Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Luận văn
Phép biến đổi
Laplace
1 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Mục lục
PHẦN 1: MỞ ĐẦU.......................................................................................................... 3
1. Lý do chọn đề tài........................................................................................................... 3
2. Mục đích nghiên cứu.................................................................................................... 4
3. Đối tượng nghiên cứu .................................................................................................. 4
4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................................. 4
5. Cấu trúc khóa luận....................................................................................................... 4
PHẦN 2: NỘI DUNG ...................................................................................................... 5
Chương 1 ......................................................................................................................... 5
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES............................ 5
1. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG.................................................................. 5
1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung)...................................................... 5
1.2 Gradien của trường vô hướng .................................................................................... 7
1.3 Các tính chất của Gradien........................................................................................ 10
1.4 Ý nghĩa vật lý của gradien ........................................................................................ 10
2. DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ ................................................................................ 11
2.1 Trường vectơ-đường vectơ........................................................................................ 11
2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ ................................................................................... 11
2.1.2 Thông lượng của trường vectơ qua một mặt............................................................ 12
2.1.2.1 Thông lượng ........................................................................................................ 12
2.1.2.2 Ý nghĩa vật lý của thông lượng ............................................................................ 13
2.2 Dive của trường vectơ............................................................................................... 14
2.2.1 Dive của trường vectơ............................................................................................. 14
2.2.2 Trường hình ống..................................................................................................... 15
2.2.3 Ý nghĩa vật lý của dive............................................................................................ 16
3. ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ............................................................................... 16
3.1 Lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến............................................................. 16
3.2 Rota của trường........................................................................................................ 17
3.3 Định lý stokes dưới dạng vectơ ................................................................................. 19
3.4 Ý nghĩa vật lý của rota.............................................................................................. 19
4. CÁC PHÉP TÍNH ĐỐI VỚI DIVE VÀ ROTA ........................................................ 20
4.1 Dive và rota của vectơ hằng số bằng không ............................................................. 20
4.2 Dive và rota có tính chất tuyến tính.......................................................................... 20
4.3 Các phép tính đối với tích ......................................................................................... 21
CHƯƠNG 2 ................................................................................................................... 22
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CONG ..................................... 22
1. HỆ TỌA ĐỘ CONG.................................................................................................. 22
1.1 Định nghĩa................................................................................................................ 22
1.2 Các ví dụ ................................................................................................................... 23
1.3 Hệ tọa độ cong trực giao........................................................................................... 24
1.4 Hệ số Lame............................................................................................................... 24
1.5 Điều kiện cần và đủ để hệ tọa độ cong trực giao ...................................................... 26
2 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
2. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG.............. 28
3. DIVE TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG ........................................................................ 30
4. ROTA TRONG TỌA ĐỘ CONG ............................................................................. 32
5. TOÁN TỬ VI PHÂN CẤP HAI ................................................................................ 35
5.1 Toán tử “Nabla”....................................................................................................... 35
5.2 Toán tử “Laplace”.................................................................................................... 36
Chương 3 ....................................................................................................................... 38
PHẦN 3: KẾT LUẬN.................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................. 49
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó,
mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành
khoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học là tính
thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý
học một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học.
Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoa
giữa toán học và vật lý học.
Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyết
gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của
nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự
phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn tới sự ra đời
của một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết.
Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới.
Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mối
quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm
được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiều
hiện tượng xét một cách tổng quát nhất.
3 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất
phong phú và đa dạng. Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành
như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích
phân…Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinh
viên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học khác
trong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của
họ sau khi ra trường.
Bước đầu khám phá và đi sâu vào các công cụ toán học cũng như ứng
dụng của nó trong vật lý. Đề tài: “Phép biến đổi Laplace” cũng là một trong
số những công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý. Nó giúp
chúng ta giải quyết các bài toán vật lý một cách đơn giản hơn. Vì vậy khi
chọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toán
dùng trong vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong
nghiên cứu vật lý.
- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes.
- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệ
tọa độ thường gặp trong vật lý đó là: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Các phép biến đổi Laplace và ý nghĩa của chúng.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Vật lý lý thuyết
- Phương pháp giải tích toán học
- Đọc tài liệu và tra cứu
5. Cấu trúc khóa luận
Đề tài nghiên cứu gồm:
4 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
- Chương 1: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes.
- Chương 2: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong.
