Robot c«ng nghiÖp 27
Ch−¬ng III
ph−¬ng tr×nh ®éng häc cña robot
(Kinematic Equations)
3.1. DÉn nhËp :
BÊt kú mét robot nµo còng cã thÓ coi lµ mét tËp hîp c¸c kh©u (links) g¾n liÒn víi c¸c
khíp (joints). Ta h·y ®Æt trªn mçi kh©u cña robot mét hÖ to¹ ®é. Sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi
thuÇn nhÊt cã thÓ m« t¶ vÞ trÝ t−¬ng ®èi vµ h−íng gi÷a c¸c hÖ to¹ ®é nÇy. Denavit. J. ®· gäi
biÕn ®æi thuÇn nhÊt m« t¶ quan hÖ gi÷a mét kh©u vµ mét kh©u kÕ tiÕp lµ mét ma trËn A. Nãi
®¬n gi¶n h¬n, mét ma trËn A lµ mét m« t¶ biÕn ®æi thuÇn nhÊt bëi phÐp quay vµ phÐp tÞnh tiÕn
t−¬ng ®èi gi÷a hÖ to¹ ®é cña hai kh©u liÒn nhau. A1 m« t¶ vÞ trÝ vµ h−íng cña kh©u ®Çu tiªn; A2
m« t¶ vÞ trÝ vµ h−íng cña kh©u thø hai so víi kh©u thø nhÊt. Nh− vËy vÞ trÝ vµ h−íng cña kh©u
thø hai so víi hÖ to¹ ®é gèc ®−îc biÓu diÔn bëi ma trËn :
T2 = A1.A2
Còng nh− vËy, A3 m« t¶ kh©u thø ba so víi kh©u thø hai vµ :
T3 = A1.A2.A3 ; v.v...
Còng theo Denavit, tÝch cña c¸c ma trËn A ®−îc gäi lµ ma trËn T, th−êng cã hai chØ sè:
trªn vµ d−íi. ChØ sè trªn chØ hÖ to¹ ®é tham chiÕu tíi, bá qua chØ sè trªn nÕu chØ sè ®ã b»ng 0.
ChØ sè d−íi th−êng dïng ®Ó chØ kh©u chÊp hµnh cuèi. NÕu mét robot cã 6 kh©u ta cã :
T6 = A1.A2.A3.A4.A5.A6 (3.1)
T6 m« t¶ mèi quan hÖ vÒ h−íng vµ vÞ trÝ cña kh©u chÊp hµnh cuèi ®èi víi hÖ to¹ ®é gèc.
Mét robot 6 kh©u cã thÓ cã 6 bËc tù do vµ cã thÓ ®−îc ®Þnh vÞ trÝ vµ ®Þnh h−íng trong tr−êng
vËn ®éng cña nã (range of motion). Ba bËc tù do x¸c ®Þnh vÞ trÝ thuÇn tuý vµ ba bËc tù do kh¸c
x¸c ®Þnh h−íng mong muèn. T6 sÏ lµ ma trËn tr×nh bµy c¶ h−íng vµ vÞ trÝ cña robot. H×nh 3.1
m« t¶ quan hÖ ®ã víi bµn tay m¸y. Ta ®Æt gèc to¹ ®é cña hÖ m« t¶ t¹i ®iÓm gi÷a cña c¸c ngãn
tay. Gèc to¹ ®é nÇy ®−îc m« t¶ bëi vect¬ p (x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña bµn tay). Ba vect¬ ®¬n vÞ m« t¶
h−íng cña bµn tay ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau :
n
p
a o
H×nh 3.1 : C¸c vect¬ ®Þnh vÞ trÝ vµ ®Þnh h−íng cña bµn tay m¸y
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 28
∗ Vect¬ cã h−íng mµ theo ®ã bµn tay sÏ tiÕp cËn ®Õn ®èi t−îng, gäi lµ vect¬ a
(approach).
∗ Vect¬ cã h−íng mµ theo ®ã c¸c ngãn tay cña bµn tay n¾m vµo nhau khi cÇm n¾m
®èi t−îng, gäi lµ vect¬ o (Occupation).
∗ Vect¬ cuèi cïng lµ vect¬ ph¸p tuyÕn n (normal), do vËy ta cã :
r r r
n=oxa
ChuyÓn vÞ T6 nh− vËy sÏ bao gåm c¸c phÇn tö :
nx Ox ax px
T6 = ny Oy ay py (3.2)
nz Oz az pz
0 0 0 1
Tæng qu¸t, ma trËn T6 cã thÓ biÓu diÔn gän h¬n nh− sau :
Ma trËn ®Þnh h−íng R Vect¬ vÞ trÝ p (3.3)
T6 =
0 0 0 1
Ma trËn R cã kÝch th−íc 3x3, lµ ma trËn trùc giao biÓu diÔn h−íng cña bµn kÑp (kh©u
chÊp hµnh cuèi) ®èi víi hÖ to¹ ®é c¬ b¶n. ViÖc x¸c ®Þnh h−íng cña kh©u chÊp hµnh cuèi cßn
cã thÓ thùc hiÖn theo phÐp quay Euler hay phÐp quay Roll, Pitch, Yaw.
r
Vect¬ ®iÓm p cã kÝch th−íc 3x1, biÓu diÔn mèi quan hÖ täa ®é vÞ trÝ cña cña gèc hÖ
täa ®é g¾n trªn kh©u chÊp hµnh cuèi ®èi víi hÖ to¹ ®é c¬ b¶n.
