
8
Đ 9
I . PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH ( 7 đi m )
Câu I ( 3,0 đi m )
Cho hàm s y = x3 − 3x + 1 có đ th (C)
a.Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C).
14
b.Vi t phương trình ti p tuy n v i đ th (C) đi qua đi m M( ; −1 ) . .
9
Câu II ( 3,0 đi m )
a.Cho hàm s y = e− x + x . Gi i phương trình y ′′ + y ′ + 2 y = 0
2
π
2
sin 2 x
b.Tính tích phân : I = ∫ dx
0 (2 + sin x) 2
c. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s y = 2 sin 3 x + cos 2 x − 4sin x + 1 .
Câu III ( 1,0 đi m )
·
M t hình nón có đ nh S , kho ng cách t tâm O c a đáy đ n dây cung AB c a đáy b ng a , SAO = 30o ,
·
SAB = 60 . Tính đ dài đư ng sinh theo a .
o
II . PH N RIÊNG ( 3 đi m )
1.Theo chương trình chu n :
Câu IV.a ( 2,0 đi m ) :
x −1 y − 2 z
Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho hai đư ng th ng (∆1 ) : = = ,
2 −2 −1
x = − 2t
(∆ 2 ) : y = −5 + 3t
z = 4
a. Ch ng minh r ng đư ng th ng (∆1 ) và đư ng th ng (∆ 2 ) chéo nhau .
b. Vi t phương trình m t ph ng ( P ) ch a đư ng th ng (∆1 ) và song song v i đư ng th ng (∆ 2 ) .
Câu V.a ( 1,0 đi m ) :
Gi i phương trình x 3 + 8 = 0 trên t p s ph c ..
2.Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 đi m ) :
Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho đi m M(2;3;0) , m t ph ng
(P ) : x + y + 2 z + 1 = 0 và m t c u (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 8 = 0 .
a. Tìm đi m N là hình chi u c a đi m M lên m t ph ng (P) .
b. Vi t phương trình m t ph ng (Q) song song v i (P) và ti p xúc v i m t c u (S) .
Câu V.b ( 1,0 đi m ) :
Bi u di n s ph c z = −1 + i dư i d ng lư ng giác .
9
Đ S 10
I . PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH ( 7 đi m )
Câu I ( 3,0 đi m ) Cho hàm s : y = – x3 + 3mx – m có đ th là ( Cm ) .
1.Tìm m đ hàm s đ t c c ti u t i x = – 1.
2.Kh o sát hàm s ( C1 ) ng v i m = – 1 .
3.Vi t phương trình ti p tuy n v i ( C1 ) bi t ti p tuy n vuông góc v i
x
đư ng th ng có phương trình y = + 2 .
6
Câu II ( 3,0 đi m )
1.Gi i b t phương trình: log 2 2 x − log 0,2 x − 6 ≤ 0
0,
π
4
t anx
2.Tính tích phân I = ∫ dx
0 cos x
1 3
3.Cho hàm s y= x − x 2 có đ th là ( C ) .Tính th tích v t th tròn xoay do hình ph ng gi i h n b i (
3
C ) và các đư ng th ng y=0,x=0,x=3 quay quanh 0x.
Câu III ( 1,0 đi m )
Cho hình vuông ABCD c nh a.SA vuông góc v i m t ph ng ABCD,SA= 2a.
a.Tính di n tích m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD
b.V AH vuông góc SC.Ch ng minh năm đi m H,A,B,C,D n m trên m t m t c u.
II . PH N RIÊNG ( 3 đi m )
1.Theo chương trình chu n :
Câu IV.a ( 2,0 đi m )
Cho D(-3;1;2) và m t ph ng ( α ) qua ba đi m A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8).
1.Vi t phương trình tham s c a đư ng th ng AC
2.Vi t phương trình t ng quát c a m t ph ng ( α )
3.Vi t phương trình m t c u tâm D bán kính R= 5.Ch ng minh m t c u này c t ( α )
Câu V.a ( 1,0 đi m )
Xác đ nh t p h p các đi m bi u di n s ph c Z trên m t ph ng t a đ th a mãn đi u ki n : Z + Z + 3 = 4
2.Theo chương trình nâng cao
Câu IVb/.
Cho A(1,1,1) ,B(1,2,1);C(1,1,2);D(2,2,1)
a.Tính th tích t di n ABCD
b.Vi t phương trình đư ng th ng vuông góc chung c a AB và CB
c.Vi t phương trình m t c u (S) ngo i ti p t di n ABCD.
