Giới thiệu E-commerce
Sựkhác biệt giữa thương mại truyền thống và thương mại điện tử
-Thuận lợi/bất lợi của việc sửdụng TMĐT trong kinh doanh
-Tính toàn cầu hóa của TMĐT
-Sựphát triển của TMĐT
-Chuỗi giátrị trong TMĐT
-Các lưu ý quan trọng khi thực hiện TMĐT
Chuong 1
’’
˜’ ´ ˆ ’ ’ `
ˆ ´ ˆ
´
NHUNG KHAI NIEM CO BAN VE XAC SUAT
.
1. ’ ` ’
BO TUC VE GIAI T´
ˆ ´ ˆ ’
ˆ .’
ICH TO HOP
1.1 ´
˘
Qui tac nhˆn
a
’ ’’ o o
Gia su mˆt cˆng viˆc n`o do duoc chia th`nh k giai doan. C´ n1 c´ch thuc hiˆn giai
. e a ¯´ ¯ ’ .’
. a ¯ . o a .’ e
.
¯ . ´ a
’ ´ a .’ e
. ¯ . ´’ a ’
. e
. ¯ . ´
doan thu nhˆt, n2 c´ch thuc hiˆn giai doan thu hai,...,nk c´ch thuc hiˆn giai doan thu
’
k. Khi do ta c´
¯´ o
n = n1 .n2 . . . nk
c´ch thuc hiˆn cˆng viˆc.
a .’ e o
. e
.
• V´ du 1 Gia su dˆ’ di tu A dˆn C ta bat buˆc phai di qua diˆ’m B. C´ 3 duong kh´c
ı . ’ ’’ ¯e ¯ ` ¯e
’ ´ ´
˘ o
. ’ ¯ ¯e o ¯ ’` ’ a
’ di tu A dˆn B v` c´ 2 duong kh´c nhau dˆ’ di tu B dˆn C. Vˆy c´ n = 3.2 c´ch
nhau dˆ ¯ ` ¯e
¯e ’ ´ a o ¯ ’`’ a ¯e ¯ ` ¯e’ ´ a o
. a
’ di tu A dˆn C.
kh´c nhau dˆ ¯ ’
a ¯e ` ¯e ´
A B C
1.2 ’
Chinh hop
’
.
˜ ’ .’ a
. ’ a ’’
` a o. o o o ´ .’
2 ¯ inh nghia 1 Chinh hop chˆp k cua n phˆn tu (k ≤ n) l` mˆt nh´m (bˆ) c´ thu tu
D. . ’
o ` ’’ a
a . ’ a` ’’ ¯˜
` k phˆn tu kh´c nhau chon tu n phˆn tu da cho.
gˆm `
´ .’ a
. ’ a ’’ ı e a n
`
Sˆ chinh hop chˆp k cua n phˆn tu k´ hiˆu l` Ak .
o ’ .
´ ınh: n!
Cˆng thuc t´
o ’ Ak =
n = n(n − 1) . . . (n − k + 1)
(n − k)!
’ ` ’` ’ o a a´ ’ .
• V´ du 2 Mˆt buoi hop gˆm 12 nguoi tham du. Hoi c´ mˆy c´ch chon mˆt chu toa
ı . o ˆ . o ’ o
. .’ . .
v` mˆt thu k´?
a o . ’ y
’
Giai
˜
o a o ’ . ’ y ` ’` ’
Mˆi c´ch chon mˆt chu toa v` mˆt thu k´ tu 12 nguoi tham du buˆi hop l` mˆt
a o
. . . ’ ’ .’ o . a o .
’ ’ a ’’
`
chinh hop chˆp k cua 12 phˆn tu.
.’ a
.
1
2 ’’ ˜
’ a e
. ’ ’ `
e a ´
Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt
a
´
Do d´ sˆ c´ch chon l` A2 = 12.11 = 132.
¯o o a . a 12
´ a ’ ´
˜ o o e’ a ¯ ’.’ ´ `
• V´ du 3 Voi c´c chu sˆ 0,1,2,3,4,5 c´ thˆ lˆp duoc bao nhiˆu sˆ kh´c nhau gˆm 4
ı . ’ . e o a o
’ ´
˜ o
chu sˆ.
’
Giai
´ ´ ` `
a o ˘ ¯a ˘ ’ ´
˜ o ’ a o o´ ` ’ ´
˜ o
C´c sˆ bat dˆu bang chu sˆ 0 (0123, 0234,...) khˆng phai l` sˆ gˆm 4 chu sˆ.
o
’ ´ ` e
˜ o ¯a ’ ’ ´
˜ o ’ ´
˜ o
Chu sˆ dˆu tiˆn phai chon trong c´c chu sˆ 1,2,3,4,5. Do do c´ 5 c´ch chon chu sˆ
. a ¯´ o a .
¯a`
dˆu tiˆn.
e
Ba chu sˆ kˆ tiˆp c´ thˆ’ chon t`y y trong 5 chu sˆ c`n lai. C´ A3 c´ch chon.
’ ´ ´ ´
˜ o e e o e . u ´ ’ ´
˜ o o . o 5 a .
. ´
Vˆy sˆ c´ch chon l` 5.A3 = 5.(5.4.3) = 300
a o a . a 5
1.3 ’
Chinh hop l˘p
. a
’ .
D. ˜ ’ .’ a. a
. ’ a ’’ a o
` . o o ´ .’ o
2 ¯ inh nghia 2 Chinh hop l˘p chˆp k cua n phˆn tu l` mˆt nh´m c´ thu tu gˆm k
’ `
a ’’ . `
` ’ a ’’ ¯˜
` ¯o o ˜ a ’’ o e
` ’ c´ m˘t 1,2,...,k lˆn trong
phˆn tu chon tu n phˆn tu da cho, trong d´ mˆi phˆn tu c´ thˆ o a . a`
nh´m.
o
´
o ’ ’ a ’’ ¯ ’.’ ı e
` k
Sˆ chinh hop l˘p ch˘p k cua n phˆn tu duoc k´ hiˆu Bn .
