-54-
PhÇn 2
§éng häc
§éng häc nghiªn cøu c¸c qui luËt chuyÓn ®éng cña vËt thÓ ®¬n thuÇn vÒ
h×nh häc, kh«ng ®Ò cËp ®Õn khèi l−îng vµ lùc. Nh÷ng kÕt qu¶ kh¶o s¸t trong
®éng häc sÏ lµm c¬ së cho viÖc nghiªn cøu toµn diÖn c¸c qui luËt chuyÓn ®éng
cña vËt thÓ trong phÇn ®éng lùc häc.
Trong ®éng häc vËt thÓ ®−îc ®−a ra d−íi hai m« h×nh: ®éng ®iÓm vµ vËt
r¾n. §éng ®iÓm lµ ®iÓm h×nh häc chuyÓn ®éng trong kh«ng gian, cßn vËt r¾n lµ
tËp hîp nhiÒu ®éng ®iÓm mµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt kú trong nã lu«n
lu«n kh«ng ®æi. Khi kh¶o s¸t c¸c vËt thùc cã kÝch th−íc kh«ng ®¸ng kÓ, cã thÓ
coi nh− m« h×nh ®éng ®iÓm.
ChuyÓn ®éng lµ sù thay ®æi vÞ trÝ cña vËt trong kh«ng gian theo thêi gian.
§¬n vÞ ®o ®é dµi lµ mÐt vµ ký hiÖu m, ®¬n vÞ ®o thêi gian lµ gi©y viÕt t¾t lµ s.
TÝnh chÊt cña chuyÓn ®éng phô thuéc vµo vËt chän lµm mèc ®Ó so s¸nh ta
gäi lµ hÖ qui chiÕu. Trong ®éng häc hÖ qui chiÕu ®−îc lùa chän tuú ý sao cho
viÖc kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña vËt ®−îc thuËn tiÖn . §Ó cã thÓ tÝnh to¸n ng−êi ta
cßn ph¶i chän hÖ to¹ ®é g¾n víi hÖ qui chiÕu. Th«ng th−êng muèn h×nh vÏ ®−îc
®¬n gi¶n ta dïng ngay hÖ to¹ ®é lµm hÖ quy chiÕu.
TÝnh thêi gian th«ng th−êng ph¶i so s¸nh víi mèc thßi ®iÓm t0 chän tr−íc.
VÒ néi dung, ®éng häc ph¶i t×m c¸ch x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña vËt vµ m« t¶
chuyÓn ®éng cña vËt theo thêi gian so víi hÖ quy chiÕu ®· chän.
Th«ng sè x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña vËt so víi hÖ quy chiÕu ®· chän lµ th«ng sè
®Þnh vÞ. Th«ng sè ®Þnh vÞ cã thÓ lµ vÐc t¬, lµ to¹ ®é, lµ gãc...
Qui luËt chuyÓn ®éng ®−îc biÓu diÔn qua c¸c biÓu thøc liªn hÖ gi÷a c¸c
th«ng sè ®Þnh vÞ víi thêi gian vµ ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng. Trong
ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng th× thêi gian ®−îc coi lµ ®èi sè ®éc lËp. Khi khö ®èi
sè thêi gian trong ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ta ®−îc biÓu thøc liªn hÖ gi÷a c¸c
th«ng sè ®Þnh vÞ vµ gäi lµ ph−¬ng tr×nh qòi ®¹o.
-55-
§Ó biÓu thÞ tÝnh chÊt cña chuyÓn ®éng ta ®−a ra c¸c ®¹i l−îng vËn tèc vµ
gia tèc. VËn tèc lµ ®¹i l−îng biÓu thÞ h−íng vµ tèc ®é chuyÓn ®éng cña ®iÓm hay
vËt.Gia tèc lµ ®¹i l−îng biÓu thÞ sù thay ®æi cña vËn tèc theo thêi gian. Gia tèc
cho biÕt tÝnh chÊt chuyÓn ®éng ®Òu hay biÕn ®æi. VËn tèc vµ gia tèc lµ c¸c ®¹i
l−îng phô thuéc vµo thêi gian.
C¨n cø néi dung ng−êi ta chia ®éng häc thµnh hai phÇn: ®éng häc ®iÓm vµ
®éng häc vËt r¾n. Khi kh¶o s¸t ®éng häc cña vËt r¾n bao giê còng gåm hai phÇn:
§éng häc cña c¶ vËt vµ ®éng häc cña mét ®iÓm thuéc vËt.
