Phương pháp tính mạch tuyến tính hệ số hằng ở chế độ xác lập điều hòa
Ta đã biết khi mạch điện là mạch tuyến tính hệ số hằng ở chế độ xác lập với kích thích điều hòa thì mô hình của nó chính là hệ phương trình KF 1, 2 dạng đại số phức.
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn I Trang 48
CHÆÅNG 3
PHÆÅNG PHAÏP TÊNH MAÛCH TUYÃÚN TÊNH HÃÛ SÄÚ HÀÒNG
ÅÍ CHÃÚ ÂÄÜ XAÏC LÁÛP ÂIÃÖU HOÌA
Ta âaî biãút khi maûch âiãûn laì maûch tuyãún tênh hãû säú hàòng åí chãú âäü xaïc láûp våïi kêch
thêch âiãöu hoìa thç mä hçnh cuía noï chênh laì hãû phæång trçnh KF 1, 2 daûng âaûi säú phæïc.
Cáön phaíi nãu nhæîng phæång phaïp âãø giaíi hãû âaûi säú âoï cho ra nhæîng âaïp æïng cuía maûch
âiãûn. Vç maûch KF coï âàûc âiãøm laì coï thãø âo traûng thaïi åí nhæîng yãúu täú kãút cáúu khaïc nhau
: åí nhaïnh, åí âènh, åí voìng...Vç váûy coï hãû phæång trçnh tæång æïng våïi caïc biãún nhaïnh,
biãún âènh, biãún voìng nãn coï caïc phæång phaïp giaíi cho tæìng biãún.
Chuï yï vç caïc âënh luáût KF daûng phæïc giäúng hãût cho træåìng håüp maûch thuáön tråí
hoàûc maûch coï doìng khäng âäøi. Chè coï khaïc laì khi âoï caïc biãún traûng thaïi vaì caïc toaïn tæí
âãöu laì säú thæûc U, I, E, R, g. Vç váûy nhæîng phæång phaïp seî nãu cuîng duìng cho maûch coï
doìng khäng âäøi hoàûc thuáön tråí.
Biãún nhaïnh - phæång phaïp doìng (aïp) nhaïnh.
Maûch coï m nhaïnh, d âènh nãn nãúu láúy biãún laì doìng (aïp) nhaïnh thç säú áøn säú doìng
(aïp) nhaïnh laì m, váûy cáön viãút m phæång trçnh theo biãún laì doìng (aïp) nhaïnh theo caïc
âënh luáût KF1, KF2. Ta viãút âæåüc (d-1) phæång trçnh KF1 theo doìng (aïp) nhaïnh daûng :
.
∑I k
= ∑ jk (3-1)
Viãút âæåüc (m-d+1) phæång trçnh KF2 theo doìng (aïp) nhaïnh daûng :
. .
∑Z L IL = ∑ EL (3-2)
⎧ Y U = j .
⎪ ∑ k k ∑ k (3-3)
Hoàûc : ⎨ . .
⎪∑ U = ∑ E
⎩ L L
Táút nhiãn âãø viãút caïc phæång trçnh âaûi säú trãn cáön phaíi quy æåïc chiãöu dæång caïc
doìng âiãûn vaì chiãöu dæång caïc voìng.
Giaíi hãû phæång trçnh âaûi säú trãn ta seî âæåüc giaï trë phæïc doìng (aïp) caïc nhaïnh. Coï
doìng (aïp) nhaïnh qua âënh luáût Äm tênh aïp (doìng) cuía nhaïnh.
Hãû phæång trçnh daûng ma tráûn theo biãún doìng nhaïnh :
⎧A I = 0
.
⎪ t nh
⎨ . .
(3-4)
⎪C t Z nh I nh = C t E nh
⎩
Vê duû : Láûp hãû phæång trçnh biãún nhaïnh âãø giaíi maûch âiãûn hçnh (h.3-1). Maûch
âiãûn coï d = 3, m = 5. . .
.
Hãû phæång trçnh theo daûng I1 Z1 a I3 Z3 b Z5 I5
biãún nhaïnh : . .
I2 I4
. . .
Nuït a : I1 − I 2 − I 3 = 0 I
Z2
II .
Z4
III.
. . . .
Nuït b : I 3 − I 4 + I 5 = 0 E1 E4 E5
. . .
Voìng I : I1 Z 1 + I 2 Z 2 = E 1 c h.3-1
Træåìng Âaûi Hoüc Baïch Khoa - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn I Trang 49
. . . .
Voìng II : I 3 Z 3 + I 4 Z 4 − I 2 Z 2 = − E 4
. . . .
Voìng III : I 5 Z 5 + I 4 Z 4 = E 5 − E 4
Hãû phæång trçnh daûng ma tráûn :
⎡I ⎤
.
⎢. 1 ⎥
⎢I 2 ⎥ ⎡ . . . ⎤
. ⎡ − 1 1 1 0 0 ⎤ ⎢ . ⎥ ⎢ − I1 + I 2 + I 3 = 0 ⎥
A t I nh =0→⎢ ⎥ I3 =
⎣ 0 0 − 1 1 − 1⎦ ⎢ . ⎥ ⎢− I 3 + I 4 − I 5 = 0⎥
. . .
⎢I 4 ⎥ ⎣ ⎦
⎢ . ⎥
⎢I5 ⎥
⎣ ⎦
⎡E ⎤
.
⎢. 1 ⎥ ⎡Z 1 0 0 0 0 ⎤ ⎡1 0 0⎤
⎢E ⎥ ⎢0 Z 0 0 0 ⎥ ⎢1 − 1 0⎥
⎢. 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥
⎡E ⎤
.
= ⎢E ⎥, [Z nh ] = ⎢0 0 Z3 0 0 ⎥, [C] = ⎢0 1 0⎥
⎢ nh ⎥
⎣ ⎦ 3
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ . ⎥
⎢− E 4 ⎥ ⎢0 0 0 Z4 0 ⎥ ⎢0 1 1⎥
⎢. ⎥ ⎢0 0
⎣ 0 0 Z5 ⎥
⎦ ⎢0
⎣ 0 1⎥
⎦
⎣ E5 ⎦
. .
