Robot c«ng nghiÖp 92
Ch−¬ng VIII
ThiÕt kÕ quÜ ®¹o robot.
(Trajectory Planing)
Trong c¸c øng dông c«ng nghiÖp cña robot, ta th−êng gÆp hai tr−êng
hîp sau :
Tr−êng hîp 1 : Kh©u chÊp hµnh cuèi cña robot chØ cÇn ®¹t ®−îc vÞ trÝ vµ
h−íng t¹i c¸c ®iÓm nót (®iÓm tùa : Knot point). §©y chÝnh lµ ph−¬ng ph¸p
®iÒu khiÓn ®iÓm (PTP). T¹i ®ã, bµn tay robot thùc hiÖn c¸c thao t¸c cÇm n¾m
®èi t−îng hoÆc bu«ng nh¶ ®èi t−îng. §©y lµ tr−êng hîp cña c¸c robot thùc
hiÖn c«ng viÖc vËn chuyÓn vµ trao ®æi ph«i liÖu trong mét hÖ thèng tù ®éng
linh ho¹t robot ho¸. Bµn tay robot kh«ng trùc tiÕp tham gia vµo c¸c nguyªn
c«ng c«ng nghÖ nh− hµn, c¾t kim lo¹i ... C¸c ®iÓm nót lµ môc tiªu quan träng
nhÊt, cßn d¹ng ®−êng ®i tíi c¸c ®iÓm nót lµ vÊn ®Ò thø yÕu. Trong tr−êng hîp
nÇy Robot th−êng ®−îc lËp tr×nh b»ng ph−¬ng ph¸p d¹y häc (Teach and
playback mode). Trong tr−êng hîp nÇy kh«ng cÇn tÝnh to¸n ph−¬ng tr×nh ®éng
häc hoÆc ®éng häc ng−îc robot, chuyÓn ®éng mong muèn ®−îc ghi l¹i nh−
mét tËp hîp c¸c gãc khíp (thùc tÕ lµ tËp hîp c¸c gi¸ trÞ m· ho¸ cña biÕn khíp)
®Ó robot thùc hiÖn l¹i (Playback) khi lµm viÖc.
Tr−êng hîp 2 : Kh©u chÊp hµnh cuèi cña robot ph¶i x¸c ®Þnh ®−êng ®i
qua c¸c ®iÓm nót theo thêi gian thùc. §ã lµ tr−êng hîp c¸c tay m¸y trùc tiÕp
thùc hiÖn c¸c nguyªn c«ng c«ng nghÖ nh− s¬n, hµn, c¾t kim lo¹i ... VÊn ®Ò
thiÕt kÕ quü ®¹o cho c¸c robot trong tr−êng hîp nÇy lµ rÊt quan träng. Nã
quyÕt ®Þnh trùc tiÕp chÊt l−îng thùc hiÖn c¸c nguyªn c«ng c«ng nghÖ mµ robot
®¶m nhËn. Trong ch−¬ng nÇy, chóng ta ®Ò cËp ®Õn bµi to¸n thiÕt kÕ quü ®¹o
víi mét sè quü ®¹o ®iÓn h×nh. C¸c quü ®¹o nÇy kh«ng chØ cã ý nghÜa trong
tr−êng hîp øng dông thø hai mµ nã bao hµm mét ý nghÜa chung cho mäi
robot, v× ngay c¶ tr−êng hîp ®¬n gi¶n nh− c¸c robot thuéc øng dông thø nhÊt
còng thùc hiÖn nh÷ng chuyÓn ®éng quü ®¹o c¬ b¶n mµ chóng ta sÏ nghiªn cøu
d−íi ®©y.
8.1. C¸c kh¸i niÖm vÒ quü ®¹o robot :
§Ó x¸c ®Þnh ®−îc ®−êng ®i mong muèn cña robot theo thêi gian, quü
®¹o cã thÓ ®−îc tÝnh to¸n thiÕt kÕ trong mét hÖ to¹ ®é truyÒn thèng Oxyz
(Cartesian Space) hoÆc thiÕt kÕ trong kh«ng gian biÕn khíp (kh«ng gian
tr−êng vect¬ c¸c to¹ ®é suy réng cña robot), ch¼ng h¹n víi robot 6 bËc tù do
th× X = [θ1 , θ 2 , θ 3 , θ 4 .θ 5 , θ 6 ] T . ThiÕt kÕ quü ®¹o ë ®©y ®−îc hiÓu lµ x¸c ®Þnh qui
luËt chuyÓn ®éng cña c¸c biÕn khíp ®Ó ®iÒu khiÓn chuyÓn ®éng cña tõng khíp
vµ tæng hîp thµnh chuyÓn ®éng chung cña robot theo mét quü ®¹o ®· ®−îc
x¸c ®Þnh.
