Toán cao cấp A1
Sách hướng dẫn học tập toán cao cấp A1
SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP
TOÁN CAO CẤP (A1)
Biên soạn: TS. VŨ GIA TÊ
Ths. ĐỖ PHI NGA
Giới thiệu môn học
0
1
2 GIỚI THIỆU MÔN HỌC
1. GIỚI THIỆU CHUNG:
Toán cao cấp A1 là học phần đầu tiên của chương trình toán dành cho sinh
viên các nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật. Để học tốt môn Toán cao cấp theo
phương thức Đào tạo từ xa, bên cạnh các học liệu: sách, giáo trình in, băng đĩa
hình,..., sách hướng dẫn cho người học toán cao cấp là rất cần thiết. Tập sách
hướng dẫn này được biên soạn là nhằm mục đích trên. Tập sách được biên soạn
theo chương trình qui định năm 2001 của Bộ Giáo dục Đào tạo và theo đề
cương chương trình được Học viện Công nghệ BC-VT thông qua năm 2004.
Sách hướng dẫn học toán cao cấp A1 bám sát các giáo trình của các trường
đại học kỹ thuật, giáo trình dành cho hệ chính qui của Học viện Công nghệ BC-
VT biên soạn năm 2001 và kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm của tác giả.
Chính vì thế, tài liệu này có thể dùng để học tập và tham khảo cho sinh viên của
tất cả các trường, các ngành đại học và cao đẳng.
Cách trình bày trong sách thích hợp cho người tự học, đặc biệt phục vụ đắc
lực trong công tác đào tạo từ xa. Trước khi nghiên cứu các nội dung chi tiết,
người đọc nên xem phần hướng dẫn của mỗi chương để thấy được mục đích,
yêu cầu chính của chương đó. Trong mỗi chương, mỗi nội dung, người đọc có
thể tự đọc và hiểu được cặn kẽ thông qua cách diễn đạt và chứng minh rõ ràng.
Sau các chương, người đọc phải tự trả lời được các câu hỏi ôn tập. Nhờ các ví
dụ minh hoạ được đưa ra từ đơn giản đến phức tạp, người đọc có thể coi đó là
bài tập mẫu để tự giải các bài tập có trong tài liệu. Người đọc có thể tự kiểm tra,
đánh giá kiến thức, khả năng thu nhận dựa vào phần hướng dẫn và đáp số được
cung cấp ở những trang cuối sách.
Cũng cần nhấn mạnh rằng, nội dung chính của toán cao cấp là phép tính vi
phân và phép tính tích phân mà nền tảng của nó là phép tính giới hạn của hàm
số. Chính vì thế chúng tôi trình bày khá tỉ mỉ hai chương đầu của tài liệu để
người học tự đọc cũng có thể có được các kiến thức vững vàng để đọc tiếp các
chương sau. Trong quá trình tự đọc và học qua mạng, tuỳ theo khả năng tiếp
thu, học viên có thể chỉ cần nhớ các định lý và bỏ qua phần chứng minh của nó.
2
Giới thiệu môn học
Nhân đây tác giả cũng lưu ý rằng ở bậc trung học phổ thông của nước ta,
chương trình toán cũng đã bao hàm các kiến thức về vi, tích phân. Tuy nhiên
các nội dung đó chỉ mang tính chất giới thiệu do lượng thời gian hạn chế, do
cấu tạo chương trình. Vì thế nếu không tự đọc một cách nghiêm túc các định
nghĩa, định lý cũng sẽ vẫn chỉ nắm được một cách hời hợt và như vậy rất gặp
khó khăn trong việc giải các bài tập toán cao cấp.
Sách gồm 5 chương tương ứng với học phần gồm 60 đến 75 tiết:
Chương I: Giới hạn của dãy số.
Chương II: Hàm số một biến số.
Chương III: Phép tính vi phân hàm số một biến số.
Chương IV: Phép tính tích phân.
Chương V: Lý thuyết chuỗi
2. MỤC ĐÍCH MÔN HỌC
Học phần này sẽ cung cấp các kiến thức về phép tính vi, tích phân của hàm
số một biến, số thực và phép tính vi phân của hàm nhiều biến số. Nội dung của
học phần tuân thủ theo quy định về học phần Toán cao cấp A1 của Bộ GD-ĐT
dành cho các Trường thuộc khối ngành công nghệ.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU MÔN HỌC
Để học tốt môn học này, sinh viên cần lưu ý những vấn đề sau :
1- Thu thập đầy đủ các tài liệu :
◊ Bài giảng: Toán cao cấp A1.Vũ Gia Tê, Nguyễn Phi Nga, Học viện
Công nghệ BCVT, 2005.
◊ Sách hướng dẫn học tập và bài tập: Toán cao cấp A1. Vũ Gia Tê,
Nguyễn Phi Nga, Học viện Công nghệ BCVT, 2005.
◊ Bài giảng điện tử: Toán cao cấp A1. Học viện Công nghệ BCVT,
2005.
Nếu có điều kiện, sinh viên nên tham khảo thêm: Các tài liệu tham khảo
trong mục Tài liệu tham khảo ở cuối cuốn sách này.