C t Z nh I nh = C t E nh ↔
⎡. ⎤ ⎡E. ⎤
⎡ Z1 0 0 0 0 ⎤ ⎢I 1 ⎥
⎢ 1 ⎥
0 ⎤ ⎢0 0 ⎥ ⎢ I 2 ⎥ ⎡1
.
⎡1 1 0 0 Z2 0 0 1 0 0 0 ⎤ ⎢0 ⎥
⎢ ⎥⎢ . ⎥
⎢0 −1 1 1 0 ⎥ ⎢0 0 Z3 0 0 ⎥ ⎢ I ⎥ = ⎢0 −1 1 1 0 ⎥ ⎢0 ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ . 3 ⎥ ⎢ ⎥⎢ . ⎥
⎢0 1 ⎥ ⎢0 ⎢0 1 ⎥ ⎢− E 4 ⎥
⎣ ⎦ ⎢ 4⎥ ⎣ ⎦
0 0 1 0 0 Z4 0 ⎥ I 0 0 1
⎢0 ⎢ . ⎥
⎣ 0 0 0 Z5 ⎥⎢ . ⎥
⎦ I ⎢E 5 ⎥
⎣ 5⎦ ⎣ ⎦
⎧Y U − Y U − Y U = 0
• • •
⎪ 1 1 2 2 3 3
⎨ • • •
⎪Y3 U 3 − Y4 U 4 + Y5 U 5 = 0
⎩
Hãû phæång trçnh theo aïp nhaïnh : ⎧U 1 + U 2 = E 1
• • •
⎪
⎪• • • •
⎨ U3 + U4 − U2 = − E4
⎪• • • •
⎪U 3 + U 4 = E 5 − E 4
⎩
⎧A Y U = 0.
⎪ t nh nh
Hãû phæång trçnh daûng ma tráûn viãút theo biãún aïp nhaïnh : ⎨ . .
(3-5)
⎪C t U nh = C t E nh
⎩
Biãún voìng - phæång phaïp doìng âiãûn voìng :
Ta âaî biãút caïc doìng buì cáy trãn mäüt graph laìm thaình mäüt táûp âuí doìng nhaïnh âäüc láûp.
Nhæîng doìng áúy chaíy kheïp kên qua nhæîng voìng xaïc âënh trãn cáy âaî choün, laìm thaình
mäüt táûp doìng voìng buì caình. Cuîng coï thãø choün caïc doìng chaíy kheïp kên caïc màõt læåïi
Træåìng Âaûi Hoüc Baïch Khoa - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn I Trang 50
mäüt graph phàóng. Caïc doìng buì caình (doìng chaíy trong caïc màõt læåïi) goüi laì doìng voìng.
Sau khi biãút doìng voìng coï thãø tênh âæåüc doìng nhaïnh vaì aïp nhaïnh. Váûy âàût biãún laì doìng
. .
voìng ( I v ), nãn säú áøn säú laì I v chênh bàòng säú voìng âäüc láûp, chênh bàòng säú buì caình = (m
.
- d + 1). Tæïc laì ta cáön viãút (m - d +1) phæång trçnh theo I v . Qua khaïi niãûm âënh nghéa
vãö doìng voìng ta tháúy chuïng âaî chæïa âæûng sæû thoía maîn luáût KF1 (tênh liãn tuûc) nãn
.
phæång trçnh liãn hãû caïc biãún I v coï yï nghéa seî laì phæång trçnh KF2. Ta coï trçnh tæû giaíi
maûch âiãûn bàòng phæång phaïp doìng voìng nhæ sau :
Choün vaì daïnh säú, quy æåïc chiãöu dæång cuía caïc doìng voìng (doìng buì caình hoàûc
doìng màõt læåïi) kãø caí caïc nguäön doìng âènh âaî cho kheïp kên qua nhæîng voìng âäüc láûp.
Viãút (m - d +1) phæång trçnh KF2 theo biãún voìng. Læu yï coï caí nhæîng aïp do häù caím,
. . .
aïp do caïc nguäön doìng gáy trãn voìng E j , E jk = Z mk J m (3-6)
Giaíi hãû phæång trçnh âæåüc caïc doìng voìng sau âoï suy ra caïc doìng nhaïnh laì täøng âaûi
säú caïc doìng voìng qua nhaïnh âoï.
Vê duû : Láûp hãû phæång trçnh biãún voìng âãø giaíi maûch âiãûn hçnh (h.3-2)
. . .
Choün 3 doìng voìng theo màõt læåïi I v1 , I v 2 , I v 3 . .
I6 Z6
Phæång trçnh KF2 cho caïc voìng :
. . . . . III .
Voìng I : I v1 (Z 1 + Z 2 + Z 3 ) + I v 2 Z 2 − I v 3 Z 3 = E 1 . I3 Z3 Z5 I5
. . . . I1 . .
Voìng II : I v 2 (Z 4 + Z 2 + Z 5 ) + I v1 Z 2 + I v 3 Z 5 = E 4 I2 I4
. . . Z1 I Z2 II Z4
Voìng III : I v 3 (Z 6 + Z 5 + Z 3 ) + I v 2 Z 5 − I v1 Z 3 = 0
. . .
Giaíi hãû phæång trçnh âæåüc caïc doìng voìng I v1 , E1 E4
. . . .
I v 2 , I v 3 sau âoï suy ra doìng nhaïnh I 1 = I v1 , h.3-2
. . . . . . . . . .
