Mặt biến phức và Hàm biến phức
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho
mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép,
in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất
bản và tác giả.
Mặt biến phức và Hàm biến phức
Chương 1. Mặt phẳng phức và hàm biến phức
Nguyễn Thủy Thanh
Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006.
Tr 10-104.
Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Mặt phẳng phức, Khai căn số phức,
Môđun, Acgumen, Topo trên mặt phẳng phức, Phần trong và phần ngoài, Điểm
tụ, Điểm biên, Tập compact, Tập liên thông, Phép đồng luân, Ánh xạ đơn diệp,
Tính liên tục, Tính liên tục đều, Chuỗi trong miền phức, Hàm argz.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho
mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép,
in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất
bản và tác giả.
Chu.o.ng 1
M˘t ph˘ng ph´.c v` h`m biˆn
a
. ’
a u a a ´
e
ph´.c
u
1.1 Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c . . . . . . . .
a. . ´
o u a. ’
a u 11
1.1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
-. ´
ıa o u
1.1.2 Dang dai sˆ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . . . . 16
. ´
. o ’ o u ´
1.1.3 Ph´p tr`. v` ph´p chia sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . 18
e u a e ´
o u
1.1.4 M˘t ph˘ng ph´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
a
. ’
a u
1.1.5 Mˆdun v` acgumen cua sˆ ph´.c . . . . . . . . . . 20
o a ’ o u´
1.1.6 Ph´p khai c˘n sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . . . . . 28
e ´
a o u
1.1.7 Dang m˜ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . . . . . 29
. ´
u ’ o u
1.1.8 Kh´i niˆm vˆ m˘t ph˘ng mo. rˆng . . . . . . . . . 30
a e . ` a
e . ’
a ’ o.
1.1.9 ’
Khoang c´ch trˆn C . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
a e
1.2 C´c kh´i niˆm tˆpˆ co. ban trˆn m˘t ph˘ng ph´.c 35
a a e
. o o ’ e a
. ’
a u
1.2.1 Tˆpˆ trˆn C
o o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2.2 ` a `
Phˆn trong v` phˆn ngo`i . . . . . . . . . . . . . . 38
a a a
1.2.3 - e’
Diˆm tu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
.
1.1. Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c
a
. . o u´ a
. ’
a u 11
1.2.4 Biˆn cua tˆp ho.p . . . . . . . .
e ’ a . . . . . . . . . . . . . 40
1.2.5 Tˆp ho
a .p comp˘c . . . . . . . .
´
a . . . . . . . . . . . 41
. .
1.2.6 Tˆp ho.p liˆn thˆng . . . . . . .
a. . e o . . . . . . . . . . . 42
1.2.7 H`m ph´.c biˆn thu.c. Tuyˆn v`
a u e´ . ´
e a du.`.ng cong . . . . 46
o
1.2.8 e `
Ph´p dˆng luˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
o a
1.2.9 Miˆn do.n liˆn v` da liˆn . . . . . . . . . . . . . . . 56
`
e e a e
1.3 H`m biˆn ph´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a ´
e u 59
1.3.1 Dinh ngh˜ h`m biˆn ph´.c . . . . . . . . . . . . . 59
-. ıa a ´
e u
1.3.2 C´c v´ du vˆ ´nh xa do.n diˆp . . . . . . . . . . . . 62
a ı . `a e . e
.
1.3.3 .i han cua h`m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Gi´ .
o ’ a
1.3.4 ınh e . a e . `
T´ liˆn tuc v` liˆn tuc dˆu . . . . . . . . . . . . 67
e
1.4 L´ thuyˆt d˜y v` chuˆ i trong miˆn ph´.c . . . .
y ´
e a a ˜
o `
e u 72
1.4.1 Gi´.i han cua d˜y diˆm . . . . . . . . . . . . . . . . 72
o . ’ a ’
e
1.4.2 Chuˆ i sˆ ph´.c v` su. hˆi tu cua n´ . . . . . . . . . 75
˜ ´
o o u a . o . ’ o .
1.4.3 ˜
D˜y v` chuˆ i h`m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
a a o a
1.4.4 Chuˆ i l˜y th`.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
˜
o u u
1.4.5 Su. hˆi tu dˆu trˆn t`.ng comp˘c . . . . . . . . . . 92
. o . `
. e e u ´
a
1.5 H`m arg z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 95
1.5.1 ’ a
T´ liˆn tuc cua h`m arg z . . . . . . . . . . . . . 95
ınh e .
1.5.2 Sˆ gia cua acgumen doc theo du.`.ng cong . . . . . 96
´
o ’ . o
1.5.3 Nh´nh do.n tri liˆn tuc cua h`m arg z . . . . . . . 98
a . e . ’ a
1.6 B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a a . 100
1.1 Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c
a
. . ´ u
o a
. ’
a u
Tˆp ho.p sˆ ph´.c c´ hai cˆu tr´c: cˆu tr´c dai sˆ cua mˆt tru.o.ng v` dˆng
a
. ´
. o u o ´
a u ´
a u . o ’ ´ o
. ` a `o
th`.i n´ c´ cˆu tr´c tˆpˆ cua mˆt khˆng gian (khˆng gian Euclide hai chiˆu,
o o o a ´ u o o ’ o
. o o `e
12 Chu.o.ng 1. M˘t ph˘ng ph´.c v` h`m biˆn ph´.c
a
. ’
a u a a ´
e u
t´.c l` m˘t ph˘ng). Do d´ tˆp ho.p c´c sˆ ph´.c c´ ca t´nh chˆt dai sˆ lˆ n
u a a . ’
a o a. . ´
a o u o ’ ı ´
a . o a ´ ˜
t´ chˆt tˆpˆ. Trong muc n`y ta s˜ nghiˆn c´.u c´c t´ chˆt dai sˆ cua tˆp
ınh a o o´ . a e e u a ınh a . o ’ a´ ´ .
.p sˆ ph´.c.
ho o u ´
.
1.1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c
-. ´ u
ıa o
Ta x´t phu.o.ng tr`
e ınh
x2 + 1 = 0.
R˜ r`ng l` phu.o.ng tr` n`y khˆng c´ nghiˆm thuˆc R v` x2 +1 1, ∀ x ∈ R.
o a a ınh a o o e
. o
. ı
o o a ` . . nhiˆn d˘t ra l` t`m mˆt tˆp ho.p (ta k´ hiˆu l` C) thoa
. ´ e
Do d´ mˆt vˆn dˆ tu e a . a ı o a
. . . y e a
. ’
a a `
m˜n c´c diˆu kiˆn sau dˆy:
e e
. a
1. C l` mˆt tru o
a o .`.ng;
.
2. R ⊂ C;
3. Phu.o.ng tr` x2 + 1 = 0 c´ nghiˆm trong C.
ınh o e
.
V` tˆp ho a o .
ı a .p c´c sˆ thu.c R l` mˆt tˆp ho.p con cua C nˆn khi x´c dinh c´c
´ a o a . ’ e a . a
. . . .
ph´p t´nh sˆ hoc co. ban trˆn c´c sˆ ph´.c ta cˆn d`i hoi r˘ng khi ´p dung cho
e ı ´
o . ’ e a o u ´ ` o ’ `
a a a .