3
Giới thiệu môn học
2- Đặt ra mục tiêu, thời hạn cho bản thân:
9 Đặt ra mục các mục tiêu tạm thời và thời hạn cho bản thân, và cố gắng
thực hiện chúng
Cùng với lịch học, lịch hướng dẫn của Học viện của môn học cũng như
các môn học khác, sinh viên nên tự đặt ra cho mình một kế hoạch học tập cho
riêng mình. Lịch học này mô tả về các tuần học (tự học) trong một kỳ học và
đánh dấu số lượng công việc cần làm. Đánh dấu các ngày khi sinh viên phải thi
sát hạch, nộp các bài luận, bài kiểm tra, liên hệ với giảng viên.
9 Xây dựng các mục tiêu trong chương trình nghiên cứu
Biết rõ thời gian nghiên cứu khi mới bắt đầu nghiên cứu và thử thực hiện,
cố định những thời gian đó hàng tuần. Suy nghĩ về thời lượng thời gian nghiên
cứu để “Tiết kiệm thời gian”. “Nếu bạn mất quá nhiều thì giờ nghiên cứu”, bạn
nên xem lại kế hoạch thời gian của mình.
3- Nghiên cứu và nắm những kiến thức đề cốt lõi:
Sinh viên nên đọc qua sách hướng dẫn học tập trước khi nghiên cứu bài
giảng môn học và các tài liệu tham khảo khác. Nên nhớ rằng việc học thông qua
đọc tài liệu là một việc đơn giản nhất so với việc truy cập mạng Internet hay sử
dụng các hình thức học tập khác.
Hãy sử dụng thói quen sử dụng bút đánh dấu dòng (highline maker) để
đánh dấu các đề mục và những nội dung, công thức quan trọng trong tài liệu.
4- Tham gia đầy đủ các buổi hướng dẫn học tập:
Thông qua các buổi hướng dẫn học tập này, giảng viên sẽ giúp sinh viên
nắm được những nội dung tổng thể của môn học và giải đáp thắc mắc; đồng
thời sinh viên cũng có thể trao đổi, thảo luận của những sinh viên khác cùng
lớp. Thời gian bố trí cho các buổi hướng dẫn không nhiều, do đó đừng bỏ qua
những buổi hướng dẫn đã được lên kế hoạch.
5- Chủ động liên hệ với bạn học và giảng viên:
Cách đơn giản nhất là tham dự các diễn đàn học tập trên mạng Internet.
Hệ thống quản lý học tập (LMS) cung cấp môi trường học tập trong suốt
24 giờ/ngày và 7 ngày/tuần. Nếu không có điều kiện truy nhập Internet, sinh
viên cần chủ động sử dụng hãy sử dụng dịch vụ bưu chính và các phương thức
truyền thông khác (điện thoại, fax,...) để trao đổi thông tin học tập.
4
Giới thiệu môn học
6- Tự ghi chép lại những ý chính:
Nếu chỉ đọc không thì rất khó cho việc ghi nhớ. Việc ghi chép lại chính là
một hoạt động tái hiện kiến thức, kinh nghiệm cho thấy nó giúp ích rất nhiều
cho việc hình thành thói quen tự học và tư duy nghiên cứu.
7- Trả lời các câu hỏi ôn tập sau mỗi chương, bài.
Cuối mỗi chương, sinh viên cần tự trả lời tất cả các câu hỏi. Hãy cố gắng
vạch ra những ý trả lời chính, từng bước phát triển thành câu trả lời hoàn thiện.
Đối với các bài tập, sinh viên nên tự giải trước khi tham khảo hướng dẫn,
đáp án. Đừng ngại ngần trong việc liên hệ với các bạn học và giảng viên để
nhận được sự trợ giúp.
Nên nhớ thói quen đọc và ghi chép là chìa khoá cho sự thành công của
việc tự học!
5
Chương 1: Giới hạn của dãy số
1.
2. CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1.1 MỤC ĐÍCH
Trong nhiều vấn đề lý thuyết cũng như thực tế, người ta phải xét những đại
lượng mà trong quá trình biến thiên đại lượng đó lấy những giá trị rất gần đến
một hằng số a nào đấy. Trong quá trình này, ta gọi đại lượng đang xét là dần
đến a hay có giới hạn là a. Như vậy đại lượng có giới hạn là a có thể đạt được
giá trị a và cũng có thể không bao giờ đạt được giá trị a, điều này trong quá
trình tìm giới hạn không cần quan tâm đến.
Ví dụ:
1. Gọi x là biên độ của một con lắc tắt dần. Rõ ràng trong quá trình dao
động, biên độ của nó giảm dần tới 0 và thực tế sau khoảng thời gian xác định
con lắc dừng lại, ta nói rằng x có giới hạn là 0 trong quá trình thời gian trôi đi.
n
2. Xét dãy số (un) có dạng un = . Quá trình n tăng lên mãi thì un tăng
n +1
dần về số rất gần 1. Nói rằng dãy số có giới hạn là 1 khi n tăng lên vô cùng.
Giới hạn là một khái niệm khó của toán học. Khái niệm giới hạn được cho
bởi từ “gần”, để mô tả định tính. Còn định nghĩa chính xác của nó cho bởi cụm
từ “ bé hơn ε ” hoặc “lớn hơn M” để mô tả định lượng sẽ được giới thiệu trong
chương này. Khi đã hiểu được khái niệm giới hạn thì sẽ dễ dàng hiểu được các
khái niệm đạo hàm, tích phân. Bởi vì các phép toán đó đều xuất phát từ phép
tính giới hạn.