- Chương 3: Bài tập
PHẦN 2: NỘI DUNG
Chương 1
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES
1. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG
1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung)
Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó
ứng với một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f (M). Cho một trường
vô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộc
vào từng điểm M của miền V. Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có:
u = f (M) = f (x, y, z)
Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗi
điểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểm
này.
Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z). Nếu hàm vô hướng u = f (M) của
trường không thay đổi theo thời gian, ta có trường dừng. Nếu f còn phụ thuộc
cả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổi f (M, t). Để
biểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức. Tập hợp tất
cả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt mức
5 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
tương ứng với số C. Ứng với mỗi giá trị của C ta có một mặt mức, cho C các
giá trị khác nhau ta có họ mặt mức.
Ví dụ như, đối với trường u = x +y + z mặt mức tương ứng với giá trị 1 là mặt
phẳng x + y + z = 1. Mặt mức đối với giá trị 2 là mặt phẳng x + y + z = 2. Đối
với trường vô hướng cầu nào đó, mặt mức là một mặt cầu với tâm tại gốc tọa
1
độ, ví dụ đối với trường y mặt mức u = 4 là hình cầu
x y2 z2
2
1 1
2 2 2
4 hay x 2 y 2 z 2 .
x y z 4
Giả sử cho đường cong L và trên đường cong này ta chọn một hướng
nào đó (ví dụ theo chiều mũi tên). Khi đó đường cong gọi là được định hướng
(H.1.1).
Giả sử M và M 1 là 2 điểm trên đường cong, kí hiệu S là độ dài cung
MM 1 , S lấy dấu + nếu điểm M 1 đứng sau điểm M và
M1
L
lấy dấu - nếu điểm M 1 đứng trước điểm M. M
Tốc độ trung bình của hàm u = f (M) dọc theo
H.1.1
cung M M 1 là tỷ số của số gia của hàm (khi dịch
chuyển từ M đến M 1 ) và độ dài cung S , tức bằng:
f (M ) f (M1 )
S
Đạo hàm theo đường cong L tại điểm M 1 là giới hạn của tỷ số:
f (M ) f ( M 1 )
khi điểm M dịch chuyển dọc theo đường cong L tiến đến
S
f
điểm M 1 . Kí hiệu đạo hàm qua , ta có:
L
f f (M ) f (M1 )
= Mlim (1.1)
L M1 S
Ta có thể dễ dàng chứng minh:
6 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
f
M =
L 1
f f f
M1 cos M1 cos M1 cos
x y z
(1.2) L1
trong đó là các góc tạo bởi
L2
vectơ tiếp tuyến với đường cong L
M1
tại các đểm M 1 và các trục toạ độ.
Đạo hàm theo đường cong tại điểm H. 1.2
M 1 không phụ thuộc vào hình dạng
đường cong mà chỉ phụ thuộc vào hướng của tiếp tuyến với L tại điểm M 1 nói
cách khác, nếu các đường cong L1 và L 2 đi qua M 1 có tại điểm này cùng một
vectơ tiếp tuyến, thì đạo hàm tại điểm này theo đường cong L1 bằng đạo hàm
theo đường cong L2 (H. 1.2).
1.2 Gradien của trường vô hướng
Ta xét trường vô hướng u = f(x, y, z) và tính đạo hàm của u theo hướng
vectơ , trong đ ó = ai + b j + ck . Người ta gọi đạo hàm theo hướng của vectơ
tại điểm M là đạo hàm theo cung L bất kỳ đi qua M và tiếp xúc với . Đạo
u u
hàm riêng là đạo hàm theo hướng vectơ i , đạo hàm riêng là đạo hàm
x y
u
theo hướng vectơ j , đạo hàm riêng là đạo hàm theo hướng vectơ k . Trước
z
hết hãy tìm các cosin theo hướng của vectơ .
a b c
cos
2 2 2
; cos 2 2 2
; cos
a b c a b c a b2 c 2
2
Do đó
7 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
u u u
a b c
u x y z
(1.3)
a 2 b2 c 2
Trong biểu thức trên tử số là tích vô hướng cuả vectơ và vectơ có toạ
u u u
độ là ( , , ). Gọi vectơ này là gradien của u và ký hiệu gradu:
x y z
u u u
Gradu = i + j+ k (1.4)
x y z
u gradu
Do đó:
u gradu . cos( gradu , )
Hay là:
Vậy:
u
gradu .cos( gradu , )
(1.5)
Ta thấy vế phải của (1.5) là hình chiếu của gradu lên hướng . Từ đây ta
suy ra đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất. Như vậy gradu là
vectơ mà theo hướng của nó hàm u tăng với vận tốc lớn nhất.
x3 y 2
Ví dụ 1: Cho trường vô hướng u xuất phát từ M (1, 2, 1) theo
z
hướng nào hàm u tăng nhanh nhất.
