Vị trí tương đối của hai mặt phẳng, chùm mặt phẳng
Hãy nêu định nghĩa về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng? Một mặt phẳng hoàn toàn xác định đựơc khi nào?
Đn: Vectơ n ¹ 0 được gọi là một vectơ pháp tuyến của mp (P)
nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Một mặt phẳng hoàn toàn xác định được một điểm thuộc nó và vectơ pháp tuyến của nó
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮKLẮK
TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG.
CHÙM MẶT PHẲNG + BÀI TẬP
Tiết phân phối chương trình: 79
Giáo viên thực hiện: NGUYỄN NGỌC THẮNG
KIỂM TRA BÀI CŨ
Hãy nêu định nghĩa về vectơ pháp
?
tuyến của mặt phẳng?
Một mặt phẳng hoàn toàn xác định
đựơc khi nào?
r r
Đn: Vectơ n ¹ 0 được gọi là một vectơ pháp tuyến của mp (P)
nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Một mặt phẳng hoàn toàn xác định được một điểm thuộc nó và
vectơ pháp tuyến của nó
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
I. Một số quy ước và kí hiệu
1. Hai bộ n số (A1 : A2 : ... : An ) và (A '1 : A '2 : ... : A 'n ) được gọi là tỉ lệ với nhau
nếu có số t ¹ 0 sao cho A1 = t A’1; A2 = t A’2;…; An = t A’n hoặc có số t ' ¹ 0 sao
cho A’1 = t’ A1; A’2 = t’ A2;…; A’n = t’ An .
Ví dụ. Hai bộ bốn số (1; 2; 0; -3) và (-3; -6; 0; 9) là tỉ lệ với nhau.
Hai bộ n số (A1; A2; …; An) và (A’1; A’2; hãyA’n) tỉ lệ với nhauhai kí hiệu:
Em …; xét tính tỉ lệ của ta bộ bốn
số (1; 2; 0; -3) và (-3; -6; 0; 9)?
?
A1 : A2 : ... : An = A '1 : A '2 : ... : A 'n (a)
Nếu chúng tỉ lệ hãy cho biết giá trị
Ví dụ. 1: 2 : 0 : - 3 = - 3 : - 6 : 0 : 9 của t và t’ ?
A1 A A
Ngoài ra ta còn dùng kí hiệu sau: = 2 = ... = n (b)
A '1 A '2 A 'n
+ Hai bộ bốn số (1; 2; 0; -3) và (-3; -6; 0; 9)
là tỉ lệ với nhau.
1
+ Giá trị t trong trường hợp này là t = -
3
+ Giá trị t’ trong trường hợp này là t ' = - 3
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
I. Một số quy ước và kí hiệu
1. Hai bộ n số (A1 : A2 : ... : An )và (A '1 : A '2 : ... : A 'n )được gọi là tỉ lệ với nhau
nếu có số t ¹ 0 sao cho A1 = t A’1; A2 = t A’2;…; An = t A’n hoặc có số t ' ¹ 0 sao
cho A’1 = t’ A1; A’2 = t’ A2;…; A’n = t’ An .
Ví dụ. Hai bộ bốn số (1; 2; 0; -3) và (-3; -6; 0; 9) là tỉ lệ với nhau.
Hai bộ n số (A1; A2; …; An) và (A’1; A’2; …; A’n) tỉ lệ với nhau ta kí hiệu:
A1 : A2 : ... : An = A '1 : A '2 : ... : A 'n (a)
Ví dụ. 1: 2 : 0 : - 3 = - 3 : - 6 : 0 : 9
A1 A A
Ngoài ra ta còn dùng kí hiệu sau: = 2 = ... = n (b)
A '1 A '2 A 'n
Lưu ý: Trong kí hiệu (b) có thể có một A’i nào đó bằng 0 (với i = 1, 2, …, n), khi
đó hiển nhiên Ai cũng bằng 0.
2. Nếu hai bộ số (A1 : A2 : ... : An ) và (A '1 : A '2 : ... : A 'n ) không tỉ lệ, ta dùng kí hiệu:
A1 : A2 : ... : An ¹ A '1 : A '2 : ... : A 'n (c)
r ur
Nhận xét: Hai véc tơ u = (a; b; c ) và u ' = (a '; b '; c ') cùng phương khi và chỉ khi:
Dùng kí hiệu trên, Em hãy cho biết hai véc tơ:
a : b r c = a ' : b ' :và' ur
: c
u = (a; b; c ) u ' = (a '; b '; c ')
cùng phương khi nào?