Trong mục thứ nhất cần hiểu được vai trò thực sự của số vô tỉ. Nhờ tính
chất đầy của tập số thực mà người ta có thể biểu diễn tập số thực trên trục số -
gọi là trục thực và nói rằng tất cả các số thực lấp đầy trục số. Nói khác đi có sự
tương ứng 1-1 giữa các số thực và các điểm trên trục số. Cũng nên nhận xét
được tập Q không có tính đầy. Học viên cần nắm chắc khái niệm trị tuyệt đối
của một số thực và các phép tính về nó.
Trong mục thứ hai cần hiểu được vai trò của số phức về mặt lý thuyết cũng
như ứng dụng sau này trong kỹ thuật. Thực chất một số phức z là một tương
ứng 1-1 với cặp có thứ tự các số thực (x,y). Cần phải nắm vững khái niệm
7
Chương 1: Giới hạn của dãy số
modul và acgumen của số phức và các dạng biểu diễn số phức: dạng đại số,
dạng lượng giác, dạng hàm mũ. Từ đó có thể làm thông thạo các phép tính trên
tập C, đặc biệt dùng công thức Moivre trong các ứng dụng vào lượng giác.
Trong mục thứ ba cần nắm vững khái niệm hội tụ, có giới hạn và phân kỳ
của dãy số. Nắm vững các tính chất: bị chặn, không bị chặn, đơn điệu của dãy
số. Nhờ vào các tính chất này mà thiết lập được các điều kiện cần, điều kiện đủ
để dãy số có giới hạn. Khái niệm dãy con của một dãy số cũng là một khái niệm
khó. Người học phải đọc kỹ định nghĩa và cố gắng hình dung để hiểu rõ khái
niệm này. Đôi khi sự hội tụ hay phân kỳ của một dãy số có thể nhận biết nhờ
vào tính chất của vài dãy con. Đặc biệt phải nắm được khái niệm hai dãy kề
nhau để từ đó có khái niệm về các đoạn lồng nhau được dùng trong chứng minh
định lý Bolzano-Weierstrass.
1.2 TÓM TẮT NỘI DUNG
1.2.1 Số thực
a. Các tính chất cơ bản của tập số thực.
Tất cả các số hữu tỉ và số vô tỉ tạo thành tập hợp số thực.
Kí hiệu tập số thực là R. Tập số vô tỉ là R\Q.
9 Tính chất 1: Tập R là một truờng giao hoán với hai phép cộng và nhân: (R,
+ , .).
1. ∀a, b ∈ R, a + b ∈ R, a.b ∈ R
2. ∀a, b, c ∈ R, (a + b) + c = a + (b + c), (a.b)c = a (bc)
3. ∀a, b ∈ R, a + b = b + a, ab = ba
4. R có phần tử trung hoà đối với phép cộng là 0 và đối với phép nhân là 1
∀a ∈ R , a + 0 = 0 + a = a
a.1 = 1.a = a
5. Phân phối đối với phép cộng
∀a, b, c ∈ R, a (b + c) = ab + ac
(b + c ) a = ba + ca
6. Tồn tại phần tử đối của phép cộng
∀a ∈ R, ∃( − a ), a + ( − a ) = 0
Tồn tại phần tử nghịch đảo của phép nhân
8
Chương 1: Giới hạn của dãy số
∀a ∈ R * , R * = R \ {0}, ∃a −1 , a.a −1 = 1
9 Tính chất 2: Tập R được xếp thứ tự toàn phần và đóng kín đối với các
số thực dương.
1. ∀a, b ∈ R, a < b hoặc a = b hoặc a > b
∀a, b, c ∈ R, a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c
2.
∀a, b ∈ R, c ∈ R+ , a ≤ b ⇒ ac ≤ bc
3. ∀a, b ∈ R+ , a + b ∈ R+ , ab ∈ R+
9 Tính chất 3: Tập R là đầy theo nghĩa sau đây: Mọi tập con X không
rỗng của R bị chặn trên trong R đều có một cận trên đúng thuộc R và
mọi tập con không rỗng X của R bị chặn dưới trong R đều có một cận
dưới đúng thuộc R.
b. Tập số thực mở rộng
Người ta thêm vào tập số thực R hai phần tử kí hiệu là − ∞ và + ∞ . Tập số
thực mở rộng kí hiệu là R và R = R ∪ {− ∞,+∞}, các phép toán + và ., quan hệ thứ tự
được định nghĩa như sau:
x + ( +∞ ) = ( +∞) + x = +∞
1. ∀x ∈ R
x + (−∞ ) = (−∞) + x = −∞
( +∞) + (+∞ ) = +∞
2.
( −∞) + (−∞ ) = −∞
3. ∀x ∈ R+* , R+* = {x ∈ R, x > 0}
x(+∞ ) = (+∞ ) x = +∞
x(−∞ ) = (−∞ ) x = −∞
∀x ∈ R−* , R−* = {x ∈ R, x < 0}
x( +∞ ) = (+∞ ) x = −∞
x(−∞ ) = (−∞ ) x = +∞
( +∞ )(+∞) = (−∞ )(−∞) = +∞
4.