Giải:
u u u 3x 2 y 2 2 x3 y x3 y 2
gradu i j k i j 2 k
x y z z z z
gradu tại M
graduM 12i 4 j k
Đạo hàm theo hướng gradien, tức
u
( max 122 4 2 (4) 2 176 13.3
8 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số u x 2 y 2 x tại điểm M 0 (1, 2) theo
hướng vectơ M 0 M 1 trong đó M 1 (3, 0) .
Giải:
Ta thấy M0M1 (2, -2)
u u
2 ; 2x y2 ; 2 xy
x y
Do đó:
u gradu.
gradu M 0 (6, 4) và
2
Định lí: Giả sử gradien của hàm u = f (x, y, z) gradu
tại điểm M khác không. Khi đó nó vuông góc với
đường cong bất kỳ đi qua điểm M và nằm trong mặt
M
mức u(x, y, z) = C, C là hằng số. l
Chứng minh: Vẽ qua điểm M đường cong l
H.1.3
nằm trong mặt mức, bởi vì hàm u không thay đổi khi
u
nó chuyển động theo đường cong l, nên 0 . Nhưng đạo hàm theo cung l
l
u
bằng đạo hàm theo hướng tiếp xúc vì thế 0 .
u
u
Theo công thức: gradu .cos( gradu , ) , do 0 và gradu ≠ 0 nên
cos( gradu, ) 0 . Tức là góc giữa và gradu bằng 900 .
Quỹ tích các tiếp tuyến tại điểm M 0 với các đường cong nằm trong mặt
mức gọi là mặt tiếp xúc với mặt này tại điểm M 0 . Nếu M 0 có các toạ độ
( x0 , y0 , z0 ) thì:
u u u
gradu M 0
) x0 y0 z0 .i ) x0 y0 z0 . j ) x0 y0 z0 .k
x y z
Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt mức là:
9 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
u u u
) x0 y0 z0 .( x x0 ) ) x0 y0 z0 .( y y0 ) ) x0 y0 z0 .( z z0 ) 0 (1.6)
x y z
Chú ý: Nếu cho mặt xác định bởi f (x, y, z) = 0, ta có thể xem nó là mặt
mức của hàm u = f (x, y, z) với C = 0. Do đó ta có thể viết mặt phẳng tiếp xúc
với mặt f (x, y, z) = 0 nhờ công thức (1.6).
Ví dụ 3: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt parabolic
z x 2 y 2 tại điểm M (2, 1, 5).
Mặt đã cho có thể xét như một mặt mức của hàm u z x 2 y 2 .
Bởi vì:
gradu 2 xi 2 y j 1k ,
cho nên
gradu M 0 4.i 2. j k .
Do đó phương trình của mặt phẳng tiếp xúc của mặt parabolic đã cho
tại M có dạng:
4( x 2) 2( y 1) 1( z 5) 0
hay
4 x 2 y z 5 0
1.3 Các tính chất của Gradien
Gradien có các tính chất rất quan trọng sau đây mà ta có thể sử dụng
trong chứng minh các công thức vật lý:
a/ grad(u+v) = gradu + gradv (1.7)
b/ grad(uv) = u.gradv + v. gradu (1.8)
u vgradu ugradv
c/ grad (v≠0) (1.9)
v v2
1.4 Ý nghĩa vật lý của gradien
Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ.
Cho nên trong vật lý người ta dùng phương
10 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
H.1.4
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
pháp trong đó tính một đại lượng vô hướng (không đơn trị) một cách đơn giản
hơn, nhưng gradien của nó lại cho ta một đại lượng vật lý thực dưới dạng
vectơ, đơn trị, có thể đo được trên thực nghiệm. Thí dụ, trong điện động lực
học người ta tính thế vô hướng φ (không đơn trị), nhưng E grad là cường
độ điện trường có thể đo được trên thực nghiệm.
2. DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ
2.1 Trường vectơ-đường vectơ
2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ
Trong vật lý ta luôn tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực,
trường từ hay trường điện như E grad được nêu ở trên. Để biểu diễn hình
học trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà
tại mỗi điểm của nó vectơ A nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này.
Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ (gọi là các
đường lực) là các tia xuất phát từ gốc toạ độ. Trong trường gradien A grad
đường vectơ của trường là đường mà khi chuyển động dọc theo nó, đại lượng
u tăng với vận tốc lớn nhất.