´
c´c sˆ thu a
a o . .c c´c ph´p to´n d´ du.a lai kˆt qua nhu. kˆt qua thu du.o.c trong sˆ
e a o ´ ’ ´ ’ ´
. e e . o
hoc c´c sˆ thu´ .c. M˘t kh´c, nˆu ta mong muˆn c´c sˆ ph´.c c´ nh˜.ng u.ng
´ ´ ´
. a o . a
. a e o a o u o u ´
dung trong c´c vˆn dˆ cua giai t´ th` ta cˆn d`i hoi r˘ng c´c ph´p to´n co.
. a a ` ’ ´ e ’ ıch ı ` o ’ `
a a a e a
’
ban du . .o.c du.a v`o d´ phai thoa m˜n c´c tiˆn dˆ thˆng thu.`.ng cua sˆ hoc c´c
a o ’ ’ a a e ` o e o ´
’ o . a
´
sˆ thu
o . .c.
Dinh ngh˜ 1.1.1. Mˆ i c˘p sˆ thu.c c´ th´. tu. (a, b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o.c
-. ıa ˜ . ´
o a o . o u . .
.c nˆu trˆn tˆp ho.p c´c c˘p d´ quan hˆ b˘ng nhau, ph´p
´ `
. ´
goi l` mˆt sˆ ph´ e
. a o o u e a . . a a o
. e a
. e
cˆng v` ph´p nhˆn du .
o a e a .o.c du.a v`o theo c´c dinh ngh˜a (tiˆn dˆ) sau dˆy:
a a ı e ` e a
. .
a = c
I. (a, b) = (c, b) ⇔
b = d.
def
II. Ph´p cˆng: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 1 v` c˘p (a + c, b + d) du.o.c
e o. a a. .
. a o ’ ’ a a
goi l` tˆng cua c´c c˘p (a, b) v` (c, d).
. a
1
Def. l` c´ch viˆt t˘t cua t`. tiˆng Anh definition (dinh ngh˜
a a ´ ´
e a ’ u e ´ . ıa)
1.1. Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c
a
. . o u´ a
. ’
a u 13
def
III. Ph´p nhˆn: (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc) v` c˘p (ac − bd, ad + bc)
e a a a .
.o.c goi l` t´ch cua c´c c˘p (a, b) v` (c, d).
du . ’ a a
. a ı . a
a .o.c dˆng nhˆt v´.i sˆ thu.c a, ngh˜a l`
IV. C˘p (a, 0) du . ` o ´
a o o . ´ ı a
.
def
(a, 0) ≡ a.
Tˆp ho.p c´c sˆ ph´.c du.o.c k´ hiˆu l` C.
a
. . a o u ´ . y e a .
Nhu. vˆy moi phˆn cua dinh ngh˜a sˆ ph´.c dˆu du.o.c ph´t biˆu b˘ng ngˆn
a
. . `a ’ . ı o u `
´ e . a ’ `
e a o
. sˆ thu.c v` c´c ph´p to´n trˆn ch´ng.
u ´
ng˜ o . a a e a e u
Trong dinh ngh˜ n`y ba tiˆn dˆ dˆu thu.c chˆt l` dinh ngh˜ c´c kh´i
. ıa a e ` ` e a . ´
a a . ıa a a
a ıa a e `
niˆm kh´c nhau: dinh ngh˜ kh´i niˆm b˘ng nhau, tˆng v` t´ch c´c sˆ ph´
e a ’
o a ı a o u ´ .c.
. . .
´
e a e ` o o .i nhau s˜ khˆng dˆ n dˆn bˆt c´. mˆu
˜ e a u a
´ ´
. ´
Do d´ viˆc dˆi chiˆu c´c tiˆn dˆ d´ v´
o e o e e o a
˜
a a `e ´
a o e a ’
thuˆ n n`o. Diˆu duy nhˆt c´ thˆ gˆy ra dˆi ch´t lo ngai l` tiˆn dˆ IV. Vˆn
o u . a e ` e a´
dˆ l` o. chˆ : vˆn d˜ c´c kh´i niˆm b˘ng nhau, tˆng v` t´ c´c sˆ thu.c c´ y
` a ’ ˜ o ı a
e o ´ a e . `
a o’ a ıch a o . o ´ ´
ngh˜ ho`n to`n x´c dinh v` do d´ nˆu c´c kh´i niˆm n`y khˆng tu.o.ng th´ch
ıa a a a . a ´
o e a a e . a o ı
v´.i nh˜.ng kh´i niˆm du.o.c dˆ cˆp dˆn trong c´c tiˆn dˆ I - III khi x´t c´c sˆ
o u a e . . ` a ee . ´ a e ` e e a o ´
thu.c v´.i tu. c´ch l` c´c c˘p dang d˘c biˆt th` buˆc phai loai tr`. tiˆn dˆ IV.
. o a a a a . . a
. e
. ı o . ’ . u e ` e
o ´ e `
Do d´ ta cˆn dˆi chiˆu tiˆn dˆ IV v´ a e `
` o
a ´ e e o .i c´c tiˆn dˆ I, II v` III.
e a
1) I - IV. Gia su. hai sˆ thu.c a v` b b˘ng nhau nhu. nh˜.ng c˘p dang
’ ’ ´ .
o a `
a u a
. .
e `
d˘c biˆt dˆng nhˆt v´
a ´ .i ch´ng: (a, 0) = (b, 0). Khi d´ theo tiˆn dˆ I ta c´ e `
. . o a o u o e o
(a, 0) = (b, 0) ⇔ a = b, t´ a e u.c l` nˆu ch´ng b˘ng nhau theo ngh˜a thˆng thu.`.ng.
´ u `
a ı o o
2) II - IV. Theo tiˆn dˆ II, tˆng hai sˆ thu.c a v` c du.o.c x´t nhu. nh˜.ng
e ` e o’ ´
o . a . e u
a a a a `
c˘p (a, 0) v` (c, 0) l` b˘ng c˘p (a + c, 0 + 0) = (a + c, 0). Nhu
a .ng theo tiˆn dˆ
e ` e
. .
IV th` (a + c, 0) ≡ a + c. Nhu a
ı . vˆy
.
(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0 + 0) = (a + c, 0) ≡ a + c
t´.c l` dˆng nhˆt b˘ng tˆng a + c theo ngh˜a thˆng thu.`.ng.
u a ` o a `
´ a ’
o ı o o
3) III - IV. Theo tiˆn dˆ III, t´ c´c sˆ thu.c a v` b du.o.c x´t nhu. nh˜.ng
e ` e ´
ıch a o . a . e u
a
. a a `
c˘p (a, 0) v` (c, 0) l` b˘ng c˘p
a a
.
(ac − 0 · 0, a · 0 + 0 · c) = (ac, 0)
14 Chu.o.ng 1. M˘t ph˘ng ph´.c v` h`m biˆn ph´.c
a
. ’
a u a a ´
e u
v` theo tiˆn dˆ IV ta c´ (ac, 0) ≡ ac. Nhu. vˆy
a e ` e o a
.
(III) (IV )
(a, 0)(c, 0) = (ac, 0) = ac
t´.c l` dˆng nhˆt b˘ng t´ a v´.i c theo ngh˜a thˆng thu.`.ng.
u a ` o a `
´ a ıch o ı o o
Nhu a. vˆy tiˆn dˆ IV tu.o.ng th´ch v´.i c´c tiˆn dˆ I, II v` III.
e ` e ı o a e ` e a
.
