Phương pháp tích phân Đuhament
Ta thấy khi kích thíc tác động vào mạch là tùy ý: như bước nhảy, xung, dạng nối của hai hàm tùy ý, trong trường hợp này không tính được nghiệm xác lập theo những phương pháp đã học trong CSKTĐ I. Vì vậy không sử dụng được phương pháp tích phân kinh điển giải quá trình quá độ mạch.
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 79
CHÆÅNG 15
PHÆÅNG PHAÏP TÊCH PHÁN ÂUHAMENT
§1. Âàût váún âãö :
Ta tháúy khi kêch thêch taïc âäüng vaìo maûch laì tuìy yï : nhæ bæåïc nhaíy, xung, daûng
näúi cuía hai haìm tuìy yï, trong træåìng håüp naìy khäng tênh âæåüc nghiãûm xaïc láûp theo
nhæîng phæång phaïp âaî hoüc trong CSKTÂ I. Vç váûy khäng sæí duûng âæåüc phæång phaïp
têch phán kinh âiãøn giaíi quaï trçnh quaï âäü maûch. Ta phaíi âæa giaíi phaïp khaïc. Vç laì maûch
tuyãún tênh nãn coï thãø phán têch kêch thêch tuìy yï âoï thaình täøng nhæîng kêch thêch âån vë
maì æïng våïi mäùi kêch thêch thaình pháön xaïc âënh âæåüc âaïp æïng quaï âäü. Sau âoï xãúp
chäöng caïc âaïp æïng quaï âäü thaình pháön seî âæåüc âaïp æïng quaï âäü chung æïng våïi kêch
thêch tuìy yï.
§2. Khai triãøn kêch thêch thaình täøng caïc bæåïc nhaíy âån vë (bæåïc nhaíy
Hãvisaid)
Ta coi gáön âuïng kêch thêch f(t) tuìy yï laì âæåìng dêch dàõc daûng báûc thang, noï laì
âæåìng chàõp näúi caïc âoaûn thàóng ráút nhoí våïi caïc bæåïc nhaíy åí nhæîng thåìi âiãøm khaïc nhau
nhæ hçnh (h.15-1). Bæåïc nhaíy nguyãn täú bàõt âáöu taïc âäüng åí thåìi âiãøm t = τ (cho τ chaûy
trãn truûc thåìi gian âãø chè thåìi âiãøm nhaíy).
Ta kê hiãûu : 1(1 − τ )df ( τ ) (bæåïc nhaíy df, taûi thåìi âiãøm t = τ )
Khi khoaíng chia âãø taïc âäüng caïc bæåïc nhaíy tiãún âãún vä cuìng nhoí thç âæåìng biãøu
diãùn caìng gáön âãún âæåìng cong f(t). Tæïc kêch thêch seî laì xãúp chäöng caïc bæåïc nhaíy
nguyãn täú. Âæåüc biãøu diãùn båíi biãøu thæïc (15-1) f(t)
t
f ( t ) = ∫ 1(1 − τ )df (τ )dτ (15-1) f(t)
0
df (τ)
Trong âoï coï : df (τ) = dτ = f ' (τ)dτ df(τ)
dτ
t fo
nãn : f ( t ) = ∫ 1(1 − τ)f ' (τ)dτ (15-2)
0 0 τ t
Tæì (15-2) dáùn ra biãøu thæïc f(t) trong caïc træåìng håüp : h.15-1
− Khi bæåïc nhaíy taûi gäúc thç coï giaï trë cuía haìm f(t) taûi gäúc laì 1(t).f(0) = f(0) khi
t = 0.
− Khi coï bæåïc nhaíy giaïn âoaûn loaûi 1 taûi t1 thç giaï trë bæåïc nhaíy laì ∆f(t1) = f2(t1)
- f1(t1) nhæ hçnh (h.15-2)
f f
f1(t) f2(t) f(t)
fo
0 t1 t 0 t
h.(15-2) h.(15-3)
Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 80
Kêch thêch f(t) biãøu diãùn nhæ hçnh (h.15-2) âæåüc biãøu diãùn dæåïi daûng giaíi têch laì :
t1 t
1(t )f 0 + ∫ f '1 (τ)dτ + [f 2 ( t 1 ) − f 1 ( t 1 )] + ∫ f ' 2 (τ )dτ (15-3)
0 t1
t
Khi kêch thêch åí daûng hçnh(h.15-3) thç biãøu thæïc laì : ∫ f ' ( τ)dτ = f ( t ) (15-4)
0
§3. Âaïp æïng Hãvisaid :
Laì âaïp æïng quaï âäü cuía maûch khi kêch thêch laì âån vë1(t) våïi så kiãûn 0 coìn goüi laì
haìm quaï âäü - kyï hiãûu h(t) (hay âàûc tênh quaï âäü cuía maûch).
