Đi vào thế giới vi mô 1
================================================================
A. THẾ GIỚI VI MÔ LÀ GÌ ? TẠI SAO PHẢI NGHIÊN CỨU THẾ GIỚI VI MÔ ?
Thế giới vi mô là tập hợp của các hạt có kích thước nhỏ cỡ nguyên tử 10-10 m
và nhỏ hơn nữa. Đi vào thế giới vi mô các quy luật cổ điển được thay thế bằng các
quy luật lượng tử. Các quy luật lượng tử này tổng quát hơn và nó bao gồm các quy
luật cổ điển như những trường hợp riêng. Vật lý học cổ điển là vật lý học không kể
đến thuyết tương đối và thuyết lượng tử. Vật lý học cổ điển dựa trên cơ sở của hai lý
thuyết cơ bản là: Cơ học Newton và Lý thuyết điện từ Maxwell. Nơi mà các định luật
Newton làm cơ sở cho toàn bộ cơ học, nếu thêm vào phép thống kê thì nó làm cơ sở
cho nhiệt học. Hệ thống các phương trình Maxwell về điện từ trường biểu diễn lý
thuyết tổng quát của tất cả các hiện tượng điện từ và quang học.
Đối với các hiện tượng vật lý mà ta biết đến vào khoảng cuối thế kỉ XIX thì vật
lý học cho kết quả phù hợp với thực nghiệm và là lý thuyết hoàn chỉnh và chặt chẽ
(Về mặt Logic) trong phạm vi ứng dụng của nó.
Từ cuối thế kỉ XIX trở về sau người ta thấy cả những hiện tượng không thể
giải thích được bằng lý thuyết cổ điển như: Tính bền của nguyên tử, quy luật bức xạ
của vật đen, quang phổ vạch…Từ đó đến nay việc xây dựng một khái niệm mới về
lượng tử đó là bước đầu của công việc hình thành cơ học lượng tử. Là môn khoa
học nghiên cứu thế giới vi mô. Trong bản thu hoạch này sẽ trình bầy những đặc thù
của thế giới vi mô mà em đã nhận thức được.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Khi người ta cố gắng áp dụng cơ học cổ điển và điện động lực học cổ điển để
giải thích các hiện tượng nguyên tử thì dẫn tới những kết quả mâu thuẫn rất sâu sắc
với thực nghiệm. Một trong những mâu thuẫn rõ ràng nhất xuất hiện khi áp dụng điện
động lực học thông thường vào mẫu nguyên tử cho rằng các electron chuyển động
quanh hạt nhân theo những quỹ đạo cổ điển. Chuyển động này cũng như các
chuyển động được gia tốc của các hạt tĩnh điện, electron phải không ngừng bức xạ
sóng điện từ. Khi bức xạ, electron sẽ mất dần năng lượng của nó, và cuối cùng phải
rơi vào hạt nhân. Như vậy thì electron phải không bền. Điều đó là không phù hợp với
thực tế.
Điều mâu thuẫn sâu sắc như thế giữa lý thuyết và thực nghiệm chứng tỏ rằng
việc xây dựng một lý thuyết có thể áp dụng được cho những hiện tượng nguyên tử -
những hiện tượng này xảy ra đối với các hạt có khối lượng rất nhỏ trong những
không gian rất nhỏ. Điều này đòi hỏi phải thay đổi tận gốc những quan niệm và các
định luật cổ điển cơ bản.
Chúng ta sẽ nghiên cứu lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng, thuật ngữ ánh
sáng cho toàn bộ phổ sóng điện từ với các hiện tượng: Sự phản xạ, sự khúc xạ,
phân cực, giao thoa và nhiễu xạ. Chúng ta đã chứng minh được ánh sáng có tính
chất sóng.
Bây giờ chúng ta đưa ra một giả thuyết hoàn toàn mới và các hiện tượng mà
chúng ta chỉ có thể giải thích được bằng cách dưa ra một giả thuyết hoàn toàn mới
về ánh sáng, cụ thể là ngoài tính chất sóng thì ánh sáng còn có tính chất hạt, mỗi hạt
Sinh viên : Phạm Quốc Thịnh - Lớp K47CC - Khoa Công Nghệ - ĐHQGHN
************************************************************************
Đi vào thế giới vi mô 2
================================================================
có một năng lượng và động lượng xác định. Vậy ánh sáng có là gì ? sóng hay hạt.