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 93
Quü ®¹o cÇn thiÕt kÕ nhÊt thiÕt ph¶i ®i qua mét sè ®iÓm nót cho tr−íc (Ýt
nhÊt lµ ®iÓm ®Çu vµ ®iÓm cuèi). Ngoµi c¸c ®iÓm nót chÝnh, ta cßn cã thÓ chän
thªm c¸c ®iÓm nót phô gäi lµ ®iÓm dÉn h−íng (via point) ®Ó tr¸nh c¸c ch−íng
ng¹i vËt.
Khi thiÕt kÕ quü ®¹o trong kh«ng gian biÕn khíp, t¹i mçi ®iÓm nót ph¶i
x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña c¸c biÕn khíp b»ng ph−¬ng ph¸p tÝnh to¸n ®éng häc
ng−îc. Thêi gian yªu cÇu cña mçi ®o¹n quü ®¹o (gi÷a 2 ®iÓm nót) lµ gièng
nhau cho tÊt c¶ c¸c khíp v× vËy yªu cÇu tÊt c¶ c¸c khíp ph¶i ®¹t ®Õn ®iÓm nót
®ång thêi. Ngoµi viÖc yªu cÇu thêi gian ph¶i gièng nhau cho c¸c khíp, viÖc
x¸c ®Þnh c¸c hµm quü ®¹o cña mçi biÕn khíp kh«ng phô thuéc vµo c¸c hµm
cña c¸c khíp kh¸c. V× vËy viÖc thiÕt kÕ quü ®¹o trong kh«ng gian biÕn khíp
®¬n gi¶n vµ dÔ tÝnh to¸n h¬n khi m« t¶ trong hÖ to¹ ®é §Òc¸c.
Quü ®¹o thiÕt kÕ ph¶i ®¶m b¶o c¸c ®iÒu kiÖn liªn tôc (continous
conditions) bao gåm :
+ Liªn tôc vÒ vÞ trÝ (Position)
+ Liªn tôc vÒ tèc ®é (Velocity)
+ Liªn tôc vÒ gia tèc (Acceleration).
x(t)
x2 qi(t2)... C¸c ®iÓm nót
x1
xf-1
xo
xf
t
to t1 t2 tf-1 tf
H×nh 8.1. TÝnh liªn tôc cña quü ®¹o robot.
§Ó thiÕt kÕ quü ®¹o robot, ng−êi ta th−êng dïng ph−¬ng ph¸p xÊp xØ
c¸c ®a thøc bËc n, c¸c quÜ ®¹o th−êng gÆp lµ :
+ QuÜ ®¹o CS (Cubic Segment) : T−¬ng ®−¬ng ®a thøc bËc 3;
+ Quü ®¹o LS (linear Segment) : T−¬ng ®−¬ng ®a thøc bËc 1;
+ Quü ®¹o LSPB (Linear Segment with Parabolic Blend) : Phèi hîp ®a
thøc bËc 2 víi ®a thøc bËc 1.
§o¹n th¼ng
q0 q2
qf
q1
§−êng cong bËc 2
H×nh 8.2 : Quü ®¹o LSPB
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 94
+ Quü ®¹o BBPB (Bang Bang Parabolic Blend) : lµ tr−êng hîp ®Æc biÖt
cña quü ®¹o LSPB khi ®o¹n tuyÕn tÝnh thu vÒ b»ng 0 vµ xuÊt hiÖn ®iÓm
uèn.
qf
q0
H×nh 8.2 : Quü ®¹o BBPB
NÕu cho tr−íc nhiÒu ®iÓm nót, ta cã thÓ ¸p dông nhiÒu d¹ng quü ®¹o c¬
b¶n kh¸c nhau cho mét biÕn khíp.
8.2. Quü ®¹o ®a thøc bËc 3 :
Khi thiÕt kÕ quü ®¹o robot theo ®a thøc bËc 3 qua c¸c ®iÓm nót, mçi
®o¹n quü ®¹o gi÷a hai ®iÓm nót sÏ ®−îc biÓu diÔn b»ng mét ph−¬ng tr×nh bËc
3 riªng biÖt. Quü ®¹o ®a thøc bËc 3 ®¶m b¶o sù liªn tôc cña ®¹o hµm bËc nhÊt
vµ bËc hai t¹i c¸c ®iÓm nót.