I 3 = I v1 − I v 3 , I 6 = I v 3 , I 2 = I v1 + I v 2 , I 4 = I v 2 . Ta tháúy (Z 1 + Z 2 + Z 3 ) laì täøng tråí tham
.
gia voìng I laì voìng âang viãút coï I v1 chaûy qua ta kê hiãûu laì Zv1, Z2 laì täøng tråí nhaïnh
chung giæîa voìng I vaì voìng II kê hiãûu laì Z12 = Z2 , tæång tæû Z3 = Z13 laì täøng tråí nhaïnh
chung giæîa voìng I vaì voìng III, Z5 = Z23 laì täøng tråí nhaïnh chung giæîa voìng II vaì voìng
. . . .
III. Luïc naìy phæång trçnh voìng I âæåüc viãút goün laì : I v1 Z v1 + I v 2 Z 12 − I v 3 Z 13 = E 1 .
. . . .
Tæång tæû nhæ váûy cho caïc voìng khaïc : I v 2 Z v 2 + I v1 Z 12 + I v 3 Z 25 = E 4
. . .
I v 3 Z v 3 + I v 2 Z 25 − I v1Z 13 = 0
Trong âoï : Zv2 = Z2 + Z4 + Z5, Zv3 = Z3 + Z5 + Z6.
.
I v1Z v1 : laì suût aïp do doìng voìng gáy ra trong baín thán voìng I, luän coï dáúu dæång.
.
I vm Z lm : laì suût aïp do doìng voìng m coï nhaïnh chung våïi voìng l âang viãút gáy ra trong
nhaïnh chung âoï, dáúu + hay - tuìy chiãöu cuía doìng voìng m qua nhaïnh chung cuìng chiãöu
hay ngæåüc chiãöu våïi doìng voìng l âang xeït. Tæì âáy ta âæa ra daûng täøng quaït :
Træåìng Âaûi Hoüc Baïch Khoa - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn I Trang 51
. n . .
I vk Z vk ± ∑ I vl Z kl = ∑ E vk
l
.
∑E vk laì täøng âaûi säú Sââ thuäüc voìng k, Sââ naìo cuìng chiãöu våïi voìng thç coï dáúu
dæång, ngæåüc chiãöu thç dáúu -. Nãúu trong maûch âiãûn coï nhæîng nguäön doìng kêch thêch
båm vaìo càûp nuït naìo âoï thç coi âoï laì doìng âäüc láûp nhæ âaî biãút J. Vç phæång trçnh KF2
laì viãút cho aïp nãn phaíi cho doìng J chaûy qua mäüt nhaïnh naìo âoï giæîa hai nuït maì J båm
. . . .
vaìo taûo ra U k = J Z k = E j âãø åí vãú phaíi phæång trçnh giäúng nhæ caïc E . Luïc naìy coï
. n . . .
phæång trçnh : I vk Z vk ± ∑ I vl Z kl = ∑ E vk ± E j (3-8)
l
Læu yï trong maûch r, L, M, C ta coï xeït tênh tæång häù nãn Zkl = Zlk nãn hãû säú Zkl âäúi
xæïng qua truûc cheïo cuía [Znh].
. .
Phæång trçnh daûng ma tráûn : C t Z nh C I v = C t E nh (3-9)
Khi coï caïc nguäön doìng j thç vãú phaíi coï thãm thaình pháön CtZnhjnh.
Vê duû 2 : Láûp hãû phæång trçnh biãún doìng voìng
giaíi maûch âiãûn hçnh (h.3-3). j
Ta tuìy yï giaí thiãút nguäön j kheïp maûch qua nhaïnh Z3 taûo
. Z1 Z2 Z3
nãn aïp U 3 j = j.Z 3 âaî biãút .
. . . . I II
Phæång trçnh voìng I : I v1 (Z 1 + Z 2 ) − I v 2 Z 2 = E 1 − E 2 . .
. . . . E1 E2
Phæång trçnh voìng II : I v 2 (Z 2 + Z 3 ) − I v1 Z 2 = E 2 − j Z 3
. j
U 3 j = j.Z 3 laì aïp råi trãn Z3 do nguäön doìng j gáy ra nàòm (h.3-3)
åí vãú traïi phæång trçnh, vç j cuìng chiãöu voìng nãn mang dáúu +, chuyãøn sang vãú phaíi nãn
âäøi thaình dáúu -. Vãö màût toaïn hoüc ta tháúy phæång phaïp doìng voìng thæûc cháút laì tênh caïc
doìng phuû thuäüc theo caïc doìng âäüc láûp qua KF1 räöi thay vaìo phæång trçnh KF2 âãø âæåüc
phæång trçnh KF2 theo biãún voìng, tæïc laì âæa phæång trçnh KF1 vaìo phæång trçnh KF2.
Biãún âènh - phæång phaïp âiãûn thãú âènh :
Ta âaî coï mäúi liãn hãû giæîa âiãûn thãú âènh våïi aïp nhaïnh nãn nãúu choün biãún laì thãú
âènh láûp hãû phæång trçnh thãú âènh giaíi ra caïc thãú âènh thç suy ra âæåüc caïc aïp nhaïnh räöi
doìng nhaïnh. Maûch âiãûn coï d âènh thç coï d thãú âènh, song phaíi so våïi mäüt thãú mäúc
(thæåìng choün mäúc laì 0), nãn säú thãú cáön xaïc âënh laì (d -1), tæïc laì säú áøn säú thãú âènh laì (d-
1).
Váûy ta cáön viãút (d-1) phæång trçnh theo áøn säú laì thãú âènh. Khaïi niãûm thãú tæì tênh
cháút thãú noï âaî chæïa âæûng sæû thoía maîn luáût KF2 nãn chè coï phæång trçnh KF1 liãn hãû
caïc thãú måïi coï yï nghéa. Váûy cáön viãút (d-1) phæång trçnh KF1 theo biãún laì thãú âènh.
Nhæng ta måïi chè coï phæång trçnh KF1 cho biãún laì caïc doìng nhaïnh, nãn phaíi tçm biãøu
thæïc giæîa caïc doìng nhaïnh våïi thãú âènh âãø coï phæång trçnh KF1 theo biãún laì thãú âènh.