Câu Vb/.
4 x2 − y 2 = 2
a/.Gi i h phương trình sau:
log 2 (2 x + y ) − log 3 (2 x − y ) = 1
x −1
b/.Mi n (B) gi i h n b i đ th (C) c a hàm s y = và hai tr c t a đ .
x +1
1).Tính di n tích c a mi n (B).
2). Tính th tích kh i tròn xoay sinh ra khi quay (B) quanh tr c Ox, tr c Oy.
10
Đ S 11
I . PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH ( 7 đi m )
Câu I ( 3,0 đi m )
Cho hàm s y = x3 + 3x2 + mx + m – 2 . m là tham s
1.Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u
2.Kh o sát và v đ th hàm s khi m = 3.
Câu II ( 3,0 đi m )
1.Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th các hàm s y = ex ,y = 2 và đư ng th ng x = 1.
π
2
sin 2 x
2.Tính tích phân I = ∫ dx
0 4 − cos 2 x
3.Gi i b t phương trình log(x2 – x -2 ) < 2log(3-x)
Câu III ( 1,0 đi m )
Cho hình nón có bán kính đáy là R,đ nh S .Góc t o b i đư ng cao và đư ng sinh là 60 0.
1.Hãy tính di n tích thi t di n c t hình nón theo hai đư ng sinh vuông góc nhau.
2.Tính di n tích xung quanh c a m t nón và th tích c a kh i nón.
II . PH N RIÊNG ( 3 đi m )
1.Theo chương trình chu n :
Câu IV.a ( 2,0 đi m ) :
Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho ba đi m :A(1;0;-1); B(1;2;1); C(0;2;0). G i G là tr ng tâm
c a tam giác ABC
1.Vi t phương trình đư ng th ng OG
2.Vi t phương trình m t c u ( S) đi qua b n đi m O,A,B,C.
3.Vi t phương trình các m t ph ng vuông góc v i đư ng th ng OG và ti p xúc v i m t c u ( S).
Câu V.a ( 1,0 đi m )
Tìm hai s ph c bi t t ng c a chúng b ng 2 và tích c a chúng b ng 3
2.Theo chương trình nâng cao
Câu IVb/.
Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz cho b n đi m A, B, C, D v i A(1;2;2), B(-1;2;-1),
−−−−> −> −> −> −−−−> −> −> −>
OC = i + 6 j − k ; OD = − i + 6 j + 2 k
.
1.Ch ng minh r ng ABCD là hình t di n và có các c p c nh đ i b ng nhau.
2.Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng AB và CD.
3.Vi t phương trình m t c u (S) ngo i ti p hình t di n ABCD.
Câu Vb/.
4
Cho hàm s : y = x + (C)
1+ x
1.Kh o sát hàm s
2.Vi t phương trình ti p tuy n c a đ th hàm s bi t ti p tuy n vuông góc v i đư ng th ng
1
y= x + 2008
3
11
Đ S 12
I . PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH ( 7 đi m )
Câu I ( 3,0 đi m )
Cho hàm s s y = - x3 + 3x2 – 2, g i đ th hàm s là ( C)
1.Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s
2.Vi t phương trình ti p tuy n v i đ th ( C) t i đi m có hoành đ là nghi m
c a phương trình y// = 0.
Câu II ( 3,0 đi m )
1.Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s
3π
b. f(x) = 2sinx + sin2x trên 0;
4
a. f ( x) = − x + 1 − trên [ −1; 2 ] 2
x+2
π
2
2.Tính tích phân I = ∫ ( x + sin x ) cos xdx
0
3.Giaûi phöông trình : 34 x +8 − 4.32 x + 5 + 27 = 0
Câu III ( 1,0 đi m )
M t hình tr có di n tích xung quanh là S,di n tích đáy b ng di n tích m t m t c u bán kính b ng a.
Hãy tính
a). Th tích c a kh i tr
b). Di n tích thi t di n qua tr c hình tr
II . PH N RIÊNG ( 3 đi m )
1.Theo chương trình chu n :
Câu IV.a ( 2,0 đi m ) :
Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho m t c u ( S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai đư ng
x + 2y − 2 = 0 x −1 y z
th ng ( ∆1 ) : ; ( ∆2 ) : = =
x − 2z = 0 −1 1 −1
1.Ch ng minh ( ∆1 ) và ( ∆ 2 ) chéo nhau
2.Vi t phương trình ti p di n c a m t c u ( S) bi t ti p di n đó song song v i hai đư ng th ng ( ∆1 ) và
(∆2 )
Câu V.a ( 1,0 đi m ).