(+∞ )(−∞) = (−∞ )(+∞) = −∞
− ∞ < x < +∞
5. ∀x ∈ R − ∞ ≤ −∞
+ ∞ ≤ +∞
c. Các khoảng số thực
Cho a, b ∈ R và a ≤ b .Trong R có chín loại khoảng sau đây:
9
Chương 1: Giới hạn của dãy số
[a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} được gọi là đoạn hay khoảng đóng bị chặn
[a, b ) = {x ∈ R; a ≤ x < b}
được gọi là khoảng nửa đóng hoặc nửa mở
(a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b}
[a,+∞ ) = {x ∈ R; a ≤ x}
(− ∞, a] = {x ∈ R; x ≤ a}
(a, b ) = {x ∈ R; a < x < b} được gọi là các khoảng mở
(a,+∞ ) = {x ∈ R; a < x}
(− ∞, a ) = {x ∈ R; x < a}
Các số thực a,b gọi là các mút của khoảng.
d. Giá trị tuyệt đối của số thực
9 Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số thực x, kí hiệu x là một số thực
không âm xác định như sau
⎧
⎪x khi x ≥ 0
⎪
x =⎨
⎪− x khi x ≤ 0
⎪⎩
9 Tính chất
1. ∀x ∈ R, x = Max( x,− x)
2. x = 0 ⇔ x = 0
3.
∀x, y ∈ R, xy = x y
n n
∀n ∈ N ,*
∀x1 , x 2 , x3 , K , x n ∈ R, ∏ xi = ∏ xi
i =1 i =1
n
∀x ∈ R, x n = x
1 1
4. ∀x ∈ R * , =
x x
5.
10
Chương 1: Giới hạn của dãy số
∀x, y ∈ R, x + y ≤ x + y
n n
∀n ∈ N * , ∀x1 , x 2 ,K , x n ∈ R, ∑ xi ≤ ∑ xi
i =1 i =1
6.
1
∀x, y ∈ R, Max( x, y ) = (x + y + x − y )
2
1
Min( x, y ) = (x + y − x − y )
2
7. ∀x, y ∈ R, x − y ≤ x− y
e. Khoảng cách thông thường trong R
9 Định nghĩa: Khoảng cách trong R là ánh xạ
d : R× R → R
( x, y ) a x− y
Đó là hình ảnh trực quan về khoảng cách giữa 2 điểm x và y trên đường
thẳng trục số thực R.
9 Tính chất
1. d (x, y ) = 0 ⇔ x = y
2. ∀x, y ∈ R, d ( x, y ) = d ( y , x )
3. ∀x, y, z ∈ R, d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z )
4. ∀x, y, z ∈ R, d (x, y ) − d (x, z ) ≤ d ( y, z )
1.2.2 Số phức
a. Định nghĩa:
Cho (x, y ) ∈ R 2 ,một số biểu diễn dưới dạng z=x+iy,trong đó i 2 = −1 gọi là
một số phức.Tập các số phức kí hiệu là C.
Gọi x là phần thực của z, kí hiệu Rez =x
y là phần ảo của z,kí hiệu là Imz =y
Gọi môđun của z,kí hiệu z xác định bởi số thực không âm
z = x2 + y2 = r ≥ 0
11
Chương 1: Giới hạn của dãy số
Gọi Acgumen của z ,kí hiệu Argz xác định bởi số thực
⎧ x y⎫
Argz= θ ∈ R; ⎨θ ∈ R; cos θ = và sin θ = ⎪⎬ , với z ≠ 0
z z ⎪⎭
⎩
Như vậy Acgumen của z sai khác nhau k 2π , k ∈ Z và Arg0 không xác định.
Vậy số phức z có các dạng viết:
1. z =x+iy gọi là dạng chính tắc hay dạng đại số của số phức z .
2. z = r (cosθ + i sin θ ) gọi là dạng lượng giác của số phức z.
b. Các phép toán trên tập C
9 Phép so sánh bằng nhau
⎧⎪ x = x '
( ' '
)
∀ x, y , x , y ∈ R , 4
x + iy = x + iy ⇔ ⎨
' '
⎪⎩ y = y '
9 Phép lấy liên hợp
Cho z = x + iy ∈ C ,liên hợp của z,kí hiệu z cho bởi z = x − iy
9 Phép lấy số phức đối
Cho z=x+iy∈ C,số phức đối của z, kí hiệu –z (đọc là trừ z ) được xác định:
-z = -x-iy
9 Phép cộng
Cho z = x+iy,z’= x’+iy’,tổng của z và z’,kí hiệu z+z’ xác định như sau:
z+z’=(x+x’)+i(y+y’)
9 Phép nhân
Cho z=x+iy và z’=x’+iy’,tích của z và z’,kí hiệu z.z’ xác định như sau:
z.z’=(xx’-yy’) + i(xy’+x’y)
9 Phép trừ và phép chia
Là các phép tính ngược của phép cộng và phép nhân
z − z ' = z + (− z ' )
z
= z" ⇔ z = z '.z"
z'
9 Phép luỹ thừa,công thức Moavrờ ( Moivre)
Cho z = r (cosθ + i sin θ ), ∀k ∈ Z
Gọi z k là luỹ thừa bậc k của z. Bằng qui nạp ,dễ chứng minh được
z k = r k (cos kθ + i sin kθ )
12
Chương 1: Giới hạn của dãy số
9 Phép khai căn bậc n của z ∈C* .
Cho n ∈ N * , z = r (cosθ + i sin θ ) . Gọi ς ∈ C * là căn bậc n của z, kí hiệu n z ,xác
định như sau: ςn = z
1
⎧ρ n = r
Nếu gọi ρ = ς và Φ = Arg ς thì ⎨ hay là ρ = r n và
⎩nΦ = θ + 2kπ
Φ= θ + 2kπ với k = 0,1,2,..., n − 1 .