Câu trả lời là ánh sáng có lưỡng tính sóng hạt. Ánh sáng được tạo bởi các phần
năng lượng tập chung được gọi là phôtôn. Einstein đã đưa ra giải thuyết rằng mỗi
phôtôn có năng lượng E và xung lượng p với:
h
E = hυ và p =
λ
-34
h là hằng số Plank có giá trị 6,63.10 J.s. Mặc dù nhỏ nhưng hằng số này không
bằng 0. Đặc điểm này có tính chất quyết định của vật lý lượng tử hiện đại. Nếu
chúng ta muốn mô tả một hạt chuyển động như một sóng thì chúng ta phải trả lời
câu hỏi: bước sóng của ánh sáng là bao nhiêu? De Broglie đã đưa ra giả thuyết:
λp = h
áp dụng cho cả ánh sáng lẫn vật chất. Nếu chúng ta giải phương trình cho p có:
h
p=
λ
Đây là xung lượng của phôtôn có bước sóng cho trước.
Hệ thức De Broglie có thể gán bước sóng cho hạt vi mô có xung lượng p cho trước.
h
λ=
p
Đây là bước sóng De Broglie, h là hằng số Plank. Lưỡng tính sóng hạt được Niels
Bohr giải thích trong nguyên lý bổ xung :
" Các phương diện sóng và hạt của một thực tế lượng tử, cả hai đều cần thiết
cho sự mô tả đầy đủ. Tuy nhiên cả hai phương tiện đó không được bộc lộ
đồng thời trong một thí nghiệm đơn nhất. Khía cạnh nào được bộc lộ là do bản
chất của thí nghiệm quyết định".
Bây giờ chúng ta thử tìm xem phương trình của hàm sóng De Broglie có dạng
như thế nào ? Để cho đơn giản ta chỉ xét các hạt không tương đối tính, trong cơ học
cổ điển năng lượng E và xung lượng p của một hạt tự do có khối lượng m liên hệ với
nhau bởi hệ thức:
p2
E=
2m
còn nếu hạt chuyển động trong một trường thế năng V(r) thì năng lượng của hạt
bằng
p2
E= + V (r )
2m
Đầu tiên ta nghiên cứu sóng De Broglie của hạt tự do. Đó là một sóng phẳng
đơn sắc có tần số góc
E
ω=
h
và vectơ sóng
p
k=
h
Hàm sóng tương ứng có dạng:
i
ψ (r , t ) = C exp( − ( Et − p r ))
p h
Trong đó C được xác định bằng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng. Phương trình
sóng là một phương trình vi phân chứa các đạo hàm riêng của hàm sóng theo thời
Sinh viên : Phạm Quốc Thịnh - Lớp K47CC - Khoa Công Nghệ - ĐHQGHN
************************************************************************
Đi vào thế giới vi mô 3
================================================================
gian t và tọa độ r. Cơ học lượng tử đã chứng tỏ rằng: đối với một vi hạt chuyển động
trong một trường lực thế U( r ), hàm sóng của nó có dạng:
i
ψ (r , t ) = exp(− Et ).ψ (r )
h
ψ (r ) là phần phụ thuộc tọa độ không gian của hàm sóng, thỏa mãn phương trình:
2m
Δ ψ (r ) + 2 [ E - U( r )].ψ (r ) = 0
h
Phương trình này gọi là phương trình Srodingher, một phương trình cơ bản
của cơ học lượng tử. Biết dạng cụ thể của U( r ) giải phương trình trên, ta tìm được
ψ (r ) và E, nghĩa là xác định được trạng thái và năng lượng của vi hạt. Nói cách
khác phương trình Srodingher mô tả sự vận động của vi hạt. Vì phương trình
Srodingher là phương trình tuyến tính nên nếu ψ 1 và ψ 2 là hai nghiệm bất kì thì :
ψ = C1ψ 1 + C 2ψ 2
cũng là nghiệm, như vậy tổ hợp tuyến tính bất kì của các trạng thái của chúng cũng