Ta c˜ng lu.u y cˆng th´.c sau dˆy du.o.c suy tru.c tiˆp t`. III v` IV:
u ´ o u a . . ´
e u a
m(a, b) = (ma, mb), m ∈ R.
Thˆt vˆy t`. IV v` III ta c´
a a u
. . a o
m(a, b) = (m, 0)(a, b) = (ma − 0 · b, mb + 0 · a)
= (ma, mb).
´
Nˆu m ∈ N th` theo II ta c´
e ı o
(a, b) + (a, b) = (2a, 2b);
(2a, 2b) + (a, b) = (3a, 3b), . . .
t´.c l` (ma, mb) l` kˆt qua cua ph´p cˆng liˆn tiˆp m sˆ hang b˘ng (a, b).
u a a e ´ ’ ’ e o . e ´
e ´
o . `
a
Diˆu d´ ph` ho.p v´.i biˆu tu.o.ng thˆng thu.`.ng l` ph´p nhˆn v´.i sˆ tu. nhiˆn
` o u .
e o e ’ . o o a e a o o .´ e
tu .o.ng u.ng v´.i ph´p cˆng m sˆ hang b˘ng nhau.
´ o e o ´
o . `
a
.
Dˆ d`ng thˆy r˘ng c´c tiˆn dˆ II v` III l` tu.o.ng th´ v´.i nhau v` c´c
˜ a
e a `
´ a a e ` e a a ıch o a a
quy luˆt thˆng thu o
a o .`.ng cua c´c ph´p t´ thu.c hiˆn trˆn c´c sˆ vˆ n du.o.c
’ a e ınh . e e a o ˜ ´ a
. . .
ba a e’
’ o to`n khi chuyˆn sang sˆ ph´ ´ u
o .c (du.o.ng nhiˆn phai c˘t bo moi quy luˆt c´
e ’ ´ ’ .
a a o
.
.i dˆu >).
e o ´
quan hˆ t´ a
.
Dinh ngh˜ 1.1.2. Gia su. z = (a, b) ∈ C. Khi d´ sˆ ph´.c (a, −b) du.o.c goi
-. ıa ’ ’ ´
o o u . .
l` sˆ ph´.c liˆn ho.p v´.i sˆ ph´.c z v` du.o.c k´ hiˆu l` z:
´
a o u e . o o u´ a . y e a
.
z = (a, −b).
Ta c´ dinh l´ sau dˆy:
o . y a
1.1. Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c
a
. . o u´ a
. ’
a u 15
Dinh l´ 1.1.1. Tˆp ho.p C lˆp th`nh mˆt tru.`.ng thoa m˜n c´c diˆu kiˆn:
-. y a .
. a
. a o
. o ’ a a `e e
.
1. C ⊃ R;
2. C ch´.a phˆn tu. i v´.i t´ chˆt i2 = −1; phˆn tu. i n`y du.o.c goi l`
u `
a ’ o ınh a ´ `
a ’ a . . a
.n vi ao.
do . ’
Ch´.ng minh. 1. C l` mˆt tru.`.ng. Hiˆn nhiˆn, phˆn tu. do.n vi cua C l` c˘p
u a o. o ’
e e `a ’ . ’ a a.
(1, 0) v` r˘ng (a, b)(1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b); v` phˆn tu. -
ı ` a a ` a ’
o ’ a a . `
khˆng cua C l` c˘p (0, 0) v` r˘ng (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b).
ı a
Dˆ ch´.ng to C l` mˆt tru.`.ng ta chı cˆn kiˆm nghiˆm su. tˆn tai phˆn tu.
’
e u ’ a o. o ’ `a e’ e
. ` .
o `
a ’
nghich dao (viˆc kiˆm nghiˆm c´c tiˆn dˆ c`n lai dˆi v´.i mˆt tru.`.ng l` hiˆn
. ’ e. ’
e e
. a e ` o . o o o
e ´ . o a e ’
nhiˆn). Gia su. z = (a, b) = (0, 0) (t´.c l` a2 + b2 > 0). Ta s˜ t`m z = (a , b )
e ’ ’ u a e ı
sao cho
(a, b)(a , b ) = (1, 0).
T`. I v` III suy ra
u a
aa − bb = 1,
ba + ab = 0.
a b
T`. d´ r´t ra a =
u o u , b =− 2 . Nhu. vˆy
a
.
a2 + b2 a + b2
a b
z = ,− 2 ,
a2 + b2 a + b2
v` r˜ r`ng l`
a o a a
a b
z · z = (a, b) ,− 2
a2+b 2 a + b2
a2 + b2 −ab + ab
= 2 + b2
,− 2 = (1, 0).
a a + b2
Vˆ sau phˆn tu. nghich dao z cua z thu.`.ng du.o.c k´ hiˆu l` z −1 .
`e `a ’ . ’ ’ o . y e a.
2. R ⊂ C. X´t c´c c˘p dang (a, 0). Dˆ d`ng thˆy r˘ng tˆp ho.p R =
e a a . . ˜ a
e a `
´ a a
. .
{(a, 0), a ∈ R} lˆp th`nh mˆt tru o
a a o .`.ng con cua C. Ta x´t ´nh xa t`. R v`o R
’ e a
. . . u a
a → (a, 0).
16 Chu.o.ng 1. M˘t ph˘ng ph´.c v` h`m biˆn ph´.c
a
. ’
a u a a ´
e u
Hiˆn nhiˆn r˘ng nˆu (a, 0) = (a , 0) th` a = a v` ngu.o.c lai, dˆng th`.i
’
e e ` a ´
e ı a . . ` o o
a + b → (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0),
ab → (ab, 0) = (a, 0)(b, 0).
Do d´ ´nh xa v`.a x´t l` mˆt d˘ng cˆu gi˜.a R v` R v` ph´p d˘ng cˆu n`y
oa . u e a o a . ’ ´
a u a a e a ’ ´
a a
cho ph´p ta xem R nhu a o
e . l` mˆt tru.`.ng con cua C.
o ’
.
3. Phu.o.ng tr` x2 + 1 = 0 c´ nghiˆm trong C, t´.c l` C ch´.a phˆn tu. i
ınh o e
. u a u `
a ’
2
m` i = −1.
a
Thˆt vˆy, gia su. x = (a, b) ∈ C. Khi d´ trong C phu.o.ng tr` x2 + 1 = 0
a a
. . ’ ’ o ınh
c´ dang:
o .
(a, b)(a, b) + (1, 0) = (0, 0),
hay l`
a
a2 − b2 + 1 = 0,
2ab = 0.
T`. d´ r´t ra a = 0, b = 1 v` a = 0, b = −1. Ta k´ hiˆu hai nghiˆm d´ l`
u o u a y e . e
. o a
i = (0, 1) v` −i = (0, −1).
a
1.1.2 Dang dai sˆ cua sˆ ph´.c
. ´
. o ’ ´ u
o
Ta c´ dinh l´ sau dˆy
o . y a
Dinh l´ 1.1.2. Moi sˆ ph´.c z = (a, b) ∈ C dˆu c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang
-. y ´
. o u ` o e e
e ’ ’ ˜
e o .
z = (a, b) = a + ib.
Ch´.ng minh. Thˆt vˆy, ta c´
u a a
. . o
z = (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + ib.