3.2. Bé th«ng sè Denavit-Hartenberg (DH) :
Mét robot nhiÒu kh©u cÊu thµnh tõ c¸c kh©u nèi tiÕp nhau th«ng qua c¸c khíp ®éng.
Gèc chuÈn (Base) cña mét robot lµ kh©u sè 0 vµ kh«ng tÝnh vµo sè c¸c kh©u. Kh©u 1 nèi víi
kh©u chuÈn bëi khíp 1 vµ kh«ng cã khíp ë ®Çu mót cña kh©u cuèi cïng. BÊt kú kh©u nµo
còng ®−îc ®Æc tr−ng bëi hai kÝch th−íc :
§é dµi ph¸p tuyÕn chung : an .
Gãc gi÷a c¸c trôc trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi an : αn.
Khíp n Khíp n+1
Kh©u n
αn
a
H×nh 3.5 : ChiÒu dµi vµ gãc xo¾n cña 1 kh©u.
Th«ng th−êng, ng−êi ta gäi an lµ chiÒu dµi vµ αn lµ gãc xo¾n cña kh©u (H×nh 3.5). Phæ
biÕn lµ hai kh©u liªn kÕt víi nhau ë chÝnh trôc cña khíp (H×nh 3.6).
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 29
Khíp n-1 Khíp n Khíp n+1
θn θn+1
θn-1
Kh©u n
Kh©u n-1 Kh©u n+1
Kh©u n-2 zn
αn
an
dn zn-1 xn
On
xn-1
θn
H×nh 3.6 : C¸c th«ng sè cña kh©u : θ, d, a vµ α.
Mçi trôc sÏ cã hai ph¸p tuyÕn víi nã, mçi ph¸p tuyÕn dïng cho mçi kh©u (tr−íc vµ sau
mét khíp). VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai kh©u liªn kÕt nh− thÕ ®−îc x¸c ®Þnh bëi dn lµ kho¶ng c¸ch
gi÷a c¸c ph¸p tuyÕn ®o däc theo trôc khíp n vµ θn lµ gãc gi÷a c¸c ph¸p tuyÕn ®o trong mÆt
ph¼ng vu«ng gãc víi trôc.
dn vµ θn th−êng ®−îc gäi lµ kho¶ng c¸ch vµ gãc gi÷a c¸c kh©u.
§Ó m« t¶ mèi quan hÖ gi÷a c¸c kh©u ta g¾n vµo mçi kh©u mét hÖ to¹ ®é. Nguyªn
t¾c chung ®Ó g¾n hÖ täa ®é lªn c¸c kh©u nh− sau :
+ Gèc cña hÖ to¹ ®é g¾n lªn kh©u thø n ®Æt t¹i giao ®iÓm cña ph¸p tuyÕn an víi trôc
khíp thø n+1. Tr−êng hîp hai trôc khíp c¾t nhau, gèc to¹ ®é sÏ ®Æt t¹i chÝnh ®iÓm c¾t ®ã. NÕu
c¸c trôc khíp song song víi nhau, gèc to¹ ®é ®−îc chän trªn trôc khíp cña kh©u kÕ tiÕp, t¹i
®iÓm thÝch hîp.
+ Trôc z cña hÖ to¹ ®é g¾n lªn kh©u thø n ®Æt däc theo trôc khíp thø n+1.
+ Trôc x th−êng ®−îc ®Æt däc theo ph¸p tuyÕn chung vµ h−íng tõ khíp n ®Õn n+1.
r r
Trong tr−êng hîp c¸c trôc khíp c¾t nhau th× trôc x chän theo tÝch vect¬ z n x z n-1 .
Tr−êng hîp khíp quay th× θn lµ c¸c biÕn khíp, trong tr−êng hîp khíp tÞnh tiÕn th× dn
lµ biÕn khíp vµ an b»ng 0.
C¸c th«ng sè an, αn, dn vµ θn ®−îc gäi lµ bé th«ng sè DH.
VÝ dô 1 : XÐt mét tay m¸y cã hai kh©u ph¼ng nh− h×nh 3.7 : y2
x2
O2
y1 z2
θ2
y0 a1 x1 a
2
θ1 z1
O1
O0
x0
z0
H×nh 3.7 : Tay m¸y cã hai kh©u ph¼ng (vÞ trÝ bÊt kú).
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 30
Ta g¾n c¸c hÖ to¹ ®é lªn c¸c kh©u nh− h×nh vÏ : trôc z0, z1 vµ z2 vu«ng gãc víi tê giÊy.
HÖ to¹ ®é c¬ së lµ O0x0y0z0, chiÒu cña x0 h−íng tõ O0 ®Õn O1. Sau khi thiÕt lËp hÖ to¹ ®é c¬ së,
HÖ to¹ ®é o1x1y1z1 cã h−íng nh− h×nh vÏ, O1 ®Æt t¹i t©m trôc khíp 2. HÖ to¹ ®é O2x2y2x2 cã gèc
O2 ®Æt ë ®iÓm cuèi cña kh©u 2.