Ta âaî coï âënh luáût Äm liãn hãû giæîa aïp våïi doìng nhaïnh maì aïp nhaïnh laûi liãn hãû våïi thãú
nãn ta láûp âæåüc quan hãû giæîa doìng nhaïnh våïi thãú âènh.
Træåìng Âaûi Hoüc Baïch Khoa - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn I
.
k Ikl Zkl Trang
l 52
Âäúi våïi nhaïnh khäng nguäön hçnh (h.3-4) ta coï :
h.3-4
. . . ϕk − ϕl
U kl = ϕ k − ϕ l = I kl .Z kl ⇒ I kl = = (ϕ k − ϕ l ).Ykl .
Z kl . Ekl
k Ikl Zkl l
(3-10)
Âäúi våïi caïc nhaïnh coï nguäön nhæ hçnh (h.3-5) ta coï : h.3-5
. . . .
ϕ l = ϕ k − I kl .Z kl − E kl ⇒ I kl = (ϕ k − ϕ l ).Ykl − E kl .Ykl
(3-11)
. . . .
Nhæ váûy khi E kl cuìng chiãöu våïi I kl thç I kl = (ϕ k − ϕ l ).Ykl + E kl .Ykl (3-12)
. .
Tæïc laì Sââ E naìo cuìng chiãöu doìng thç E .Y coï dáúu +. Sau khi coï biãøu thæïc doìng
theo thãú ta viãút âæåüc hãû phæång trçnh KF1 theo
.
thãú. I6 Z6
Vê duû : Láûp hãû phæång trçnh theo biãún thãú .
.
âènh âãø giaíi maûch âiãûn nhæ hçnh (h.3-6) .a I3 Z3 b
Z5 I5
I1 . c.
Choün âènh d laìm mäúc, viãút phæång trçnh KF1 cho I2 I4
caïc âènh coìn laûi : Z1 Z2 Z4
. . .
Âènh a : I 1 − I 3 − I 6 = 0 . .
. . . E1 E4
Âènh b : − I 2 + I 3 + I 5 = 0 d
. . . h.3-6
Âènh c : I 4 − I 5 + I 6 = 0
Thay caïc doìng âiãûn trong phæång trçnh trãn theo biãún âènh :
Vê duû thay vaìo âènh a :
. . . .
I 1 = (0 − ϕ a ).Y1 + E 1.Y1 , I 3 = (ϕ a − ϕ b ).Y3 , I 6 = (ϕ a − ϕ c ).Y6
.
Ta coï : (0 − ϕ a ).Y1 + E 1.Y1 − (ϕ a − ϕ b ).Y3 − (ϕ b − ϕ c ).Y6 = 0
.
− ϕ a Y1 + E 1 Y1 − ϕ a Y3 + ϕ b Y3 − ϕ a Y6 + ϕ c Y6 = 0
.
⇒ −ϕ a ( Y1 + Y3 + Y6 ) + ϕ b Y3 + ϕ c Y6 + E 1 Y1 = 0
.
⇒ ϕ a ( Y1 + Y3 + Y6 ) − ϕ b Y3 − ϕ c Y6 = E 1 Y1
Tæång tæû nhæ váûy cho caïc âènh khaïc :
Âènh b : ϕ b ( Y2 + Y3 + Y5 ) − ϕ a Y3 − ϕ c Y5 = 0
.
Âènh c : ϕ c ( Y4 + Y5 + Y6 ) − ϕ b Y5 − ϕ a Y6 = E 4 Y4
Qua caïc phæång trçnh viãút theo thãú caïc âènh, vê duû âènh a ta coï nháûn xeït : säú haûng âáöu
tiãn ϕa(Y1+Y3+Y6) laì têch thãú cuía âènh viãút våïi täøng täøng dáùn caïc nhaïnh näúi våïi âènh
viãút, (Y1+Y3+Y6) = Ya laì täøng táút caí täøng dáùn cuía caïc nhaïnh coï näúi âãún nuït a. Caïc säú
haûng sau cuía vãú traïi : ϕb.Y3, ϕc.Y6 laì têch thãú cuía âènh coï näúi våïi âènh âang viãút qua
mäüt nhaïnh våïi täøng dáùn cuía nhaïnh âoï. Kê hiãûu ϕk.Yka , trong âoï Yka laì täøng dáùn cuía
nhaïnh näúi giæîa nuït âang viãút a våïi nuït k, ϕkYka luän mang dáúu -. Coìn vãú bãn phaíi
Træåìng Âaûi Hoüc Baïch Khoa - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn I Trang 53
.
E 1 Y1 : laì têch cuía Sââ våïi täøng dáùn cuía nhaïnh chæïa Sââ, noï coï dáúu "+" khi Sââ E
hæåïng vaìo nuït viãút. Ngæåüc laûi seî coï dáúu "-". Nuït naìo coï bao nhiãu nhaïnh coï chæïa Sââ
näúi vaìo thç coï báúy nhiãu säú haûng cuía vãú phaíi.
n l .
Täøng quaït phæång trçnh nuït a laì : ϕ a Ya − ∑ ϕ k Yka = ∑ E m Yma
1 1
n l .
Nuït b laì : ϕ b Yb − ∑ ϕ k Ykb = ∑ E i Yib (3-13)
1 1
n l .
Nuït c laì : ϕ c Yc − ∑ ϕ k Ykc = ∑ E p Ypc
1 1
Khi coï nhæîng nguäön båm vaìo âènh thç ta phaíi âæa doìng j vaìo vãú phaíi cuía phæång trçnh
âènh âoï.
n l . .
ϕ a Ya − ∑ ϕ k Yka = ∑ E m Yma ± J a
1 1
n l . .