Váûy âaïp æïng Hãvisaid chênh laì âaïp æïng quaï âäü cuía maûch khi âoïng maûch vaìo
nguäön aïp hàòng coï trë säú 1V - så kiãûn 0. Suy ra caïch xaïc âënh h(t) laì : tênh nghiãûm quaï
trçnh quaï âäü våïi nguäön kêch thêch laì âiãûn aïp hàòng vaì cho âiãûn aïp âoï bàòng 1V.
Vê duû 1 : Xaïc âënh h(t) cuía maûch r - C nhæ hçnh (h.15-4) khi âoïng vaìo nguäön
hàòng E.
K
Våïi så kiãûn : u C (0) = u C (− 0) = 0
t r
−
Âæåüc âiãûn aïp quaï âäü : u Cqâ = E + Ae rC
C
−
t
⎛ −
t
⎞ E
u Cqâ = E − Ee rC
= E⎜1 − e ⎟
⎜
rC
⎟
⎝ ⎠
t
E − rC h.15-4
doìng âiãûn quaï âäü : i Cqâ = Cu ' Cqâ = e
r
⎧ −
t
⎪h u ( t ) = 1 − e laì haìm aïp quaï âäü maûch r − C
rC
⎪ rC
thay E = 1V ta coï : ⎨ t
⎪h i ( t ) = 1 e rC laì haìm doìng quaï âäü maûch r − C
−
⎪
⎩ r
rC
Vê duû 2 : Xaïc âënh h(t) cuía maûch r - L nhæ hçnh (h.15-5) khi âoïng maûch vaìo
nguäön mäüt chiãöu E.
K
Så kiãûn : iL(0) = iL(-0) = 0
Âæåüc doìng âiãûn quaï âäü : r
E E −Lt E ⎛r
− t ⎞
r
L
i Lqâ = − e = ⎜1 − e ⎟ L
r r r⎜
⎝
⎟
⎠
E
r
− t
Âiãûn aïp quaï âäü : u Lqâ = L.i' = E.e L
h.15-5
Thay E = 1V ta coï :
⎧ 1⎛ − t ⎞
r
⎪h i ( t ) = ⎜1 − e ⎟ laì haìm quaï âäü doìng maûch r − L
L
⎪ rL
r⎜
⎝
⎟
⎠
⎨
⎪ r
− t
⎪h u ( t ) = e L laì haìm quaï âäü aïp maûch r − L
⎩ rL
Tæì âaïp æïng Hãvisaid h(t) coï thãø xeït tênh cháút nghiãûm.
§4. Âaïp æïng quaï âäü - caïc cäng thæïc Âuhament :
Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 81
Biãút âaïp æïng Hãvisaid h(t) xaïc âënh âæåüc âaïp æïng quaï âäü æïng våïi kêch thêch
nhaíy df laì df.h(t) = dx(t). (15-5)
Læu yï âãún thåìi âiãøm taïc âäüng, cäng thæïc chung laì :
Daûng : dx(t) = 1(t - τ)df(τ)h(t - τ)
Hay daûng : dx(t) = 1(t - τ)f'(τ)h(t - τ)dτ (15-6)
Tæì âaïp æïng nguyãn täú dx xaïc âënh âaïp æïng chung laì :
t
x (t ) = ∫ 1(t − τ )f ' (τ )h (t − τ )dτ (15-7)
0
goüi laì cäng thæïc têch phán Âuhament
Cäng thæïc Âuhament coï caïc daûng nhæ sau : trong âoï 1(t)f(0)h(t) laì âaïp æïng quaï
âäü taûi bæåïc nhaíy åí gäúc.
t
Daûng 1 : x (t ) = 1(t )f (0 )h (t ) + ∫ f ' (τ )1(t − τ )h (t − τ )dτ (15-8)
0
t
Daûng 2 : x (t ) = 1(t )f (0 )h (t ) + ∫ f ' (t − τ )h (τ )1(t − τ )dτ (15-9)
0
t
Daûng 3 : x (t ) = h (0 )f (t ) − ∫ f (τ )h ' (t − τ )dτ (15-10)
0
t
Daûng 4 : x (t ) = h (0 )f (t ) − ∫ f (t − τ )h ' (τ )dτ (15-11)
0
Tuìy træåìng håüp maì ta choün daûng thêch håüp.