B¶ng th«ng sè Denavit-Hartenbert cña tay m¸y nÇy nh− sau :
Kh©u θi αi ai di
1 θ1 * 0 a1 0
2 θ2 * 0 a2 0
Trong ®ã θi lµ c¸c biÕn khíp (dïng dÊu * ®Ó ký hiÖu c¸c biÕn khíp).
VÝ dô 2 : Xem s¬ ®å robot SCARA cã 4 kh©u nh− h×nh 3.8 :
§©y lµ robot cã cÊu h×nh kiÓu RRTR, bµn tay cã chuyÓn ®éng xoay xung quanh trôc
®øng. HÖ to¹ ®é g¾n lªn c¸c kh©u nh− h×nh vÏ.
a2
z0 z1
θ1 θ2
O x0 x2
0 O1
x1 O2
d3 z2 x
3
a1
O3
d4
O4 x
θ4
z3 , z4
H×nh 3.8 : Robot SCARA vµ c¸c hÖ to¹ ®é (vÞ trÝ ban ®Çu).
§èi víi tay m¸y nÇy c¸c trôc khíp ®Òu song song nhau, ®Ó tiÖn lîi tÊt c¶ c¸c gèc to¹ ®é
®Æt t¹i t©m c¸c trôc khíp. Trôc x0 n»m trong mÆt ph¼ng tê giÊy. C¸c hÖ to¹ ®é kh¸c nh− h×nh
vÏ. B¶ng th«ng sè DH cña robot SCARA nh− sau :
Kh©u θi αi ai di
1 θ1 * 0 a1 0
2 θ2 * 1800 a2 0
3 0 0 0 d3*
4 θ4 * 0 0 d4
* : C¸c biÕn khíp.
3.3. §Æc tr−ng cña c¸c ma trËn A :
Trªn c¬ së c¸c hÖ to¹ ®é ®· Ên ®Þnh cho tÊt c¶ c¸c kh©u liªn kÕt cña robot, ta cã thÓ
thiÕt lËp mèi quan hÖ gi÷a c¸c hÖ to¹ ®é nèi tiÕp nhau (n-1), (n) bëi c¸c phÐp quay vµ tÞnh tiÕn
sau ®©y :
Quay quanh zn-1 mét gãc θn
TÞnh tiÕn däc theo zn-1 mét kho¶ng dn
TÞnh tiÕn däc theo xn-1 = xn mét ®o¹n an
Quay quanh xn mét gãc xo¾n αn
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 31
Bèn phÐp biÕn ®æi thuÇn nhÊt nÇy thÓ hiÖn quan hÖ cña hÖ to¹ ®é thuéc kh©u thø n so
víi hÖ to¹ ®é thuéc kh©u thø n-1 vµ tÝch cña chóng ®−îc gäi lµ ma trËn A :
An = Rot(z,θ) Trans(0,0,d) Trans(a,0,0) Rot(x,α) (3.4)
cosθ -sinθ 0 0 1 0 0 a 1 0 0 0
An = sinθ cosθ 0 0 0 1 0 0 0 cosα -sinα 0
0 0 1 0 0 0 1 d 0 sinα cosα 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
cosθ -sinθ cosα sinθ sinα a cosθ
An = sinθ cosθ cosα -cosθ sinα a sinθ (3.5)
0 sinα cosα d
0 0 0 1
§èi víi khíp tÞnh tiÕn (a = 0 vµ θi = 0) th× ma trËn A cã d¹ng :
1 0 0 0
An = 0 cosα - sinα 0 (3.6)
0 sinα cosα d
0 0 0 1
§èi víi mét kh©u ®i theo mét khíp quay th× d, a vµ α lµ h»ng sè. Nh− vËy ma trËn A
cña khíp quay lµ mét hµm sè cña biÕn khíp θ.
§èi víi mét kh©u ®i theo mét khíp tÞnh tiÕn th× θ, α lµ h»ng sè. Ma trËn A cña khíp
tÞnh tiÕn lµ mét hµm sè cña biÕn sè d.
NÕu c¸c biÕn sè ®−îc x¸c ®Þnh th× gi¸ trÞ cña c¸c ma trËn A theo ®ã còng ®−îc x¸c
®Þnh.