Ch−¬ng 5
ChuyÓn ®éng cña ®iÓm
5.1. Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña ®iÓm b»ng vÐc t¬
5.1.1. Th«ng sè ®Þnh vÞ vµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
XÐt ®éng ®iÓm M chuyÓn ®éng trong
z
hÖ qui chiÕu oxyz (h×nh 5-1). M
(C)
VÞ trÝ ®éng ®iÓm M ®−îc x¸c ®Þnh nÕu r
r r r
biÕt vÐc t¬ r = OM . VÐc t¬ r lµ th«ng sè ®Þnh
vÞ cña ®éng ®iÓm.
y
r O
Khi ®éng ®iÓm chuyÓn ®éng vÐc t¬ r
biÕn thiªn liªn tôc theo thêi gian t do ®ã ta
viÕt ®−îc:
r r x
r = r (t) (5-1)
NÕu biÕt ®−îc qui luËt biÕn thiªn (5-1)
ta hoµn toµn x¸c ®Þnh ®−îc vÞ trÝ cña ®éng H×nh 5.1
®iÓm ë bÊt kú thêi ®iÓm nµo. BiÓu thøc (5-1) lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña
®éng ®iÓm M viÕt d−íi d¹ng vÐc t¬.
-56-
Trong qu¸ tr×nh chuyÓn ®éng, ®éng ®iÓm v¹ch ra mét ®−êng gäi lµ quÜ ®¹o
chuyÓn ®éng cña ®éng ®iÓm. Ph−¬ng tr×nh cña ®−êng quÜ ®¹o còng chÝnh lµ
ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng (5-1) nh−ng viÕt d−íi d¹ng th«ng sè.
NÕu ®−êng quÜ ®¹o lµ th¼ng ta nãi ®éng ®iÓm chuyÓn ®éng th¼ng, nÕu
®−êng quÜ ®¹o lµ cong ta nãi chuyÓn ®éng cña ®iÓm lµ chuyÓn ®éng cong.
5.1.2. VËn tèc chuyÓn ®éng cña ®iÓm
r
Gi¶ thiÕt t¹i thêi ®iÓm t vÞ trÝ cña ®éng ®iÓm x¸c ®Þnh bëi vÐc t¬ ®Þnh vÞ r .
r
T¹i thêi ®iÓm t1 = t + ∆t ®éng ®iÓm ®Õn vÞ trÝ M1 x¸c ®Þnh bëi r 1, ta cã MM 1 =
r r r ∆r
r 1 - r = ∆r (xem h×nh 5-2). Gäi tû sè lµ vËn tèc trung b×nh cña ®éng ®iÓm
∆t
r
trong kho¶ng thêi gian ∆t vµ ký hiÖu lµ v tb . Khi ∆t cµng nhá nghÜa lµ M1 cµng
r
gÇn M th× v tb cµng gÇn ®Õn mét giíi h¹n,
giíi h¹n ®ã gäi lµ vËn tèc tøc thêi t¹i thêi v cp
z M1
®iÓm t. v
NÕu ký hiÖu vËn tèc tøc thêi cña ∆r
r r1 M
®éng ®iÓm lµ v th×:
r r
∆v d r r
v = lim = (5.3)
∆t → 0 ∆ t dt O y
VËn tèc tøc thêi cña ®éng ®iÓm b»ng
®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña vÐc t¬ x
®Þnh vÞ t¹i thêi ®iÓm ®ã.
r H×nh 5.2
VÒ mÆt h×nh häc ta thÊy vÐc t¬ ∆ r
n»m trªn c¸t tuyÕn MM1 vµ h−íng tõ M ®Õn M1 v× vËy khi tiÕn tíi giíi h¹n vÐc t¬
r
vËn tèc v sÏ tiÕp tuyÕn víi quÜ ®¹o ë t¹i vÞ trÝ M ®ang xÐt vµ h−íng theo chiÒu
chuyÓn ®éng cña ®iÓm.