ϕ b Yb − ∑ ϕ k Ykb = ∑ E i Yib ± J b (3-14)
1 1
Ta coï trçnh tæû giaíi maûch bàòng phæång phaïp thãú âènh laì :
Choün mäüt âènh laìm mäúc våïi thãú 0.
Viãút (d-1) phæång trçnh daûng (3-14) cho caïc âènh coìn laûi.
Qui æåïc chiãöu dæång cuía caïc doìng nhaïnh âãø sau khi giaíi ra caïc thãú âènh tæì hãû (3-
14) thç tæì (3-11) tênh âæåüc caïc doìng nhaïnh.
Coï thãø biãøu diãùn hãû phæång trçnh thãú âènh dæåïi daûng ma tráûn :
Y[ϕ] = ⎡J ⎤ + A t Ynh E nh
. .
⎢ ⎥ (3-15)
⎣ ⎦
[Y] : ma tráûn vuäng täøng dáùn âènh.
[ϕ] : ma tráûn cäüt âiãûn thãú âènh.
.
[ J ] : ma tráûn cäüt caïc nguäön doìng âènh.
Træåìng håüp âàûc biãût khi maûch gäöm nhiãöu nhaïnh näúi // nhæ hçnh (h.3-7). Maûch coï hai
âènh nãn chè coï mäüt phæång trçnh thãú âènh.
. . .
Phæång trçnh âènh a : ϕ a ( Y1 + Y2 + Y3 + Y4 ) = E 1 Y1 − E 3 Y3 + E 4 Y4
Xaïc âënh âæåüc ngay aïp giæîa hai âènh a,b laì :
. . .
. E Y − E 3 Y3 + E 4 Y4 . a .
U ab = ϕ a − ϕ b = ϕ a − 0 = 1 1 I1 .
I3 I4
( Y1 + Y2 + Y3 + Y4 ) .
I2
Z1 Z3 Z4
Z2
Tæì âoï ruït ra cäng thæïc tçm aïp cho maûch coï hai . . .
E1 E3 E4
nuït ráút tiãûn duûng laì :
.
.
U a=
∑EY (3-16) b
∑ Ya h.3-7
So saïnh 3 phæång phaïp giaíi maûch :
Chuïng âãöu laì phæång phaïp cå baín vç âãöu dæûa trãn caïc âënh luáût KF.
Træåìng Âaûi Hoüc Baïch Khoa - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn I Trang 54
Phæång phaïp biãún nhaïnh cáön láûp vaì giaíi hãû m phæång trçnh nãn khäúi læåüng tênh
toaïn låïn.
Phæång phaïp biãún voìng coï (m-d+1) phæång trçnh.
Phæång phaïp thãú âènh coï (d-1) phæång trçnh. Phæång phaïp naìy seî ráút thuáûn tiãûn cho
maûch coï hai âènh.
Phæång phaïp tênh maûch tuyãún tênh coï häù caím :
Caïc phæång phaïp tênh :
Ta âaî biãút maûch coï häù caím chè khaïc maûch khäng coï häù caím laì coï thãm âiãûn aïp
häù caím trãn caïc cuäün dáy coï quan hãû häù caím våïi nhau. Vãö màût váût lyï baín cháút tæû caím
vaì häù caím nhæ nhau. Nãn maûch coï häù caím váùn nghiãûm âuïng caïc luáût KF1, KF2. Váûy
coï thãø duìng caïc phæång phaïp tênh maûch âiãûn âaî nãu trãn âãø tênh maûch âiãûn coï häù caím.
Tuy nhiãn trong maûch coï häù caím, aïp åí mäüt nhaïnh (thãú åí hai âáöu nhaïnh) khäng nhæîng
phuû thuäüc doìng qua nhaïnh âoï maì coìn tuìy thuäüc vaìo doìng caïc nhaïnh khaïc, luïc naìy viãûc
ruït ra quan hãû thãú âènh theo doìng seî ráút phæïc taûp nãn láûp phæång trçnh maûch theo
phæång phaïp thãú âènh ráút phæïc taûp. Vç váûy, thæåìng khäng duìng phæång phaïp thãú âènh
âãø tênh maûch âiãûn coï häù caím.
Khi duìng phæång phaïp doìng nhaïnh vaì doìng voìng âãø tênh maûch coï häù caím nhåï
thãm aïp häù caím vaìo phæång trçnh KF2. AÏp häù caím coï thãø dæång hay ám tuìy theo chiãöu
doìng âiãûn, cæûc cuìng tênh vaì chiãöu dæång caïc voìng. Aïp häù caím viãút dæåïi daûng phæïc :
. .
U kl = ± jωM kl I l , jωM = jx M (3-17)
Vê duû : Láûp phæång trçnh âãø giaíi maûch âiãûn hçnh (h.3-8)
jωL2 R2 .
∗ I2
jωL2 R2 .
jωM jωL1 . ∗ I2
II R1
∗ I1 jωM jωL1 R1 .
R ∗ I1
. I .
. .
U I U
I
h.3-8 h.3-9
Hãû phæång trçnh theo biãún doìng nhaïnh :
⎧I − I − I = 0
. . .
⎪ 1 2
⎪ . . . .
⎨ I R + I 1 ( R 1 + j ωL 1 ) + j ωM I 2 = U
⎪. . . .
⎪I R + I 2 ( R 2 + jωL 2 ) + jωM I 1 = U
⎩
⎧ I ( R + R + j ωL ) + j ωM I + I R = U
. . . .
⎪ v1 1 1 v2 v2
Hãû phæång trçnh theo biãún doìng voìng : ⎨ . . . .
⎪ I v 2 ( R + R 2 + j ωL 2 ) + j ωM I v 1 + I v 1 R = U
⎩
Täøng tråí cuía caïc cuäün dáy màõc näúi tiãúp coï häù caím :
Khi màõc näúi tiãúp thuáûn 2 cuäün dáy thç âiãûn caím cuía maûch : L = L 1 + L 2 + 2M
Træåìng Âaûi Hoüc Baïch Khoa - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn I Trang 55
Khi màõc näúi tiãúp ngæåüc 2 cuäün dáy thç âiãûn caím cuía maûch : L = L 1 + L 2 − 2M
Nãn suy ra täøng tråí phæïc cuía hai cuäün dáy màõc näúi tiãúp : Z = Z 1 + Z 2 ± 2Z M (3-18).