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
(a ): Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(a '): A 'r + B ' y + C 'ur + D ' = 0
x z (1')
Khi đó n = ( A; B; C ), n ' = ( A '; B '; C ') lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α ) và (α ')
Em hãy cho biết vectơ
pháp tuyến của
(α ) và (α ') ?
Em hãy cho biết các vị trí tương
? đối của hai mặt phẳng
(α ) và (α ') ?
+ (α ) và (α ') cắt nhau theo một đường thẳng.
+ (α ) và (α ') song song với nhau.
+ (α ) và (α ') trùng nhau.
Minh hoạ
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
(a ): Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(a '): A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 (1')
r ur
Khi đó n = ( A; B; C ), n ' = ( A '; B '; C ') lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α ) và (α ')
Vấn đề đặt ra cho chúng ta là hãy tìm điều
kiện của các hệ số trong (1) và (1’) để:
? + (α ) và (α ') cắt nhau theo một đường thẳng.
+ (α ) và (α ') song song với nhau.
+ (α ) và (α ') trùng nhau.
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
(a ): Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(a '): A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 (1')
r ur
Khi đó n = ( A; B; C ), n ' = ( A '; B '; C ') lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α ) và (α ')
1. (α ) cắt (α ')
Khi (α ) cắt (α ' ) .
? Em có nhận xét gì về phương
r ur
của hai vectơ n và n '?
+ (α ) và (α ') cắt nhau theo mộtrđường thẳng khi
ur
và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến n và n ' không
cùng phương.
Minh hoạ
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
(a ): Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(a '): A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 (1')
r ur
Khi đó n = ( A; B; C ), n ' = ( A '; B '; C ') lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α ) và (α ')
r ur
1. (α ) cắt (α ') theo một đường thẳng khi và chỉ khi n và n ' không cùng phương.
Vậy: (α ) cắt (α ') ⇔ A : B : C ≠ A ' : B ' : C '
Từ nhận xét trên, Em hãy tìm
? điều kiện của các hệ số để
(α ) cắt (α ') ?
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
(a ): Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(a '): A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 (1')
r ur
Khi đó n = ( A; B; C ), n ' = ( A '; B '; C ') lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α ) và (α ')
r ur
1. (α ) cắt (α ') theo một đường thẳng khi và chỉ khi n và n ' không cùng phương.
Vậy: (α ) cắt (α ') ⇔ A : B : C ≠ A ' : B ' : C '
2. (α ) trùng (α ')
(α ) trùng (α ') .
? Em có nhận xét gì về phương
r ur
của các vectơ n và n '?
r ur
+ (α ) và (α ') trùng nhau thì n và n ' cùng phương.
Minh hoạ
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
(a ): Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(a '): A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 (1')
r ur
Khi đó n = ( A; B; C ), n ' = ( A '; B '; C ') lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α ) và (α ')
r ur
1. (α ) cắt (α ') theo một đường thẳng khi và chỉ khi n và n ' không cùng phương.
Vậy: (α ) cắt (α ') ⇔ A : B : C ≠ A ' : B ' : C '
2. (α ) trùng (α ')
Em hãy nêu điều kiện cần và
đủ để hai mặt phẳng (α ) và (α ')
? trùng nhau ?
r ur
+ (α ) và (α ') trùng nhau khi và chỉ khi n và n '
cùng phương và hai mặt phẳng đó có chung điểm
M0 = (x0; y0; z0).
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
(a ): Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(a '): A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 (1')
r ur
Khi đó n = ( A; B; C ), n ' = ( A '; B '; C ') lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α ) và (α ')
r ur
1. (α ) cắt (α ') theo một đường thẳng khi và chỉ khi n và n ' không cùng phương.
Vậy: (α ) cắt (α ') ⇔ A : B : C ≠ A ' : B ' : C '
r ur
2. (α ) trùng (α ') khi và chỉ khi n và n ' cùng phương và hai mặt phẳng đó có
chung điểm M0 = (x0; y0; z0).
r ur
Khi n và n ' cùng phương. Em có nhận xét
? gì về bộ ba số (A; B; C) và (A’: B’; C’)?
A : B : C = A' : B ' : C '
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
(a ): Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(a '): A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 (1')
r ur
Khi đó n = ( A; B; C ), n ' = ( A '; B '; C ') lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α ) và (α ')
r ur
1. (α ) cắt (α ') theo một đường thẳng khi và chỉ khi n và n ' không cùng phương.
