PHẦN II. VI TÍCH PHÂN
Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 1
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
ξ1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x ∈ X,
được cho tương ứng duy nhất một y = f(x) ∈ Y theo qui tắc f, thì
f được gọi là một ánh xạ từ X vào Y.
Ký hiệu: f : X → Y x x f (x)
x → y = f (x)
a) Đơn ánh: ∀x1, x2 ∈ X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2)
b) Toàn ánh: Với mỗi y ∈ Y, ∃ x ∈ X: y = f(x)
c) Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh
d) Nếu f: X→Y là song ánh thì f-1: Y→X là ánh xạ ngược của f
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 2
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa hàm số: Với X ⊂ R, ta gọi ánh xạ f:X→Y là một
hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x).
x: biến độc lập
y: biến phụ thuộc.
Tập X: miền xác định
Tập f(X) = {f(x): x ∈ X}: miền giá trị của f
,
Giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của f:
M = max f ( x ) m = min f ( x )
x∈X x∈X
Ví dụ: Tìm miền xác định, giá trị hàm số y = 2x2 - 4x + 6
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 3
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa phép toán: Cho f, g cùng miền xác định X:
a) f(x) = g(x), ∀ x ∈ X
b) (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), ∀x∈X
c) (fg)(x) = f(x)g(x), ∀x∈X
d) Hàm số f/g có miền xác định X1 = X\{x: g(x) = 0} :
f f (x)
( )( x ) = , ∀x ∈ X1
g g( x )
e) (af)(x) = af(x), ∀x∈X
Ví dụ: Cho ba hàm số f(x) = x2 + 6, g ( x ) = x , h(x) = x + 2
Xác định hàm số (f – 3h)/g và miền xác định của nó.
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 4
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số của biến u, đồng thời
u = g(x) là hàm số của biến x. Khi đó f = f(u) = f[g(x)] là hàm số
hợp của f và g. Ký hiệu fog.
Ví dụ: Dựa vào ví dụ trên tìm gof, goh và tìm miền xác định.
Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu f: X→Y
là một song ánh thì f-1: Y→X được gọi là hàm số ngược của f.
Gọi (C), (C-1) là đồ thị của f, f-1 thì đồ thị của nó đối xứng
với nhau qua đường thẳng y = x.
M(x,y) ∈ (C) ⇔ y = f(x) ⇔ x = f-1(y) ⇔ N(y,x) ∈ (C-1)
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 5
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số đơn điệu:
• f gọi là tăng trên (a,b) nếu: x1,x2 ∈ X: x1 < x2 => f(x1) ≤ f(x2)
• f gọi là giảm trên (a,b) nếu: x1,x2 ∈ X: x1 < x2 => f(x1) ≥ f(x2)
• f được gọi là bị chặn trên X nếu: ∃ M: f(x) M, ∀ x ∈ X
≤
Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu.
Chú ý: Một hàm số có thể không đơn điều trên miền xác định
X, nhưng lại đơn điệu trên các tập D ⊂ X.
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 6
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm số
được gọi là tuần hoàn nếu: ∃ T ≠ 0: f(x+T) = f(x), ∀ x ∈ X
Số T0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơ
sở của hàm số f.
Ví dụ: Hàm số f(x) = sinx, g(x) = cos(x) tuần hoàn với chu kỳ
cơ sở là T0 = 2π. Hàm số f(x) = tg(x), g(x) = cotgx tuần hoàn
với chu kỳ cơ sở là T0=π.
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 7
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa: Hàm số f có miền xác định X, với x ∈ X, -x ∈ X.
a) f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x), ∀ x ∈ X
b) f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ X
Ví dụ: Hàm số f(x) = cosx + - x2 là hàm số chẵn,
x
g ( x ) = lg( x + x 2 + 1) là hàm số lẻ.
Ghi chú: Gọi (C) là đồ thị của hàm số f.
a) Nếu f là hàm số chẵn thì (C) đối xứng qua Oy:
(x,f(x)) ∈ (C) ⇔ (-x,f(-x)) = (x,f(x)) ∈ (C)
b) Nếu f là hàm số lẻ thì (C) đối xứng qua gốc toạ độ:
(x,f(x)) ∈ (C) ⇔ (-x,f(-x)) = (-x,-f(x)) ∈ (C)
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 8
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
ξ2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ
1. Hàm số luỹ thừa: y = xα , với α ∈ R
Miền xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc α.
• α ∈ N: miền xác định R
• α nguyên âm: miền xác định x ≠ 0.
• α có dạng 1/p, p ∈ Z: miền xác định phụ thuộc vào p chẵn, lẻ
• α là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = xα tại mọi x ≥ 0 nếu α > 0
và tại mọi x > 0 nếu α < 0.
Đồ thị của y = xα luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ
độ (0,0) nếu α > 0, không đi qua góc toạ độ nếu α < 0.
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 9
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. Hàm số mũ: y = ax (a > 0, a ≠ 1)
Hàm số mũ xác định với mọi x dương.
Hàm số mũ tăng khi a > 1.
Hàm số mũ giảm khi a < 1.
Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ.
4. Hàm số logarit: y = logax, a > 0, a ≠ 1
Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0.