Để tìm đường vectơ của trường
A P ( x , y , z ) i Q ( x, y , z ) j R ( x , y , z ) k
Ta tiến hành như sau:
Giả sử phương trình tham số của đường vectơ là
x=x(t) ; y=y(t) ; z=z(t)
Khi đó vectơ tiếp xúc tại điểm tuỳ ý của đường này có dạng
x y z
i j k
t t t
Theo định nghĩa của trường vectơ, vectơ này đồng phương với vectơ
của trường tại điểm (x, y, z). Vì thế hình chiếu lên các trục toạ độ của các
vectơ này tỉ lệ với nhau.
11 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
dx dy dz
dt dt dt (2.1)
P ( x , y , z ) Q ( x, y , z ) R ( x , y , z )
Gọi giá trị chung của các tỉ số trên là (x, y, z) ta có:
dx
( x, y , z , t ) P ( x , y , z ) ;
dt
dy
( x, y, z, t )Q( x, y, z ) ; (2,2)
dt
dz
( x , y , z , t ) R ( x, y , z ) .
dt
Chú ý: vì hàm (x, y, z, t) được chọn tuỳ ý nên phương trình của
đường vectơ là không duy nhất.
Ví dụ: Ta xét trường hấp dẫn sinh ra bởi chất z
điểm đặt tại gốc toạ độ. Khi đó các đường vectơ
là các tia xuất phát từ gốc toạ độ, vì thế ống
O
vectơ trong trường này có dạng hình nón với y
đỉnh ở gốc toạ độ (H.2.1). x
H.2.1
2.1.2 Thông lượng của trường vectơ qua một mặt
2.1.2.1 Thông lượng
Ta xét một mặt trơn, hữu hạn S đặt trong một trường vectơ A nào đó.
Ta chọn trên mặt này một hướng xác định mà ta gọi đó là hướng dương
hướng ngược lại của mặt là hướng âm. Ta nói rằng mặt như vậy là mặt định
hướng.
Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm M của mặt S sao cho vectơ
này hướng từ âm sang dương là vectơ n . Vị trí của vectơ n phụ thuộc vào vị
trí điểm M trên mặt.
Xét hàm f (M) = ( A , n ) được xác định tại mọi điểm của mặt S.
12 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Nếu A Pi Q j Rk và các góc chỉ phương của vectơ n tương ứng
bằng , , tức là: n cos i cos j cos k thì f(M) P cos Q cos R cos
hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S.
Tích phân này gọi là thông lượng của trường vectơ qua S và được ký hiệu
bằng chữ :
= ( A,n)dS= (P cos Q cos R cos ) dS (2.2)
S S
Chú ý: Khi thay đổi hướng của mặt S ta thay đổi dấu của thông lượng.
Nếu mặt S là mặt kín thì ta thường định hướng như sau: Hướng bên
ngoài của mặt là hướng dương, hướng bên trong là hướng âm.
2.1.2.2 Ý nghĩa vật lý của thông lượng
Trong trường hợp thuỷ động học, thông lượng qua mặt được định
hướng bằng khối lượng chất lỏng chảy qua mặt này trong một đơn vị thời gian.
Ta xét trường hợp mặt kín S. Nếu thông lượng qua S là mặt dương điều
này nghĩa là lượng chất lỏng chảy từ một phần của không gian được giới hạn
bởi mặt S lớn hơn lượng chất lỏng chảy vào nó. Ngược lại, nếu thông lượng
âm thì lượng chảy vào S lớn hơn lượng chất lỏng chảy ra từ S.
Ví dụ: Cho trường vectơ
A ( x y )i ( y x) j zk
Tính thông lượng của trường này qua bề mặt của hình cầu bán kính với
tâm tại gốc toạ độ.
Trong trường hợp này pháp tuyến tại điểm bất kỳ của mặt S hướng theo
bán kính vectơ tại điểm này. Vì thế vectơ pháp tuyến đơn vị
R xi y j zk
n xi y j zk
R x2 y 2 z2
do x 2 y 2 z 2 1 đối với mọi điểm nằm trên mặt đã cho. Như vậy:
( A, n) ( x y ) x ( y x) y zz x 2 y 2 z 2
13 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Vì thế thông lượng bằng
2
( A, n)dS ( x y 2 z 2 )dS dS S 4 .