Ph´p biˆu diˆn sˆ ph´.c z = (a, b) du.´.i dang a + ib du.o.c goi l` dang dai
e e’ ˜ o u
e ´ o . . . a . .
.c. Sˆ a du.o.c goi l` phˆn thu.c cua sˆ ph´.c
´ ´
’ o u
sˆ hay dang Descartes cua sˆ ph´
o . ´
o . . a ` a . ´
’ o u
1.1. Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c
a
. . o u´ a
. ’
a u 17
z v` k´ hiˆu l` a = Re [z], sˆ b du.o.c goi l` phˆn ao cua n´ v` k´ hiˆu l`
a y e a . ´
o . . a ` ’a ’ o a y e a .
2
b = Im [z].
Nˆu z = Re [z] th` z l` mˆt sˆ thu.c. Nˆu z = iIm [z] th` z l` mˆt sˆ
´
e ı a o o .. ´ ´
e ı . ´
a o o
` ’
thuˆn ao. V´
a o.i quan diˆm c´c ph´p to´n trong tru.`.ng c´c sˆ ph´.c, sˆ thuˆn
e ’ a e a o ´
a o u ´
o `
a
ao bi c´ thˆ hiˆu nhu. l` t´ cua sˆ thu.c b v´.i do.n vi ao i v` mˆ i sˆ ph´.c
’ o e e ’ ’ a ıch ’ o . ´ o . ’ ˜ ´
a o o u
a + ib nhu. l` tˆng cua sˆ thu.c a v´.i sˆ thuˆn ao ib.
a o ’ ’ o . ´ o o ´ ` ’
a
Do d´ trong c´ch xˆy du
o a a .ng sˆ ph´.c n`y ta d˜ su. dung c´c k´ hiˆu c´
´
o u a a ’ . a y e o
. .
mˆt y ngh˜ ho`n to`n cu thˆ a ı e
o ´
. ıa a a . e ’ v` v` thˆ tr´nh du.o.c t´nh h`nh th´.c do k´
´ a . ı ı u y
.n vi ao i mang lai.
hiˆu do . ’
e
. .
Hˆ qua. Gia su. z = a + ib ∈ C. Khi d´ sˆ ph´.c liˆn ho.p z c´ thˆ biˆu diˆn
e
. ’ ’ ’ ´
o o u e . o e e’ ’ e
du.´.i dang z = a − ib.
o .
Ph´p chuyˆn t`. sˆ ph´.c d˜ cho sang sˆ ph´.c liˆn ho.p v´.i n´ du.o.c goi l`
e ’ ´
e u o u a ´
o u e . o o . . a
´
ph´p lˆy liˆn ho
e a e . .p.
Dinh l´ 1.1.3. Gia su. z, z1 v` z2 ∈ C. Khi d´
-. y ’ ’ a o
1. z1 + z2 = z 1 + z2 ;
2. z1z2 = z 1 · z2 , αz = αz, ∀ α ∈ R;
3. z = z.
Ch´.ng minh. 1. Thˆt vˆy, gia su. z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2. Khi d´
u a a
. . ’ ’ o
z1 + z2 = (a1 + a2) − i(b1 + b2 )
= (a1 − ib1) + (a2 − ib2) = z 1 + z2 .
2. Tu.o.ng tu.
.
z1z1 = (a1 a2 − b1b2 ) − i(a1b2 + a2 b1)
= (a1 − ib1)(a2 − ib2) = z1 · z 2 .
e’
3. Hiˆn nhiˆn.
e
C´c k´ hiˆu Re v` Im xuˆt hiˆn do viˆc viˆt t˘t c´c t`. tiˆng Ph´p Reel (thu.c) v`
2
a y e . a ´
a e
. e
. ´ ´
e a a u e ´ a . a
’
Imaginaire (ao)
18 Chu.o.ng 1. M˘t ph˘ng ph´.c v` h`m biˆn ph´.c
a
. ’
a u a a ´
e u
Mˆt sˆ ph´.c tr`ng v´.i sˆ liˆn ho.p v´.i n´ khi v` chı khi n´ l` sˆ thu.c.
. ´
o o u u ´
o o e . o o a ’ ´
o a o .
Dˆ thˆy ´nh xa t`. tˆp ho.p tˆt ca c´c sˆ ph´.c v`o tˆp ho.p c´c sˆ ph´.c
˜ a a
e ´ . u a
. ´
. a ’ a o u a a ´ . . ´
a o u
liˆn ho.p v´.i ch´ng:
e . o u
C z→z∈C
l` mˆt tu. d˘ng cˆu cua C (Ban doc h˜y tu. kiˆm tra !).
a o . a
. ’ ´
a ’ . . a . e ’
1.1.3 Ph´p tr`. v` ph´p chia sˆ ph´.c
e u a e ´ u
o
C´c ph´p to´n tr`. v` chia du.o.c dinh ngh˜ nhu. c´c ph´p to´n ngu.o.c v´.i
a e a u a . . ıa a e a . o
a a ´
ph´p cˆng v` nhˆn. Dˆi v´
e o o o .i ph´p tr`. ta c´
e u o
.
Dinh l´ 1.1.4. Gia su. z1 v` z2 ∈ C. Khi d´ tˆn tai mˆt v` chı mˆt sˆ ph´.c
-. y ’ ’ a o ` .
o o a ’ o o u
. . ´
’
z sao cho z1 + z = z2 , cu thˆ l` z = (−z1 ) + z2.
. e a
Ch´.ng minh. 1. Ta c´ z1 + ((−z1) + z2) = (z1 + (−z1)) + z2 = 0 + z2 = z2
u o
v` nhu. vˆy z = (−z1) + z2 thoa m˜n d`i hoi cua dinh l´.
a a
. ’ a o ’ ’ . y
.o.c lai, nˆu z1 + z = z2 th` (−z1) + (z1 + z) = (−z1) + z2. T`. d´
2. Ngu . . ´
e ı u o
z = (−z1) + z2 v` nhu a .
a . vˆy dinh l´ du.o.c ch´.ng minh.
y u
. .
Sˆ ph´.c z = (−z1) + z2 du.o.c goi l` hiˆu cua c´c sˆ ph´.c z2 v` z1. Thˆng
´
o u . . a e ’ a o u
. ´ a o
.`.ng hiˆu d´ du.o.c k´ hiˆu l`
thu o e o
. . y e a .
z = z2 − z1,
a e´
v` nˆu z1 = a1 + ib1, c`n z2 = a2 + ib2 th`
o ı
z = z2 − z1 = (a2 − a1) + i(b2 − b1 ).
Dˆi v´.i ph´p chia ta c´
´
o o e o
Dinh l´ 1.1.5. Gia su. z1 v` z2 ∈ C, z2 = 0. Khi d´ tˆn tai mˆt v` chı mˆt
-. y ’ ’ a o ` .
o o a ’ o
. .
´
sˆ ph´
o u .c z sao cho z2z = z1 , cu thˆ l`: z = z −1 z1 .
’
. e a 2
Ch´.ng minh. 1. Nˆu z = z2 z1 th` z2 z = z2 (z2 z1) = z1.
u ´
e −1
ı −1
´ −1 −1
2. Nˆu z2 z = z1 ⇒ z = z2 (z2 z) = z2 z1 .
e
1.1. Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c
a
. . o u´ a
. ’
a u 19
Nhu. vˆy sˆ z2 z1 l` thu.o.ng cua ph´p chia z1 cho z2.
a o −1
. ´ a ’ e
z1
Sˆ thu.o.ng thu.`.ng du.o.c k´ hiˆu l`
´
o o . y e a z ho˘c z1/z2 .