.’ a. a
. .
o ´ ınh
Cˆng thuc t´
’
k
Bn = nk
´
e ´
o a a a ’ o e a ´
• V´ du 4 Xˆp 5 cuˆn s´ch v`o 3 ng˘n. Hoi c´ bao nhiˆu c´ch xˆp ?
ı . e
’
Giai
˜ ´ ´
o a a a a o . ’ .’ a. a
. ’ ˜ `
Mˆi c´ch xˆp 5 cuˆn s´ch v`o 3 ng˘n l` mˆt chinh hop l˘p chˆp 5 cua 3 (Mˆi lˆn
o a e o a
´ ´ a ’ . a a o ´
xˆp 1 cuˆn s´ch v`o 1 ng˘n xem nhu chon 1 ng˘n trong 3 ng˘n. Do c´ 5 cuˆn s´ch nˆn
e o a a o a e
. . a ¯ ’ .’ e´ h`nh 5 lˆn).
viˆc chon ng˘n duoc tiˆn a
e a`
´
a o a
. ´
Vˆy sˆ c´ch xˆp l` B3 = 35 = 243.
e a 5
1.4 Ho´n vi
a .
˜ a . ’ a ’’ a o
` o ´ .’ o ¯’ a
` `
2 ¯ inh nghia 3 Ho´n vi cua m phˆn tu l` mˆt nh´m c´ thu tu gˆm du m˘t m phˆn
D. . o ’ . a
’’ da cho.
tu ¯˜
´
o a . ’ a ’’ ¯ ’.’ ı e a
`
Sˆ ho´n vi cua m phˆn tu duoc k´ hiˆu l` Pm .
.
o ´ ınh
Cˆng thuc t´
’
Pm = m!
ı . o a o
. . ’ o a a´ ´
e ˜ `
• V´ du 5 Mˆt b`n c´ 4 hoc sinh. Hoi c´ mˆy c´ch xˆp chˆ ngˆi ?
o o
’
Giai
˜
o a ´
e ˜
o ’ . ’’ o a a o
. . a . ’ a ’’
` ´
Mˆi c´ch xˆp chˆ cua 4 hoc sinh o mˆt b`n l` mˆt ho´n vi cua 4 phˆn tu. Do d´ sˆ
¯o o
a ´
c´ch xˆp l` P4 = 4! = 24.
e a
’ `
e ’ ıch o .’’
1. Bˆ t´ c vˆ giai t´ tˆ hop
o u 3
1.5 ’ ’
Tˆ hop
o .
D. ˜ ’
o .’ a. ’ a ’’
`
2 ¯ inh nghia 4 Tˆ hop chˆp k cua n phˆn tu (k ≤ n) l` mˆt nh´m khˆng phˆn biˆt
a o
. o o a e
.
´ tu, gˆm k phˆn tu kh´c nhau chon tu n phˆn tu da cho.
thu .’ o
’ ` a` ’’ a . `’ a` ’’ ¯˜
´ ’ ’ a ’’ ı e a k
`
Sˆ tˆ hop chˆp k cua n phˆn tu k´ hiˆu l` Cn .
o o .’ a
. .
o ´ ınh
Cˆng thuc t´
’
k n! n(n − 1) . . . (n − k + 1)
Cn = =
k!(n − k)! k!
Ch´ y
u´
’´
i) Qui uoc 0! = 1.
’
k n−k
ii) Cn = Cn .
k k−1 k
iii) Cn = Cn−1 + Cn−1 .
ı . ˜
o ¯e` o` a ´
’ a a ’ ’´ ’ o e’ a
• V´ du 6 Mˆi dˆ thi gˆm 3 cˆu hoi lˆy trong 25 cˆu hoi cho truoc. Hoi c´ thˆ lˆp
’ .
e e ¯e `
nˆn bao nhiˆu dˆ thi kh´c nhau ?
a
’
Giai
25! 25.24.23
Sˆ dˆ thi c´ thˆ’ lˆp nˆn l` C25
´
o ¯e` o e a e a 3
. = = = 2.300.
3!.(22)! 1.2.3
ı . o a ı
. o o’ ’ ’’ . o ` ¯ e’ a y o o
˜ ’ ´ ˜ ’
• V´ du 7 Mˆt m´y t´nh c´ 16 cˆng. Gia su tai mˆi thoi diˆm bˆt k` mˆi cˆng ho˘c a
.
trong su dung ho˘c khˆng trong su dung nhung c´ thˆ’ hoat dˆng ho˘c khˆng thˆ hoat
’’ . a
. o ’’ . ’ o e . ¯o . a
. o e’ .
. ’ o e a ı´ a . ¯o o’ ’’ .
dˆng. Hoi c´ bao nhiˆu cˆu h`nh (c´ch chon) trong d´ 10 cˆng trong su dung, 4 khˆng
¯o o
’’ dung nhung c´ thˆ’ hoat dˆng v` 2 khˆng hoat dˆng?
trong su . ’ o e . ¯o . a o . ¯o
.
’
Giai
De’ a ¯i ´ ’´
¯ ˆ x´c d.nh sˆ c´ch chon ta qua 3 buoc:
o a . ’
’´ ’ ’’ . o 10
Buoc 1: Chon 10 cˆng su dung: c´ C16 = 8008 c´ch.
’ . o a
Buoc 2: Chon 4 cˆng khˆng trong su dung nhung c´ thˆ’ hoat dong trong 6 cˆng c`n
’´
’ . o’ o ’’ . ’ o e . ¯ˆ . o’ o
4
lai: c´ C6 = 15 c´ch.
. o a
Buoc 3: Chon 2 cˆng khˆng thˆ’ hoat dˆng: c´ C2 = 1 c´ch.