Vậy: (α ) cắt (α ') ⇔ A : B : C ≠ A ' : B ' : C '
r ur
2. (α ) trùng (α ') khi và chỉ khi n và n ' cùng phương và hai mặt phẳng đó có
chung điểm M0 = (x0; y0; z0).
A : B : C = A ' : B ' : C ' Þ $ t A = tA ', B = tB ', C = tC ' Em hãy biểu
M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) là điểm chung của (α ) và (α ') nên diễn D qua D’ ?
?
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, A ' x0 + B ' y0 + C ' z0 + D ' = 0
Suy ra:
D = - (Ax0 + By0 + Cz0 )= t (- A' x0 - B ' y0 - C ' z0 )= tD '
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
(a ): Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(a '): A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 (1')
r ur
Khi đó n = ( A; B; C ), n ' = ( A '; B '; C ') lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α ) và (α ')
r ur
1. (α ) cắt (α ') theo một đường thẳng khi và chỉ khi n và n ' không cùng phương.
Vậy: (α ) cắt (α ') ⇔ A : B : C ≠ A ' : B ' : C '
r ur
2. (α ) trùng (α ') khi và chỉ khi n và n ' cùng phương và hai mặt phẳng đó có
chung điểm M0 = (x0; y0; z0).
A B C D Em hãy nêu điều kiện
Vậy: (α ) trùng (α ') ⇔ = = = cần và đủ của các hệ
?
A ' B ' C ' D'
số trong (1) và (1’) để
(α ) trùng (α ') ?
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
(a ): Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(a '): A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 (1')
r ur
Khi đó n = ( A; B; C ), n ' = ( A '; B '; C ') lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α ) và (α ')
r ur
1. (α ) cắt (α ') theo một đường thẳng khi và chỉ khi n và n ' không cùng phương.
Vậy: (α ) cắt (α ') ⇔ A : B : C ≠ A ' : B ' : C '
r ur
2. (α ) trùng (α ') khi và chỉ khi n và n ' cùng phương và hai mặt phẳng đó có
chung điểm M0 = (x0; y0; z0).
A B C D
Vậy: (α ) trùng (α ') ⇔ = = =
A ' B ' C ' D'
3. (α ) song song (α ') khi và chỉ khi chúng không cắt nhau và không trùng nhau.
(α ) song song (α ')
? Khi nào?
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
(a ): Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(a '): A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 (1')
r ur
Khi đó n = ( A; B; C ), n ' = ( A '; B '; C ') lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α ) và (α ')
r ur
1. (α ) cắt (α ') theo một đường thẳng khi và chỉ khi n và n ' không cùng phương.
Vậy: (α ) cắt (α ') ⇔ A : B : C ≠ A ' : B ' : C '
r ur
2. (α ) trùng (α ') khi và chỉ khi n và n ' cùng phương và hai mặt phẳng đó có
chung điểm M0 = (x0; y0; z0).
A B C D
Vậy: (α ) trùng (α ') ⇔ = = =
A ' B ' C ' D'
3. (α ) song song (α ') khi và chỉ khi chúng không cắt nhau và không trùng nhau.
A B C D
?
Em hãy nêu điều kiện cần và đủ
Vậy: (α ) // (α ' ) ⇔ = = ≠
của các hệ số trong (1) và (1’) để
A ' B ' C ' D'
(α ) song song (α ') ?
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Tóm lại: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (a ): Ax + By + Cz + D = 0 (1)
1. (α ) cắt (α ') ⇔ A : B : C ≠ A ' : B ' : C ' (a '): A' x + B' y + C' z + D' = 0 (1')
A B C D
2. (α ) trùng (α ') ⇔ = = =
A ' B ' C ' D'
A B C D
3. (α ) // (α ' ) ⇔ = = ≠
A ' B ' C ' D'
Bài tập 1. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
Cắt Trùng Song
TT Các cặp mặt phẳng Vận dụng các kiến
nhau nhau song
thức trên vào các
1 x + 2y- z + 5 = 0 và 2x + 3y - 7z - 4 = 0 bài tập sau đây:
2 x - y + 2 z - 4 = 0 và 10x - 10y + 20z - 40 = 0
3 x- 2y + z + 3= 0 và 2x - y + 4z - 2 = 0
4 3 x - 2 y - 3 z + 5 = 0 và 9x - 6 y - 9z - 5 = 0
5 x + y + z - 1= 0 và 2x + 2 y - 2z + 3 = 0
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Bài tập 3. Cho hai mặt phẳng: (P): 2x – my + 3z – 6 + m = 0
(Q): (m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0.