. a
.
2
Gia su. z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Khi d´ ta c´ thˆ viˆt:
’ ’ o ’ ´
o e e
z1 z1 · z2 (a1 + ib1)(a2 − ib2)
z= = =
z2 z2 · z2 a2 + b2
2 2
a1a2 + b1b2 a2b1 − a1b2
= +i ·
a2 + b2
2 2 a + 22 + b2
2
Nhu. vˆy
a
.
a1a2 + b1b2 a2b1 − a1b2
z= 2 2
+i 2 ·
a2 + b2 a2 + b2
2
V` t`. d´ suy ra r˘ng ph´p chia cho sˆ ph´.c z = 0 bˆt k` l` luˆn luˆn thu.c
a u o `
a e ´
o u ´
a y a o o .
.o.c.
hiˆn du .
e
.
1.1.4 M˘t ph˘ng ph´.c
a
. ’
a u
Gia su. trˆn m˘t ph˘ng R2 cho hˆ toa dˆ Descartes vuˆng g´c xOy. Nhu. d˜
’ ’ e a
. ’
a e . o
. . o o a
biˆt, hai diˆm du.o.c x´c dinh bo.i c´c toa dˆ Descartes vuˆng g´c tr`ng nhau
´
e ’
e . a . ’ a . o . o o u
a ’ o a . `
o a a . `
khi v` chı khi ch´ng c´ ho`nh dˆ b˘ng nhau v` tung dˆ b˘ng nhau. Do d´
u o a o
’
ta c´ thˆ x´c lˆp mˆt ph´p tu
o e a a o e .o.ng u.ng do.n tri mˆt - mˆt gi˜.a c´c diˆm cua
´ ’ ’
. . . o . o u a
. e
m˘t ph˘ng R2 v´.i c´c sˆ ph´.c cua C, trong d´ mˆ i sˆ ph´.c z = x + iy ∈ C s˜
a. a’ o a o u ’´ o ˜ o u
o ´ e
tu.o.ng u.ng v`.i diˆm ho`n to`n x´c dinh M(x, y) ∈ R2 v` ngu.o.c lai mˆ i diˆm
´ o e ’ a a a . a ˜ ’
. . o e
2
M(x, y) ∈ R s˜ tu e .o.ng u.ng v´.i sˆ ph´.c ho`n to`n x´c dinh z = x + iy ∈ R2 .
´ o o u´ a a a .
Nhu. vˆy ph´p tu.o.ng u.ng
a. e ´
R2 (x, y) → x + iy ∈ C
l` do.n tri mˆt - mˆt. T`. d´ ta thˆy r˘ng moi sˆ ph´.c dˆu c´ thˆ biˆu diˆn
a . o . o
. u o a `
´ a . o u ` o e e
´ e ’ ’ ˜
e
’.i diˆm cua m˘t ph˘ng v` nhu. vˆy c´c thuˆt ng˜. “sˆ ph´.c z” v` “diˆm z”
bo e ’ ’ a ’
a a a a a u o u´ a ’
e
. . .
du.o.c d`ng nhu. nh˜.ng t`. dˆng ngh˜a.
. u u u ` o ı
Dinh ngh˜ 1.1.3. M˘t ph˘ng v´.i ph´p tu.o.ng u.ng do.n tri mˆt - mˆt
-. ıa a
. ’
a o e ´ . o. o
.
R2 (x, y) → x + iy ∈ C
20 Chu.o.ng 1. M˘t ph˘ng ph´.c v` h`m biˆn ph´.c
a
. ’
a u a a ´
e u
nhu. d˜ mˆ ta o. trˆn du.o.c goi l` m˘t ph˘ng ph´.c v` c˜ng du.o.c k´ hiˆu l` C.
a o ’ ’ e . . a a . a’ u a u . y e a.
’ n´i mˆt c´ch kh´c: m˘t ph˘ng m` c´c diˆm cua n´ du.o.c d`ng
C´ thˆ o
o e o a
. a a
. ’
a a a e’ ’ o . u
’
e o ’ o u ´ .c goi l` m˘t ph˘ng ph´.c. C´c sˆ thu.c du.o.c mˆ ta bo.i c´c
dˆ mˆ ta sˆ ph´ . a a a’ u ´
a o . o ’ ’ a
. .
’
diˆm trˆn truc Ox nˆn truc d´ du .
e e e .o.c goi l` truc thu.c. C´c sˆ thuˆn ao du.o.c
´ ` ’
. . o . a . . a o a .
mˆ ta
o ’ bo.i c´c diˆm trˆn truc Oy nˆn truc Oy du.o.c goi l` truc ao.
’ a ’
e e . e . . . a . ’
Ta c˜ng c´ thˆ x´c lˆp ph´p tu.o.ng u.ng gi˜.a c´c phˆn thu.c v` phˆn ao
u ’
o e a a . e ´ u a `a . a ` ’
a
´ .c v´.i c´c toa dˆ cua vecto. v´.i gˆc, ch˘ng han, tai gˆc toa dˆ. Su.
cua sˆ ph´ o a . o ’
’ o u o o ´ ’
a ´
. . . o . o ..
tu.o.ng u.ng gi˜.a c´c sˆ ph´.c v` c´c vecto. trˆn m˘t ph˘ng ph´.c v´.i gˆc tai
´ u a o ´ u a a e a ’
a u o o ´ .
.
O l` mˆt ph´p tu
a o e .o.ng u.ng do.n tri mˆt - mˆt. Do d´ sˆ ph´.c z c`n c´ thˆ
´ ´ ’
. . o . o. o o u o o e
’ ˜
biˆu diˆn bo
e e ’.i mˆt vecto. v´.i gˆc tai O v` dˆu m´t tai diˆm z v` ta c´ thˆ su.
o ´
o o . a `a u . e ’ a ’
o e ’
.
dung thuˆt ng˜. “sˆ ph´.c z” v` “vecto. z” nhu. nh˜.ng thuˆt ng˜. dˆng ngh˜
. a
. u o u ´ a u a
. u `o ıa.
Nh` a
o. c´ch minh hoa vecto. dˆi v´.i c´c sˆ ph´.c, vˆ m˘t h` hoc ta c´ thˆ
´
o o a o u ´ ` a ınh .
e . o e ’
.
thu .c hiˆn ph´p cˆng v` tr`. c´c sˆ ph´.c theo c´c quy t˘c cˆng v` tr`. c´c
e e o a u a o u ´ a ´ o
a . a u a
. . .
vecto..
1.1.5 Mˆdun v` acgumen cua sˆ ph´.c
o a ’ ´ u
o
Bˆy gi`. ta x´t c´c toa dˆ cu.c cua diˆm biˆu diˆn sˆ ph´.c z b˘ng c´ch chon
a o e a . o . . ’ ’
e ’
e ˜ o u
e ´ `
a a .
´c toa dˆ l`m gˆc-cu.c v` phˆn du.o.ng cua truc thu.c l`m truc cu.c.
gˆ . o a
o . o´ . a a ` ’ . . a . .