’´
’ . o’ o e . ¯o . o 2 a
´
˘ o 10 4 2
Theo qui tac nhˆn, ta c´ C16 .C6 .C2 = (8008).(15).(1) = 120.120 c´ch.
a a
1.6 ´
Nhi thuc Newton
. ’
’’ o o
’ ´
¯˜ e a ˘ ¯˘ ` ’ ´ ¯a ´
O phˆ thˆng ta da biˆt c´c hang dang thuc d´ng nho
’ ’
a + b = a 1 + b1
(a + b)2 = a2 + 2a1 b1 + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b1 + 3a1 b2 + b3
. ´
a e o `
a ˘ ¯˘ ’
C´c hˆ sˆ trong c´c hang dang thuc trˆn c´ thˆ’ x´c d.nh tu tam gi´c Pascal
´ e o e a ¯i
’ `
’ a
4 ’’ ˜
’ a e
. ’ ’ `
e a ´
Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt
a
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
0 1 2 3 4 n−1 n
Cn Cn Cn Cn Cn ... Cn Cn
¯˜ ´ ’ ’
´ o . ´
Newton da chung minh duoc cˆng thuc tˆng qu´t sau (Nhi thuc Newton):
’ ¯ ’ .’ o a ’
n
(a + b)n = Cn an−k bk
k
k=o
= Cn an + Cn an−1 b + Cn an−2 b2 + . . . + Cn an−k bk + . . . + Cn abn−1 + Cn bn
0 1 2 k n−1 n
´
a a o .’ ´
(a,b l` c´c sˆ thuc; n l` sˆ tu nhiˆn)
a o .’ e
2. ´
ˆ ´
ˆ ` ˆ ˜’ ´ ´
ˆ ´
ˆ
BIEN CO VA QUAN HE GIUA CAC BIEN CO
.
2.1 ’ a e o´ ´
Ph´p thu v` biˆn cˆ
e ’
Viˆc thuc hiˆn mˆt nh´m c´c diˆu kiˆn co ban dˆ’ quan s´t mˆt hiˆn tuong n`o do
e
. .’ e
. o
. o a ¯ e` e . ’ ’ ¯e a o
. e
. ’ .’ a ¯´
’’ C´c kˆt qua c´ thˆ’ xay ra cua ph´p thu duoc goi l` biˆn cˆ (su
duoc goi mˆt ph´p thu. a e
¯ ’ .’ . o
. e ´ ’ o e ’ ’ e ´ ´
’’ ¯ ’ .’ . a e o .’
kiˆn).
e
.
• V´ du 8
ı .
` e` e a o ’’ Do` e` a a a ¯o a ´ ’’ a o
i) Tung dˆng tiˆn lˆn l` mˆt ph´p thu. ¯ ˆng tiˆn lˆt m˘t n`o d´ (xˆp, ngua) l` mˆt
¯o . e . . .
´ ´
biˆn cˆ.
e o
´
˘ o
. a u a o a
. a o. e ’’
ii) Ban mˆt ph´t s´ng v`o mˆt c´i bia l` mˆt ph´p thu. Viˆc viˆn dan tr´ng (trˆt)
e
. e ¯. u a
.
´n cˆ.
bia l` mˆt biˆ o
a o e
. ´
2.2 a ´ ´
e o a e ˜ a
. ’ ´ ´
C´c biˆn cˆ v` quan hˆ giua c´c biˆn cˆ
e o
i) Quan hˆ k´o theo
e e
.
´ ´
e o ¯ ’ .’ . a e ´ ´
e o ı e . ´
e ’ ı ’
Biˆn cˆ A duoc goi l` k´o theo biˆn cˆ B, k´ hiˆu A ⊂ B, nˆu A xay ra th` B xay
ra.
ii) Quan hˆ tuong duong
e ’’
. ¯’’
´ ´ a ¯ ’ .’ . a ’ ’ ¯ ’ ’ ´’ ´
Hai biˆn cˆ A v` B duoc goi l` tuong duong voi nhau nˆu A ⊂ B v` B ⊂ A, k´ hiˆu
e o e a ı e .
A = B.
´ ´ ´
iii) Biˆn cˆ so cˆp
e o ’ a
Biˆn cˆ so cˆp l` biˆn cˆ khˆng thˆ’ phˆn t´ duoc nua duoc nua.
´ ´ ´
e o ’ a a e o o ´ ´ e a ıch ¯ ’ .’ ˜ ¯ ’ .’
’ ’
´ ´ ´
e o ˘ ´
˘
iv) Biˆn cˆ chac chan
´ ´ ´ e ’ .’ e
. e ’’ ı e
L` biˆn cˆ nhˆt d.nh s˜ xay ra khi thuc hiˆn ph´p thu. K´ hiˆu Ω.
a e o a ¯i .
´ o a
´ e ˜ a ´ o ´
2. Biˆn cˆ v` quan hˆ giua c´c biˆn cˆ
e . ’ e 5
u ˘ ´ ´ ´ . ´
u ˘ o o a ´ ´ e ’
• V´ du 9 Tung mˆt con x´c xac. Biˆn cˆ m˘t con x´c xac c´ sˆ chˆm b´ hon 7 l`
ı . o
. e o a a
biˆ ˆ
e ´ ˘ ´ ´
´n co chac chan.
˘
´ ´ o
v) Biˆn cˆ khˆng thˆ
e o e’
´ ´ ´ o ’ .’ e
. e ’’ ı e
L` biˆn cˆ nhˆt d.nh khˆng xay ra khi thuc hiˆn ph´p thu. K´ hiˆu ∅.
a e o a ¯i .
⊕ Nhˆn x´t Biˆn cˆ khˆng thˆ’ ∅ khˆng bao h`m mˆt biˆn cˆ so cˆp n`o, nghia l`
a
. e ´ ´
e o o e o a o
. ´ ´ ´ a
e o ’ a ˜ a
o o e ´ cˆ so cˆp n`o thuˆn loi cho biˆn cˆ khˆng thˆ’.
´ ’ a a
khˆng c´ biˆn o ´ a .’