S S S
2.2 Dive của trường vectơ
2.2.1 Dive của trường vectơ
Dive (divergen) của trường vectơ A tại điểm M là giới hạn của tỉ số
thông lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởi
bề mặt này
( A, n)dS
div A lim S
(2.3)
V M V
Những điểm của trường tại đó dive mang dấu dương được gọi là điểm
nguồn. Những điểm mà tại đó dive mang dấu âm được gọi là những điểm hút.
Giả sử trường vectơ
A Pi Q j Rk
trong đó P, Q, R là những hàm số có đạo hàm cấp1, 2 liên tục thì
( A, n)dS ( P cos Q cos R cos )
div A lim S
lim S
(2.4)
V M V V M V
trong đó , , là những góc chỉ phương của pháp tuyến ngoài.
Theo công thức Ostrogradski ta đưa tích phân mặt về tích phân 3 lớp:
P Q R
( x y z )dV
div A lim V
(2.5)
V M V
Theo định lý giá trị trung bình, trong miền V, ta tìm được một điểm M TB sao
cho:
P Q R P Q R
( x y z )dV ( x y z )
V
M TB .V
vì thế
14 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
P Q R
( x y z )dV
V P Q R
div A lim lim ( )M
V M V V M x y z TB
Khi V→ M thì M TB →M, vì thế
P Q R
div A (2.6)
x y z
Từ công thức (2.4) và (2.5) ta có:
( A,n)ds div AdV (2.7)
S V
Như vậy thông lượng của trường vectơ A qua bề mặt kín bằng tích
phân 3 lớp của div A trên miền mà bề mặt này giới hạn. Chú ý rằng công thức
này chỉ được nghiệm đúng trong trường hợp khi div A liên tục trong miền V.
Ví dụ: Tính thông lượng của trường vectơ
A ( x y )i ( y x) j zk
qua mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ.
( x y) ( y x) z
Giải: div A 3
x y z
Vậy thông lượng
4
( A, n)dS div AdV 3dV 3V 3. 4
S V V
3
2.2.2 Trường hình ống
Nếu tại tất cả các điểm của miền G nào đó dive của trường A bằng
không, thì ta nói rằng A là trường hình ống của miền này.
mR
Ví dụ: Cho trường hấp dẫn F 3 trong miền G nào đó không chứa
R
gốc tọa độ. Hãy tính divF .
mx my mz
Giải: F i 2 j 2 k
( x 2 y 2 z 2 )3/ 2 ( x y 2 z 2 )3/ 2 ( x y 2 z 2 )3/ 2
Bằng cách tính trực tiếp ta thấy rằng:
15 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
divF 0
tại điểm bất kỳ khác gốc toạ độ. Vậy F là trường hình ống trong miền G.
Bây giờ ta tính dive tại gốc toạ độ.
Ta thấy thông lượng qua mặt cầu bán kính a bằng -4π m , tỉ số thông
lượng và thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng
4 m 3 m
4 3
a a3
3
Theo định nghĩa:
3 m
(divF ) (0,0,0) lim 3 .
a0 a
2.2.3 Ý nghĩa vật lý của dive
Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng của
trường vectơ. Ngoài ra qua biến đổi của tích phân khi tính thông lượng người
ta còn dẫn đến phương trình Maxwell trong điện động lực học
div D
trong đó D là vectơ cảm ứng điện , còn ρ là mật độ của điện tích tự do.
3. ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ
3.1 Lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến
Ta xét trường vectơ:
A Pi Q j Rk
và chu tuyến l nằm trong trường này. Ta gọi tích phân đường
Pdx Qdy Rdz (3.1)
l
là lưu thông của trường vectơ A theo chu tuyến.
Ta hiểu ngầm rằng lưu thông không chỉ phụ thuộc vào A và l, mà còn
cả hướng của chu tuyến l. Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay
đổi dấu.
16 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Ví dụ 1: Nếu A là trường lực thì lưu thông của trường theo chu tuyến l
bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lực dọc theo chu tuyến l.