§¬n vÞ ®Ó tÝnh vËn tèc lµ mÐt/gi©y viÕt t¾t lµ m/s
-57-
5.1.3. Gia tèc chuyÓn ®éng cña ®iÓm
r
Gi¶ thiÕt t¹i thêi ®iÓm t ®iÓm cã vËn tèc v vµ t¹i thêi ®iÓm t1 ®iÓm cã vËn
r r r
r ∆v v 1 − v
tèc lµ v 1. Tû sè = gäi lµ gia tèc trung b×nh cña ®iÓm trong thêi gian
∆t ∆t
r
∆t. Giíi h¹n tû sè ®ã khi ∆t tiÕn tíi kh«ng gäi lµ gia tèc tøc thêi w cña ®iÓm. Ta
cã:
r r r M
z
r ∆v dv d 2 r v
w = lim = = (5-3) ∆v
∆t → 0 ∆t dt dt 2 r
ω
r M1
Nh− vËy gia tèc tøc thêi cña ®iÓm lµ ω cp v1
vÐc t¬ ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cu¶
vÐc t¬ vËn tèc hay ®¹o hµm bËc hai theo O y
thêi gian cña vÐc t¬ ®Þnh vÞ. VÒ mÆt h×nh
r
häc vÐc t¬ ∆ v bµo giê còng h−íng vÒ phÝa x
lâm cña ®−êng cong (xem h×nh 5-3), do H×nh 5.3
r
®ã vÐc t¬ gia tèc w bao giê còng h−íng vÒ
phÝa lâm cña ®−êng cong. §¬n vÞ ®Ó ®o gia tèc lµ mÐt/gi©y2 viÕt t¾t lµ m/s2
5.1.4. TÝnh chÊt cña chuyÓn ®éng
§Ó xem xÐt chuyÓn ®éng cña ®iÓm lµ th¼ng hay cong ta c¨n cø vµo tÝch
r r r
v xw= c
r r r r
NÕu c = 0 th× v vµ w cïng ph−¬ng, nghÜa lµ vËn tèc v cã ph−¬ng kh«ng
®æi. ChuyÓn ®éng lóc ®ã lµ chuyÓn ®éng th¼ng.
r r r r
NÕu c ≠ 0 th× v vµ w hîp víi nhau mét gãc ®iÒu ®ã chøng tá vÐc t¬ v
thay ®æi ph−¬ng vµ chuyÓn ®éng sÏ lµ chuyÓn ®éng cong. §Ó xÐt chuyÓn ®éng
r r
cña ®iÓm lµ ®Òu hay biÕn ®æi ta c¨n cø vµo tÝch v« h−íng v . w = B.
r
r 2 d ( v) 2 d ( v 2 ) r r
V× v2 = ( v ) nªn = = 2v .w
dt dt
r
Cho nªn nÕu B = 0 th× chøng tá v lµ h»ng sè nghÜa lµ ®éng ®iÓm chuyÓn
®éng ®Òu.
-58-
r
NÕu B ≠ 0 th× v lµ ®¹i l−îng biÕn ®æi, chuyÓn ®éng lµ biÒn ®æi. NÕu B > 0
chuyÓn ®éng nhanh dÇn vµ B < 0 chuyÓn ®éng chËm dÇn.
5.2. Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña ®iÓm b»ng to¹ ®é §Ò c¸c
5.2.1. Th«ng sè ®Þnh vÞ vµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
XÐt ®éng ®iÓm M chuyÓn ®éng theo z
®−êng cong trong hÖ trôc to¹ ®é ®Ò c¸c oxyz
M
(h×nh 5-4).
ë ®©y c¸c to¹ ®é x,y,z lµ c¸c th«ng sè k r
z
®Þnh vÞ cña ®iÓm M. O J y
Khi M chuyÓn ®éng c¸c to¹ ®é nµy thay i x
®æi liªn tôc theo thêi gian do ®ã ta cã: x y
x = x(t);
H×nh 5.4
y = y(t); (5-4)
z = z(t).
C¸c ph−¬ng tr×nh (5-4) lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm vµ còng lµ
ph−¬ng tr×nh quÜ ®¹o cña ®iÓm viÕt d−íi d¹ng th«ng sè trong to¹ ®é §Ò c¸c.
5.2.2. VËn tèc chuyÓn ®éng cña ®iÓm
r r r
NÕu gäi c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ trªn ba trôc to¹ ®é lµ i , j , k th× vÐc t¬ ®Þnh vÞ vµ
vÐc t¬ vËn tèc cã thÓ viÕt:
r r r r
r =xi+y j +z k . Suy ra
r r r r r
r dr d dx r dy dz r
v = = (x i + y j + z k ) = i+ j + k
dt dt dt dt dt
(5.5)
BiÓu thøc trªn chøng tá:
dx dy dz
vx = &
= x; vy = &
= y; vx = &
= z. (5.6)
dt dt dt
-59-
H×nh chiÕu vÐc t¬ vËn tèc lªn c¸c trôc to¹ ®é b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt theo
thêi gian c¸c to¹ ®é t−¬ng øng.
Dùa vµo c¸c biÓu thøc (5.6) dÔ dµng x¸c ®Þnh ®−îc vÐc t¬ vËn tèc c¶ vÒ ®é
lín vµ ph−¬ng chiÒu.