n
Vậy số z có đúng n căn bậc n, đó là các số phức có dạng:
θ + 2kπ θ + 2kπ ⎞
1
⎛
ς = r ⎜ cos
n
+ i sin ⎟ k = 0,1,2,..., n − 1
⎝ n n ⎠
c. Áp dụng số phức vào lượng giác
9 Khai triển cos nθ , sin nθ , tgnθ
Cho θ ∈ R, n ∈ N * .Áp dụng công thức Moivre và công thức nhị thức Newton
n
cos nθ + i sin nθ = (cosθ + i sin θ ) = ∑ Cnk cos n − k θ .i k sin k θ
n
k =0
1. cos nθ biểu diễn dưới dạng một đa thức của cosθ ,gọi đó là công
thức Chebyshev loại 1.
2. sin nθ bằng tích của sin θ với một đa thức của cosθ ,gọi là đa thức
Chebyshev loại 2.
sin nθ
sin nθ Cn1tgθ − Cn3tg 3θ + L
= cos θ =
n
3. tgnθ =
cos nθ cos nθ 1 − Cn2tg 2θ + Cn4tg 4θ − L
cos n θ
9 Tuyến tính hoá cos p θ , sin p θ , cos p θ .sin q θ
⎧ 1
⎪ 2 cosθ = ω + ω = ω +
⎪ ω
Cho θ ∈ R , p ∈ N * , ω = e iθ ⇒ ⎨
⎪2i sin θ = ω − ω = ω − 1
⎪⎩ ω
p p
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
Vậy 2 p cos p θ = ⎜ ω + ⎟ và (2i )p sin p θ = ⎜ω − ⎟
⎝ ω⎠ ⎝ ω⎠
Sử dụng công thức nhị thức Newton và xét các trường hợp sau đây:
13
Chương 1: Giới hạn của dãy số
a. Trường hợp p = 2m, m ∈ N *
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
2 2 m cos 2 m θ = ⎜ ω 2 m + 2 m ⎟ + C 21m ⎜ ω 2 m − 2 + 2 m − 2 ⎟ + L + C 2mm
⎝ ω ⎠ ⎝ ω ⎠
= 2 cos 2mθ + 2C 2 m cos 2(m − 1)θ `+ L + 2C 2mm−1 cos 2θ + C 2mm
1
⎛1 m −1
⎞
cos 2 m θ = 2 −( 2 m −1) ⎜ C 2mm + ∑ C 2km cos 2(m − k )θ ⎟
⎝2 k =0 ⎠
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
22 m (−1) m sin 2 m θ = ⎜ ω 2 m + 2 m ⎟ − C21m ⎜ ω 2 m − 2 + 2 m − 2 ⎟ + L + (−1) m C2mm
⎝ ω ⎠ ⎝ ω ⎠
= 2 cos 2mθ − 2C2 m cos 2(m − 1)θ + L + (−1) m C2mm
1
m ⎛ ( −1) ⎞
m m −1
sin 2 m θ = 2− ( 2 m −1) (− 1) ⎜⎜ C2mm + ∑ (−1) k C2km cos 2(m − k )θ ⎟⎟
⎝ 2 k =0 ⎠
b.Trường hợp p = 2m + 1, m ∈ N
⎛ 1 ⎞ ⎛⎛ 1 ⎞⎞ ⎛ 1⎞
2 2 m+1 cos 2 m+1 θ = ⎜ ω 2 m+1 + 2 m+1 ⎟ + C 21m+1 ⎜⎜ ⎜ ω 2 m−1 + 2 m−1 ⎟ ⎟⎟ + L + C 2mm+1 ⎜ ω + ⎟
⎝ ω ⎠ ⎝⎝ ω ⎠⎠ ⎝ ω⎠
= 2 cos(2m + 1)θ + 2C 21m+1 cos(2m − 1)θ + L + 2C 2mm+1 cosθ
m
cos 2 m+1 θ = 2 −2 m ∑ C 2km+1 cos(2m + 1 − 2k )θ
k =0
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
22 m +1 i (−1) m sin 2 m +1 θ = ⎜ ω 2 m +1 + 2 m +1 ⎟ − C21m +1 ⎜ ω 2 m + − − 2 m −1 ⎟ + L
⎝ ω ⎠ ⎝ ω ⎠
= 2i sin(2m + 1)θ − 2i.C2 m +1 sin(2m − 1)θ + L + 2i (−1) m C2mm +1 sin θ
1
m
sin 2 m +1 θ = 2− 2 m (− 1) ∑ (−1) C2km +1 sin(2m + 1 − 2k )θ
m k
k =0
Để tuyến tính hoá cos θ. sin q θ trước hết tuyến tính hoá từng thừa số
p
cos p θ , sin q θ , sau đó thực hiện phép nhân rồi cùng tuyến tính hoá các số hạng
thu được.