Nhu . ta biˆt, c´c toa dˆ cu.c cua diˆm gˆm c´ b´n k´nh vecto. cua n´ (b˘ng
´
e a . o . ’ ’
e ` o o a ı ’ o a `
.
’
khoang c´ch t` e
a . diˆm z dˆn gˆc cu.c) v` g´c cu.c tao nˆn bo.i hu.´.ng du.o.ng
u ’ ´ ´
e o . a o . . e ’ o
cua truc cu.c v` vecto. di t`. cu.c dˆn diˆm z.
’ . . a u . e ´ ’
e
Dinh ngh˜ 1.1.4. Dˆ d`i cua b´n k´nh-vecto. cua diˆm biˆu diˆn sˆ ph´.c
-. ıa o a ’
. a ı ’ ’
e ’
e ˜ o u
e ´
.o.c goi l` mˆdun cua sˆ ph´.c v` k´ hiˆu l` |z|.
z du . ´
’ o u a y e a
. a o .
o a ´
R˜ r`ng l` nˆu z = a + ib th`
a e ı
√
|z| = zz = (a2 + b2)1/2.
Dˆi v´.i sˆ ph´.c z ∈ C bˆt k` mˆdun cua n´ x´c dinh mˆt c´ch do.n tri.
´
o o o u ´ ´
a y o ’ o a . o a
. .
.`.ng ho.p khi z l` sˆ thu.c th` mˆdun cua z tr`ng v´.i gi´ tri tuyˆt
Trong tru o ´
a o . ı o ’ u o a . e
. .
´
o ’ o
dˆi cua n´.
1.1. Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c
a
. . o u´ a
. ’
a u 21
Dinh l´ 1.1.6. Mˆdun cua sˆ ph´.c z c´ c´c t´ chˆt sau dˆy:
-. y o ’ o u´ o a ınh a ´ a
1. |z| 0, |z| = 0 ⇔ z = 0;
2. |z1z2 | = |z1| |z2 |,
3. |z1 + z2 | |z1| + |z2| (bˆt d˘ng th´.c tam gi´c).
´ ’
a a u a
Ch´.ng minh. 1. Du.o.c suy t`. dinh ngh˜a.
u . u . ı
2. Ta c´ |z1z2| = z1 z2 · z1z2 = z1z 1 · z2z 2 = |z1|2 |z2|2 . Do d´ |z1 z2| =
o 2
o
|z1| |z2|.
3. Ta c´
o
|z1 + z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2) = |z1 |2 + |z2 |2 + 2Re(z1z 2 ).
Do d´, dˆ y dˆn bˆt d˘ng th´.c
’ ´ ´ ’
o e´ e a a u
−|z1z2| Re(z1z 2 ) |z1z2 |
ta suy ra
|z1 + z2 |2 |z1|2 + |z2|2 + 2|z1 z2| = (|z1|2 + |z2|2)2
th`nh thu.
a ’
|z1 + z2| |z1 | + |z2|
Nhˆn x´t. T`. dinh l´ v`.a ch´.ng minh suy ra r˘ng
a e
. u . y u u `
a
|z1 − z2| = d(z1, z2)
l` khoang c´ch gi˜.a hai diˆm z1 v` z2 v` dai lu.o.ng |z| l` dˆ d`i cua b´n
a ’ a u ’
e a a . . a o a ’
. a
k´nh-vecto. z.
ı
Hˆ qua
e
. ’
a) |z1 − z2 | |z1| + |z2|;
b) |z1 + z2 | |z1| − |z2|;
c) |z1 − z2| |z1 | − |z2 |;
d) |z1 + z2 | |z1| − |z2| ;
e) |z1 − z2| |z1| − |z2| .
22 Chu.o.ng 1. M˘t ph˘ng ph´.c v` h`m biˆn ph´.c
a
. ’
a u a a ´
e u
Ch´.ng minh. a) Thˆt vˆy, v` |z2 | = | − z2| nˆn
u a a
. . ı e
|z1 − z2 | = |z1 + (−z2)| |z1| + | − z2| = |z1| + |z2|.
b) Dˆ ch´.ng minh b) ta ´p dung a) cho
’
e u a .
z1 = (z1 + z2 ) − z2.
Ta c´
o
|z1| |z1 + z2| + |z2| ⇒ |z1 + z2| |z1 | − |z2|.
c) |z1 − z2| = |z1 + (−z2)| |z1| − | − z2| = |z1 | − |z2 |.
d) Ta c´ |z1 + z2 | |z1| − |z2| v` |z1 + z2| |z2 | − |z1 |. Do d´
o a o
−|z1 + z2| |z1| − |z2| |z1 + z2 | ⇔ |z1| − |z2| |z1 + z2|.
e) Bˆt d˘ng th´.c e) thu du.o.c t`. d) sau khi thay z2 bo.i −z2.
´ ’
a a u . u ’
T`. bˆt d˘ng th´.c tam gi´c, dˆ d`ng suy ra r˘ng
´ ’
u a a u a ˜ a
e `
a
n n
zk |zk |. (1.1)
k=1 k=1
T`. bˆt d˘ng th´.c n`y v` a) suy ra
´ ’
u a a u a a
|z1 + z2 + · · · + zn | |z1| − |z2 + z3 + · · · + zn |
|z1| − |z2| − · · · − |zn |. (1.2)
C´ thˆ xem c´c bˆt d˘ng th´.c (1.1) v` (1.2) nhu. nh˜.ng bˆt d˘ng th´.c
o e ’ ´ ’
a a a u a u ´ ’
a a u
tˆng qu´t dˆi v´.i bˆt d˘ng th´.c tam gi´c v` bˆt d˘ng th´.c a).
o’ ´
a o o a a ´ ’ u a a a a´ ’ u
Bˆy gi`
a o . ta chuyˆn sang dinh ngh˜a acgumen cua sˆ ph´.c z = a + ib = 0.
’
e ı ´
’ o u
√ .
2 2 2 2
Ta d˘t r = |z| = a2 + b2 . V` a
a. ı r ,b r nˆn
e
a b
1 v`
a 1.
r r
1.1. Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c
a
. . o u´ a
. ’
a u 23
π
Nhu. ta biˆt, v´.i moi x ∈ [0, 1] tˆn tai mˆt v` chı mˆt sˆ y ∈ 0,
´ o
e . ` .
o o a ’ o o
. . ´ sao
2
. d´ suy r˘ng tˆn tai sˆ α0 sao cho
cho sin y = x. T` o
u `
a ` . o
o ´
π b
a) 0 α0 , b) sin α0 = .
2 r
Nhu.ng v`ı
a 2 b 2
+ =1
r r
nˆn
e
a b
= ± cos α0 , = ± sin α0.
r r
. ´
e ı `
a ´
D˘t α = α0 . Nˆu a < 0 th` thay α b˘ng π − α. Nˆu b < 0 th` thay α
a e ı
` .o.c sˆ α thoa m˜n diˆu kiˆn
b˘ng −α. Do d´ ta thu du . o
a o ´ ’ a `
e e
.
a b
= cos α, = sin α. (1.3)
r r
Ta c´ dinh ngh˜ sau dˆy.
o . ıa a
Dinh ngh˜ 1.1.5. Sˆ thu.c α thoa m˜n hˆ (1.3) du.o.c goi l` acgumen cua
-. ıa ´
o . ’ a e
. . . a ’
´
sˆ ph´
o u .c z v` du.o.c k´ hiˆu l` Arg z.
a . y e a .