2 2 2
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞
v= v 2
x +v 2
y +v 2
z = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
vx vy vz
cos(ox,v) = ; cos(oy,v) = ; cos(oz,v) = .
v v v
5.2.3. Gia tèc cña ®iÓm
T−¬ng tù nh− ®èi víi vËn tèc, dùa vµo biÓu thøc (5.3) ta cã thÓ t×m thÊy:
dv x d2x
wx = = 2 = && ;
x
dt dt
dv y d2y
wy = = = && ;
y (5.7)
dt dt 2
dv z d2z
wx = = 2 = && .
z
dt dt
Gia tèc chuyÓn ®éng cña ®iÓm sÏ ®−îc x¸c ®Þnh vÒ ®é lín vµ ph−¬ng
chiÒu theo c¸c biÓu thøc sau:
w = w 2 x + w 2 y + w 2 z = && 2 + && 2 + && 2
x y z
wx wy wz
cos(ox,w) = ; cos(oy,w) = ; cos(oz,w) = .
w w w
r r
Khi biÕt v vµ w ta cã thÓ xem xÐt ®−îc tÝnh chÊt chuyÓn ®éng cña ®iÓm M.
5.3. Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña ®iÓm b»ng to¹ ®é tù nhiªn
5.3.1. Th«ng sè ®Þnh vÞ vµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
Gi¶ thiÕt ®éng ®iÓm M chuyÓn ®éng theo mét ®−êng cong AB trong hÖ
to¹ ®é oxyz. (xem h×nh vÏ 5.5). Trªn quÜ ®¹o AB lÊy ®iÓm O lµm gèc vµ chän
-60-
chiÒu d−¬ng cho ®−êng cong. Th«ng th−êng ta chän chiÒu d−¬ng cña ®−êng
cong lµ chiÒu mµ ®éng ®iÓm chuyÓn ®éng. Râ rµng nÕu biÕt cung OM = s ta cã
thÓ biÕt vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn quÜ ®¹o. Nãi kh¸c ®i cung OM = s lµ th«ng sè
®Þnh vÞ cña ®éng ®iÓm, cßn gäi lµ to¹ ®é cong. Khi ®iÓm M chuyÓn ®éng s sÏ
biÕn ®æi liªn tôc theo thêi gian nghÜa lµ:
s = s(t) (5.8)
BiÕt ®−îc quy luËt biÕn thiªn (5.8) ta cã thÓ x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ë
bÊt kú thêi ®iÓm nµo. BiÓu thøc (5.8) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña
®iÓm. Theo ph−¬ng ph¸p nµy ®Ó x¸c ®Þnh chuyÓn ®éng cña ®iÓm ph¶i biÕt:
- QuÜ ®¹o chuyÓn ®éng AB
- ChiÒu chuyÓn ®éng trªn quÜ ®¹o
- Quy luËt chuyÓn ®éng (5.8).
5.3.2. VËn tèc chuyÓn ®éng cña ®iÓm
Gi¶ thiÕt ®éng ®iÓm chuyÓn ®éng trªn ®−êng cong AB. T¹i thêi ®iÓm t
®éng ®iÓm ë vÞ trÝ M x¸c ®Þnh b»ng to¹ ®é cong s. T¹i thêi ®iÓm t1 = t + ∆t ®iÓm
ë vÞ trÝ M1 x¸c ®Þnh b»ng to¹ ®é cong s1 = s + ∆s.
A -0+
∆s s −s
Tû sè = 1 = v tb gäi lµ tèc ®é trung
∆t ∆t s
z1 M
b×nh.
Giíi h¹n cña tû sè nµy khi ∆t tiÕn tíi O1
B
kh«ng gäi lµ tèc ®é tøc thêi cña ®iÓm t¹i thêi y1
x1
®iÓm t vµ ký hiÖu lµ v.
H×nh 5.5
∆s ds
v= lim = =s&
∆t → 0 ∆t dt -0+ M1
s v
(5.8) s1 ∆s
VËn tèc cã gi¸ trÞ b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt
theo thêi gian cña qu·ng ®−êng s, cã ph−¬ng tiÕp
H×nh 5.6
-61-
tuyÕn víi quÜ ®¹o, h−íng theo chiÒu cña chuyÓn ®éng. ( xem h×nh 5.6).
5.3.3. Gia tèc tiÕp tuyÕn vµ gia tèc ph¸p tuyÕn cña ®iÓm.
5.3.3.1. HÖ to¹ ®é tù nhiªn
Gi¶ thiÕt chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng theo v1
n v1n B
®−êng cong AB nh− h×nh (5.7).