Hàm số logax tăng khi a > 1
Hàm số logax giảm khi a < 1
Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị
Hàm số y = logax là hàm số ngược của hàm số y = ax
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 10
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ a
•
Một số tính chất của log x:
Loga(x1x2) = Loga(x1) + Loga(x2)
x
Log a ( 1 ) = Log a ( x1 ) − Log a ( x 2 )
x2
Logaxα = αLogax
b = a loga b
Log c b
Log a b =
Log c a
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 11
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
5. Hàm số lượng giác:
• y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2π
• y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2π
• y = tgx, miền xác định ∀ x ≠ (2k+1)π/2, hàm lẻ, chu kỳ π
• y = cotgx, miền xác định ∀ x ≠ kπ, k ∈ Z, hàm lẻ, chu kỳ π
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 12
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
6. Hàm số lượng giác ngược:
• Hàm số y = arcsinx: Miền xác định [-1,1], miền giá trị [-
π/2,π/2] và là một hàm số tăng.
• Hàm số y = arccosx: Miền xác định [-1,1] và miền giá trị [0,π] .
• Hàm số y = arctgx: Miền xác định R và miền giá trị (-π/2,π/2)
và là hàm số tăng.
• Hàm số y = arccotgx: Miền xác định R và miền giá trị (0,π) là
hàm số giảm.
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 13
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa: Các hàm số hằng số, hàm số luỹ thừa, hàm số
mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác và các hàm số ngược
được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản.
Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số
hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích thương, phép lấy hàm
hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi chung là hàm số
sơ cấp.
Ví dụ: Hàm số f(x) là hàm số sơ cấp.
2 sin( x 2 ) + 3
f ( x ) = log3
x2 + 2
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 14
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
ξ3. GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số:
Định nghĩa lân cận:
x thuộc lân cận của x0 ⇔ ∃ δ > 0: | x-x0| < δ
x thuộc lân cận của +∞ ⇔ ∃ A: x > A
x thuộc lân cận của -∞ ⇔ ∃ B: x < B
hay mở rộng thêm:
x thuộc lân cận của x0 và x ≠ x0 ⇔ ∃ δ > 0: 0 < | x-x0| < δ
x thuộc lân cận của x0 và x > x0 ⇔ x0 < x < x0 + δ
x thuộc lân cận của x0 và x < x0 ⇔ x0 - δ < x < x0
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 15
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa giới hạn: Cho hàm số f(x) xác định trên một
khoảng mở chứa x0 (riêng tại x0, f(x) có thể không tồn tại). Số
L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x →x0, nếu ∀ε > 0
cho trước, ∃ δ > 0: 0 < | x – x0| < δ ⇒ | f(x) – L| < ε. Ký hiệu:
lim f ( x ) = L
x →x 0
Ví dụ, Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng
lim (2x + 1) = 7
x →3
x 2 −1
lim =2
x →1 x − 1
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 16
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa giới hạn một bên:
a) Giới hạn bên phải:
∀ε > 0, ∃ δ > 0: x0 < x < x0 + δ ⇒ | f(x) – L| < ε
lim f ( x ) = L lim f ( x ) = L
x →x 0 + x →x 0 ,x > x 0
b) Giới hạn bên trái:
∀ε > 0, ∃ δ > 0: x0 - δ < x < x0 ⇒ | f(x) – L| < ε
lim f ( x ) = L lim f ( x ) = L
x →x 0 − x →x 0 ,x < x 0
Định lý: lim f ( x ) = L lim f ( x ) = lim f ( x ) = L
x →x 0 x →x 0 + x →x 0 −
x khi x > 0
Ví dụ, Tim giới hạn f(x) khi x→0 f (x) =
1 - x khi x < 0
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 17
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định lý: Nếu f là hàm số sơ cấp xác định trong lân cận của
điểm x0 thì: lim f ( x ) = f ( x 0 )
x →x 0
Định nghĩa giới hạn lân cận ∞ :
lim f ( x ) = L
x →+∞
nếu ∀ε > 0, ∃ N > 0 đủ lớn: x > N ⇒ | f(x) - L| < ε
.
lim f ( x ) = L
x →−∞
nếu ∀ε > 0, ∃ N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn: x < N ⇒ | f(x) - L| < ε
1
Ví dụ, chứng minh rằng lim = 0
x →+∞ x
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 18
lim f ( x ) = −∞
x →x 0
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
2. Giới hạn vô hạn của hàm số:
lim f ( x ) = +∞
x →x 0
∀N > 0 lớn tuỳ ý, ∃ δ > 0: 0 < | x – x0| < δ ⇒ f(x) > N
lim f ( x ) = −∞
x →x 0
∀N < 0 có trị tuyệt đối lớn tuỳ ý, ∃ δ > 0: 0 < | x – x0| < δ ⇒ f(x) < N
1
Ví dụ: chứng minh lim 2
= +∞
x →a ( x − a )
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 19
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. Các tính chất của giới hạn hàm số:
Định lý: Trong cùng một quá trình, nếu lim f(x) = L1 và lim g(x)
= L2 với L1, L2 ∈ R, thì
a) lim[f(x) + g(x)] = L1 + L2
b) lim[f(x)g(x)] = L1L2
c) lim C = C
d) lim[Cf(x)] = CL1
e) lim[f(x)]m = L1m (L1m ∈ R)
f) lim[f(x)/g(x)] = L1/L2 (L2 ≠ 0)
Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0.∞, ∞ - ∞, 1∞ thì phải
biến đổi để khử chúng.
01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 20
Copyright by webtailieu.net