Tìm th tích c a v t th tròn xoay thu đư c khi quay hình ph ng gi i h n b i các đư ng y= 2x2 và y = x3
xung quanh tr c Ox
2.Theo chương trình nâng cao
Câu IVb/.
Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz cho m t ph ng (P) ( P) : x + y + z − 3 = 0 và đư ng th ng (d)
có phương trình là giao tuy n c a hai m t ph ng: x + z − 3 = 0 và 2y-3z=0
1.Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a M (1;0;-2) và qua (d).
2.Vi t phương trình chính t c đư ng th ng (d’) là hình chi u vuông góc c a (d) lên m t ph ng (P).
Câu Vb/.
Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c sau:(2+i)3- (3-i)3.
12
§Ò sè13
I. PH N CHUNG
Câu I
Cho hàm s y = − x3 + 3x2 + 1 có đ th (C)
a. Kh o sát và v đ th (C).
b. Vi t phương trình ti p tuy n c a đ th (C) t i A(3;1).
c. Dùng đ th (C) đ nh k đ phương trình sau có đúng 3 nghi m phân bi t x3 − 3x2 + k = 0 .
Câu II
1. Gi i phương trình sau :
a. log 2 ( x +1) − 3log 2 ( x + 1)2 + log 2 32 = 0 .
2 b. 4 x − 5.2 x + 4 = 0 2. Tính tích phân sau :
π
2
I = ∫ (1 + 2sin x)3 cos xdx .
0
1 3
3. Tìm MAX , MIN c a hàm s f ( x) = x − 2 x 2 + 3 x − 7 trên đo n [0;2]
3
Câu III :
Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD và O là tâm c a đáy ABCD. G i I là trung đi m c nh đáy CD.
a.Ch ng minh r ng CD vuông góc v i m t ph ng (SIO).
b. Gi s SO = h và m t bên t o v i đáy c a hình chóp m t góc α .
Tính theo h và α th tích c a hình chóp S.ABCD.
II. PH N DÀNH CHO H C SINH T NG BAN
1. Theo chương trình Chu n :
Câu IV.a
Trong không gian v i h tr c Oxyz, cho A(1;2;3) và đư ng th ng d có phương trình
x −1 y + 1 z −1
= = .
2 1 2
1. Vi t phương trình m t ph ng α qua A và vuông góc d.
2. Tìm t a đ giao đi m c a d và m t ph ng α .
Câu V.a Gi i phương trình sau trên t p h p s ph c: z 2 + 2 z + 17 = 0
2. Theo chương trình Nâng cao :
Câu IV.b Trong không gian v i h tr c Oxyz, cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4)
1) Vi t phương trình m t ph ng α qua ba đi m A, B, C. Ch ng t OABC là t di n.
2) Vi t phương trình m t c u (S) ngo i ti p t di n OABC.
Câu V.b Gi¶i ph-¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: z3 - (1 + i)z2 + (3 + i)z - 3i = 0
13
§Ò sè14
I. PH N CHUNG
1 4 3
Câu I: Cho haøm soá y = x − mx 2 + coù ñoà thò (C).
2 2
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá khi m = 3.
1 4 3
2) Döïa vaøo ñoà thò (C), haõy tìm k ñeå phöông trình x − 3x 2 + − k = 0
2 2
coù 4 nghieäm phaân bieät.
Caâu II : 1. Giaûi baát phöông trình log ( x − 3) + log ( x − 2) ≤ 1
2 2
1 2
x2
2. Tính tích phaân a. I = ∫ dx b. I = ∫ x − 1 dx
0 2 + x3 0
3. Tìm GTLN, GTNN c a hàm s f ( x) = x − 4 x + 5
2
trên đo n [−2;3] .
Caâu III: Cho hình choùp töù giaùc ñeàu SABCD coù caïnh ñaùy baèng a, goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy
baèng 600. Tính theå tích cuûa khoái choùp SABCD theo a.