Z th = Z 1 + Z 2 + 2Z M > Z ng = Z 1 + Z 2 − 2Z M nãn nãúu cuìng aïp âàût vaìo U thç Ing > Ith.
Täøng tråí hai cuäün dáy coï häù caím näúi song song :
Khi näúi song song thuáûn nhæ hçnh (h.3-9).
. . . . . . . . .
Tæì : I = I 1 + I 2 , U = I 1Z 1 + I 2 Z M , U = I 2 Z 2 + I 1 Z M
Xaïc âënh täøng tråí tæång âæång cuía hai nhaïnh laì :
Z1Z 2 − Z 2
Z // th = M
(3-19)
Z 1 + Z 2 − 2Z M
Tæång tæû khi hai cuäün näúi song song ngæåüc seî coï täøng tråí tæång âæång laì :
Z1Z 2 − Z 2
Z // ng = M
(3-20)
Z 1 + Z 2 + 2Z M
Nhæ váûy : Z//ng < Z//th
Cäüng hæåíng trong maûch häù caím :
Trong kyî thuáût âiãûn tæí vaì thäng tin thæåìng duìng caïc maûch dao âäüng coï häù caím
våïi hãû säú pháøm cháút cao nhæ hçnh (h.3-10).
•
U1 Z2
Ta xaïc âënh âæåüc täøng tråí âáöu vaìo cuía maûch laì : Z âv = •
= Z1 − M
I1 Z2
j j
Trong âoï : Z 1 = R 1 + jωL 1 − , Z M = jωM, Z 2 = R 2 + jωL 2 −
ωC 1 ωC 2
x2 R2 ⎛ x2 x ⎞
Z âv = R 1 + M
+ j⎜ x 1 − 2 M 2 2 ⎟ (3-21)
⎜
R2 + x2
2 2 ⎝ R2 + x2 ⎟ ⎠
Qua biãøu thæïc pháön thæûc cuía Zâv tháúy tråí taïc duûng âáöu vaìo nhçn tæì hai cæûc cuäün
x2 R
1 âæåüc tàng thãm læåüng 2M 2 2 so våïi R1. Sæû tàng naìy laì do sæû tiãu taïn nàng læåüng
R2 + x2
⎛ x2 x ⎞
trãn tråí taïc duûng cuía maûch voìng 2. Trong pháön aío coï thãm thaình pháön ⎜ − 2 M 2 2 ⎟
⎜ R +x ⎟
⎝ 2 2 ⎠
noï laìm tàng hoàûc giaím khaïng âáöu vaìo so våïi x1 âiãöu naìy tuìy thuäüc vaìo dáúu cuía x2. Sæû
tàng hoàûc giaím naìy tæång æïng våïi sæû tàng hoàûc giaím cuía tæì thäng täøng so våïi tæì thäng
tæû caím (do häù caím gáy nãn). Maûch coï häù caím coï thãø coï nhiãöu daûng cäüng hæåíng do sæû
thay âäøi caïc thäng säú phaín khaïng hay táön säú.
⎛ x2 x2 ⎞
Nãúu cho C1 thay âäøi âãø âaût ⎜ x 1 − 2 M 2 ⎟ = 0 (caïc thäng säú voìng 2 khäng âäøi)
⎜
⎝ R2 + x2 ⎟ ⎠
U1
thç caïc doìng I1, I2 seî âaût trë säú cæûc âaûi : I1 max =
R 1 + x 2 R 2 /(R 2 + x 2 )
M 2 2
x I
I 2 max = M 1 max
R2 + x2
2 2
Træåìng Âaûi Hoüc Baïch Khoa - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn I Trang 56
Âáy laì traûng thaïi cäüng hæåíng âàûc biãût thæï nháút.
Traûng thaïi cäüng hæåíng thæï hai coï âæåüc khi thay âäøi C2 (caïc thäng säú cuía voìng 1 giæî
⎛ x2 x ⎞
khäng âäøi) âãø taûo ra : ⎜ x 1 − 2 M 2 2 ⎟ = 0 . Khi âoï :
⎜
⎝ R2 + x2 ⎟⎠
U U1
I1 max = 1 , I 2 max =
2R 1 2 R 1R 2
. M . . M .
I1 I2 C I1 I2 C
C1 ∗ ∗ 2 ∗ ∗ 2
. .
U1 L1 L2 U1 L1 L2
R1 R2 R1 R2
h.3-10 h.3-11
Khaïi niãûm vãö truyãön nàng læåüng âiãûn tæì giæîa caïc cuäün dáy häù caím :
.
Âiãûn aïp häù caím gáy nãn trãn cuäün thæï k båíi doìng I l chaíy trong nhaïnh l bàòng
. . . . . .
U M = jωM I 1 . Âiãûn aïp naìy ( U kl ) vuäng pha våïi doìng I l , nhæng noïi chung I l vaì I k
. .
khäng truìng pha nhau nãn aïp U kl thæåìng khäng vuäng pha våïi doìng I k . Âiãöu áúy coï
nghéa cuäün k nháûn mäüt cäng suáút taïc duûng cuía træåìng âiãûn tæì :
( ) ( )
∧ ∧
PkM = U kl I k cos U kl , I k ≠ 0 ( vç U kl , I k ≠ π / 2 )
Vç trãn âiãûn caím Lk khäng coï tiãu taïn nãn cäng suáút nháûn âæåüc âoï bàõt buäüc phaíi
âæåüc truyãön taíi tæì cuäün k âãún caïc pháön tæí coï häù caím våïi noï. Khi PkM > 0 ta noïi cuäün k
nháûn cäng suáút PkM âãø truyãön âãún caïc pháön tæí khaïc bàòng häù caím. Khi PkM < 0 ta noïi
cuäün k phaït ra cäng suáút âiãûn tæì cho maûch. Táút nhiãn luïc naìy cäng suáút phaíi do caïc
pháön tæí khaïc coï häù caím chuyãøn âãún noï.