3.4. X¸c ®Þnh T6 theo c¸c ma trËn An :
Ta ®· biÕt : T6 = A1A2A3A4A5A6
Trong ®ã T6 ®−îc miªu t¶ trong hÖ to¹ ®é gèc (hÖ to¹ ®é g¾n víi kh©u c¬ b¶n cè ®Þnh
cña robot). NÕu m« t¶ T6 theo c¸c hÖ to¹ ®é trung gian thø n-1 th× :
6
n −1
T 6
= ∏ i=n
Ai
Trong tr−êng hîp tæng qu¸t, khi
xÐt quan hÖ cña robot víi c¸c thiÕt bÞ
kh¸c, nÕu hÖ to¹ ®é c¬ b¶n cña robot cã
liªn hÖ víi mét hÖ to¹ ®é nµo ®ã bëi phÐp OR
biÕn ®æi Z, Kh©u chÊp hµnh cuèi l¹i cã Z
g¾n mét c«ng cô, cã quan hÖ víi vËt thÓ E
T6 X
bëi phÐp biÕn ®æi E (h×nh 3.9) th× vÞ trÝ vµ A
h−íng cña ®iÓm cuèi cña c«ng cô, kh¶o
s¸t ë hÖ to¹ ®é tham chiÕu m« t¶ bëi X sÏ H×nh 3.9 : VËt thÓ vµ Robot
®−îc x¸c ®Þnh bëi :
X= Z T6E
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 32
Quan hÖ nÇy ®−îc thÓ hiÖn trªn to¸n ®å sau :
Z O0 A1 A2 A3 A4 A5 E A X
OR 5 OR
T6
4
T6
3
T6
2
T6
1
T6
T6
H×nh 3.10 : To¸n ®å chuyÓn vÞ cña robot.
Tõ to¸n ®å nÇy ta cã thÓ rót ra : T6 = Z-1 X E-1
-1 -1
(Z vµ E lµ c¸c ma trËn nghÞch ®¶o).
3.5. Tr×nh tù thiÕt lËp hÖ ph−¬ng tr×nh ®éng häc cña robot :
§Ó thiÕt lËp hÖ ph−¬ng tr×nh ®éng häc cña robot, ta tiÕn hµnh theo c¸c b−íc sau :
1. Chän hÖ to¹ ®é c¬ së, g¾n c¸c hÖ to¹ ®é më réng lªn c¸c kh©u.
ViÖc g¾n hÖ to¹ ®é lªn c¸c kh©u ®ãng vai trß rÊt quan träng khi x¸c lËp hÖ ph−¬ng
tr×nh ®éng häc cña robot, th«ng th−êng ®©y còng lµ b−íc khã nhÊt. Nguyªn t¾c g¾n hÖ to¹ ®é
lªn c¸c kh©u ®· ®−îc tr×nh bµy mét c¸ch tæng qu¸t trong phÇn 3.5. Trong thùc tÕ, c¸c trôc
khíp cña robot th−êng song song hoÆc vu«ng gãc víi nhau, ®ång thêi th«ng qua c¸c phÐp biÕn
®æi cña ma trËn A ta cã thÓ x¸c ®Þnh c¸c hÖ to¹ ®é g¾n trªn c¸c kh©u cña robot theo tr×nh tù
sau :
+ Gi¶ ®Þnh mét vÞ trÝ ban ®Çu(♦) (Home Position) cña robot.
+ Chän gèc to¹ ®é O0, O1, ...
+ C¸c trôc zn ph¶i chän cïng ph−¬ng víi trôc khíp thø n+1.
+ Chän trôc xn lµ trôc quay cña zn thµnh zn+1 vµ gãc cña zn víi zn+1 chÝnh lµ αn+1. NÕu zn
vµ zn+1 song song hoÆc trïng nhau th× ta cã thÓ c¨n cø nguyªn t¾c chung hay chän xn theo xn+1.
+ C¸c hÖ to¹ ®é Oxyz ph¶i tu©n theo qui t¾c bµn tay ph¶i.
+ Khi g¾n hÖ to¹ ®é lªn c¸c kh©u, ph¶i tu©n theo c¸c phÐp biÕn ®æi cña ma trËn An. ®ã
lµ bèn phÐp biÕn ®æi : An = Rot(z,θ) Trans(0,0,d) Trans(a,0,0) Rot(x,α). NghÜa lµ ta coi hÖ to¹
®é thø n+1 lµ biÕn ®æi cña hÖ to¹ ®é thø n; c¸c phÐp quay vµ tÞnh tiÕn cña biÕn ®æi nÇy ph¶i lµ
mét trong c¸c phÐp biÕn ®æi cña An, c¸c th«ng sè DH còng ®−îc x¸c ®Þnh dùa vµo c¸c phÐp
biÕn ®æi nÇy. Trong qu¸ tr×nh g¾n hÖ täa ®é lªn c¸c kh©u, nÕu xuÊt hiÖn phÐp quay cña trôc zn
®èi víi zn-1 quanh trôc yn-1 th× vÞ trÝ ban ®Çu cña robot ®· gi¶ ®Þnh lµ kh«ng ®óng, ta cÇn chän
l¹i vÞ trÝ ban ®Çu kh¸c cho robot.
2. LËp b¶ng th«ng sè DH (Denavit Hartenberg).
3. Dùa vµo c¸c th«ng sè DH x¸c ®Þnh c¸c ma trËn An.
4. TÝnh c¸c ma trËn T vµ viÕt c¸c ph−¬ng tr×nh ®éng häc cña robot.
(♦)
VÞ trÝ ban ®Çu lµ vÞ trÝ mµ c¸c biÕn nhËn gi¸ trÞ ban ®Çu, th−êng b»ng 0.
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 33
VÝ dô sau ®©y tr×nh bµy chi tiÕt cña c¸c b−íc khi thiÕt lËp hÖ ph−¬ng tr×nh ®éng häc
cña robot :
Cho mét robot cã ba kh©u, cÊu h×nh RRT nh− h×nh 3.11. H·y thiÕt lËp hÖ ph−¬ng tr×nh
®éng häc cña robot.