cho ta sự phụ thuộc vào tọa độ và thời gian. "Tất cả mọi phương trình hàm sóng
phải thỏa mãn là những phương trình tuyến tính đối với ψ "
Dễ dàng thấy rằng trong trường hợp chuyển động tự do (U( r ) = 0) nghiệm của
phương trình Srodingher là
2m
Δ ψ (r ) + 2 .E.ψ (r ) = 0
h
đúng là hàm sóng De Broglie. Thật vậy hàm sóng De Broglie có thể viết dưới dạng :
i
ψ (r , t ) = exp(− Et ).ψ (r )
h
trong đó
i i
ψ (r ) = ψ 0 exp( p r ) = ψ 0 . exp ( p x x + p y y + p z z )
h h
Lấy đạo hàm cấp hai của ψ (r ) theo x, y, z rồi cộng lại ta được :
∂2 ∂2 ∂2 p x2 + p y2 + p z2 p2
Δψ (r ) = ( + + )ψ ( r ) = − ψ ( r ) = − ψ (r )
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 h2 h2
Nhưng hạt chuyển động tự do thì năng lượng chính là động năng :
p2
E= ⇒ p 2 = 2mE Vậy đối với sóng De Broglie ta có:
2m
2m
Δ ψ (r ) + 2 .E.ψ (r ) = 0
h
Từ những lập luận trên ra đi đến việc thừa nhận những đặc thù của thế giới Vi mô :
I. Diễn tả trạng thái của các hạt Vi mô bởi hàm sóng
a) Biểu diễn trạng thái của hạt:
Sinh viên : Phạm Quốc Thịnh - Lớp K47CC - Khoa Công Nghệ - ĐHQGHN
************************************************************************
Đi vào thế giới vi mô 4
================================================================
Vận động của vi hạt trong thế giới vi mô tuân theo quy luật thống kê. Để mô tả
trạng thái của vi hạt ta phải dùng khái niệm mới đó là hàm sóng.
Mỗi trạng thái của hạt vi mô được diễn tả bởi một hàm sóng. Các hàm sóng
của hạt vi mô có tính chất được diễn đạt dưới dạng nguyên lý chồng chập trạng thái
như sau: Nếu các hàm sóng ψ 1 (r , t ), ψ 2 (r , t ), …,ψ N (r , t ), diễn tả các trạng thái vật lý
khả dĩ của của hạt vi mô thì mọi tổ hợp tuyến tính có dạng
N
ψ (r , t ) = ∑ C nψ n (r , t )
n =1
với các hệ số Cn tùy ý đều diễn tả một trạng thái vật lý khả dĩ của hạt. Bình phương
môdun của hàm sóng là mật độ xác suất định vị trí của hạt vi mô
2
ρ (r , t ) = ψ (r , t ) .
Hàm sóng thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa
2
∫ ψ (r, t ) dr = 1
V
V là khoảng không gian mà hạt vi mô chuyển động trong đó. Nếu V là toàn bộ không
gian vô hạn thì điều kiện chuẩn hóa trên chỉ được thỏa mãn nếu hàm sóng gần tới
không đủ nhanh khi r → ∞ . Trong trường hợp này ta có trạng thái liên kết của các
hạt vi mô. Trạng thái bất kì của một hạt vi mô nào vào thời điểm t có thể biểu diễn
bởi một hàm sóng ψ N (r , t ) các thông tin về trạng thái của hạt chứa đựng trong một
hàm sóng. Và điều kiện của một hàm sóng là: Đơn trị, liên tục, giới nội, đạo hàm bậc
1 cũng phải liên tục.
b)Mật độ xác suất tìm thấy hạt
Xét 1 điểm M xác định bởi vector r = OM và một phần tử thể tích ΔV bao
quanh điểm M. Gọi ΔW xác suất tìm thấy hạt trong thể tích ΔV . Khi ΔV → 0 thì thì tỉ
số đó dần tới một giá trị xác định ρ gọi là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại điểm M :
dW
ρ=
dV
Hàm sóng ψ (r , t ) mang ý nghĩa thống kê mà quan hệ thống kê này có qua hệ
tới từng vi hạt cũng như toàn bộ các hạt.