II. PH N RIÊNG
1. Theo chương trình Chu n :
Câu IV.a Trong Kg Oxyz cho ñieåm A(2;0;1), maët phaúng (P): 2 x − y + z + 1 = 0
x = 1+ t
vaø ñöôøng thaúng (d): y = 2t
.
z = 2 + t
1. Laäp phöông trình maët caàu taâm A tieáp xuùc vôùi maët phaúng (P).
2. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua ñieåm A, vuoâng goùc vaø caét ñöôøng thaúng (d).
Câu V.a Vieát PT ñöôøng thaúng song song vôùi ñöôøng thaúng y = − x + 3 vaø tieáp xuùc vôùi ñoà thò haøm
2x − 3
soá y =
1− x
2. Theo chương trình Nâng cao :
x y z −1
Câu IV.b Trong Kg Oxyz cho ñieåm A(3;4;2), ñöôøng thaúng (d): = = vaø maët phaúng (P):
1 2 3
4x + 2 y + z −1 = 0 .
1. Laäp phöông trình maët caàu taâm A tieáp xuùc vôùi maët phaúng (P) vaø cho bieát toaï ñoä tieáp ñieåm.
2. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua A, vuoâng goùc (d) vaø song song vôùi maët phaúng (P).
4 1 x2 + x + 1
Câu V.b Vieát PT ñ/thaúng vuoâng goùc vôùi (d) y = − x + vaø tieáp xuùc vôùi ñoà thò haøm soá y = .
3 3 x +1
§Ò sè15
I .PH N CHUNG
2x + 1
Câu I. Cho hàm sè y =
x −1
1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C) hàm s
2. Tìm m đ đư ng th ng d : y = - x + m c t (C) t i hai đi m phân bi t .
Câu II.
1. Gi i phương trình : log 2 ( x − 3) + log 2 ( x − 1) = 3
3 2
xdx xdx
2. Tính tích phân : a. I= ∫ b. J= ∫ (x + 2) 2
2
0 x +1
2
0
3. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s y = cos2x – cosx + 2
14
Câu III : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a . SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a .
1. Ch ng minh BD vuông góc v i m t ph ng SC.
2. Tính th tích kh i chóp S.BCD theo a .
II. PH N RIÊNG
1. Theo chương trình Chu n :
Câu IV.a Trong không gian Oxyz cho ba đi m A( 2; -1 ;1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; 2 ;0).
1. Ch ng minh A,B,C không th ng hàng .Vi t phương trình m t ph ng (ABC).
2. Vi t phương trình tham s c a đư ng th ng BC.
2+i −1 + 3i
Câu V.a Gi i phương trình : z=
1− i 2+i
2. Theo chương trình Nâng cao :
Câu IV.b Trong không gian cho hai đi m A(1;0;-2) , B( -1 ; -1 ;3) và m t ph ng
(P) : 2x – y +2z + 1 = 0
1. Vi t phương trình m t ph ng ( Q) qua hai đi m A,B và vuông góc v i m t ph ng (P)
2. Vi t phương trình m t c u có tâm A và ti p xúc v i m t ph ng (P).
x 2 − 3x
Câu V.b Cho haøm soá y = (c) . Tìm treân ñoà thò (C) caùc ñieåm M caùch ñeàu 2 truïc toïa ñoä.
x +1
15
§Ò sè16
I - Ph n chung
Câu I Cho hàm s y = − x 3 + 3x có đ th (C)
1. Kh o sát và v đ th (C)
2. Vi t phương trình ti p tuy n c a (C) vuông góc v i đư ng th ng (d) x-9y+3=0
Câu II
1. Gi i phương trình : log 3 x + log 3 9 x 2 = 9
2. Gi i b t phương trình : 31+ x + 31− x < 10
∏
3. Tính tích phân: I = ∫ ( sin 3 x cos x − x sin x )dx
2
0
4. Tìm GTLN, GTNN c a hàm s sau: f ( x) = − x 2 + 5 x + 6 .
Câu III : Tính th tích c a kh i t giác đ u chóp S.ABCD bi t SA=BC=a.