θ2 d3
θ1
H×nh 3.11 : Robot RRT
1. G¾n hÖ to¹ ®é lªn c¸c kh©u :
Ta gi¶ ®Þnh vÞ trÝ ban ®Çu vµ chän gèc to¹ ®é O0 cña robot nh− h×nh 3.12. C¸c trôc z ®Æt
cïng ph−¬ng víi c¸c trôc khíp.
Ta thÊy trôc z1 ®· quay t−¬ng ®èi mét y1
0
gãc 90 so víi trôc z0, ®©y chÝnh lµ phÐp quay θ2 d3
O1 , O2
quanh trôc x0 mét gãc α1 (phÐp biÕn ®æi
Rot(x0,α1) trong biÓu thøc tÝnh An). NghÜa lµ x1 z2
trôc x0 vu«ng gãc víi z0 vµ z1. Ta chän chiÒu z1
cña x0 tõ tr¸i sang ph¶i th× gãc quay α1=900 θ1
(chiÒu d−¬ng ng−îc chiÒu kim ®ång hå). d1
z0 y0
§ång thêi ta còng thÊy gèc O1 ®· tÞnh tiÕn
mét ®o¹n däc theo z0 , so víi O0, ®ã chÝnh lµ O0 x0
phÐp biÕn ®æi Trans(0,0,d1) (tÞnh tiÕn däc theo
z0 mét ®o¹n d1) ; c¸c trôc y0,vµ y1 x¸c ®Þnh
H×nh 3.12 : G¾n c¸c hÖ to¹ ®é O0 vµ O1
theo qui t¾c bµn tay ph¶i (H×nh 3.12 ) .
z3
TiÕp tôc chän gèc täa ®é O2 ®Æt trïng O3 x3
víi O1 v× trôc khíp thø ba vµ trôc khíp thø
hai c¾t nhau t¹i O1 (nh− h×nh 3.12). Trôc z2 d3
cïng ph−¬ng víi trôc khíp thø ba, tøc lµ ®· d3
quay ®i mét gãc 900 so víi z1 quanh trôc y1; y1 ≡ z2
phÐp biÕn ®æi nÇy kh«ng cã trong biÓu thøc
θ2 O1 ≡ O2
tÝnh An nªn kh«ng dïng ®−îc, ta cÇn chän l¹i
vÞ trÝ ban ®Çu cña robot (thay ®æi vÞ trÝ cña z1 x1 ≡ x2
kh©u thø 3) nh− h×nh 3.13.
Theo h×nh 3.13, O2 vÉn ®−îc ®Æt trïng θ1
d1
víi O1, trôc z2 cã ph−¬ng th¼ng ®øng, nghÜa lµ z0 y0
ta ®· quay trôc z1 thµnh z2 quanh trôc x1 mét
x0
gãc -900 (tøc α2= -900). O0
§Çu cuèi cña kh©u thø 3 kh«ng cã
khíp, ta ®Æt O3 t¹i ®iÓm gi÷a cña c¸c ngãn
H×nh 3.13 : HÖ to¹ ®é
tay, vµ trôc z3, x3 chän nh− h×nh vÏ, nh− vËy
g¾n lªn c¸c kh©u
ta ®· tÞnh tiÕn gèc to¹ ®é däc theo z2 mét
®o¹n d3 (PhÐp biÕn ®æi Trans(0,0,d3)), v× ®©y
lµ kh©u tÞnh tiÕn nªn d3 lµ biÕn .
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 34
Nh− vËy viÖc g¾n c¸c hÖ to¹ ®é lªn c¸c kh©u cña robot ®· hoµn thµnh. Th«ng qua c¸c
ph©n tÝch trªn ®©y, ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc c¸c th«ng sè DH cña robot.
2. LËp b¶ng th«ng sè DH :
Kh©u θi αi ai di
1 θ1* 90 0 d1
2 θi* -90 0 0
3 0 0 0 d3 *
3. X¸c ®Þnh c¸c ma trËn A :
Ma trËn An cã d¹ng :
cosθ -sinθ cosα sinθ sinα 0
An = sinθ cosθ cosα -cosθ sinα 0
0 sinα cosα d
0 0 0 1
Víi qui −íc viÕt t¾t : C1 = cosθ1 ; S1 = sinθ1 ; C2 = cosθ2 . . .