M1 ∆ϕ
Trªn ®−êng cong lÊy hai ®iÓm M1M1' a v1τ b
l©n cËn hai bªn ®iÓm M. VÏ mÆt ph¼ng ®i
A τ
qua ba ®iÓm ®ã. Khi hai ®iÓm M1M1' tiÕn
M1 M v
gÇn ®Õn M th× mÆt ph¼ng trªn tiÕn gÇn ®Õn
giíi h¹n cña nã lµ mÆt ph¼ng (π) gäi lµ mÆt
b
ph¼ng mËt tiÕp. Trong mÆt ph¼ng mËt tiÕp
vÏ ®−êng Mτ tiÕp tuyÕn víi quÜ ®¹o (trïng H×nh 5.7
r
víi vÐc t¬ vËn tèc ( v ). Mét trôc kh¸c vÉn
n»m trong mÆt ph¼ng mËt tiÕp vµ vu«ng gãc víi Mτ t¹i M ký hiÖu lµ Mn gäi lµ
ph¸p tuyÕn chÝnh. Trôc Mb vu«ng gãc víi hai trôc kia gäi lµ trïng ph¸p tuyÕn.
Ta chän chiÒu cña ba trôc Mτnb t¹o thµnh mét tam diÖn thuËn vµ gäi lµ hÖ to¹
®é tù nhiªn.
5.3.2. Gia tèc tiÕp tuyÕn vµ ph¸p tuyÕn cña ®iÓm
Nh− trªn ®· biÕt:
r r r
r lim ∆v lim v1 − v
w = = = ∆t 0 =
∆t 0 ∆t ∆t
ChiÕu biÓu thøc nµy lªn c¸c trôc to¹ ®é tù nhiªn ta cã:
t lim v t1 − v t
w = ∆t 0 = ;
∆t
lim vn1 − vn
wn = ∆;t 0= ;
∆t
wb = 0;
r
Trªn h×nh (5.7) gäi cung MM1 = ∆s ; gãc hîp bëi v vµ Mτ lµ ∆ϕ ta cã:
-62-
∆ϕ 1
lim =k=
∆ t → 0 ∆s ρ
Tû sè k gäi lµ ®é cong cßn ρ lµ b¸n kÝnh cong cña quü ®¹o t¹i M.
r r
MÆt kh¸c khi chiÕu vÐc t¬ v vµ v 1 lªn c¸c trôc ta ®−îc:
vt = v vt1 = v1cos∆ϕ;
vn = 0 vn1 = v1sin∆ϕ;
Thay thÕ kÕt qu¶ t×m ®−îc vµo biÓu thøc cña wt vµ wn sÏ ®−îc:
v1 cos ∆ϕ − v
wt = lim ;
∆t → 0 ∆t
wn = lim ( v1 sin ∆ϕ ) ;
∆t → 0 ∆t
Khi ∆t tiÕn tíi 0, ®iÓm M1 dÇn tíi M vµ ∆ϕ tiÕn tíi 0, ∆s tiÕn tíi 0, v1 tiÕn
tíi v; cosϕ tiÕn tíi 1. Thay c¸c gi¸ trÞ nµy vµo biÓu thøc trªn ta nhËn ®−îc:
v1 − v dv d 2 s
t
w = lim = = = && ;
s
∆t dt dt 2
sin ∆ϕ ∆ϕ ∆s v2
n
w = lim(v1 . . )= .
∆t ∆s ∆t ρ
Trong biÓu thøc (5.9) wt vµ wn lµ gia tèc tiÕp tuyÕn vµ gia tèc ph¸p tuyÕn
cña ®iÓm t¹i thêi ®iÓm t.
r
Gia tèc tiÕp tuyÕn w t cã trÞ sè b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña
vËn tèc hay b»ng ®¹o hµm bËc hai theo thêi gian cña qu·ng ®−êng ®i s, cã
r r
ph−¬ng tiÕp tuyÕn víi quÜ ®¹o, cïng chiÒu víi v khi wt > 0 vµ ng−îc chiÒu víi v
khi wt -63-
2
⎛ dv ⎞ ⎛ v ⎞
2 2
w= w r2
+w n2
= ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ (5.10)
⎝ dt ⎠ ⎜ ρ ⎟
⎝ ⎠
r
Ph−¬ng cña w lu«n lu«n h−íng vÒ phÝa lâm cña ®−êng cong vµ hîp víi
ph¸p tuyÕn mét gãc µ.
wt
tgµ = ; (5.11)
wn
n
n
ω
ωn ω ωn
µ µ
τ M τ
ωτ
M -0+ ωτ
-0+ a) b)
Khi wt > 0 Khi wt < 0
H×nh 5.8
5.3.4. Mét sè tr−êng hîp chuyÓn ®éng ®Æc biÖt
5.3.4.1. ChuyÓn ®éng th¼ng
v2
Trong tr−êng hîp nµy ρ = ∞ vµ wn = = 0.