T¹i thêi ®iÓm tk ≤ t ≤ tk+1, quü ®¹o xÊp xØ ®a thøc bËc 3 cña biÕn khíp
thø i lµ qi(t) cã d¹ng :
qi(t) = ai + bi(t - tk) + ci(t - tk)2 + di(t - tk)3 (8.1)
qi(t)
qk+1
Víi c¸c rµng buéc :
qi(tk) = qk vµ q i (t k ) = q k
& &
BËc 3
qi(tk+1) = qk+1 vµ q i (t k +1 ) = q k +1
& & qk
t
Tõ (8.1) ta thÊy : t = tk → ai = qk tk tk+1 (8.2)
LÊy ®¹o hµm cña (8.1) theo t, ta cã :
q i (t) = b i + 2c i (t − t k ) + 3d i (t − t k ) 2
&
T¹i : t = tk → b i = q k & (8.3)
T¹i t = ti+1 ta cã hai tham sè :
3(q k +1 − q k ) − (2q k + q k +1 ) δt k
& &
ci = (8.4)
δt 2
k
(q + q k ) δt k − 2(q k +1 − q k )
& &
d i = k +1 (8.5)
δt 3
k
Trong ®ã : δt k = t k +1 − t k
C¸c ph−¬ng tr×nh (8.4) vµ (8.5) nhËn ®−îc khi gi¶i (8.1) ... (8.3).
TÝnh liªn tôc cña vËn tèc lµ sù ®¶m b¶o cho quü ®¹o kh«ng gÊp khóc,
giËt côc, g©y sèc trong qu¸ tr×nh ho¹t ®éng cña robot. VËn tèc vµ gia tèc t¹i
®iÓm cuèi cña mét ®o¹n ®−êng cong bËc 3 chÝnh b»ng vËn tèc vµ gia tèc cña
®o¹n cong bËc 3 tiÕp theo.
CÇn chó ý r»ng khi thiÕt kÕ quü ®¹o trong kh«ng gian §Ò c¸t, ®Ó ®iÒu
khiÓn ®−îc robot, ë mçi thêi ®iÓm ®Òu ph¶i t×m ®−îc nghiÖm cña bµi to¸n
®éng häc ng−îc. V× vËy yªu cÇu "n·o bé" cña robot (m¸y tÝnh) ph¶i thùc hiÖn
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 95
mét khèi l−îng c¸c phÐp tÝnh khæng lå trong mét kho¶ng thêi gian rÊt ng¾n
(vµi chôc microgi©y) ®Ó ®¶m b¶o thêi gian thùc khi robot ho¹t ®éng. NÕu ta
kh«ng t×m c¸ch c¶i biÕn thiÕt kÕ quü ®¹o th× rÊt khã ®¶m b¶o yªu cÇu nÇy.
* VÝ dô vÒ thiÕt kÕ quü ®¹o CS:
ThiÕt kÕ quü ®¹o CS (Path with Cubic segment) cña khíp thø i ®i qua
hai ®iÓm nót cã gi¸ trÞ q0 vµ qf. Víi c¸c rµng buéc q0 = 0 ; q f = 0 . & &
Tõ c¸c c«ng thøc (8.2) . . . (8.5) ta x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè cña ®a thøc bËc 3
nh− sau :
ai = q0 ; bi = 0;
3(q f − q 0 ) - 2(q f − q 0 )
ci = Vµ di =
(t f − t 0 ) 2
(t f − t 0 ) 3
Do vËy quü ®¹o qi(t) cã d¹ng nh− sau :
3(q f − q 0 ) 2(q f − q 0 )
q i (t) = q 0 + ( t − t0 ) 2 − ( t − t0 ) 3
(t f − t 0 ) 2
(t f − t 0 ) 3
6(q f − q 0 ) 6(q f − q 0 )
VËn tèc lµ : q i (t) =
& ( t − t0 ) − ( t − t0 ) 2
(t f − t 0 ) 2
(t f − t 0 ) 3
6(q f − q 0 ) 12(q f − q 0 )
Vµ gia tèc lµ : &&i (t) =
q − ( t − t0 )
(t f − t 0 ) 2 (t f − t 0 ) 3
Trong vÝ dô trªn, gi¶ sö thêi gian t0 = 0 vµ tf = 1 gi©y, th× :
qi(t) = q0 + 3(qf - q0) t2 - 2(qf - q0) t3
qf
q(t) Quü ®¹o
q0
t
O
t0 tf
q(t)
&
Tèc ®é
t
q0 = qf = 0
& &
t0 tf
6(q f − q 0 )
q(t)
&&
(t f − t 0 ) 2 Gia tèc
t
t0 tf
6(q f − q 0 )
−
(t f − t 0 ) 2
H×nh 8.3. ThiÕt kÕ quü ®¹o CS
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 96
Tõ c¸c ph−¬ng tr×nh quü ®¹o, ph−¬ng tr×nh vËn tèc vµ ph−¬ng tr×nh gia
tèc ta x©y dùng ®−îc c¸c biÓu ®å ®Æc tÝnh chuyÓn ®éng cña khíp thø i trªn
®o¹n quü ®¹o thiÕt kÕ.