C1 0 S1 0
A1 = S1 0 -C1 0
0 1 0 d1
0 0 0 1
C2 0 -S2 0
A2 = S2 0 C2 0
0 -1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
A3 = 0 1 0 0
0 0 1 d3
0 0 0 1
4. TÝnh c¸c ma trËn biÕn ®æi thuÇn nhÊt T :
+ Ma trËn 2T3 = A3
+ Ma trËn 1T3 = A2. 2T3
C2 0 -S2 0 1 0 0 0 C2 0 -S2 -S2*d3
1
T3 = S2 0 C2 0 0 1 0 0 = S2 0 C2 C2*d3
0 -1 0 d2 0 0 1 d3 0 -1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
+ Ma trËn T3 = A1 . 1T3
C1 0 S1 0 C2 0 -S2 -S2*d3
T3 = S1 0 -C1 0 S2 0 C2 C2*d3
0 1 0 d1 0 -1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 35
C1C2 -S1 -C1S2 -C1S2d3
= S1d2 C1 -S1S2 -S1S2d3
S2 0 C2 C2d3 + d1
0 0 0 1
Ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh ®éng häc cña robot nh− sau :
nx = C1C2; ny = S1C2; nz = S2
Ox = -S1; Oy = C1; Oz = 0;
ax = -C1S2; ay = -S1S2; az = C2;
px = -C1S2d3 py = -S1S2d3 pz = C2d3 + d1;
(Ta cã thÓ s¬ bé kiÓm tra kÕt qu¶ tÝnh to¸n b»ng c¸ch dùa vµo to¹ ®é vÞ trÝ px,py, pz ®·
tÝnh so víi c¸ch tÝnh h×nh häc trªn h×nh vÏ).
3.9. HÖ ph−¬ng tr×nh ®éng häc cña robot STANFORD :
Stanford lµ mét robot cã 6 kh©u víi cÊu h×nh RRT.RRR (Kh©u thø 3 chuyÓn ®éng tÞnh
tiÕn, n¨m kh©u cßn l¹i chuyÓn ®éng quay). KÕt cÊu cña robot Stanford nh− h×nh 3.14 :
H×nh 3.14 : Robot Stanford
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 36
Trªn h×nh 3.15 tr×nh bµy m« h×nh
cña robot Stanford víi viÖc g¾n c¸c hÖ to¹ O3,O4,O5,O6
®é lªn tõng kh©u. §Ó ®¬n gi¶n trong khi z3,z5,z6
z4
viÕt c¸c ph−¬ng tr×nh ®éng häc cña robot,
ta qui −íc c¸ch viÕt t¾t c¸c hµm l−îng gi¸c xi
nh− sau :
d2 d3
C1 = cosθ1; z0 z2
S1 = sinθ1;
O0,O1 z1 O2
C12 = cos(θ1+θ2);
S12 = sin(θ1+θ2) x0
S234 = sin (θ2+θ3+θ4) ... . x1
HÖ to¹ ®é g¾n lªn c¸c kh©u cña robot nh−
h×nh 3.15. (Kh©u cuèi cã chiÒu dµi vµ
kho¶ng c¸ch b»ng kh«ng, ®Ó cã thÓ g¾n c¸c
lo¹i c«ng cô kh¸c nhau nªn chän O6≡O5). H×nh 3.15 : HÖ to¹ ®é cña Robot Stanford
B¶ng th«ng sè DH (Denavit-Hartenberg) cña robot Stanford nh− sau :
Kh©u θi αi ai di
1 θ1 * -900 0 0
2 θ2 * 900 0 d2
3 0 0 0 d3 *
4 θ4 * -900 0 0
5 θ5 * 900 0 0
6 θ6 * 0 0 0
(* : C¸c biÕn khíp).
C¸c ma trËm A cña robot Stanford ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau :
C1 0 -S1 0 C2 0 S2 0
A1= S1 0 C1 0 A2= S2 0 -C2 0
0 -1 0 0 0 1 0 d2
0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 C4 0 -S4 0
A3= 0 1 0 0 A4= S4 0 C4 0
0 0 1 d3 0 -1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
C5 0 S5 0 C6 -S6 0 0
A5= S5 0 -C5 0 A6= S6 C6 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
TÝch cña c¸c ma trËn chuyÓn vÞ A ®èi víi robot Stanford ®−îc b¾t ®Çu ë kh©u 6 vµ
chuyÓn dÇn vÒ gèc; theo thø tù nÇy ta cã :
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 37
C6 -S6 0 0
5
T6 = S6 C6 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
C5C6 -C5S6 S5 0
4
T6 = A5A6 = S5C6 -S5S6 -C5 0
S6 C6 0 0
0 0 0 1
C4C5C6 - S4S6 -C4C5S6-S4C6 C4S5 0
T63 = A4A5A6 = S4C5C6 + C4S6 -S4C5S6 + C4C6 S4S5 0
-S5C6 S5S6 C5 0
0 0 0 1
C4C5C6-S4S6 -C4C5S6 - S4C6 C4S5 0
2
T6 = A3A4A5A6 = S4C5C + C4S6 -S4C5S6 + C4C6 S4S5 0
-S5C6 S5S6 C5 d3
0 0 0 1
C2(C4C5C6 - S4S6) - S2S5C6 -C2(C4C5S6-S4C6)+S2S5S6
1
T6 =A2 A3A4A5A6 = S2(C4C5C6 - S4S6) + C2S5C6 -S2(C4C5S6+S4C6)-C2S5S6
S4C5C6 + C4S6 -S4C5S6+C4C6
0 0
C2C4S5 + S2C5 S2d3
S2C4S5 - C2C5 -C2d3
S4S5 d2
0 1
Cuèi cïng :
nx Ox ax px
T6 = ny Oy ay py = A1T61
nz Oz az pz
0 0 0 1
§Ó tÝnh T6, ta ph¶i nh©n A1 víi T61 sau ®ã c©n b»ng c¸c phÇn tö cña ma trËn T6 ë hai vÕ
ta ®−îc mét hÖ thèng c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
nx = C1[C2(C4C5C6 - S4S6) - S2S5C6] - S1(S4C5C6 + C4S6)
ny = S1[C2(C4C5C6 - S4S6) - S2S5C6] + C1(S4C5C6 + C4S6)
nz = -S2(C4C5C6 - S4S6) + C2S5C6
Ox = C1[-C2(C4C5S6 + S4C6) + S2S5S6] - S1(-S4C5S6 + C4C6)
Oy = S1[-C2(C4C5S6 + S4C6) + S2S5S6] + C1(-S4C5C6 + C4C6)
Oz = S2(C4C5S6 + S4C6) + C2S5S6
aX = C1(C2C4S5 + S2C5) - S1S4S5
ay = S1(C2C4S5 + S2C5) + C1S4S5
az = -S2C4S5 + C2C5
px = C1S2d3 - S1d2
py = S1S2d3 + C1d2
pz = C2d3
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 38
NÕu ta biÕt ®−îc c¸c gi¸ trÞ cña biÕn khíp, th× vÞ trÝ vµ h−íng cña bµn tay robot sÏ t×m
®−îc b»ng c¸ch x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ c¸c phÇn tö cña T6 theo c¸c ph−¬ng tr×nh trªn.