T`. dinh ngh˜a n`y dˆ d`ng nhˆn thˆy r˘ng acgumen cua z l` g´c tao nˆn
u . ı a ˜ a e a
. ´ `
a a ’ a o . e
gi˜
u .a hu.´.ng du.o.ng cua truc thu.c v´.i vecto. z nhˆn hu.´.ng ngu.o.c chiˆu kim
o ’ o a o `e
. . . .
dˆng hˆ l`m hu.´.ng biˆn thiˆn du.o.ng.
`
o ` a
o o ´
e e
o o ´
´
Dˆi v´ o.i sˆ z = 0 acgumen khˆng c´ gi´ tri x´c dinh v` d´ c˜ng l` diˆm
o o a . a . a o u a e ’
´
duy nhˆt c´ acgumen khˆng x´c dinh. Thˆt vˆy, z = 0 ⇔ Re z = Im z = 0,
a o o a . a a
. .
do d´ t`
o u . (1.3) suy ra arg 0 khˆng x´c dinh.
o a .
’ o u
Acgumen cua sˆ ph´ ´ .c du.o.c x´c dinh khˆng do.n tri. Ta s˜ n´i r˜ d˘c diˆm
’
. a . o . e o o a e.
’ ı . ’
cua t´nh da tri cua acgumen.
Gia su. ϕ0 l` gi´ tri b´ nhˆt cua acgumen cua z du.o.c t´ theo hu.´.ng
’ ’ a a . e a ’ ´ ’ . ınh o
.o.ng. Sau khi thu.c hiˆn mˆt sˆ v`ng quay to`n phˆn vecto. z xung quanh
`
du . e. . ´
o o o a a
cu.c theo hu.´.ng du.o.ng ta s˜ di dˆn gi´ tri acgumen l` ϕ0 + k · 2π, trong d´
o e ´
e a . a o
.
k ∈ Z, k 0 l` sˆ v`ng quay vecto. z. Sˆ do do.n gian nhˆt cua acgumen theo
´
a o o ´
o ’ ´
a ’
24 Chu.o.ng 1. M˘t ph˘ng ph´.c v` h`m biˆn ph´.c
a
. ’
a u a a ´
e u
hu.´.ng ˆm s˜ l` −(2π − ϕ0) = ϕ0 − 2π. Do d´ nˆu thu.c hiˆn tiˆp s v`ng quay
o a e a ´
o e . e e
. ´ o
vecto. z xung quanh cu.c theo hu.´.ng ˆm th` ta s˜ di dˆn gi´ tri acgumen l`
. o a ı e ´
e a . a
´
ϕ0 − (s + 1)2π, s 0. Do d´, tˆt ca c´c gi´ tri c´ thˆ o ’
o a ’ a a . o e ’ c´ cua acgumen cua ’
.o.c cho bo.i cˆng th´.c ϕ = ϕ0 + 2kπ, k ∈ Z. Nhu. vˆy, moi sˆ ph´.c
z s˜ du .
e ’ o u a ´
. . o u
z = 0 dˆu c´ vˆ sˆ gi´ tri acgumen liˆn hˆ v´.i nhau mˆt c´ch do.n gian: hai
` o o o a .
e ´ e e o. o a
. ’
´
a . a y ’ e ’
gi´ tri bˆt k` cua acgumen kh´c nhau mˆt bˆi nguyˆn cua 2π.
a o o
. .
’ .o.c t´ da tri cua acgumen nˆu d˘t thˆm diˆu kiˆn
´ . `
Ta c´ thˆ tr´nh du . ınh
o e a . ’ e a e e e
.
dˆ a
e o. a a . o e ’
’ t´ch mˆt trong c´c gi´ tri c´ thˆ c´ cua acgumen, ch˘ng han diˆu kiˆn
’ o ’ a . `
e e
.
0 ϕ < 2π, ho˘c −π < ϕ π.
a
.
Gi´ tri cua acgumen cua z thoa m˜n diˆu kiˆn v`.a nˆu du.o.c goi l` gi´
a . ’ ’ ’ a `
e e u e
. . . a a
tri ch´ cua acgumen v` du.o.c k´ hiˆu l` arg z. Thˆng thu.`.ng ta s˜ x´t gi´
. ınh ’ a . y e a . o o e e a
. ’ `
tri acgumen thoa m˜n diˆu kiˆn
a e e
.
−π < arg z π.
Tr`. tru.`.ng ho.p z = 0, c`n dˆi v´.i sˆ ph´.c z bˆt k` luˆn luˆn tˆn tai gi´
u o . ´
o o o o u ´ ´
a y o o ` . a
o
´
a ’ ’ `
tri duy nhˆt cua acgumen thoa m˜n diˆu kiˆn v` e
a e e u .a nˆu.
. .
u. dinh ngh˜ gi´ tri ch´ cua arg z ta c´ hˆ th´.c
T` . ıa a . ınh ’ o e u
.
arctg b ,
khi a > 0
a
b
arg z = arctg + π , khi a < 0, b 0,
a
arctg b − π , khi a < 0, b < 0.
a
b
Ch´.ng minh. Thˆt vˆy, v` gi´ tri ch´
u a. a
. ı a . ’
ınh cua arctg ’
thuˆc khoang
o
.
a
π π
− , nˆn ta c´:
e o
2 2
a) nˆu diˆm z n˘m trong g´c phˆn tu. th´. I v` IV (a > 0) th` arg z =
´
e e’ `
a o `a u a ı
b
arctg ;
a
b) nˆu diˆm z n˘m trong g´c phˆn tu. th´. II (a < 0, b 0) th`
´
e ’
e `
a o `
a u ı
π b
− < arctg 0
2 a
1.1. Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c
a
. . o u´ a
. ’
a u 25
v`
a
b
arg z = arctg + π;
a
b π
c) cuˆi c`ng nˆu z n˘m trong g´c phˆn tu. th´. III th` 0 < arctg < v`
´
o u ´
e `
a o `
a u ı a
a 2
b
arg z = arctg − π.
a
π b π
a e
. e´
Nhˆn x´t. Nˆu 0 arg z < 2π v` −
a < arctg < l` nh˜.ng gi´ tri
a u a .
2 a 2
ch´ th` tu.o.ng tu. ta c´
ınh ı . o
arctg b
´
nˆu a > 0, b > 0,
e
a
b
arg(a + ib) = arctg + 2π ´
nˆu a > 0, b < 0,
e
a
arctg b + π
´
nˆu a < 0.
e
a
V´.i kh´i niˆm mˆdun v` acgumen cua sˆ ph´.c ta c´ thˆ biˆu diˆn sˆ
o a e
. o a ’ o u´ ’ ’
o e e ˜ o
e ´
u.c o. mˆt dang kh´c tiˆn lo.i ho.n trong viˆc thu.c hiˆn ph´p nhˆn v` ph´p
ph´ ’ o . a e . e e e a a e
. . . . .
chia.
Dinh ngh˜ 1.1.6. Gia su. z ∈ C v` z = 0; r = |z|. α = arg z. Khi d´ t`.