8.3. Quü ®¹o tuyÕn tÝnh víi cung ë hai ®Çu lµ parabol (LSPB) :
Khi yªu cÇu c«ng cô g¾n trªn kh©u chÊp hµnh cuèi cña robot chuyÓn
®éng víi vËn tèc ®Òu ®Æn, ta dïng quü ®¹o LSPB.
qi(t)
Parabol
v = constant
(q0+qf)/2
Parabol t
O tf/2 tf - tb tf
t0 tb
H×nh 8.3. Quü ®¹o LSPB.
C¸c ®iÒu kiÖn liªn tôc cña quü ®¹o nÇy thÓ hiÖn ë :
q(to) = q0 ; q(tf) = qf; vµ q(t0 ) = q(t f ) = 0
& &
vµ ®iÒu kiÖn c«ng nghÖ lµ v = constant.
Quü ®¹o ®−îc chia lµm 3 ®o¹n :
a/ Trong ®o¹n 1 : 0 ≤ t ≤ tb quü ®¹o Parabol cã d¹ng :
qi(t) = α + βt + γt2 (8.6)
Khi t = 0 th× α = q(t0) = q0 (8.7)
LÊy ®¹o hµm (8.6) : q(t) = β + 2γ t
& (8.8)
Khi t = 0 th× β = q(to ) = 0
&
T¹i thêi ®iÓm tb ta cÇn cã vËn tèc b»ng h»ng sè vËn tèc cho tr−íc v :
Nªn khi t = tb γ = v/2tb
§Æt v/tb = a ⇒ γ = a/2 vµ quü ®¹o cã d¹ng :
qi(t) = q0 + at2/2 (0 ≤ t ≤ tb) (8.9)
b/ Trong ®o¹n 2 : [tb, (tf-tb)] quü ®¹o tuyÕn tÝnh cã d¹ng :
qi(t) = α0 + vt
t (q + q f )
Do tÝnh ®èi xøng : q( f ) = 0
2 2
(q 0 + q f ) t
Suy ra = α0 + v f
2 2
(q 0 + q f − vt f )
VËy α0 =
2
Ph−¬ng tr×nh quü ®¹o tuyÕn tÝnh sÏ lµ :
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 97
q f + q 0 − vt f
q i (t) = + vt (8.10)
2
Tõ ®iÒu kiÖn liªn tôc vÒ vÞ trÝ, t¹i thêi ®iÓm tb ta cã :
at 2 q f + q 0 − vt f
q0 + b = + vt b
2 2
Rót ra :
q − q f + vt f
tb = 0
v
Víi ®iÒu kiÖn tån t¹i : 0 < tb ≤ tf/2, dÉn ®Õn :
qf − q0 2(q f − q 0 )
< tf ≤
v v
§iÒu nÇy x¸c ®Þnh vËn tèc ph¶i n»m gi÷a c¸c giíi h¹n trªn, nÕu kh«ng
chuyÓn ®éng sÏ kh«ng thùc hiÖn ®−îc.
VÒ mÆt vËt lý :
NÕu tf > (qf - q0) / v vµ tf ≤ 2(qf - q0) / v qf
th× : v > (qf - q0) / tf vµ v ≤ 2(qf - q0) / tf.
θ
NghÜa lµ tgθ < v ≤ tg2θ. q0
t0 tf
c/ Trong ®o¹n 3 : (tf - tb) ≤ t ≤ tf quü ®¹o Parabol cã d¹ng :
at f2 a
q i (t) = q f − + at f t − t 2 (8.11)
2 2
Tõ c¸c ph−¬ng tr×nh (8.9)...(8.11) ta x©y dùng ®Æc tÝnh chuyÓn ®éng
theo quü ®¹o LSPB cña khíp qi nh− sau :
qi(t); q (t); q (t)
& &&
i i
qf
q0 t
t0 tb tf-tb tf
v = const q (t)
&
i
t
t0 tb tf-tb tf
q (t)
&& t
i
t0 tb tf-tb tf
H×nh 8.4 : §Æc tÝnh quü ®¹o LSPB
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 98
8.4. Quü ®¹o Bang Bang Parabolic blend (BBPB) :
Nh− ®· tr×nh bµy ë trªn, ®©y lµ tr−êng hîp ®Æc biÖt cña quü ®¹o LSPB
khi ®o¹n tuyÕn tÝnh thu vÒ 0.
tf at 2
Víi : 0≤t≤ qi(t) = q0 +
2 2
tf q − q 0 at 2
vµ víi ≤ t ≤ tf qi(t) = 2q0 - qf +2a f t-
2 a 2
§å thÞ ®Æc tÝnh cña quü ®¹o nÇy nh− sau :
qi(t)
qf
q0 t
t0 tf/2 tf
q (t)
&
i
Vmax
t
t0 tf/2 tf
&& (t)
q
i
t
tf/2
t0 tf
H×nh 8.5. §Æc tÝnh quü ®¹o BBPB
=======================
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Copyright by webtailieu.net