BÀI GI NG TU N 5
H NG C A MA TR N VÀ NGHI M Y C A Ax = 0 , Ax = b
PH M XUÂN NG
M U:
H phương trình Ax = b có th thu g n v m t h phương trình tuy n tính tương ương mà có s
phương trình ít hơn. Ch ng h n:
x1 − 2 x2 + x3 = 1 1 −2 1 1 1 −2 1 1
x1 − 2 x2 + x3 = 1
− x1 + x2 + 2 x3 = −5 ⇔ − 1 1 2 − 5 ⇔ 0 − 1 3 − 4 ⇔
2 x − 5 x + 5 x = −2 2 − 5 5 − 2 0 0 0 0 − x2 + 3 x3 = −4
1 2 3
Ta th y nh ng hàng toàn 0 trong h phương trình có th b i.
Câu h i t ra là: Kích thư c m × n c a ma tr n A có ph i là kích thư c g n nh t c a h
phương trình Ax = b không? Làm th nào bi t ư c kích thư c th c h phương trình?
5.1 H NG C A MA TR N
I. nh nghĩa: H ng c a ma tr n A là s các tr . Ký hi u là r(A) (rank).
Chú ý: (1) N u A c p m × n thì r(A) ≤ m, r(A) ≤ n hay r(A) ≤ min{m, n}.
(2) Cho A c p n × n , thì |A| ≠ 0 ⇔ r(A) = n (vì A có n tr ).
(3) tìm h ng c a A thì ưa ma tr n A v ma tr n b c thang U và tìm s tr .
1 1 2 3 − 1 2 0
Ví d 1: Tìm h ng c a (a) A = 2 2 8 10 (b) B = 1 3 m tùy theo m
3 3 10
13
2 6 4
1 1 2 3 1 1 2 3
Gi i: (a) A → 0 0 4 4
→ U = 0 0 4
4 , nên r(A) = 2.
0 0 4 4
0 0 0
0
(b) S: m = 2 : r ( B ) = 2, m ≠ 2 : r ( B) = 3
1 − 2 4
Ví d 2: Tìm h ng c a A = . Nh n xét các c t c a A và bi u di n A qua tích 2 véc tơ.
4 − 8 16
1 − 2 4
Gi i : A → ⇒ r ( A) = 1 .
0 0 0
Nh n xét: các hàng, các c t t l nhau. Bi u di n A theo tích c a 1 c t v i 1 véc tơ là h s t l v i c t ó.
1 − 2 4 − 2 1
Ch n c t 2 và véc tơ h s t l c t 2 là (−1/2, 1, −2). Khi ó : A = = − 8 − 2 1 − 2
4 − 8 16
T
Chú ý: (4) N u r(A) = 1 thì A= u.v
II. nh nghĩa :
+ A g i là có h ng hàng y n u m i hàng c a nó u có tr , t c là r =m.
+ A g i là có h ng c t y n u m i c t c a nó u có tr , t c là r = n.
+ C t ch a tr g i là c t tr và bi n c a c t ó g i là bi n tr .
+ C t không có tr g i là c t t do và bi n c a c t này là bi n t do.
+ Hàng ch a tr g i là hàng tr .
Ví d 3: Xác nh ma tr n nào sau ây có h ng c t y, h ng hàng y và tìm bi n tr , bi n t do c a nó
1 2 0 1 − 2
2 3 − 1 0 1 − 2 0
A= , B = 0 − 1 3 ,
C = 0 3 ,
D=
0 1 6 0 0 2 0 0 0 0 3 1
1
Chú ý: (5) N u A có h ng c t y thì Ax = 0 có nghi m duy nh t x = 0.
N u A có h ng hàng y và m < n thì Ax = 0 có vô s nghi m.
5.2 NGHI M C BI T , NGHI M Y C A Ax = 0.
x1 + x 2 + 2 x3 + 3 x 4 = 0
Ví d 4: Gi i h 2 x1 + 2 x 2 + 8 x3 + 10 x 4 = 0
3 x + 3 x + 10 x + 13 x = 0
1 2 3 4
1 1 2 3 0 1 1 2 3 0 1 1 2 3 0
2 2 8 10 0 → 0 0 4 4 0 → 0 0
Gi i : [ A | 0] = 4 4 0
3 3 10 13 0
0 0 4 4 0
0 0
0 0 0
x + x 2 + 2 x3 + 3 x 4 = 0
nên h tương ương v i h 1 . Bi n tr là x1 và x3, bi n t do là x2 và x4.