1.2.3 Dãy số thực
a. Các khái niệm cơ bản của dãy số thực
9 Định nghĩa
Một dãy số thực là một ánh xạ từ N vào R,kí hiệu:
u:N →R
hay đơn giản nhất,kí hiệu (un)
14
Chương 1: Giới hạn của dãy số
Với n = n0 ∈ N xác định, un gọi là số phần tử thứ n0 của dãy,un thường là một
0
biểu thức phụ thuộc vào n gọi là phần tử tổng quát của dãy,chẳng hạn cho các
⎛ ⎛ 1 ⎞n ⎞
dãy sau đây: (1), ((−1) ),
n +1 ⎛1⎞
⎜ ⎟, ⎜ ⎜1 + ⎟ ⎟
⎜⎝ n ⎠ ⎟
⎝n⎠ ⎝ ⎠
9 Sự hội tụ, sự phân kì của dãy số
1. Dãy (un) hội tụ về a ∈ R nếu
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n ∈ N , n > n0 ⇒ un − a < ε
Kí hiệu lim un = a ,
n→∞
rõ ràng (un-a) hội tụ về 0.
2. Dãy (un) hội tụ nếu có số a ∈ R để lim un = a
n→∞
3. Dãy (un) phân kì nếu nó không hội tụ,nghĩa là:
∀a ∈ R, ∃ε > 0, ∀n ∈ N , ∃n0 ∈ N , n0 > n, un − a ≥ ε
4. Dãy (un) nhận +∞ làm giới hạn nếu
∀A > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n > n0 ⇒ un > A
Kí hiệu lim un = +∞ ,
n→∞
đôi khi nói rằng (un) tiến tới + ∞
5. Dãy (un) nhận -∞ làm giới hạn nếu
∀B < 0 ∃n0 ∈ N , ∀n > n0 ⇒ un < B .
Kí hiệu lim un = −∞
n→∞
Dãy có giới hạn là +∞ hoặc -∞ cũng gọi là phân kỳ.
9 Dãy số bị chặn
1. Nói rằng (un) bị chặn trên bởi số A∈ R nếu ∀n ∈ N , un ≤ A .
2. Nói rằng (un) bị chặn dưới bởi số B∈R nếu ∀n ∈ N , un ≥ B .
3. Nói rằng (un) là dãy bị chặn nếu tồn tại M ∈ R+ sao cho ∀n ∈ N , un ≤ M .
b. Tính chất của dãy hội tụ
9 Tính duy nhất của giới hạn
Định lí: Dãy (un) hội tụ về a thì a là duy nhất
9 Tính bị chặn
1. Dãy (un) hội tụ thì bị chặn trong R.
2. Dãy (un) tiến đến +∞ thì bị chặn dưới.
15
Chương 1: Giới hạn của dãy số
3. Dãy (un) tiến đến -∞ thì bị chặn trên.
9 Tính chất đại số của dãy hội tụ
1. nlim
→∞
un = a ⇒ lim un = a .
n →∞
2. nlim
→∞
un = 0 ⇔ lim un = 0 .
n →∞
3. lim un = a, lim vn = b ⇒ lim (un + vn ) = a + b
n→∞ n→∞ n→∞
.
4. lim un = a ⇒ lim λun = λa
n →∞ n→∞
.
5. lim un = 0,
n→∞
(vn) bị chặn ⇒ lim (un vn ) = 0 .
n→∞
6. lim un = a, lim vn = b ⇒ lim (un vn ) = ab .
n→∞ n→∞ n→∞
un a
7. lim un = a, lim vn = b ≠ 0 ⇒ lim = .
n→∞ n→∞ n →∞ vn b
9 Tính chất về thứ tự và nguyên lý kẹp
1. Giả sử lim un = l ∈ ( a, b) .Khi
n→∞
đó ∃n0 , ∀n > n0 ⇒ a < un < b
2. Giả sử lim un = l
n→∞
và ∃ n0, , ∀n > n0 có a ≤ un ≤ b khi đó a ≤ l ≤ b
3. Giả sử 3 dãy (un),(vn),(wn) thoả mãn:
∃n0 , ∀n > n0 ⇒ un ≤ vn ≤ wn và lim un = lim wn = a
n→∞ n→∞
Khi đó lim vn = a
n →∞
4. Giả sử ∀n > n0 mà un ≤ vn và lim un = +∞ .Khi
n→∞
đó lim vn = +∞
n →∞
c. Tính đơn điệu của dãy số
9 Dãy đơn điệu
1. Dãy (un) tăng nếu ∀n ∈ N , un ≤ un +1 ,
Dãy (un) tăng ngặt nếu ∀n ∈ N , un < un +1 .
2. Dãy (un) giảm nếu ∀n ∈ N , un ≥ un +1 ,
Dãy (un) giảm ngặt nếu ∀n ∈ N , un > un +1 .