ρ
r
r r t dv
Khi ®ã chØ cßn: w = w = .
dt
Gia tèc b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña vËn tèc, cïng chiÒu víi
r r r r
v khi w > 0 vµ ng−îc chiÒu víi v khi w -64-
Gia tèc toµn phÇn b»ng gia tèc ph¸p tuyÕn c¶ vÒ ®é lín vµ ph−¬ng chiÒu.
Trong chuyÓn ®éng cong ®Òu ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cã thÓ thiÕt lËp nh− sau:
ds
Ta cã: = v, ds = vdt.
dt
S t
TÝch ph©n hai vÕ ta cã: ∫ ds = ∫ vdt,
S0 t
Hay s = s0 + v.t
5.3.4.3. ChuyÓn ®éng th¼ng biÕn ®æi ®Òu
Trong tr−êng hîp nµy wt = wn = 0 do ®ã w = 0. Suy ra ph−¬ng tr×nh
chuyÓn ®éng x = xo + v.t
5.3.4.4. ChuyÓn ®éng cong biÕn ®æi ®Òu
ChuyÓn ®éng cong biÕn ®æi ®Òu lµ chuyÓn ®éng cã wt = const.
dv
Ta cã: = w t ; dv= wtdt
dt
v t
LÊy tÝch ph©n hai vÕ sÏ ®−îc: ∫ dv = ∫ w t .dt , hay v = vo + wt.t
vo t
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng viÕt ®−îc:
ds
= v o + w t .t suy ra : ds = vodt + wt.t.dt;
dt
wtt2
Hay: s = so + vot + .
2
Sau ®©y lµ mét sè bµi to¸n thÝ dô.
y
ThÝ dô 5.1: X¸c ®Þnh quü ®¹o, vËn tèc A
vµ gia tèc cña ®iÓm M n»m gi÷a tay biªn AB
v M
cña c¬ cÊu biªn tay quay OAB, (xem h×nh ϕ w
5.9) cho biÕt OA = AB = 2a vµ thêi ®iÓm O
x
kh¶o s¸t t−¬ng øng víi gãc ϕ cña c¬ cÊu, víi B
ϕ = ωt.
H×nh 5.9
-65-
Bµi gi¶i:
Chän hÖ to¹ ®é oxy n»m trong mÆt ph¼ng c¬ cÊu.
Gäi to¹ ®é cña ®iÓm M lµ x,y ta cã:
x = 2acosϕ + a cosϕ = 3 acosϕ;
y = a sinϕ.
§©y chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm trong to¹ ®é §Ò c¸c.
§Ó x¸c ®Þnh quü ®¹o cña ®iÓm, tõ ph−¬ng tr×nh trªn rót ra:
x y
cosωt = ; sinωt = ;
3a a
x2 y2
suy ra + = 1.
9a 2 a2
§©y chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh Enlip nhËn c¸c trôc ®èi xøng lµ ox vµ oy ( xem
h×nh vÏ 5.9).
§Ó t×m vËn tèc ta ¸p dông biÓu thøc (5.6) cã:
dx
vx = = −3a sin ωt ;
dt
dy
vy = = aω cos ωt .
dt
Cuèi cïng x¸c ®Þnh ®−îc vËn tèc cña ®iÓm M nh− sau:
vM = v 2 x + v 2 y = 9 sin 2 ωt + cos 2 ωt .a.
r
Ph−¬ng chiÒu cña v M nh− h×nh vÏ. Tõ kÕt qu¶ trªn ta thÊy vmin = aω vµ
vmax = 3aω.
Theo biÓu thøc (5.7) x¸c ®Þnh ®−îc gia tèc cña ®iÓm M:
d2x
wx = 2 = -3aω2cosωt = - ω2x;
dt
wy = -aω2sinωt = - ω2y;
-66-
Gia tèc toµn phÇn w = ω 4 ( x 2 + y 2 ) = ω 2 r.
Ph−¬ng chiÒu cña w ®−îc x¸c ®Þnh nhê c¸c gãc chØ ph−¬ng nh− sau:
wx x wy y
cos(w,ox) = = − ; cos(w,oy) = =− .
w r w r
r
Tõ kÕt qu¶ trªn cho thÊy ph−¬ng chiÒu w lu«n lu«n h−íng tõ M vÒ O.
ThÝ dô 5.2. §iÓm M chuyÓn ®éng theo ph−¬ng tr×nh:
x= a sinωt ; y = a cosωt; z=ut.
Trong ®ã a, ω vµ u lµ kh«ng ®æi.
X¸c ®Þnh quü ®¹o, vËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm M.