Khi f(0) = 0 (kêch thêch khäng coï bæåïc nhaíy taûi t = 0)
t t
Duìng daûng 1,2 : x (t ) = ∫ f ' (τ )h (t − τ )dτ = ∫ f ' (t − τ )h (τ )dτ (15-12)
0 0
t t
Duìng daûng 3,4 : x (t ) = − ∫ f ' (τ )h (t − τ )dτ = − ∫ f ' (t − τ )h (τ )dτ (15-13)
0 0
§5. Âaïp æïng quaï âäü æïng våïi kêch thêch coï daûng giaíi têch tæìng âoaûn :
Nãúu kêch thêch laì caïc haìm giaíi têch khaïc nhau trong khoaíng thåìi gian khaïc nhau
vaì coï thãø coï nhæîng giaïn âoaûn loaûi 1 thç trong cäng thæïc têch phán Âuhament coï thãm
âaïp æïng quaï âäü do nhæîng bæåïc nhaíy gáy ra, vê duû khi
f(t) nhæ hçnh (h.15-6). ÅÍ 0 < t < t1 chè coï f1(t) taïc f1(t) f2(t)
duûng thç âaïp æïng : f
t o
x (t ) = f 1 (0 )h (t )∫ f '1 ( t − τ )h (τ )dτ (15-14)
0
0 t1 t2 t
Taûi t = t1 kêch thêch coï bæåïc nhaíy tæì f1(t1) âãún
h.15-6
f2(t1) sau âoï biãún thiãn theo luáût f2(t) nãn åí t1 < t < t2
coï âaïp æïng quaï âäü laì :
t1
x ( t ) = f 1 (0 )h ( t ) + ∫ f '1 (τ )h ( t − τ)dτ
0
t
(15-15)
+ [f 2 ( t 1 ) − f 1 ( t 1 )]h ( t − t 1 ) + ∫ f ' 2 (τ) h ( t − τ )dτ
t1
Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 82
Taûi t = t2 coï bæåïc nhaíy tæì f2(t2) âãún 0, nãn åí t > t2 coï âaïp æïng quaï âäü laì :
t1
x ( t ) = f 1 (0 )h ( t ) + ∫ f '1 (τ) h ( t − τ )dτ + [f 2 ( t 1 ) − f 1 ( t 1 )]h ( t − t 1 )
0
t
(15-16)
+ ∫ f ' 2 (τ) h ( t − τ )dτ + [0 − f 2 ( t 2 )]h ( t − t 2 )
t1
Vê duû : Xaïc âënh doìng trong maûch r_L khi âoïng aïp u(t)
xung tam giaïc. Xung tam giaïc nhæ hçnh (h.15-7) âæåüc biãøu
diãùn giaíi têch laì : U
U U
u ( t ) = t , vaì u ' ( t ) =
t1 t1
r
0 t1
1 − t
Âaî coï : h i ( t ) = (1 − e L )
r−L
h.15-7
r
Duìng cäng thæïc Âuhament (15-12). Khi 0 ≤ t ≤ t1 coï :
U ⎡ − ( t −τ ) ⎤ U ⎡ L − t ⎤
t 1 t r1 r
i( t ) = ∫ u' (τ)h ( t − τ)dτ =
t1r ∫ ⎣
⎢1 − e L ⎥ dτ = ⎢ t − (1 − e L )⎥
0 0 ⎦ t1r ⎣ r ⎦
Khi t > t1 thç u(t) = 0 coï bæåïc nhaíy taûi t = t1 tæì U âãún 0 thç doìng âiãûn :
U ⎡ − ( t −τ) ⎤ U⎡ − (t−t ) ⎤
t1 t 1 r r
i ( t ) = ∫ u ' (τ )h ( t − τ )dτ − U.h ( t − t 1 ) =
t1r ∫ ⎣
⎢1 − e ⎥ dτ − ⎢1 − e
1
⎥
L L
0 0 ⎦ r ⎣ ⎦
U ⎡L −Lt r
− (t −t ) ⎤
r
i( t ) = − 1) + t 1 e L
1 1
⎢ (e ⎥
t1r ⎣ r ⎦
Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