3. Dãy (un ) đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm.
Dãy (un ) đơn điệu ngặt nếu nó tăng ngặt hoặc giảm ngặt
Định lí 1:
16
Chương 1: Giới hạn của dãy số
1. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
2. Mọi dãy giảm và chặn dưới thì hội tụ.
Định lí 2:
1. Dãy (un) tăng và không bị chặn trên thì dần đến + ∞ .
2. Dãy (un) giảm và không bị chặn dưới thì dần đến −∞.
9 Dãy kề nhau
Hai dãy (un),(vn) gọi là kề nhau khi và chỉ khi (un) tăng (vn) giảm và
lim (vn − un ) = 0
n→∞
Định lí: Hai dãy kề nhau thì hội tụ và có chung một giới hạn l, ngoài ra
∀n ∈ N , un ≤ un +1 ≤ l ≤ vn +1 < vn
Hệ quả: (Định lí về các đoạn lồng nhau)
Cho hai dãy (an),(bn) thoả mãn : ∀n ∈ N , an ≤ bn , [an +1 , bn +1 ] ⊂ [an , bn ] và
lim (bn − an ) = 0
n→∞
Khi đó tồn tại duy nhất số l sao cho I [a , b ] = {l}
n n
n∈ N
d. Dãy con
Cho (un),từ các số hạng của nó lập một dãy mới (un k ) với n1 < n2 < ...<
nk < ....
Gọi (u n k ) là một dãy con của (un).Chẳng hạn:
(u2n) và (u2n+1) là các dãy con của (un)
(u ) là các dãy con của (un)
n2
(u n 2 − n ) không phải là dãy con của (un) vì số hạng u0 xuất hiện 2 lần
ứng với n=0,n=1
Định lí : Nếu (un) hội tụ về a ∈ R thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ
về a
Hệ quả: Để (un) hội tụ đến l điều kiện cần và đủ là hai dãy con (u2n)
và (u2n+1) đều hội đến l .
Định lí : (Định lí Bônzanô – Vâyơxtrase),(Bolzano -Weierstrass): Từ
mọi dãy (un) bị chặn đều có thể lấy ra một dãy con hội tụ
17
Chương 1: Giới hạn của dãy số
1.3 CÂU HỎI ÔN TẬP
Câu 1. Số thực là gì? Nêu các tính chất của số thực.
Câu 2. Số hữu tỉ có tính đầy không? Cho ví dụ minh hoạ.
Câu 3. Trục số là gì? Định nghĩa các loại khoảng số thực.
Câu 4. Trị tuyệt đối của số thực là gì? Nêu các tính chất của nó.
Câu 5. Số phức là gì? Tại sao trục hoành và trục tung có tên gọi là trục
thực và trục ảo.
Câu 6. Nêu các dạng số phức.
Câu 7. Nêu các phép tính số phức.
Câu 8. Phép khai căn số phức khác với phép khai căn số thực ở chỗ nào?
Câu 9. Dãy số thực là gì?
Câu 10. Định nghĩa sự hội tụ của dãy số thực. Từ đó có thể định nghĩa về sự
hội tụ của dãy số phức?
Câu 11. Thế nào là dãy số bị chặn?
Câu 12. Thế nào là dãy số đơn điệu?
Câu 13. Dãy số hội tụ thì bị chặn có đúng không? Ngược lại dãy bị chặn có
hội tụ không? Tại sao?
Câu 14. Các dãy không hội tụ có tính chất đại số giống như các dãy hội tụ
không?
Câu 15. Nêu điều kiện để một dãy đơn điệu hội tụ.
Câu 16. Thế nào là hai dãy kề nhau? Thế nào là các đoạn lồng nhau? Nêu
các tính chất của chúng.
Câu 17. Thế nào là một dãy con? Nếu dãy phân kỳ thì các dãy con của nó có
phân kỳ không?
Câu 18. Phát biểu định lý Bolzano-Weierstrass. Nếu dãy không bị chặn thì
có thể lấy ra một dãy con của nó hội tụ được không?
1.4 BÀI TẬP CHƯƠNG I
SỐ THỰC:
Câu 1. Chứng minh rằng 3 là số vô tỉ.
Câu 2. Giải các phương trình sau với ( x, y, z) ∈ R 3 .
18
Chương 1: Giới hạn của dãy số
a) 3x2 + y2 +z2 =2x(y + z). b) 3x2 + 4y2 +18z2 - 4xy - 12xz = 0 .
Câu 3. Tìm cận trên đúng,cận dưới đúng (nếu tồn tại) của tập E sau đây
1 + (−1) n
trên R E ={ − n 2 , n ∈ N *} .
n
Câu 4. Bằng định nghĩa hãy chứng minh sự hội tụ của các dãy cho bởi số
hạng tổng quát tương ứng và tìm giới hạn của chúng
n n +1
a) u n = . b) u n = .
n +1 4n + 1
n2 3 + ( −3) n
c) u n = . d) u n = .
n3 + 1 4n
Câu 5. Tìm giới hạn của các dãy cho bởi số hạng tổng quát dưới đây
a) x n = n − n 2 − 1 . b) x n = n (n + a ) − n .
c) x n = n + 3 1 − n 3 . d) 3
n +1 − 3 n .