II. PH N RIÊNG
1. Theo chương trình Chu n :
Câu IV.a
x = 1+ t
Trong không gian (Oxyz) cho đư ng th ng (d): y = 3 − t
z = 2 + t
và m t ph ng (P): 2x+y+2z =0
1. Ch ng t (d) c t (P).Tìm giao đi m đó
2. Tìm đi m M thu c (P) sao cho kho ng cách t M đ n (P) b ng 2.T đó l p phương trình m t c u
có tâm M và ti p xúc v i (P)
Câu V.a Cho s ph c z = 1 + i 3 .Tính z 2 + ( z ) 2
2. Theo chương trình Nâng cao :
Câu IV.b
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 vaø
x + 2y − 2 = 0 x −1 y z
hai ñöôøng thaúng (∆1) : , (∆2) : = =
x − 2z = 0 −1 1 −1
1) Chöùng minh (∆1) vaø (∆2) cheùo nhau.
2) Vieát phöông trình tieáp dieän cuûa maët caàu (S), bieát tieáp dieän ñoù song song vôùi hai ñöôøng thaúng (∆1)
vaø (∆2).
x2 − x + 4
Câu V.b Cho haøm soá : y = , coù ñoà thò laø (C). Tìm treân ñoà thò (C) taát caû caùc ñieåm maø
2( x − 1)
hoaønh ñoä vaø tung ñoä cuûa chuùng ñeàu laø soá nguyeân.
16
§Ò sè17
A - PH N CHUNG
Câu I: Cho haøm soá y = (2 – x2)2 coù ñoà thò (C).
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.
2) Döïa vaøo ñoà thò (C), bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình :
x4 – 4x2 – 2m + 4 = 0 .
Câu II: 1. Gi i phương trình:
a. log 2 x + 6log 4 x = 4
2 b. 4 x − 2.2 x+1 + 3 = 0
0
16 x − 2
2. Tính tích phân : I = ∫ dx
−1 4 x2 − x + 4
3. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s y = f(x) = x4 – 2x3 + x2 trên
đo n [-1;1]
Câu III: Trong không gian cho hình vuông ABCD c nh 2a. G i M,N l n lư t là trung đi m các c nh
AB và CD. Khi quay hình vuông ABCD xung quanh tr c MN ta đư c hình tr tròn xoay . Hãy tính th
tích c a kh i tr tròn xoay đư c gi i h n b i hình tr nói trên.
II. PH N RIÊNG
1. Theo chương trình Chu n :
Câu IV.a Trong không gian Oxyz cho 2 đi m A(5;-6;1) và B(1;0;-5) r
1. Vi t phương trình chính t c c a đư ng th ng ( ∆ ) qua B có véctơ ch phương u (3;1;2). Tính cosin
góc gi a hai đư ng th ng AB và ( ∆ )
2. Vi t phương trình m t ph ng (P) qua A và ch a ( ∆ )
Câu V.a Tính theå tìch caùc hình troøn xoay do caùc hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau ñaây quay
quanh truïc Ox : y = - x2 + 2x vaø y = 0
2. Theo chương trình Nâng cao :
Câu IV.b Trong không gian Oxyz cho 4 đi m A(3;-2;-2), B(3;-2;0), C(0;2;1), D(-;1;2)
1) Vi t phương trình m t ph ng (BCD). T đó suy ra ABCD là m t t di n
2) Vi t phương trình m t c u (S) có tâm A và ti p xúc v i m t ph ng (BCD)
Câu Vb: Tính theå tìch caùc hình troøn xoay do caùc hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau ñaây quay
quanh truïc Ox : y = cosx , y = 0, x = 0, x = π 2
17
§Ò sè18
I. PH N CHUNG
2x − 3
Câu I : Cho hàm s y = (C)
−x + 3
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th ( C ) c a hàm s
2. G i A là giao đi m c a đ th v i tr c tung. Tìm phương trình ti p tuy n c a ( C ) t i A.
Câu II :
3x − 5
1. Gi i b t phương trình : log 3 ≤1
x +1
π
2. Tính tích phân: I = ∫ ( cos 4 x − sin 4 x ) dx
4
0
3. Ch ng minh r ng v i hàm s : y = x.sinx. Ta có:
x. y − 2( y '− sin x ) + x. y '' = 0
4. Gi i phương trình sau đây trong C : 3 x 2 − x + 2 = 0
Câu III: Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy là a, c nh bên là a 3 .
1) Tính th tích hình chóp S.ABCD
2) Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng AC và SB
II. PH N RIÊNG
1. Theo chương trình Chu n :
Câu IV.a
Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho các đi m A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3)
1. Vi t phương trình t ng quát c a m t ph ng qua ba đi m:A, B, C
2. L p phương trình đư ng th ng (d) qua C và vuông góc m t ph ng (ABC)
Câu V.a Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P): y = x2 vaø 2 tieáp tuyeán phaùt xuaát töø A (0, -2).