Từ đó ta rút ra ý nghĩa của hàm sóng như sau:
9 ψ mật độ xác suất
2
9 ψ dv xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dv
2
∫∫∫ ψ dv = 1 điều kiện chuẩn hóa hàm sóng phẳng
2
9
v
9 ψ mang ý nghĩa thống kê
9 Muốn xác định vị trí của 1 hạt tại thời điểm nào đó chúng ta sẽ tìm xác
suất tìm thấy hạt tức khả năng tìm thấy hạt ở xung quanh điểm nào đó mà
thôi và ta không thể biết vị trí chính xác của các hạt.
Hàm sóng là một hàm của tọa độ và thời gian biểu diễn trạng thái của một hạt vi mô.
II. Nguyên lý về tính không phân biệt được của các hạt giống nhau.
Trong cơ học cổ điển, những hạt giống nhau mặc dù chúng có tính chất vật lý
giống nhau nhưng chúng cũng không mất đi đặc tính riêng của mình. Thực vậy,
Sinh viên : Phạm Quốc Thịnh - Lớp K47CC - Khoa Công Nghệ - ĐHQGHN
************************************************************************
Đi vào thế giới vi mô 5
================================================================
chúng ta hãy tưởng tượng một tập hợp các hạt tạo thành một hệ vật lý đã cho trong
một thời điểm nào đó chúng được đánh số và sau đó ta theo dõi chuyển động của
mỗi hạt lúc đó tại thời điểm bất kì ta có thể nhận xét về các hạt.
Còn trong cơ học lượng tử vấn đề hoàn toàn biến đổi, điều này suy ra trực
tiếp từ nguyên lý bất định, khái niệm về quỹ đạo của electron hoàn toàn mất ý nghĩa.
Vị trí của electron được biết chính xác trong thời điểm hiện tại thời điểm vô cùng gần
sau đó tọa độ của chúng nói chung không có tọa độ xác định. Vì thế mà sau khi định
xứ và đánh số electron ở một thời điểm nào đó ta không thể dùng cách ấy trong mục
đích để phân biệt chúng ở các thời điểm tiếp theo.
Như vậy trong cơ học lượng tử về nguyên tắc không tồn tại một khả năng nào
có thể theo dõi các hạt trong những hạt giống nhau, tức là không thể phân biệt
chúng. Do đó ta có thể nói rằng trong thế giới vi mô các hạt giống nhau hoàn toàn
mất "cá tính của mình". Ở đây sự giống nhau của các hạt theo tính chất vật lý có ảnh
hưởng sâu sắc và ta không thể phân biệt được các hạt giống nhau. Trong cơ học
lượng tử hoàn toàn không có khái niệm quỹ đạo của một hạt. Điều này là nội dung
của nguyên lý bất định một trong những nguyên lý cơ bản của cơ học lượng tử do
W. Heisenberg tìm ra năm 1927.
ΔxΔp x ≈ h ; ΔyΔp y ≈ h ; ΔzΔp y ≈ h
Hệ thức này chứng tỏ vị trí và động lượng của hạt không được xác định đồng
thời. Vị trí của hạt càng xác định thì động lượng của hạt càng bất định và ngược lại.
Ngoài ra còn tìm được hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian :
ΔEΔt ≈ h
Tuy nhiên ý nghĩa của nó khác với ý nghĩa của hệ thức bất định trên. Năng
lượng của hệ ở trạng thái nào đó càng bất định thì thời gian để hệ tồn tại ở trạng thái
đó càng ngắn và ngược lại, nếu năng lượng của hệ ở một trạng thái nào đó càng xác
định thì thời gian tồn tại ở trạng thái đó càng dài. Tóm lại trạng thái có năng lượng
bất định là trạng thái không bền, còn trạng thái có năng lượng xác định là trạng thái
bền. Ngoài ra còn có nhiều đại lượng khác cũng có tính chất tương tự.
Hệ thức bất định Heisenberg nói lên tính khách quan của sự vận động trong
thế giới vi mô, đó là lưỡng tính sóng hạt của vi hạt. Hệ thức bất định này cho ta biết
giới hạn ứng dụng của cơ học cổ điển mà không hạn chế nhận thức của chúng ta về
thế giới vi mô. Nói cách khác không thể dùng quy luật cổ điển để mô tả vận động của
các vi hạt. Theo cơ học cổ điển nếu biết tọa độ và động lượng của hạt ở thời điểm
ban đầu thì ta có thể xác định trạng thái của các vi hạt ở các thời điểm tiếp theo.