Giả sử đường cong cho dưới dạng tham số:
x = (t), y = (t) , z = (t) với t0 t T
ta có:
t
Pdx Qdy Rdz Pt t t (t) Qtt t (t) Rtt t (t)dt
' ' '
t0
l
Như vậy để tính lưu thông của trường vectơ ta có thể áp dụng công thức
stockes
R Q P R Q P
Pdx Qdy Rdz ( y z )cos +( z x )cos ( x y )cos dS
l
S
Trong trường hợp đặc biệt
Q P
Pdx Qdy ( x y )dS (3.4)
l S
3.2 Rota của trường
Trong không gian Oxyz cho bề mặt S nào đó. Ta xét trường vectơ
A Pi Q j Rk
trong đó P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp 1 của nó liên tục tại điểm M thuộc
S và trong lân cận của điểm M. Trên bề mặt S, ta vẽ chu tuyến đóng l bao
z
quanh điểm M rồi chọn hướng xác định trên n
chu tuyến này và tính Adl . M
Mo
σ l
Tỷ số lưu thông theo chu tuyến l và diện
S
tích của bề mặt S được giới hạn bởi chu
O
y
tuyến l trên được gọi là mật độ lưu thông trung
bình x H.3.1
Adl
l
(3.5)
17 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
ta gọi giới hạn : llim Adl là mật độ lưu thông tại điểm M trên bề mặt S. Ta
M
có:
Adl
l
Pdx Qdy Rdz
l
lim lim
l M l M
R Q P R Q P
( y z )cos +( z x )cos ( x y )cos d
lim
0
R Q P R Q P
( )cos +( )cos ( )cos MTB
y z z x x y
lim
0
R Q P R Q P
( )cos +( )cos ( )cos M (3.6)
y z z x x y
Vậy nếu A Pi Q j Rk
n cos i cos j cos k
thì mật độ lưu thông tại điểm M theo hướng n bằng:
R Q P R Q P
( )cos +( ) cos ( )cos
y z z x x y
Biểu thức trên là tích vô hướng của vectơ n và vectơ
R Q P R Q P
( )i +( ) j ( )k
y z z x x y
Vectơ này chỉ phụ thuộc vào trường vectơ đã cho A . Ta kí hiệu là rot A
Như vậy mật độ lưu thông của trường vectơ A theo hướng n bằng
rot A . n
Rota của trường vectơ A
R Q P R Q P
rot A ( )i +( ) j ( )k (3.7)
y z z x x y
có giá trị hoàn toàn xác định (về độ lớn, về hướng) tại mỗi điểm của trường đã
cho do đó rota lập thành trường vectơ mới.
18 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Biểu thức (3.7) cũng có thể viết dưới dạng định thức như sau:
i j k
rot A (3.8)
x y z
P Q R
Ví dụ 1: Tính rota của trường vectơ A cho bởi công thức:
A ( x 2 y 2 )i ( y 2 z 2 ) j ( z 2 x 2 )k
Giải: Theo công thức (3.8) ta nhận được
rot A ( 2 z )i ( 2 x) j ( 2 y ) k
nói riêng, tại điểm (0, 0, 1)
rot A 2i
Ví dụ 2: Xét trường vận tốc tại các điểm của một vật thể rắn quay với
vận tốc góc không đổi 0 quanh trục Oz.
Giải: Ta đã biết trường này được cho bởi công thức:
A 0 yi 0 x j
Do đó
rot A (0 0 )k 20 k
3.3 Định lý stokes dưới dạng vectơ
Adl rot n AdS (3.9)
l S
trong đó rotn A là hình chiếu của vectơ rot A lên pháp tuyến của mặt S. Như
vậy lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến đóng l bằng thông lượng của
rot A của trường này trên bề mặt với biên là chu tuyến l.
3.4 Ý nghĩa vật lý của rota
Từ rota có nghĩa là xoáy cho nên nó mô tả nhiều hiện tượng điện từ
quan trọng như rota của thông lượng của trường từ H thì sinh ra dòng điện
với mật độ j
19 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
rot H j (3.10)
còn rota của thông lượng trường điện E thì sinh ra sự biến thiên của vectơ
cảm ứng từ B theo thời gian
B
rot E (3.11)
t
Các phương trình (3.10), (3.11) là các phương trình Maxwell
4. CÁC PHÉP TÍNH ĐỐI VỚI DIVE VÀ ROTA
4.1 Dive và rota của vectơ hằng số bằng không
Thật vậy, nếu A ai b j ck trong đó a, b, c là hằng số thì
a b c
div A 0 (4.1)
x y z
Tương tự
rot A 0 (4.2)
4.2 Dive và rota có tính chất tuyến tính
Điều này có nghĩa là nếu C A B trong đó A , B là các trường
vectơ; , là các hằng số thì
divC div A divB
rotC rot A rot B
Chứng minh: Giả sử
A P i Q1 j R1 k
1
B P2 i Q2 j R2 k
Khi đó:
C ( P P2 )i ( Q1 Q2 ) j ( R1 R2 )k
1
và
divC ( P P2 ) ( Q1 Q2 ) ( R1 R2 )
1
x y z
20 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Copyright by webtailieu.net