2. Theo chương trình Nâng cao :
Câu IV.b Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho các đi m A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3)
1. Vi t phương trình t ng quát c a m t ph ng qua ba đi m:A, B, C
2. G i (d) là đư ng th ng qua C và vuông góc m t ph ng (ABC).
Tìm t a đ giao đi m c a đư ng th ng (d) và m t ph ng (Oxy).
x2
Câu V.b Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C ) : y = , ñöôøng tieäm caän xieân vaø 2 ñöôøng
x −1
thaúng x = 2 vaø x = λ ( λ > 2). Tính λ ñeå dieän tích S = 16 (ñvdt)
18
§Ò sè19
I. PH N CHUNG
Câu I : Cho hàn s y = x3 + 3x2 + 1.
1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s .
2) D a vào đ th (C), bi n lu n s nghi m c a phương trình sau theo m :
m
x3 + 3x2 + 1 =
2
Câu II :
1. Gi i phương trình: 25x – 7.5x + 6 = 0.
π
1 2
2. Tính tích phân a. I = ∫ 1− x 2 dx b. J = ∫ ( x + 1) sin x.dx
0 0
3. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s : f(x) = 2 sinx + sin2x
3π
trên đo n 0;
2
Câu III : Cho hình chóp t giác S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a, c nh SA = 2a và SA vuông
góc v i m t ph ng đáy ABCD.
1. Hãy xác đ nh tâm và bán kính c a m t c u ngo i ti p hình chóp đó.
2. Tính th tích kh i chóp S.ABCD.
II. PH N RIÊNG
1. Theo chương trình Chu n :
Câu IV.a Cho m t c u (S) có đư ng kính là AB bi t r ng A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7).
1. Tìm to đ tâm I và bán kính r c a m t c u (S).
2. L p phương trình c a m t c u (S).
Câu V.a Tính giá tr c a bi u th c Q = ( 2 + 5 i )2 + ( 2 - 5 i )2.
2. Theo chương trình Nâng cao :
Câu IV.b Trong không gian Oxyz, cho các đi m A(-1; 2; 0), B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3),
D(0; 3; -2).
1. Vi t phương trình m t ph ng (ABC).
2. Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a AD và song song v i BC.
Câu V.b Gi¶i ph-¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: (z + 2i)2 + 2(z + 2i) - 3 = 0
19
§Ò sè20
I− PH N CHUNG
2x + 1
Câu I: Cho hàm s y = , g i đ th c a hàm s là (H).
x −1
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s đã cho.
2. Vi t phương trình ti p tuy n c a đ th (H) t i đi m M 0 ( 2;5) .
Câu II: 1. Gi i phương trình : 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0
π
1 6
x3
2. Tính tích phân a. ∫ (1+ x ) 2
dx b. ∫ (1 − x ) sin 3xdx
0 0
3. Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a hàm s y = 2 x3 + 3x 2 − 12 x + 1 trên [−1;3]
Câu III : Tính th tích c a kh i chóp S.ABC cho bi t AB=BC=CA= 3 ; góc gi a các c nh SA,SB,SC
v i m t ph ng (ABC) b ng 600 .
II. PH N RIÊNG
1. Theo chương trình Chu n :
x +1 y + 3 z + 2
Câu IV.a Trong không gian Oxyz cho đư ng th ng d : = = và
1 2 2
đi m A(3;2;0)
1. Tìm t a đ hình chi u vuông góc H c a A lên d
2. Tìm t a đ đi m B đ i x ng v i A qua đư ng th ng d.
Câu V.a Cho s ph c: z = (1 − 2i )( 2 + i )2 . Tính giá tr bi u th c A = z.z .
2. Theo chương trình Nâng cao :
x = 1+ t
x − 2 y + z − 4 = 0
Câu IV.b Trong không gian Oxyz cho 2 đư ng th ng d1 : d2 : y = 2 + t
x + 2 y − 2z + 4 = 0
z = 1 + 2t
1) Vi t phương trình m t ph ng ch a d 1 và song song v i d2
2) Cho đi m M(2;1;4). Tìm t a đ đi m H trên d2 sao cho đ dài MH nh nh t
4z + i 4z + i
2
Câu V.b Gi¶i ph-¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: −5 +6=0
z −i z −i
20