4 x3 + 4 x 4 = 0
− x 2 − x 4 − 1 − 1
x 1
x = − x2 − x4 = x2 + x4 0
Ta có nghi m 1 ⇒ Không gian nghi n c a A là x n = 2
x3 = − x 4 − x4 0 − 1
x4 0 1
hay x n = c1 s1 + c 2 s 2 v i s1 = (−1,1,0,0), s 2 = (−1,0,−1,1)
Chú ý : (6) Ta th y nghi m xn ư c tính qua các bi n t do, nên các nghi m s1, s2 ư c tìm nhanh
hơn b ng cách cho t ng bi n t do b ng 1 và các bi n t do còn l i b ng 0. Các nghi m ó g i là
nghi m c bi t c a Ax = 0
Cho x2 = 1, x4 = 0 ⇒ x3 =0 , x1 = −1 thì nghi m c bi t là s1 = (−1,1,0,0)
Cho x4 = 1, x2 = 0 ⇒ x3 = −1 , x1 = −1 thì nghi m c bi t là s 2 = (−1,0,−1,1)
nên nghi m y : xn = c1 s1 + c2 s 2
I. nh nghĩa : N u s1,..., sn-r là t t c các nghi m c bi t c a Ax = 0, thì xn= c1s1+⋅⋅⋅+cn-rsn-r
(c1, ..., cn-r ∈ R) g i là nghi m y c a Ax = 0 (cũng là không gian nghi m c a A).
Chú ý: (7) H ng c a A là r thì có (n−r) bi n t do ⇒ (n−r) nghi m c bi t.
II. Cách tìm nghi m c bi t, nghi m y c a Ax = 0 . (Am×n)
×
+ Bi n i [A|0] → [U|0] và xác nh r bi n tr và (n−r) bi n t do.
+ Cho t ng bi n t do b ng 1, các bi n t do còn l i b ng 0 ⇒ các bi n tr ⇒ (n−r) nghi m c bi t s1,
s2, …sn−r.
+ Nghi m y là xn = c1s1 +…+cn-r sn-r.
1 −2 3
Ví d 5: Gi i h Ax = 0 v i A = − 2 4 − 6
3 −6 9
1 − 2 3 0 1 − 2 3 0
Gi i: [ A | 0] = − 2 4 − 6 0 → 0 0 0 0
3 − 6 9 0
0 0 0 0
Cho x 2 = 1, x3 = 0 ⇒ x1 = 2 ⇒ s1 = ( 2,1,0) , x3 = 1, x 2 = 0 ⇒ x1 = −3 ⇒ s1 = ( −3,0,1)
2 − 3
V y nghi m y là xn = c1 1 + c 0 . Hay N ( A) = {x | x = c ( 2,1,0) + c ( −3,0,1)}.
2 n n 1 2
0
1
2
5.3 NGHI M RIÊNG VÀ NGHI M Y C A Ax = b
I. nh lý : N u x1 là nghi m c a Ax = b và x2 là nghi m c a Ax = 0 thì x = x1 + cx2 cũng là
nghi m c a Ax = b v i ∀c∈ R.
Ch ng minh : Ta có : Ax1 = b, Ax2 = 0 ⇒ Ax = A( x1 + cx2 ) = Ax1 + cAx2 = b + 0 = b hay x = x1 + cx2
cũng là nghi m c a Ax = b v i ∀c∈ R.
II. nh nghĩa :
Nghi m riêng c a Ax = b là m t nghi m nào ó c a phương trình. Ký hi u là xp
Nghi m y c a Ax = b là nghi m x = xp + xn , v i xp là nghi m riêng c a Ax =b và xn
là nghi m y c a Ax = 0
III. Cách tìm nghi m y c a Ax = b
+ Dùng phép kh ưa [A| b] v d ng b c thang [U| c].
+ Tìm nghi m các nghi m c bi t c a Ax = 0 (xác nh t [U|0] )
+ Tìm 1 nghi m riêng xp c a Ax = b (Cho các bi n t do b ng 0 ⇒ tìm xp trong [U|c])
+ Nghi m y c a Ax = b là x = xp + xn
x1 + 2 x 2 + 3 x3 = 1
2 x + 4 x + 6 x = 2
1 2 3
Ví d 6 : Gi i h phương trình:
2 x1 + 5 x 2 + 7 x3 = 4
3 x1 + 9 x 2 + 12 x3 = 9
1 2 31 1 2 3 1 1 2 3 1
2 4 6 2 0 0 0 0 0 1 1 2
Gi i : ⇔ ⇔
2 5 7 4 0 1 1 2 0 0 0 0
3 9 12 9 0 3 3 6 0 0 0 0
x + 2 x2 + 3 = 0
* Cho x3 = 1 trong Ax = 0 ⇔ 1 ⇔ x 2 = −1, x1 = −1
x2 + 1 = 0
− 3 − 1
x1 + 2 x 2 = 1
* Cho x3 = 0 trong Ax = b ⇔ ⇔ x 2 = 2, x1 = −3 . V y nghi m x = 2 + c − 1
x2 = 2
0 1
Ví d 7: Tìm i u ki n i v i véc tơ b = (b1, b2, b3) h Ax = b có nghi m? T ó suy ra m t t h p
nào c a các hàng ma tr n A thì b ng hàng không?