Câu 6. Chứng minh sự hội tụ và xác định giới hạn của các dãy sau cho bởi
số hạng tổng quát tương ứng
n
n
1 ∑ (3k + 1)
a) ∑ . b) k =0
. c) n
3 + sin n .
k =1 k ( k + 1)
n
∑ (2k + 3)
k =0
Câu 7. Cho (a , b, c) ∈ R 3 và b2 - 4ac < 0 , (un), (vn) là hai dãy số thực thoả
mãn điều kiện:
lim
n →∞
(aun2 + bunvn + cvn2 ) = 0
Chứng minh lim
n →∞
u n = lim v n = 0 ..
n →∞
1
Câu 8. Cho dãy (xn) với xn = xn-1 + , x0 = 1
x n −1
a) Chứng minh (xn) không có giới hạn hữu hạn.
b) Chứng minh lim
n →∞
x n = +∞ .
an
Câu 9. Cho dãy (xn) với x n = trong đó an = 2an-1 + 3bn-1, bn = an-1 +
bn
2bn-1 , a0 > 0, b0 > 0
19
Chương 1: Giới hạn của dãy số
a) Chứng tỏ rằng an >0, bn >0 ∀n ∈ N .
b) Biểu diễn xn+1 qua xn.
c) Tính xn+1 - xn và chứng tỏ rằng (xn) đơn điệu. Hãy tìm lim
n →∞
xn
Câu 10. Chứng tỏ rằng các dãy sau có giới hạn hữu hạn
1 1 1 1
a) x n = 1 + 2
+L+ 2 . b) x n = +L+ .
2 n 2! n!
Câu 11. Chứng tỏ các dãy sau có giới hạn là + ∞
1 1
a) x n = 1 + +L+ .
2 n
2 3 n +1
b) x n = log a + log a + L + log a , a>1.
1 2 n
Câu 12. Tìm giới hạn của dãy sau:
2
a) x n = + 1 , x0 = 1 .
x n −1
b) x n = 1 + x n −1 , x0 = 3 .
c) xn(3 + xn-1) + 1 = 0, x0 = 1.
d) x n = a + x n −1 (n > 1), x1 = a , a >0.
x n + x n −1
e) x n +1 = , x1 = 0, x2 = 1.
2
1 x 2n −1 1
f) x n = + , x1 = .
2 2 2
5 + x 2n −1
g) x n = , x1 > 5.
2x n −1
Câu 13. Chứng minh rằng một dãy đơn điệu có giới hạn nếu nó có một dãy
con có giới hạn.
Câu 14. Chứng minh rằng nếu ba dãy con (x2n), (x2n+1) và (x3n) hội tụ thì dãy
(xn) hội tụ.
Có thể thay số 2 bởi số tự nhiên k >2 được không?.
x n +1
Câu 15. Nếu x n → a (hữu hạn hay vô hạn).Có thể nói gì về lim .
n →∞
xn
20
Chương 1: Giới hạn của dãy số
SỐ PHỨC
Câu 1. Cho E,F,G,H ⊂ R 2 , xác định bởi các hệ thức sau:
x y
E: x 2 − y2 = . F: 2xy + = 3.
x + y2 2
x + y2
2
G: x3 - 3xy2 +3y = 1. H: 3x2y - 3x -y3 =0.
Chứng minh E ∩ F = G ∩H.
Câu 2. Có tồn tại ( z 1 , z 2 ) ∈ C 2 để thoả mãn các điều kiện dưới đây không?
z1 + z2 =1 , z12 + z22 = 2 , z13 + z23 = 3.
Câu 3. Tìm tất cả các ( x, y, z ) ∈ C 3 sao cho
⎧ x, y, z Khác nhau từng đôi một
⎨
⎩ x( x − 1) + 2 yz = y ( y − 1) + 2 xz = z ( z − 1) + 2 x
Câu 4. Giải hệ phương trình với ẩn ( x, y, z) ∈ C 3
xy = z , yz = x , zx = y.
Câu 5. Cho ánh xạ f: C → C thoả mãn
⎧∀x ∈ R, f ( x) = x
⎪
⎨ ⎧f(z + z' ) = f(z) + f(z' )
⎪∀( z , z ' ) ∈ C , ⎨ f ( zz ' ) = f ( z ). f ( z ' )
2
⎩ ⎩
f ( z ) = z ∀z ∈ C
Chứng minh [
f ( z ) = z ∀z ∈ C
Câu 6. Giải phương trình với ẩn số z∈ C
2z + 6 z = 3 + 2i
Câu 7. Xác định tập các số phức z ∈ C sao cho z = r0 z , r0∈ R
Câu 8. Với (a,b,c)∈ C 3 thoả mãn a a = b b = cc = 1 và a+b+c = 0. Chứng
minh a3 = b3 =c3
Câu 9. Chứng minh ∀(z, z' ) ∈ C 2
2 2 2 2
a. z + z' + z − z' = 2( z + z' ) (Hằng đẳng thức hình bình hành).
2 2 2 2
b. zz' + 1 + z − z' = (1 + z )(1 + z' ) .
2 2 2 2
c. zz' − 1 − z − z' = (1 − z )(1 − z' ) .
1 2 2 2 2
d. zz' = ( z + z' − z − z' + i z + i z' − i z − i z' ) .
4
21