. e o ´ o e
´ ´ a ˜
vi) Biˆn cˆ ngˆu nhiˆn
e o e
L` biˆn cˆ c´ thˆ’ xay ra ho˘c khˆng xay ra khi thuc hiˆn ph´p thu. Ph´p thu m`
´ ´
a e o o e ’ a
. o ’ .’ e
. e ’’ e ’’ a
´ ’ ’ ´ ´ ˜ ’’ a˜
c´c kˆt qua cua n´ l` c´c biˆn cˆ ngˆu nhiˆn duoc goi l` ph´p thu ngˆu nhiˆn.
a e o a a e o a e ¯ ’ .’ . a e e
´ ´ ’
vii) Biˆn cˆ tˆng
e o o
´ ´ ’ ’ ´ ´ ´ ’
Biˆn cˆ C duoc goi l` tˆng cua hai biˆn cˆ A v` B, k´ hiˆu C = A + B, nˆu C xay
e o ¯ ’ .’ . a o e o a ı e. e
a ıt a´ o . ´ ´
ra khi v` chi’ khi ´ nhˆt mˆt trong hai biˆn cˆ A v` B xay ra.
e o a ’
ı . ’` .’ a u
’ ´
˘ a o
. u e .´ a e o´ ´ ’`
• V´ du 10 Hai nguoi tho s˘n c`ng ban v`o mˆt con th´. Nˆu goi A l` biˆn cˆ nguoi ’
thu ˆ
’ ´ ˘ ´ u u a a e ´ o ´ ’` ´’ ’ ´ u
´ nhat ban tr´ng con th´ v` B l` biˆn cˆ nguoi thu hai ban tr´ng con th´ th` C = A+B
˘ u ı
l` biˆ o
a e ´ u . ˘´
´n cˆ con th´ bi ban tr´ng.
u
Ch´ y
u´
i) Moi biˆn cˆ ngˆu nhiˆn A dˆu biˆ’u diˆn duoc duoi dang tˆng cua mˆt sˆ biˆn cˆ
. ´ ´ ˜
e o a e ¯e` e ˜
e ¯ ’ .’ ’´ .
’ o’ ’ . ´ ´ ´
o o e o
´
’ a a ¯´ a ´ ´
e o ’ a ´ o’ a ¯ ’ .’ . a a ´ ´
so cˆp n`o do. C´c biˆn cˆ so cˆp trong tˆng n`y duoc goi l` c´c biˆn cˆ thuˆn loi cho
e o a .’
.
´ cˆ A.
biˆn o
e ´
ii) Biˆn cˆ chac chan Ω l` tˆng cua moi biˆn cˆ so cˆp c´ thˆ’, nghia l` moi biˆn cˆ
´ ´ ´
e o ˘ ´
˘ a o ’ ’ . ´ ´ ´
e o ’ a o e ˜ a . ´ ´
e o
´
’ a ¯e` a .’
. ¯´ o ¯ ’ .’ . a o a ´ ´
so cˆp dˆu thuˆn loi cho Ω. Do do Ω c`n duoc goi l` khˆng gian c´c biˆn cˆ so cˆp.
e o ’ a ´
ı . o. u ˘ ´ o ´ ´
e o ’ a ´
• V´ du 11 Tung mˆt con x´c xac. Ta c´ 6 biˆn cˆ so cˆp A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , trong
a e ´n cˆ xu´t hiˆn m˘t j chˆm j = 1, 2, . . . , 6.
d´ Aj l` biˆ o
¯o ´ a e . a
. ´
a
. ´ ´ ´ e . a ´ o a
. ’ ´ ´ ˜
˘ ı o ´ ´
Goi A l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t voi sˆ chˆm chan th` A c´ 3 biˆn cˆ thuˆn loi l`
a e o a e o a .’ a
.
A2 , A 4 , A 6 .
Ta c´ A = A2 + A4 + A6
o
. ´ ´ ´ . a ´ o a
. ’ ´ ´ ´
e ı o ´ ´
Goi B l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t voi sˆ chˆm chia hˆt cho 3 th` B c´ 2 biˆn cˆ thuˆn
a e o a e e o a
.
loi l` A3 , A6 .
.’ a
Ta c´ B = A3 + A6
o
´ ´
viii) Biˆn cˆ t´
e o ıch
´ ´
e o ¯ ’ .’ . a ıch ’ ´ ´
e o a ı e . ´
e ’
Biˆn cˆ C duoc goi l` t´ cua hai biˆn cˆ A v` B, k´ hiˆu AB, nˆu C xay ra khi v`
a
˜
chi’ khi ca A lˆn B c`ng xay ra.
’ a u ’
6 ’’ ˜
’ a e
. ’ ’ `
e a ´
Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt
a
ı . ’` u
’ ´
˘ a
• V´ du 12 Hai nguoi c`ng ban v`o mˆt con th´.
o
. u
´ ´ ’` ’ ´ ´
’ ´ a ˘ ´ ´ ’` ’ ´ ´
˘
Goi A l` biˆn cˆ nguoi thu nhˆt ban truot, B l` biˆn cˆ nguoi thu hai ban truot th`
. a e o ’.’ a e o ’ ’.’ ı
C = AB l` biˆn o
a e ´ u o . ˘´
´ cˆ con th´ khˆng bi ban tr´ng.
u
´ ´ .
ix) Biˆn cˆ hiˆu
e o e
. ´ ´
e o ´ ´
a e o ı e . ´ ´
Hiˆu cua biˆn cˆ A v` biˆn cˆ B, k´ hiˆu A \ B l` biˆn cˆ xay ra khi v` chi’ khi A
e ’ a e o ’ a
’ ’
xay ra nhung B khˆng xay ra.
’ o
´ ´ ´
˘
x) Biˆn cˆ xung khac
e o
´ ´ ´ ´ ´ ´
˘ e ` `
Hai biˆn cˆ A v` B duoc goi l` hai biˆn cˆ xung khac nˆu ch´ng khˆng dˆng thoi
e o a ¯ ’ .’ . a e o u o ¯o ’
’ o
. e ’’
xay ra trong mˆt ph´p thu.
ı . o ¯o
. ` e`
• V´ du 13 Tung mˆt dˆng tiˆn.