Nhưng trong cơ học lượng tử thì một lần nữa xin phép nhắc lại rằng tọa độ và động
lượng của vi hạt không thể xác định đồng thời. Cho nên việc xác định trạng thái của
một vi hạt nào đó không thể làm giống như trong cơ học cổ điển mà ta chỉ có thể
đoán nhận khả năng có mặt của vi hạt ở một trạng thái nhất định. Nói cách khác thì
vi hạt chỉ có thể ở một trạng thái với một xác suất nào đó. Do đó quy luật vận động
của vi hạt tuân theo quy luật thống kê. Nói cách khác lưỡng tính sóng hạt của vi hạt
có quan hệ tới quy luật thống kê.
Sinh viên : Phạm Quốc Thịnh - Lớp K47CC - Khoa Công Nghệ - ĐHQGHN
************************************************************************
Đi vào thế giới vi mô 6
================================================================
Xét nguyên tử Hidro: Ở trạng thái cơ bản ứng với mức năng lượng thấp nhất.
Mật độ xác suất tìm thấy electron tại điểm M các nguyên tử một khoảng r là
2r
dw(r ) 4 2 − g
ρ (r ) = = 3r e
dr a0
h2
Trong đó a0=
4mπ 2 e 2
Mật độ này đạt giá trị cực đại khi r = a0 = 5,3.10-11 m. Đây chính là bán kính
nguyên tử Bohr. Lý thuyết Bohr nói rằng electron chuyển động xung quanh hạt nhân
theo quỹ đạo tròn hoặc elipse mỗi trạng thái ứng với một quỹ đạo chuyển động của
electron. Trạng thái cơ bản có mức năng lượng thấp nhất ứng với quỹ đạo tròn có
bán kính r = a0 gọi là bán kính Bohr thứ nhất.
Nhưng theo quan niệm lượng tử thì electron không có quỹ đạo xác định, nó
chuyển động quanh hạt nhân và phân bố như 1 đám mây electron bao quanh hạt
nhân, có chỗ xác suất tìm thấy electron lớn và có chỗ xác suất tìm thấy electron nhỏ.
Trong trạng thái cơ bản thì n = 1 xác suất cực đại là ở khoảng cách tới tâm là a0
nghĩa là trên 1 mặt cầu bán kính Bohr. Như vậy quỹ đạo tròn bán kính a trong thuyết
Bohr ứng với một mặt cầu bán kính a trên đó xác suất tìm thấy hạt là cực đại.
Ta mô tả một cách hình ảnh điều này như sau:
Sinh viên : Phạm Quốc Thịnh - Lớp K47CC - Khoa Công Nghệ - ĐHQGHN
************************************************************************
Đi vào thế giới vi mô 7
================================================================
III. Sự lượng tử hóa
Vận dụng phương trình Srodingher để khảo sát một số trường hợp đặc biệt
như: Hạt trong giếng thế năng, Hiệu ứng đường ngầm…ta đi tới một số kết luận sau
đây.
• Mỗi trạng thái của hạt ứng với một hàm sóng ψ n .
• Năng lượng của hạt trong giếng thế phụ thuộc vào số nguyên n, nghĩa là biến
thiên một cách giãn đoạn. Ta nói năng lượng đã bị lượng tử hóa.
π 2h 2 2
Wn = n
2ma 2
Khoảng cách giữa hai mức kế tiếp nhau là:
π 2h 2
ΔW = Wn +1 − Wn = (2n + 1)
2ma 2
ΔW càng lớn khi a và m càng nhỏ, nghĩa là hạt ở trong phạm vi kích thước nhỏ và
khối lượng nhỏ.
• Hiệu ứng đường ngầm chỉ xảy ra với thế giới vi mô. Và nó biểu hiện rõ tính
chất sóng của vi hạt.