Vê duû : Tênh maûch âiãûn åí hçnh (h.3-11) tæì âoï nháûn xeït vãö sæû truyãön cäng suáút häù
caím.
⎧I ( R + jωL ) + jωM I = U
. . .
⎪ 1 1
⎪
1 2
Phæång trçnh cho hai voìng : ⎨ . . ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤
⎪ jωM I 1 + I 2 ⎢R 2 + j⎜ ωL 2 −
⎜ ⎟⎥ = 0
⎪
⎩ ⎣ ⎝ ωC 2 ⎟⎦
⎠
Våïi : U=10V, R1=100Ω, R2=500Ω, ωL1=500Ω, ωL2=1500Ω, ωM =700Ω,
1/ωC=1800Ω.
(100 + j500) I 1 + j700 I 2 = 10
. .
Thay säú ta âæåüc :
j700 I 1 + (500 − j300) I 2 = 0
. .
. .
Giaíi ra ta âæåüc : I 1 = 8.10 −3 〈−48,7 0 A, I 2 = −9,7.10 − 3 〈 72 0 = 9,7.10 −3 〈−107,7 0 .
Do coï häù caím nãn åí cuäün L2 coï cäng suáút âiãûn tæì :
Træåìng Âaûi Hoüc Baïch Khoa - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn I Trang 57
∧
→ →
P2 M = U 2 M I 2 cos ( U 2 M , I 2 )
. .
U 2 M = jωM I 1 = j700.8.10 −3 〈−48,7 0 = 5,67〈 410 V
P2 M = 5,67.9,7.10 −3 cos[410 − (− 107,7 0 )] = −4,7.10 −3 W
Dáúu træì coï nghéa L2 phaït ra mäüt cäng suáút âiãûn tæì 4,7mW cho maûch thæï cáúp. Cäng suáút
naìy do pháön tæí L1 chuyãøn qua bàòng häù caím vaì âuïng bàòng cäng suáút tiãu taïn åí maûch thæï
cáúp I 2 R 2 = (9,7.10 −3 ) 2 .500 = 4,7.10 −3 W .
2
∧
. .
Ta cuîng tháúy noï bàòng P1M = U 1M I1 cos ( U 1M , I 1 )
Thay thãú âàóng trë nhæîng liãn hãû häù caím :
Thay thãú pháön cuía giaín âäö coï chæïa häù caím bàòng mäüt giaín âäö khäng coï häù caím,
trong mäüt säú træåìng håüp seî laìm cho sæû phán têch vaì tênh toaïn maûch âiãûn âæåüc âån giaín.
Phæång phaïp âoï goüi laì thay thãú âàóng trë.
Vê duû ta tçm mäüt giaín âäö khäng coï häù caím âàóng trë våïi giaín âäö cuía hai pháön tæí coï
häù caím cuía maûch cuîng näúi chung vaìo mäüt nuït nhæ hçnh (h.3-12)
1 2 .
. . I2 Z2 m ZM
I1 I2 2
. 3
Z1 Z2 1 I3 ±ZM
.
I1 Z1 m ZM
M
3 . h.3-13
I3 h.3-12
. . .
U 13 = I 1Z 1 ± Z M I 2
Ta coï aïp giæîa caïc cæûc : . . .
U 23 = I 2 Z 2 ± Z M I 1
Caïc dáúu phêa trãn khi caïc cuìng tãn näúi vaìo nuït, caïc dáúu phêa dæåïi khi caïc cæûc khaïc tãn
näúi vaìo nuït (thæï tæû xãúp âàût cuía caïc dáúu naìy seî âæåüc giæî trong táút caí caïc biãøu thæïc tiãúp
. . . .
sau). Tæì phæång trçnh I 1 + I 2 − I 3 = 0 khæí doìng I 2 trong phæång trçnh thæï nháút vaì khæí
.
doìng I 1 trong phæång trçnh thæï hai ta âæåüc :
⎧ U = I (Z m Z ) ± Z I
. . .
⎪ 13 1 1 M M 3
⎪. . .
⎨ U 23 = I 2 (Z 2 m Z M ) ± Z M I 3 (3-22)
⎪. . .
⎪U 12 = I 1(Z 1 m Z M ) − I 2 (Z 2 m Z M )
⎩
Ta dáùn ra âæåüc så âäö nghiãûm âuïng 3 phæång trçnh thç noï laì så âäö âàóng trë khäng coï häù
caím cáön tçm. Váûy âãø loaûi træì liãn hãû häù caím phaíi thãm m Z M vaìo caïc täøng tråí Z1 vaì Z2,
ngoaìi ra coìn näúi vaìo nuït chung hai cuäün dáy täøng tråí ± Z M näúi vaìo cæûc 3.
Træåìng Âaûi Hoüc Baïch Khoa - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn I Trang 58
.
U
Vê duû : Xaïc âënh täøng tråí âáöu vaìo Z v = .
cuía så âäö maûch hçnh (h.3-14).
I
Biãút x1=ωL1= 20Ω, x2=ωL2= 10Ω, xM=ωM = 10Ω, x3=1/ωC3 = 20Ω, R3= 10Ω, Z4 = 10
+ j10.
Dáùn ra så âäö âàóng trë khäng häù caím nhæ hçnh (h.3-15)
. . L1-M L2-M
I ∗ M ∗ I
L1 L2
. R3 R4 M R4
U .