1 1 1
A = 1 2 4
2 5 11
1 1 1 b1 1 1 1 b1 1 1 1 b1
Gi i : [ A | b] = 1 2 4 b → 0 1 3 b − b →0 1 3 b2 − b1
2 2 1
2 5 11 b3
0 3 9 b3 − 2b1
0 0 0 b3 − 3b2 + b1
i u ki n phương trình có nghi m là : b1 − 3b2 + b3 = 0 (1)
T (1) ta có quan h các thành ph n c a b, cũng chính là quan h các véc tơ hàng ma tr n A. Do ó suy
ra : 1× (hàng 1) − 3 × (hàng 2) + 1 × (hàng 3) = hàng không ⇒ yTA = 0T
ây cũng là m t cách tìm không gian nghi m trái N(AT)= {y = c( 1, −3, 1)}, ch 1 l n bi n i ma
tr n A mà không ph i bi n i AT như trong tu n 4 ã gi i.
3
a11 a12 ... a1n c1
U c 0 a 22 ... a 2 n c 2
Chú ý : (8) Bi n i [ A b ] ⇒ = mà d ≠ 0 thì h vô nghi m
O d ... ... ... ... ...
0 0 0 0 d
(9) B n kh năng h phương trình tuy n tính ph thu c vào h ng r.
1 r = m = n (h ng hàng, c t y) A ⇒ [U ] vuông, kh ngh ch Ax = b có nghi m duy nh t
2 r = m < n (h ng hàng y) A ⇒ [U F ] ng n, r ng Ax = b có vô s nghi m
U
3 r = n < m (h ng c t y) A ⇒ cao, h p Ax = b có 0 ho c 1 nghi m
O
U F
4 r < m, r < n A ⇒ Ax = b có 0 ho c vô s nghi m
O O
Ví d 8 : T i sao không th có m t h 1 phương trình 3 n Ax = b v i nghi m riêng x p = (1,−2,0) và
nghi m thu n nh t x n = c (1,2,3) .
Gi i : H có 1 bi n tr và 2 bi n t do nên nghi m thu n nh t ph i có 2 nghi m c bi t.
Ví d 9 : T i sao x = (1, 2, −1, 4) không th là nghi m duy nh t c a phương trình Ax = (4, 0, 1)
Gi i : Kích thư c A là 3×4, nên có ít nh t 1 bi n t do. N u có nghi m thì vô s nghi m (trư ng h p 4)
7 2
Ví d 10 : Tìm ma tr n A và véc tơ b n u bi t nghi m y c a Ax = b là x = + c
2 1
Gi i :
* A có n = 2 c t vì véc tơ nghi m 2 chi u (s hàng m b t kỳ). G i A=[c1 c2].
* Do s = ( 2,1) là nghi m c bi t : As = 0 ⇔ 2.c1 + 1.c 2 = 0 ⇔ c 2 = −2c1 (c t 2 b ng (−2) l n c t 1)
* Do xp= (7, 2) là nghi m riêng nên Axp= b = 7.c1+2.c2 = 3c1
* Các c t không th là vectơ không vì ph i có 1 c t tr
2 − 4 6
Ch ng h n : A = − 1 2 , b = − 3
3 − 6
9
Ví d 11 : Tìm nghi m y c a phương trình Ax = b n u bi t véc tơ b b ng hi u c a c t 1 và c t 2
1 0 − 1 3
c a ma tr n A và ma tr n A ưa ư c v d ng b c thang U = 0 0 2 − 4
0 0 0
0
S : x = (1, −1, 0 , 0) + c1 (0 , 1 , 0 , 0) +c2 (−1, 0, 2, 1)
Ví d 12 : Xây d ng m t ma tr n A có không gian c t ch a (−2, 1, 5) , (0, 3, 1) và không gian nghi m
ch a (1, −1, 2).
Gi i : G i các c t c a A là : (c t 1) = (−2, 1, 5) , (c t 3) = (0, 3, 1) ∈ C(A) . Do không gian nghi m ch a
(1, −1, 2) nên 1×(c t 1) −1×(c t 2) + 2×(c t 3) = 0 nên (c t 2) = 1×(c t 1) + 2×(c t 3) = (− 2, 7, 7)
− 2 − 2 0 − 2 0 1
V y A= 1 7 3 (tương t A = 1 3 1 )
5 7 1
5 1 − 2
CÁC Ý CHÍNH BÀI GI NG TU N 5
1. H ng c a ma tr n và cách tìm.
2. C u trúc nghi m c a h Ax = 0 và Ax = b.
4
Copyright by webtailieu.net