• Năng lượng thấp nhất của của electron chính là năng lượng ở trạng thái cơ
bản ứng với n=1;
π 2h 2
E1 =
2ma 2
E1 gọi là năng lượng điểm Zero
• Sự giới hạn quy mô của sóng trong không gian (tức sự định xứ hóa) dẫn tới
kết quả là chỉ có một tập hợp gián đoạn các bước sóng - do đó cũng chỉ có
một tập hợp gián đoạn các tần số xảy ra mà thôi. Nghĩa là sự định sứ hóa sẽ
dẫn tới lượng tử hóa.
• Để xác định đầy đủ các trạng thái lượng tử cho phép của nguyên tử Hiđrô
chúng ta cần phải xác định đủ 4 hằng số lượng tử; Hằng số lượng tử chính n,
hằng số lượng tử quỹ đạo L, hằng số lượng tử từ ms, số lượng tử spin. Trạng
thái năng lượng suy biến: Nguyên tử có cùng hằng số lượng tử chính n nhưng
khác nhau về L, m, ms
IV. Công cụ toán học
Bây giờ ta chuyển sang trình bầy những cơ sở của công cụ toán học dùng
trong vật lý lượng tử. Công cụ toán học dùng trong thế giới là toán tử.
a) Diễn tả các đại lượng vật lý bằng toán tử tuyến tính tự liên hợp.
Các đại lượng vật lý được diễn tả bởi các toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm sóng;
với mỗi đại lượng vật lý trong cơ học cổ điển ta có một toán tử tuyến tính tự liên hợp
tương ứng trong cơ học lượng tử. Các toán tử ứng với tọa độ r và xung lượng p có
thể được chọn như sau :
r →r
^
p → P =-i h∇
Sinh viên : Phạm Quốc Thịnh - Lớp K47CC - Khoa Công Nghệ - ĐHQGHN
************************************************************************
Đi vào thế giới vi mô 8
================================================================
Các hệ thức giữa các toán tử diễn tả các đại lượng vật lý trong cơ học lượng tử có
dạng giống như hệ thức giữa các đại lượng vật lý tương ứng trong cơ học cổ điển.
b) Biểu diễn các toán tử bằng ma trận
Cho toán tử Â diễn tả một đại lượng vật lý A trong cơ học lượng tử và hai hàm sóng
ψ (r ) và ψ ' ( r ) liên hệ với nhau như sau
ψ ' ( r ) = Âψ (r )
• Nếu hàm sóng là một hàm riêng của toán tử Â diễn tả một đại lượng vật lý
nào đó thì hàm sóng này diễn tả trạng thái của hạt vi mô mà trong trạng
thái đó đại lượng vậy lý diễn tả bởi toán tử Â có giá trị xác định và bằng
giá trị riêng của toán tử Â. Nói khác đi, các giá trị riêng của toán tử Â diễn
tả một đại lượng vật lý nào đó. Vì các toán tử diễn đạt các đại lượng vật lý
là các toán tử tự liên hợp cho nên các giá trị riêng của chúng phải là các
giá trị thực.
• Nếu ψ (r , t ) là hàm sóng của một trạng thái mà trong đó đại lượng vật lý A
không có một giá trị xác định thì khi đó đại lượng này trong trạng thái đang
xét ta có thể thu được những giá trị riêng khác nhau của toán tử Â tương
ứng.
C. KẾT LUẬN
Mặc dù có đọc nhiều tài liệu vật lý lượng tử là môn khoa học nghiên cứu thế
giới vi mô nhưng do kiến thức còn hạn chế nên em cảm thấy mình vẫn chưa hiểu hết
được về thế giới vi mô. Trong bài luận này em mới chỉ ra được những đặc thù mang
tính rất cơ bản của thế giới vi mô như: Lưỡng tính sóng hạt của hạt vi mô, Trạng thái
của hạt vi mô, quỹ đạo hạt vi mô, xác suất tìm thấy hạt, sự rời rạc trong thế giới vi
mô, công cụ toán học nghiên cứu thế giới vi mô là toán tử…Những khía cạnh khác
của vấn đề em sẽ tiếp tục tìm hiểu và nghiên cứu thêm. Em rất mong ý kiến đóng
góp của thầy và định hướng thêm cho em để em có thể hiểu rõ về thế giới vi mô
hơn.
Sinh viên : Phạm Quốc Thịnh - Lớp K47CC - Khoa Công Nghệ - ĐHQGHN
************************************************************************
Copyright by webtailieu.net