C¸c ph−¬ng tr×nh trªn gäi lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®éng häc thuËn cña robot Stanford.
3.10. HÖ ph−¬ng tr×nh ®éng häc cña robot ELBOW :
§Ó hiÓu râ h¬n vÒ c¸ch thiÕt lËp hÖ ph−¬ng tr×nh ®éng häc cña robot, ta xÐt thªm
tr−êng hîp robot Elbow.
Kh©u 2
Kh©u 3
Kh©u 4
Kh©u 1 Kh©u 5
Kh©u 6
H×nh 1.16 : Robot Elbow
z0
O0,O1 a2
z4
θ2 a3 θ5
z1 O2 a4
O3 O2,O5,O6
z2 θ3
θ1 z3 θ4 xi
z 5, z 6
θ6 a5 = a6 = 0
H×nh 1.17 : VÞ trÝ ban ®Çu cña robot Elbow vµ c¸c hÖ to¹ ®é
Bé th«ng sè DH cña robot Elbow
Kh©u θi * αi ai di
1 θ1 900 0 0
2 θ2 0 a2 0
3 θ3 0 a3 0
4 θ4 -900 a4 0
5 θ5 900 0 0
6 θ6 0 0 0
(* : c¸c biÕn khíp )
C¸c ma trËn A cña robot Elbow ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau :
C1 0 S1 0 C2 -S2 0 C 2 a2
A1= S1 0 -C1 0 A2= S2 C2 0 S 2 a2
0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 39
C3 -S3 0 C 3 a3 C4 0 -S4 C 4 a4
A3= S3 C3 0 S 3 a3 A4= S4 0 C4 S 4 a4
0 0 1 0 0 -1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
C5 0 S5 0 C6 -S6 0 0
A5= S5 0 -C5 0 A6= S6 C6 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
Ta x¸c ®Þnh c¸c ma trËn T theo c¸c hÖ to¹ ®é lÇn l−ît tõ kh©u cuèi trë vÒ gèc :
C6 -S6 0 0
T65 = S6 C6 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
C5C6 -C5S6 S5 0
4
T6 = A5A6 = S5C6 -S5S6 -C5 0
S6 C6 0 0
0 0 0 1
C4C5C6 - S4S6 -C4C5S6-S4C6 C4S5 C4a4
T63 = A4A5A6 = S4C5C6+C4S6 -S4C5S6+C4C6 S4S5 S4a4
-S5C6 S5S6 C5 0
0 0 0 1
C34C5C6 - S34S6 -C34C5C6 - S34C6 C34S5 C34a4+C3a3
2
T6 = A3A4A5A6 = S34C5C6+C34S6 -S34C5S6+C34C6 S34S5 S34a4+S3a3
-S5C6 S5S6 C5 0
0 0 0 1
T61 =A2 A3A4A5A6 =
C234C5C6 - S234S6 -C234C5S6 - S234C6 C234S5 C234a4+C23a3+C2a2
S234C5C6 + C234S6 -S234C5S6 + C234C6 S234S5 S234a4+S23a3+S2a2
-S5C6 S5S6 C5 0
0 0 0 1
Cuèi cïng :
nx Ox ax px
T6 = ny Oy ay py = A1T61
nz Oz az pz
0 0 0 1
§Ó tÝnh T6, ta ph¶i nh©n A1 víi T61 sau ®ã c©n b»ng c¸c phÇn tö cña ma trËn T6 ta ®−îc
mét hÖ thèng c¸c ph−¬ng tr×nh sau :
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 40
nx = C1(C234C5C6- S234S6) - S1S5C6
ny = S1(C234C5C6- S234S6) + C1S5C6
nz = S234C5C6 + C234S6
Ox = -C1(C234C5S6 + S234C6) + S1S5S6
Oy = -S1(C234C5S6 + S234C6) - C1S5S6
Oz = -S234C5S6 + C234C6
aX = C1C234S5 + S1C5
ay = S1C234S5 - C1C5
az = S234S5
px = C1(C234a4 + C23a3 + C2a2)
py = S1(C234a4 + C23a3 + C2a2)
pz = S234a4 + S23a3 + S2a2
r r r
Cét ®Çu tiªn cña ma trËn T6 cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh bëi tÝch vect¬ : n = O x a.