. ´ ´ ´ . . ´
a a ´ ´ ´ .
a e o a e a
. ’’
Goi A l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t xˆp, B l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t ngua th` AB = ∅.
a e o a e ı
´ ´ ´ .
xi) Biˆn cˆ dˆi lˆp
e o ¯o a
´ ´
e o o ’ e o ¯ ’ .’ . a e o ¯o a ´ e o
´ ´ ´ ´ ´ . ’ ´ ´
Biˆn cˆ khˆng xay ra biˆn cˆ A duoc goi l` biˆn cˆ dˆi lˆp voi biˆn cˆ A. K´ hiˆu A.
ı e .
Ta c´
o
A + A = Ω, AA = ∅
⊕ Nhˆn x´t
a
. e
. e ´
a a ´ ´ ’
e o o ´ .
ıch, e ¯o a
. ’’ ´
Qua c´c kh´i niˆm trˆn ta thˆy c´c biˆn cˆ tˆng, t´ hiˆu, dˆi lˆp tuong ung voi
a a e ’ ´’
. .’ . ` b` cua l´ thuyˆt tˆp hop. Do d´ ta c´ thˆ’ su dung c´c ph´p
tˆp hop, giao, hiˆu, phˆn u
a e a ’ y ´ a
e . .’ ¯o o e ’’ . a e
e a a . .’ a e a e a ´ ´
to´n trˆn c´c tˆp hop cho c´c ph´p to´n trˆn c´c biˆn cˆ.
a e o
Ta c´ thˆ’ d`ng biˆ’u dˆ Venn dˆ’ miˆu ta c´c biˆn cˆ.
o e u e ¯o ` ¯e e ’ a ´ ´
e o
Ω Ω Ω
´
˘ ´
˘
Bc chac chan A+B AB
Ω Ω Ω
A B A B A A
A=⇒B ´
˘
A,B xung khac ´ .
¯ ˆi lˆp A
Do a
´
3. X´c suˆt
a a 7
3. ´ ´
ˆ
XAC SUAT
3.1 ˜ a ´ ´ ’ ’
¯ inh nghia x´c suˆt theo lˆi cˆ diˆn
D. a o o ¯e
2 ¯ inh nghia 5 Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra, trong d´
D. ˜ ’ ’’ e ’’ o ´ ´ `
e o ¯o ’ a o e ’ ¯o
c´ m biˆ o
o e ´ ¯o` ’ a a .’
. e´ o ´ a o’
´n cˆ dˆng kha n˘ng thuˆn loi cho biˆn cˆ A (A l` tˆng cua m biˆn cˆ so cˆp
’ e´ o ’ a
´ ´
a ¯o a ´
a ’ ´ ´
e o ı e. ¯ ’.’ ¯i ˜ ˘` o ´
n`y). Khi d´ x´c suˆt cua biˆn cˆ A, k´ hiˆu P (A) duoc d. nh nghia bang cˆng thuc sau:
’
m ´
o ’`
Sˆ truong hop thuˆn loi cho A
’ .’ a .’
.
P (A) = =
n ` ’
´ truong hop c´ thˆ xay ra
Sˆ ’ ’
o .’ o e ’
o
. ´
u ˘ a ¯o ¯o ´ ` ´
a ınh a ´
a ´ e
• V´ du 14 Gieo mˆt con x´c xac cˆn dˆi, dˆng chˆt. T´ x´c suˆt xuˆt hiˆn m˘t
ı . a . a
.
˜
˘
chan.
’
Giai
. ´ ´ ´ e
a e o a . a
. ´
a a ´ ´ ´ e
a e o a . a
. ˜
˘
Goi Ai l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t i chˆm v` A l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t chan th`
ı
A = A2 + A4 + A6
Ta thˆy ph´p thu c´ 6 biˆn cˆ so cˆp dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra trong d´ c´ 3
´
a e ’’ o ´ ´
e o ’ a ¯o´ ` ’ a o e ’ ¯o o
´ ´
biˆn cˆ thuˆn loi cho A.
e o a .’
.
3 1
P (A) = =
6 2
ı . o
. ’` . ¯ e
’ . . ’ . e ´ ´
o o ’ o ¯e ´ . . a `
• V´ du 15 Mˆt nguoi goi diˆn thoai nhung lai quˆn 2 sˆ cuˆi cua sˆ diˆn thoai cˆn
. ´ a
’ ´ ım a ´
goi m` chi’ nho l` 2 sˆ d´ kh´c nhau. T` x´c suˆt dˆ
a o ¯o a a ¯e ’ nguoi d´ quay ngˆu nhiˆn mˆt
’` ¯o
’ ˜
a e o.
lˆn u
a o´ a .
` tr´ng sˆ cˆn goi.
`
’
Giai
. ´ ´ ’` ¯o ’ ˜
a e . ` u
o a ´ `
Goi A l` biˆn cˆ nguoi d´ quay ngˆu nhiˆn mˆt lˆn tr´ng sˆ cˆn goi.
a e o o a .
Sˆ biˆn cˆ so cˆp dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra (sˆ c´ch goi 2 sˆ cuˆi) l` n = A2 = 90.
´ ´ ´
o e o ’ a ¯o ´ ` ’ a o e ’ ´
o a . ´ ´
o o a 10
´ ´ ´
Sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho A l` m = 1.
o e o a .’
. a
1
Vˆy P (A) =
a
. 90
.
• V´ du 16 Trong hˆp c´ 6 bi trang, 4 bi den. T` x´c suˆt dˆ’ lˆy tu hˆp ra duoc
ı . o o
. ´
˘ ¯ ım a ´ ´ ’ .
a ¯e a ` o ¯ ’.’
i) 1 viˆn bi den.
e ¯
´
˘
ii) 2 viˆn bi trang.
e
’
Giai
. ´ ´ ´ ’ .
a e o a ` o ¯ ’ .’ e ¯ a ´ ´ ´ ’ .
a e o a ` o
Goi A l` biˆn cˆ lˆy tu hˆp ra duoc 1 viˆn bi den v` B l` biˆn cˆ lˆy tu hˆp ra 2
´ng.