U R3
C3
h.3-14 C3
h.3-15
Ta coï : Z 1 = j(x 1 − x M ), Z 2 = j(x 2 − x M ), Z 3 = R 3 + j(x M − x C )
Z (Z + Z 4 )
Nãn täøng tråí âáöu vaìo : Z v = Z 1 + 3 2 thay säú ta âæåüc Zv = 10 + j10 (Ω)
Z2 + Z3 + Z4
Âäö thë Täpä cuía maûch âiãûn coï doìng âiãöu hoìa :
Ta âaî biãút caïch biãøu diãùn bàòng âäö thë vectå, aính phæïc, qua âoï tháúy roî sæû phán bäú
biãn âäü, goïc pha cuía doìng, aïp. Roî raìng caïc phæång phaïp naìy chè biãøu diãùn âæåüc traûng
thaïi, khäng chè ra âæåüc cáúu truïc. Âäö thë biãøu diãùn âäöng thåìi traûng thaïi vaì cáúu truïc cuía
maûch goüi laì âäö thë Täpä. Noï laì âäö thë vectå caïc aính phæïc âiãûn thãú ϕa, ϕb, ... cuía caïc
âènh trãn så âäö maûch (âiãøm nuït cuîng nhæ âènh näúi giæîa hai pháön tæí så âäö)
Caïch veî âäö thë Täpä nhæ sau :
Choün mäüt âènh laìm mäúc, bàòng nhæîng phæång phaïp âaî biãút, tênh ra sæû phán bäú thãú
caïc âènh trãn så âäö räöi veî tæì âènh mäúc. Vê duû : Veî âäö thë Täpä cho maûch âiãûn hçnh
(h.3-16).
b
a
. .
E1 E2 c C3
b
d L2 a 0
d c
R1 g R3
R2
g
0
h.3-16 h.3-17
Choün âènh 0 laìm mäúc. Qua mäüt pháön tæí âaïnh dáúu 1 âènh. Giaí sæí bàòng phæång
. . . . . .
phaïp doìng nhaïnh tênh âæåüc caïc doìng âiãûn I 1, I 2 , I 3 , veî âæåüc caïc vectå doìng I 1, I 2 , I 3
Træåìng Âaûi Hoüc Baïch Khoa - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn I Trang 59
. . . . . . . .
vaì I 1 + I 2 = I 3 . Âäö thë Täpä âæåüc veî nhæ hçnh (h.3-17). ϕ 0 = 0, U a = ϕ a − ϕ 0 = ϕ a − 0 ,
. . . .
ϕ a = R 3 I 3 truìng phæång våïi I 3 , coï trë säú R3.I3, láúy âoaûn R3.I3 trãn phæång doìng I 3 ta
.
âæåüc âiãøm a. Âiãøm b khaïc âiãøm a mäüt læåüng aïp bàòng aïp trãn tuû C laì − j I 3 x C nãn
. . . .
ϕ b = ϕ a − j I 3 x C aïp trãn tuû C coï trë säú I3.xC vaì cháûm sau I 3 goïc π/2, ta xaïc âënh âæåüc
.
âiãøm b. Tæång tæû ta xaïc thãú âiãøm d, láúy trãn phæång I 1 âoaûn R1.I1 ta âæåüc âiãøm d, tæì d
. .
qua E 1 xaïc âënh b. Xaïc âënh âiãøm g láúy trãn phæång doìng I 2 âoaûn I2.R2 âæåüc âiãøm g, tæì
.
g xaïc âënh âiãøm c nàòm trãn phæång vuäng goïc våïi doìng I 2 våïi trë säú I2.xL âæåüc vë trê
.
âiãøm c, tæì âiãøm c qua nguäön E 2 xaïc âënh âæåüc âiãøm b phaíi truìng våïi caïc âiãøm b âaî xaïc
âënh qua caïc âæåìng khaïc trãn.
Váûy âäö thë Täpä cho biãút ngoaìi thäng tin vãö traûng thaïi nhæ biãn âäü, goïc pha coìn
cho biãút cáúu truïc cuía maûch âiãûn : coï bao nhiãu nhaïnh, bao nhiãu âènh, bao nhiãu pháön
tæí, bao nhiãu voìng. Ngoaìi ra tæì thãú phæïc cuía caïc âiãøm trãn så âäö âæåüc biãøu diãùn båíi
mäüt vectå trãn màût phàóng phæïc ta coï thãø xaïc âënh aïp giæîa hai âiãøm báút kyì cuía maûch seî
bàòng hiãûu 2 vectå thãú phæïc. Âãø tçm hiãûu âoï chè cáön veî vectå näúi hai âáöu cuía hai vectå
thãú phæïc 2 âiãøm tæång æïng, chiãöu cuía vectå hiãûu hæåïng vãö âáöu cuía vectå bë træì.
Vê duû : Veî âäö thë Täpä cuía maûch âiãûn nhæ hçnh veî sau :
R3.I ϕ5 5
1 4 6 .
R1 2 L 3 R2 E
.
E C ϕ2 .
ϕ4 ϕ3 I.R1
R3 .
6 5 . jxLI
I.R2
.
Choün thãú âènh 6 laìm mäúc ϕ 6 = 0 , thç :
. . . . . . . . . . . . . . .
ϕ 5 = ϕ 6 + R 3 I = R 3 I, ϕ 4 = ϕ 5 − jx C I = R 3 I− jx C I, ϕ 3 = ϕ 4 + R 2 I, ϕ 2 = ϕ 3 + jx L I
. . . . . . .
ϕ 1 = ϕ 2 + R 1 I = E, U 24 = ϕ 2 − ϕ 4
Trãn âäö thë Täpä chiãöu vectå aïp tæì 4 âãún 2 ngæåüc chiãöu våïi chiãöu dæång cuía aïp trãn så
âäö (tæì âiãøm 2 âãún âiãøm 4) vç âoï laì quy tàõc træì vectå, vectå hiãûu cuía hai vectå luän
hæåïng vãö vectå bë træì.
Træåìng Âaûi Hoüc Baïch Khoa - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