Bµi gi¶i:
Tõ hai ph−¬ng tr×nh ®Çu suy ra:
sin2ωt + cos2ωt = a2 hay x2 + y2 = a2 (a)
KÕt hîp ph−¬ng tr×nh (a) víi ph−¬ng tr×nh z = ut ta thÊy ®iÓm chuyÓn
®éng trªn mÆt trô b¸n kÝnh a vµ trôc lµ oz.
Tõ z = ut suy ra t = z/u vµ thay vµo biÓu thøc cña x ta ®−îc:
ω ω
x = a sin .z; y = cos .z;
u u
Quü ®¹o cña ®iÓm M lµ mét ®−êng vÝt, cã trôc oz.
Gäi T1 lµ chu kú cña ®−êng vÝt. T1 x¸c ®Þnh tõ biÓu thøc:
2π
ωT = 2 π hay T1 =
ω
Trong thêi gian T1 ®éng ®iÓm quay quanh trôc oz ®−îc mét vßng ®ång
2uπ
thêi còng tiÕn theo däc trôc oz mét ®o¹n h =uT1 = ; h gäi lµ b−íc cña vÝt.
ω
§Ó x¸c ®Þnh vËn tèc vµ gia tèc ta ¸p dông ph−¬ng ph¸p to¹ ®é §Ò c¸c.
-67-
vx = aω cosωt;
vy = aω sinωt;
vz = u.
Tõ ®ã x¸c ®Þnh vËn tèc v cña ®iÓm.
v= v 2 x + v 2 y + v 2 z = a 2 ω 2 (cos 2 ωt + sin 2 ωt ) + u 2 ; = a 2 ω 2 + u 2
Nh− vËy vËn tèc v cña ®iÓm cã trÞ sè kh«ng ®æi vµ ph−¬ng tiÕp tuyÕn víi
quü ®¹o (xem h×nh 5.10). T−¬ng tù ta x¸c ®Þnh ®−îc:
wx = -aω2sinωt
wx = -aω2cosωt;
wz = 0. z
vµ w = w 2 x + w 2 y = aω 2 .
a
Gia tèc cña ®iÓm cã ®é lín kh«ng ®æi
cßn ph−¬ng chiÒu ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸c
cosin chØ ph−¬ng.
C ω
y y
w x O
cos(w,x) = x = − sin ωt = ; x α βz
w a
x
a
wy y
cos(w,y) = = − sin ωt = ;
w a
H×nh 5.10
wz
cos(w,x) = 0.
w
MÆt kh¸c ta thÊy:
x y
= cos α ; = cos β .
a a
α vµ β biÓu diÔn trªn h×nh vÏ.
r
Nh− vËy gia tèc w lu«n lu«n h−íng theo b¸n kÝnh tõ ®éng ®iÓm vµo trôc oz.
-68-
ThÝ dô 5.3: Mét b¸nh xe b¸n kÝnh R l¨n kh«ng tr−ît trªn ®−êng th¼ng.
VËn tèc t©m b¸nh xe v = v(t).
LËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm M n»m trªn vµnh b¸nh xe.
Kh¶o s¸t vËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm M ®ã.
Kh¶o s¸t tÝnh biÕn ®æi chuyÓn ®éng cña ®iÓm M trªn quü ®¹o øng víi mét
vßng l¨n cña b¸nh xe khi V=Vo = cosnt.
Bµi gi¶i:
Chän gèc to¹ ®é lµ ®iÓm tiÕp xóc O gi÷a M vµ mÆt ®−êng (xem h×nh
5.11).
§Æt gãc PCM = ϕ. §Ó x¸c ®Þnh ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ta t×m quan hÖ
gi÷a c¸c to¹ ®é x.y cña ®iÓm víi gãc ϕ.
y
M
C v
C0 C
E
R ϕ
O P A
x
M0 H
H×nh 5.11
-69-
Trªn h×nh cã x = OH = OP - PH = Rϕ - R sinϕ;
y = HM =R + Rsin(ϕ-900) = R - Rcosϕ = R(1 - cosϕ);
t
V× b¸nh xe l¨n kh«ng tr−ît nªn: OP = ∫ v ( t ) dt .
0
1 t
Suy ra ϕ = ϕ(t) = ∫ v ( t ) dt
R o
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm M cã thÓ viÕt ®−îc:
x= R(ϕ- sinϕ);
y= R(1- cosϕ);
ϕ = ϕ(t).
§©y lµ ph−¬ng tr×nh cña ®−êng Xycloit viÕt d−íi d¹ng th«ng sè.
Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña ®iÓm M trªn cung OA.
VËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm x¸c ®Þnh nh− sau:
r v x = x = Rϕ(1 − cos ϕ);
& &
v
v y = y = Rϕ sin ϕ
& &
r w x = v x = Rϕ sin ϕ + Rϕ(1 − cos ϕ);
& &2 &&
w
w y = v y = Rϕ 2 cos ϕ + Rϕ sin ϕ.
& & &&
T¹i vÞ trÝ ch¹m ®Êt O vµ A th× ϕ =0 vµ ϕ = 2π. Khi ®ã sinϕ = 0, cosϕ =1.
vµ: vx = 0 ; v y = 0 suy ra v = 0;
wx = 0; wy = Rϕ2 > 0.
r
w lóc nµy kh¸c kh«ng, do ®ã ®iÓm chØ dùng l¹i tøc thêi ë mÆt ®Êt.
Trong tr−êng hîp ®Æc biÖt v = v0 = h»ng sè th×:
1 t vot
ϕ=
R
∫o v (o ) dt = R
;
-70-
vot vo
ϕ= ; ϕo = 0; ϕ=
& ; ϕ = 0.
&&
R R
Lóc nµy: vx = vo(1-cosϕ); vy = vosinϕ;
v2o v2o
wx = sin ϕ ; wy = cos ϕ .
R R
§Ó xÐt tÝnh chÊt chuyÓn ®éng cña ®iÓm trªn cung OA ta cã:
3
v3o
r r
v . w = vx.wx + vy.wy =
v o
[sin ϕ(1 − cos ϕ) + sin ϕ cos ϕ]; = sin ϕ.
R R
r r r r
Nh− vËy v . w > 0 trong kho¶ng 0 < ϕ < π vµ v.w < 0 trong kho¶ng π <
ϕ < 2π.
Trªn nöa cung ®Çu ®iÓm chuyÓn ®éng nhanh dÇn cßn nöa cung sau ®iÓm
chuyÓn ®éng chËm dÇn.
r
VÝ dô 5.4. Mét vËt r¾n b¾n ra theo ph−¬ng ngang víi vËn tèc ban ®Çu v o
1 2
sau ®ã r¬i xuèng theo quy luËt : x = vot; y= gt
2
T×m quü ®¹o, vËn tèc, gia tèc toµn phÇn, gia tèc tiÕp tuyÕn, gia tèc ph¸p
tuyÕn, b¸n kÝnh cong cña quü ®¹o t¹i mét thêi ®iÓm t bÊt kú.
Bµi gi¶i:
Khö thêi gian t trong ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ta ®−îc ph−¬ng tr×nh quü
g 2
®¹o: y= x .
v2o
§©y lµ ph−¬ng tr×nh parabol. (xem h×nh
5.12). x
O
VËn tèc cña vËt x¸c ®Þnh ®−îc
M
dx ωn
vx = = vo ; ωτ
dt n
ω τ
y
H×nh 5.12
-71-
dy
vy = = gt;
dt
v= v2o + g2t 2 .
Gia tèc cña ®iÓm ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:
d2x d2y
wx = = 0; wy = = g.
dt 2 dt 2
Suy ra w = g . Gia tèc cña vËt b»ng gia tèc träng tr−êng.
§Ó x¸c ®Þnh gia tèc tiÕp tuyÕn ta cã:
dv g2t g2t
t
w = = = .
dt 2
vo + g2t2 v
Theo kÕt qu¶ ë trªn v2 = vo2 + g2t2 nªn suy ra:
1
t= v2 + vo .
2
g
Thay vµo biÓu thøc cña wt ta ®−îc:
2
v0
w = g 1− 2 .
t
v
Tõ kÕt qu¶ nµy ta thÊy t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu v = vo th× wt = 0
Khi v → ∞ th× wt → g.
TiÕp theo ta x¸c ®Þnh gia tèc ph¸p tuyÕn c¨n cø vµo biÓu thøc:
w 2 = w 2τ + w 2 n
⎛ vo ⎞
2
2 vo
2
Ta cã: w n = w - w τ = g + g ⎜1 − 2 ⎟ = g 2 ;
2 2
⎜
2 2 2
⎝ v ⎟⎠ v
vo
suy ra : wn = g .
v
T¹i thêi ®iÓm ®Çu v = vo do ®ã wn = g.
-72-
Tõ biÓu thøc t×m ®−îc cña wn ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc b¸n kÝnh cong cña
quü ®¹o.
v2 v2 v3
wn = suy ra ρ = hay ρ = .
ρ wn v0g
2
vo
T¹i thêi ®iÓm ®Çu v = vo ta cã ρ = .
g
Khi v → ∞ th× ρ → ∞.
Copyright by webtailieu.net