˘
viˆn bi tra
e
Ta c´
o
8 ’’ ˜
’ a e
. ’ ’ `
e a ´
Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt
a
1
C4 2
i) P (A) = 1
=
C10 5
2
C6 1
ii) P (B) = 2 =
C10 3
u ˜
a ’ . ˜
e ` o o a u ’ ’ a a ım a ´
• V´ du 17 R´t ngˆu nhiˆn tu mˆt cˆ b`i t´ lo kho 52 l´ ra 5 l´. T` x´c suˆt sao
ı . a
cho trong 5 l´ r´t ra c´
a u o
a ¯’ a a ¯
a) 3 l´ do v` 2 l´ den.
’ o o`
b) 2 con co, 1 con rˆ, 2 con chuˆn.
’
Giai
. ´ ´
a e o u ¯ ’ .’ a ¯’ a a ¯
Goi A l` biˆn cˆ r´t ra duoc 3 l´ do v` 2 l´ den.
a e ´ cˆ r´t ra duoc 2 con co, 1 con rˆ, 2 con chuˆn.
B l` biˆn o´ u ¯ ’ .’ ’ o o`
Sˆ biˆn cˆ c´ thˆ’ xay ra khi r´t 5 l´ b`i l` C52 .
´ ´ ´
o e o o e ’ u a a a 5
´ ´ ´
o e o a .’
. a 3 2
a) Sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho A l` C26 .C26 .
3 2
C26 .C26 845000
P (A) = 5
= = 0, 3251
C52 2598960
´ ´ ´
o e o a .’
. a 2 1 2
b) Sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho B l` C13 .C13 .C13
2 1 2
C13 .C13 .C13 79092
P (B) = 5
= = 0, 30432
C52 2598960
ı . a a a o
. o o` ’`’ ım a a ¯e’ o ıt
´
• V´ du 18 (B`i to´n ng`y sinh) Mˆt nh´m gˆn n nguoi. T` x´c suˆt dˆ c´ ´
´t hai nguoi c´ c`ng ng`y sinh (c`ng ng`y v` c`ng th´ng).
nhˆ
a ` o u
’’ a u a a u a
’
Giai
Goi S l` tˆp hop c´c danh s´ch ng`y sinh c´ thˆ’ cua n nguoi v` E l` biˆn cˆ c´ ´
. a a . .’ a a a o e ’ ’` a
’ ´ ´
a e o o ıt
´ ’`
nhˆt hai nguoi trong nh´m c´ c`ng ng`y sinh trong n˘m.
a ’ o o u a a
´ ´
a e o o o ’ ´
’` a y
Ta c´ E l` biˆn cˆ khˆng c´ hai nguoi bˆt k` trong nh´m c´ c`ng ng`y sinh.
o o o u a
´ ’` .’ ’
Sˆ c´c truong hop cua S l`
o a ’ a
n(S) = 365.365 . . . 365 = 365n
n
´
o ’`
Sˆ truong hop thuˆn loi cho E l`
’ .’ a .’
. a
n(E) = 365.364.363. . . . [365 − (n − 1)]
[365.364.363. . . . (366 − n)](365 − n)!
=
(365 − n)!
365!
= (365−n)!
´
3. X´c suˆt
a a 9
ı a ´ `
e o ¯o ’ a
V` c´c biˆn cˆ dˆng kha n˘ng nˆn
e
365!
n(E) (365−n)! 365!
P (E) = = n
= n .(365 − n)!
n(S) 365 365
Do d´ x´c suˆt dˆ’ ´ nhˆt c´ hai nguoi c´ c`ng ng`y sinh l`
¯o a ´
a ¯e ıt a o´ ’` o u
’ a a
365!
(365−n)! 365!
P (E) = 1 − P (E) = 1 − =
365n 365n .(365 − n)!
´ ’`
Sˆ nguoi trong nh´m
o ’ o ´ ´ ’` o u
X´c suˆt c´ ´ nhˆt 2 nguoi c´ c`ng ng`y sinh
a a o ıt a ’ a
n P (E)
5 0,027
10 0,117
15 0,253
20 0,411
23 0,507
30 0,706
40 0,891
50 0,970
60 0,994
70 0,999
’
Bang b`i to´n ng`y sinh
a a a
Ch´ y ¯ inh nghia x´c suˆt theo lˆi cˆ diˆ’n c´ mˆt sˆ han chˆ:
u ´ D. ˜ a ´
a ´ ’
o o ¯e o o o . . ´ ´
e
o e . ’ ´ ´
e o ’ a ´
i) N´ chi’ x´t cho hˆ huu han c´c biˆn cˆ so cˆp.
e ˜ . a
’ u a ` ’ a ’
ii) Khˆng phai l´c n`o viˆc ”¯ˆng kha n˘ng” c˜ng xay ra.
o e do
. u
3.2 ˜ a ´ ´ ´
¯ inh nghia x´c suˆt theo lˆi thˆng kˆ
D. a o o e
D. ˜ .’ e
. e ’’ a` ´ ´
’ ’’ e o ´ e
a . a`
2 ¯ inh nghia 6 Thuc hiˆn ph´p thu n lˆn. Gia su biˆn cˆ A xuˆt hiˆn m lˆn. Khi
` ´
¯ ’.’ . a a o ’ ´ ´
e o a ’ o´ ¯ ’.’ . a a
m ` ´ ´ . ´
d´ m duoc goi l` tˆn sˆ cua biˆn cˆ A v` ty sˆ n duoc goi l` tˆn suˆt xuˆt hiˆn biˆn
¯o a a e e
´
cˆ A trong loat ph´p thu.
o . e ’’
´
o e ’’ a e o . a` ´
a ´ e
a . ´ ´
e o ` . ´
a e` o o a
Cho sˆ ph´p thu t˘ng lˆn vˆ han, tˆn suˆt xuˆt hiˆn biˆn cˆ A dˆn vˆ mˆt sˆ x´c
´
a ’ ´ ´
d. nh goi l` x´c suˆt cua biˆn cˆ A.