3.11. KÕt luËn :
Trong ch−¬ng nÇy chóng ta ®· nghiªn cøu viÖc dïng c¸c phÐp biÕn ®æi thuÇn nhÊt ®Ó
m« t¶ vÞ trÝ vµ h−íng cña kh©u chÊp hµnh cuèi cña robot th«ng qua viÖc x¸c lËp c¸c hÖ to¹ ®é
g¾n lªn c¸c kh©u vµ c¸c th«ng sè DH. Ph−¬ng ph¸p nÇy cã thÓ dïng cho bÊt cø robot nµo víi
sè kh©u (khíp) tuú ý. Trong qu¸ tr×nh x¸c lËp c¸c hÖ to¹ ®é më réng ta còng x¸c ®Þnh ®−îc vÞ
trÝ dõng cña mçi robot. Tuú thuéc kÕt cÊu cña robot còng nh− c«ng cô g¾n lªn kh©u chÊp hµnh
cuèi mµ ta cã thÓ ®−a c¸c th«ng sè cña kh©u chÊp hµnh cuèi vµo ph−¬ng tr×nh ®éng häc hay
kh«ng. ViÖc tÝnh to¸n c¸c ma trËn T ®Ó thiÕt lËp hÖ ph−¬ng tr×nh ®éng häc cña robot th−êng
tèn nhiÒu thêi gian vµ dÔ nhÇm lÉn, ta cã thÓ lËp tr×nh trªn m¸y tÝnh ®Ó tÝnh to¸n (ë d¹ng ký
hiÖu) nh»m nhanh chãng x¸c ®Þnh c¸c ma trËn An vµ thiÕt lËp hÖ ph−¬ng tr×nh ®éng häc cña
robot .
ThiÕt lËp hÖ ph−¬ng tr×nh ®éng häc cña robot lµ b−íc rÊt quan träng ®Ó cã thÓ dùa vµo
®ã lËp tr×nh ®iÒu khiÓn robot. Bµi to¸n nÇy th−êng ®−îc gäi lµ bµi to¸n ®éng häc thuËn
robot. ViÖc gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ®éng häc cña robot ®−îc gäi lµ bµi to¸n ®éng häc ng−îc,
nh»m x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña c¸c biÕn khíp theo c¸c th«ng sè ®· biÕt cña kh©u chÊp hµnh cuèi;
vÊn ®Ò nÇy ta sÏ nghiªn cøu trong ch−¬ng tiÕp theo.
Bµi tËp ch−¬ng III :
Bµi 1 : Cho ma trËn :
? 0 -1 0
T6 = ? 0 0 1
? -1 0 2
? 0 0 1
lµ ma trËn biÓu diÔn h−íng vµ vÞ trÝ cña kh©u chÊp hµnh cuèi. T×m c¸c phÇn tö ®−îc ®¸nh dÊu ?
Bµi 2 : Cho mét robot cã 3 kh©u ph¼ng nh− h×nh 3.18, cÊu h×nh RRR. ThiÕt lËp hÖ ph−¬ng
tr×nh ®éng häc cña robot.
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Robot c«ng nghiÖp 41
Bµi 3 : Cho mét robot cã 2 kh©u tÞnh tiÕn nh− h×nh 3.19, cÊu h×nh TT. ThiÕt lËp hÖ ph−¬ng
tr×nh ®éng häc cña robot.
H×nh 3.18 : Robot cÊu h×nh RRR H×nh 3.19 : Robot cÊu h×nh TT
Bµi 4 : Cho mét robot cã 2 kh©u ph¼ng nh− h×nh 3.20, cÊu h×nh RT. ThiÕt lËp hÖ ph−¬ng tr×nh
®éng häc cña robot.
Bµi 5 : Cho mét robot cã 3 kh©u nh− h×nh 3.21, cÊu h×nh RTR. ThiÕt lËp hÖ ph−¬ng tr×nh ®éng
häc cña robot.
H×nh 3.20 : Robot cÊu h×nh RT H×nh 3.21 : Robot cÊu h×nh RTR
Bµi 6 : Cho mét robot cã 3 kh©u nh− h×nh 3.22, cÊu h×nh RRR. ThiÕt lËp hÖ ph−¬ng tr×nh
®éng häc cña robot.
H×nh 3.22 : Robot cÊu h×nh RRR H×nh 3.23 : Robot cÊu h×nh RRRRR
Bµi 7 : Cho mét robot cã 5 kh©u nh− h×nh 3.23, cÊu h×nh RRRRR. ThiÕt lËp hÖ ph−¬ng tr×nh
®éng häc cña robot.
TS. Ph¹m §¨ng Ph−íc
Copyright by webtailieu.net