Với giá trị nào của m để hai mặt phẳng (P) và (Q):
a). Song song với nhau ?
b). Trùng nhau ?
c). Cắt nhau ?
ì 2
ï - m ìé =1
ï m
ï =
ï m+ 3 - 2 ïê
ï ïê
ïë = - 4
Giải. ï
ï 2 ï m
2 - m 3 - 6+ m 3 ï
a). (P) // (Q) Û ? = = ¹ Û ï?í = Û í?
ïm= 1
m + 3 - 2 5m + 1 - 10 ï m + 3 5m + 1
ï ï
ïm¹ 1
ï
ï - m - 6+ m ï
ï
ï
ï ¹ ï
ï
ï- 2
ï
î - 10 ï
î
?
Û m Î Æ. Vậy, không có giá trị nào của m để (P) song song với (Q).
Dựa vào kết quả trên.
? Em hãy cho biết với
giá trị nào của m thì
(P) trùng với (Q) ?
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Bài tập 3. Cho hai mặt phẳng: (P): 2x – my + 3z – 6 + m = 0
(Q): (m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0.
Với giá trị nào của m để hai mặt phẳng (P) và (Q):
a). Song song với nhau ?
b). Trùng nhau ?
c). Cắt nhau ?
ì 2
ï - m ìé =1
ï m
ï =
ï m+ 3 - 2 ïê
ï ïê
ïë = - 4
Giải. ï
ï 2 ï m
2 - m 3 - 6+ m 3 ï
a). (P) // (Q) Û = = ¹ Û ï í = Û ïm= 1
í
m + 3 - 2 5m + 1 - 10 ï m + 3 5m + 1
ï ï
ïm¹ 1
ï
ï - m - 6+ m ï
ï
ï
ï ¹ ï
ï
ï- 2
ï
î - 10 ï
î
Û m Î Æ. Vậy, không có giá trị nào của m để (P) song song với (Q).
2 - m 3 - 6+ m
b). (P) trùng với (Q) Û = = = Û m= 1
m + 3 - 2 5m + 1 - 10
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Bài tập 3. Cho hai mặt phẳng: (P): 2x – my + 3z – 6 + m = 0
(Q): (m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0.
Với giá trị nào của m để hai mặt phẳng (P) và (Q): a). Song song với nhau?
b). Trùng nhau? c). Cắt nhau?
ì 2
ï - m ìé =1
ï m
ï
ï m+ 3 = - 2 ïê
ï ïê
ïë = - 4
Giải. ï
ï 2 ï m
2 - m 3 - 6+ m ï 3 ï
ïm= 1
a). (P) // (Q) Û = = ¹ Û í = Û í
m + 3 - 2 5m + 1 - 10 ï m + 3 5m + 1
ï ï
ïm¹ 1
ï
ï - m - 6+ m ï
ï
ï
ï ¹ ï
ï
ï- 2
ï
î - 10 ï
î
Û m Î Æ. Vậy, không có giá trị nào của m để (P) song song với (Q).
2 - m 3 - 6+ m
b). (P) trùng với (Q) Û = = = Û m= 1
m + 3 - 2 5m + 1 - 10
c). (P) trùng với (Q) Û m ¹ 1
Em hãy suy ra giá trị
? của m để (P) cắt (Q) ?
§5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG. CHÙM MẶT PHẲNG
CŨNG CỐ
Hai mặt phẳng: (a ): Ax + By + Cz + D = 0 (1) và (a '): A' x + B' y + C' z + D' = 0 (1')
1. (α ) cắt (α ') ⇔ A : B : C ≠ A ' : B ' : C '
Qua tiết học này các em
A B C D
2. ( ?
α ) trùng (α ') ⇔ = = =
A ' B ' C ' D'
cần nắm những nội dung
nào?
A B C D
3. (α ) // (α ' ) ⇔ = = ≠
A ' B ' C ' D'
Lưu ý:
Để giảm độ phức tạp của bài toán biện luận vịđối tương đối của hai mặt phẳng
Theo em, trí với bài toán “biện
?
theo tham số, ta nên tìm tham số để các vị trímặt phẳng:của hai mặt trùng
luận hai tương đối song song,
nhau; sau đó suy ra trường hợp còn lại. theo tham số” Ta nên biện
phẳng
luận cho vị trí tương đối nào trước?
vì sao?