¯i . a a e o
m
P (A) = n→∞
lim
n
. ´ e ¯. a o a´
• V´ du 19 Mˆt xa thu ban 1000 viˆn dan v`o bia. C´ xˆp xi’ 50 viˆn tr´ng bia. Khi
ı . o . ’ ˘ e u
¯o a a ’ . ’ ˘ ´
´t dˆ xa thu ban tr´ng bia l` 50 = 5%.
d´ x´c suˆ ¯e u a 1000
• V´ du 20 ¯ ˆ’ nghiˆn cuu kha n˘ng xuˆt hiˆn m˘t sˆp khi tung mˆt dˆng tiˆn, nguoi
ı . De e ´ ’ ’ a ´ .
a e . ´
a a o ¯o
. ` e` ’`
’
´
e a ¯o` e` e` a a
` ¯ ’.’ e´ ’ ’’ ’ ´ ¯a
ta tiˆn h`nh tung dˆng tiˆn nhiˆu lˆn v` thu duoc kˆt qua cho o bang duoi dˆy:
’’
10 ’’ ˜
’ a e
. ’ ’ `
e a ´
Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt
a
’` a ´ ` ´ ` `
Nguoi l`m Sˆ lˆn Sˆ lˆn duoc Tˆn suˆt
’ o a o a ¯ ’ .’ a ´
a
th´ nghiˆm tung
ı e
. . ´
m˘t sˆp
a a f (A)
Buyffon 4040 2.048 0,5069
Pearson 12.000 6.019 0,5016
Pearson 24.000 12.012 0,5005
3.3 ˜ a ´ ’
¯ inh nghia x´c suˆt theo quan diˆm h` hoc
D. a ¯e ınh .
D. ˜ e o . e ’’ o o a ´ ´
e o ’ a ´ ¯ ’.’ e’ ˜
2 ¯ inh nghia 7 X´t mˆt ph´p thu c´ khˆng gian c´c biˆn cˆ so cˆp Ω duoc biˆu diˆn
e
boi miˆn h`nh hoc Ω c´ dˆ do (¯ˆ d`i, diˆn t´ch, thˆ’ t´
’’ `
e ı . o ¯o ¯ do a
. . e ı
. ˜ . ´ ´
e ıch) huu han kh´c 0, biˆn cˆ A
’ a e o
duoc biˆ’u diˆn boi miˆn h` hoc A. Khi do x´c suˆt cua biˆn cˆ A duoc x´c d. nh boi:
¯ ’.’ e ˜
e ’’ `
e ınh . ¯´ a ´
a ’ ´ ´ ¯ ’.’ a ¯i
e o ’’
o ¯ ’ e`
Dˆ do cua miˆn A
P (A) = ¯ .
Do ¯ ’ `
¯ ˆ do cua miˆn Ω
. e
e ¯ . ’
˘ a˜ e ¯ e’
• V´ du 21 Trˆn doan thang OA ta gieo ngˆu nhiˆn hai diˆm B v` C c´ toa dˆ tuong
ı . a o . ¯o ’ ’
.
ung
’ ı a ´
´ OB = x, OC = y (y ≥ x). T`m x´c suˆt sao cho dˆ d`i cua doan BC b´ hon dˆ
a ¯o a
. ’ ¯ . e ’ ¯o .
a ’ ¯ .
d`i cua doan OB.
’
Giai
’ ’’ ’
Gia su OA = l. C´c toa dˆ x v` y phai
a . ¯o a y
.
’ a a ¯ e` e
thoa m˜n c´c diˆu kiˆn:
. I M
Q
0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l, y≥x (*) y=2x
Biˆ’u diˆn x v` y lˆn hˆ truc toa do vuˆng
e ˜
e a e e . . ¯ˆ o
. .
g´c. C´c diˆ
o a ¯e ’m c´ toa do thoa m˜n (*) thuˆc
o . ¯ˆ ’ . a o
.
tam gi´c OM Q (c´ thˆ
a o e ’ xem nhu biˆn cˆ chac
’ e ´ ´
´ o ˘
˘´
chan). O x
M˘t kh´c, theo yˆu cˆu b`i to´n ta phai c´ y − x < x hay y < 2x (**). Nhung diˆ’m
a
. a `
e a a a ’ o ˜ ¯e
’
o . ¯ˆ ’
. a a o
. e` o . e` a .’
. ´ cˆ cˆn t`
e ´ a ım
c´ toa do thoa m˜n (*) v` (**) thuˆc miˆn c´ gach. Miˆn thuˆn loi cho biˆn o `
a a a
. ´ `
l` tam gi´c OM I. Vˆy x´c suˆt cˆn t´
a a a ınh
diˆn t´ OM I
e ıch
. 1
p= =
diˆn t´ OM Q
e ıch
. 2
a a `
• V´ du 22 (B`i to´n hai nguoi g˘p nhau)
ı . ’’ a
.
Hai nguoi hen g˘p nhau o mˆt d. a dıˆ’m x´c d. nh v`o khoang tu 19 gio dˆn 20 gio.
’` . a
’ . ’’ o ¯i ¯ e
. a ¯i a ’ `’ ’ ´
` ¯e ` ’
Mˆi nguoi dˆn (chac chan s˜ dˆn) diˆ’m hen trong khoang thoi gian trˆn mˆt c´ch dˆc
˜
o ’ ’ ´
` ¯e ´
˘ ´ ´
˘ e ¯e ¯ e . ’ `’ e o a ¯o
. .
a ´
. ’ `’ u ´
e o a´ ’`
’ ´
¯e e ’ ¯
lˆp voi nhau, cho trong 20 ph´t, nˆu khˆng thˆy nguoi kia dˆn s˜ bo di. T` x´c suˆt
ım a a´
¯e’ ’` a
dˆ hai nguoi g˘p nhau.
’ .