-. ıa ’ ’ a o u
(1.3) ta c´
o
z = r(cos α + i sin α). (1.4)
Hˆ th´.c (1.4) du.o.c goi l` dang lu.o.ng gi´c cua sˆ ph´.c z.
e u
. . . a . . a ’ o u ´
Dinh l´ 1.1.7. Moi sˆ ph´.c z = 0 dˆu c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang lu.o.ng
-. y ´
. o u ` o e e
e ’ ’ ˜e o . .
gi´c, trong d´ r = |z| x´c dinh do
a o a . .n tri, c`n Arg z, z = 0 x´c dinh v´.i su. sai
. o a . o .
a . ´
o o . o
. e ’
kh´c mˆt sˆ hang bˆi nguyˆn cua 2π.
Ch´.ng minh. Gia su. z = a + ib = 0. Khi d´
u ’ ’ o
a b
z = a + ib = |z| +i = r(cos α + i sin α).
|z| |z|
26 Chu.o.ng 1. M˘t ph˘ng ph´.c v` h`m biˆn ph´.c
a
. ’
a u a a ´
e u
Nˆu cho hai dang lu.o.ng gi´c cua sˆ z l`: r(cos α1 + i sin α1) = r(cos α2 +
´
e . . a ’ o a ´
i sin α2 ) th` khi z = 0 ta c´ r = 0 v` do d´ cos α1 = cos α2 v` sin α1 = sin α2 .
ı o a o a
Do d´ o
α1 = α2 + 2kπ, k ∈ Z.
` ´ ´
Vˆ sau, thay v` viˆt α1 = α2 + 2kπ, k ∈ Z ta s˜ viˆt
e ı e e e
α1 ≡ α2 (mod 2π).
` o o
e ıa a e . ´
Diˆu d´ c´ ngh˜ l` hiˆu α1 − α2 chia hˆt cho 2π.
e
Dinh l´ 1.1.8. Gia su. z1 = ρ1 (cos ϕ1 +i sin ϕ1 ) v` z2 = ρ2 (cos ϕ2 +i sin ϕ2).
-. y ’ ’ a
Khi d´o
1. z1 = z2 ⇔ ρ1 = ρ2 v` ϕ1 ≡ ϕ2 (mod 2π).
a
2. z1z2 = ρ1 ρ2 [cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)].
z1 ρ1
3. = [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )], z2 = 0.
z2 ρ2
Ch´.ng minh. Ph´p ch´.ng minh du.o.c suy tru.c tiˆp t`. cˆng th´.c (1.4).
u e u . . ´
e u o u
e
. ’
Hˆ qua.
1. |z1z2 | = |z1| |z2 |,
arg(z1z2 ) ≡ arg z1 + arg z2(mod 2π).
z1 |z1|
2. = ,
z2 |z2|
z1
arg ≡ arg z1 − arg z2(mod 2π).
z2
B˘ng phu.o.ng ph´p quy nap, cˆng th´.c 1) trong hˆ qua dˆ d`ng du.o.c
`
a a . o u e. ’ ˜ a
e .
a a .`.ng ho.p mˆt sˆ h˜.u han n th`.a sˆ. Cu thˆ ta c´
kh´i qu´t cho tru o ´
o o u u o ´ . e ’ o
. . .
|z1 z2 · · · zn | = |z1| · |z2| · · · |zn |,
1.1. Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c
a
. . o u´ a
. ’
a u 27
arg(z1z2 . . . zn ) ≡ arg z1 + arg z2 + · · · + arg zn (mod 2π).
Bˆy gi`. gia su. z1 = z2 = · · · = zn = z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ). Khi d´
a o ’ ’ o
˜ a a ´ n n n n
dˆ thˆy l`: |z | = |z| , arg(z ) ≡ narg z(mod2π) [ρ(cos ϕ + i sin ϕ)] =
e
ρn (cos nϕ + i sin nϕ). Khi ρ = 1 ta thu du.o.c cˆng th´.c Moivre:
. o u
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ.
Cˆng th´.c Moivre vˆ n c`n d´ng ca khi n = 0 v` n l` sˆ nguyˆn ˆm. V´.i
o u ˜
a o u ’ a a o ´ e a o
n = 0, d´ l` diˆu hiˆn nhiˆn v` (cos ϕ + i sin ϕ)0 = cos 0 + i sin 0 = 1. Bˆy
o a ` e ’
e e ı a
. d˘t k = −n, n ∈ N.
gi` a
o .
Ta c´o
1
(cos ϕ + i sin ϕ)k = (cos ϕ + i sin ϕ)−n =
(cos ϕ + i sin ϕ)n
1 (cos nϕ − i sin nϕ)
= =
(cos nϕ + i sin nϕ) (cos2 nϕ + sin2 nϕ)
= cos(−nϕ) + i sin(−nϕ) = cos kϕ + i sin kϕ.
Nhu. vˆy cˆng th´.c Moivre d´ng v´.i moi n ∈ Z.
a o
. u u o .
Nhˆn x´t 1. T` .
a e u. dinh l´ 1.1.8 suy r˘ng ph´p nhˆn sˆ ph´.c z1 v´.i sˆ ph´.c
y `
a e a o u ´ ´
o o u
.
z2 du.o.c dˆ n vˆ ph´p quay vecto. z1 xung quanh gˆc toa dˆ mˆt g´c b˘ng
. ˜
a ` e e o . o o o `
´ . . a
arg z2 v` tiˆp dˆn l` ph´p gi˜n |z2| lˆn (nˆu |z2| > 1) ho˘c co |z2 | lˆn vecto.
´ ´
a e e a e a `
a ´
e a
. `
a
´
z1 (nˆu |z2| < 1).
e
2. Ph´p chia z1 cho z2 du.o.c xem nhu. ph´p nhˆn z1 v´.i 1/z2 . Bˆy gi`. ta
e . e a o a o
nˆu ra su ’
e . giai th´ h` hoc ph´p to´n w = 1/z.
ıch ınh . e a
.
’ ’
Gia su . |z| < 1. T`. diˆm z ta ke du.`.ng vuˆng g´c v´.i tia Oz c˘t du.`.ng
u e ’ ’ o o o o ´
a o
tr`n do.n vi {|z| = 1} tai diˆm ζ. T`. diˆm ζ ta ke tiˆp tuyˆn v´.i du.`.ng
o . . e’ u e ’ ’ e ´ ´
e o o
.n vi v` gia su. tiˆp tuyˆn d´ c˘t tia Oz tai diˆm ω. Hiˆn nhiˆn r˘ng
´ e o ´
´ ’ ’ e `
tr`n do
o . a ’ ’ e a . e e a
1
arg ω = arg z, |ω| = .
|z|
Nhu. vˆy sˆ ω liˆn ho.p v´.i 1/z: ω = 1/z. Bu.´.c chuyˆn t`. diˆm z dˆn
. ´
a o e . o o ’
e u e ’ ´
e
diˆm 1/z du.o.c goi l` ph´p dˆi x´.ng qua du.`.ng tr`n do.n vi. Bˆy gi`. dˆ thu
’
e . . a e o u ´ o o . a o e ’
du.o.c 1/z ta chı cˆn x´c dinh diˆm dˆi x´.ng v´.i ω qua truc thu.c.
. ’ `a a . e’ ´
o u o . .
Trong tru o .`.ng ho.p |z| > 1 th` ph´p du.ng d˜ mˆ ta cˆn tiˆn h`nh theo
ı e a o ’ ` a ´
e a
. .
th´. tu. ngu.o.c lai.
u . . .