´
3. X´c suˆt
a a 11
’
Giai
Goi x, y l` thoi gian dˆn diˆ’m hen cua mˆi nguoi
. a ` ’ ´
¯e ¯ e . ’ ˜
o ’`’
a a e ´ cˆ hai nguoi g˘p nhau. R˜ r`ng x, y
v` A l` biˆn o ´ ’` a
’ . o a
l` mˆt diˆ’m ngˆu nhiˆn trong khoang [19, 20], ta
a o ¯e
. a˜ e ’
y
c´ 19 ≤ x ≤ 20;
o
19 ≤ y ≤ 20. 20
D
De’ ’` a
¯ ˆ hai nguoi g˘p nhau th`
’ . ı A
1 ` 19
|x − y| ≤ 20 ph´t = 3 gio.
u ’
Do d´
¯o
Ω = {(x, y) : 19 ≤ x20, 19 ≤ y ≤ 20}
o 19 20 x
1
A = {(x, y) : |x − y| ≤ }
3
e ıch ’ e` `
˘
Diˆn t´ cua miˆn Ω bang 1.
.
e ıch ’
. e` `
Diˆn t´ cua miˆn A bang 1 − 2. 2 . 2 . 2 =
˘ 1 5
3 3 9
diˆn t´ A
e ıch 5/9
Vˆy P (A) = .
a
. = = 0, 555.
diˆn t´ Ω
e ıch
. 1
3.4 ˜ a ´ `
¯ inh nghia x´c suˆt theo tiˆn dˆ
D. a e ¯e
’ ’’ ´ ´ ´
a e o ˘ ´
˘ ’ ’ a ¯ e` e
Gia su Ω l` biˆn cˆ chac chan. Goi A l` ho c´c tˆp con cua Ω thoa c´c diˆu kiˆn
. a . a a . .
sau:
´
i) A chua Ω.
’
´
ii) Nˆu A, B ∈ A th` A, A + B, AB thuˆc A.
e ı o
.
. ’ a e ¯e` a ı ¯ ’.’ . a ¯. o ´
Ho A thoa c´c tiˆn dˆ i) v` ii) th` A duoc goi l` dai sˆ.
´ a ’’ ’
` ’
iii) Nˆu A1 , A2 , . . . , An , . . . l` c´c phˆn tu cua A th` tˆng v` t´ vˆ han A1 + A2 +
e a a ı o a ıch o .
. . . + An v` A1 A2 . . . An . . . c˜ng thuˆc A.
a u o
.
´
e ’ a ¯ e` e . ı ¯ ’ .’ . a ¯ . o ´
Nˆu A thoa c´c diˆu kiˆn i), ii), iii) th` A duoc goi l` σ dai sˆ.
˜ ´
a e a o a
. ´
2 ¯ inh nghia 8 Ta goi x´c suˆt trˆn (Ω, A) l` mˆt h`m P sˆ x´c d. nh trˆn A c´ gi´
D. . a o a ¯i e o a
. a ’
tri trong [0,1] v` thoa m˜n 3 tiˆn dˆ
a e ¯e ` sau:
i) P (Ω) = 1.
´ ´
˘
ii) P (A + B) = P (A) + P (B) (voi A, B xung khac).
’
´ o ı ´
iii) Nˆu d˜y {An } c´ t´nh chˆt A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ⊃ An ⊃ . . . v` A1 A2 . . . An . . . = ∅ th`
e a a a ı
lim P (An ) = 0.
n→∞
12 ’’ ˜
’ a e
. ’ ’ `
e a ´
Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt
a
3.5 ´
a ınh a ’ ´
C´c t´ chˆt cua x´c suˆt
a a
´ . ´ ´
i) 0 ≤ P (A) ≤ 1 voi moi biˆn cˆ A
’ e o
ii) P (Ω) = 1
iii) P (∅) = 0
´
iv) Nˆu A ⊂ B th` P (A) ≤ P (B).
e ı
v) P (A) + P (A) = 1.
vi) P (A) = P (AB) + P (AB).
4. ´
MOT SO CONG THUC T´
ˆ ˆ ˆ ´’ ´ ´
ˆ
INH XAC SUAT
.
4.1 o ´ o
’ . a ´
Cˆng thuc cˆng x´c suˆt
a
o ´
Cˆng thuc 1
’
’ ’’ ´ ´ ´
˘
Gia su A v` B l` hai biˆn cˆ xung khac (AB = ∅). Ta c´
a a e o o
P (A + B) = P (A) + P (B)
´
Chung minh
’
Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra, trong do c´ mA biˆn cˆ
’ ’’ e ’’ o ´ ´ `
e o ¯o ’ a o e ’ ¯´ o ´ ´
e o
. ´ ´ ´ ´
e o a .’
. ´ ´
e o ´ ´ ´
thuˆn loi cho biˆn cˆ A v` mB biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ B. Khi do sˆ biˆn cˆ thuˆn
a .’ e o a ¯´ o e o a
.
.’ ´ cˆ A + B l` m = mA + mB .
loi cho biˆn o
e ´ a
Do d´
¯o
mA + mB mA mB
P (A + B) = = + = P (A) + P (B)
n n n
˜
2 ¯ inh nghia 9
D.
´ ´ ´ ´ `
e o ¯a ¯’ ´ ’
˘ `
i) C´c biˆn cˆ A1 , A2 , . . . , An duoc goi l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung
a e o ¯ ’.’ . a o a
´ ´ ’
˘ ` ¯o a o
dˆi nˆu ch´ng xung khac tung dˆi v` tˆ
¯o e u ’ng cua ch´ng l` biˆn cˆ chac chan. Ta c´
’ u ´ ´ ´
a e o ˘ ´
˘ o
A1 + A2 + . . . + An = Ω, Ai Aj = ∅
´ ´ ´ ´ . . ´ `
ii) Hai biˆn cˆ A v` B duoc goi l` hai biˆn cˆ dˆc lˆp nˆu su tˆn tai hay khˆng tˆn
e o a ¯ ’.’ . a e o ¯o a e .’ o . o o`
. ’ ´n cˆ n`y khˆng anh huong dˆn su tˆn tai hay khˆng tˆn tai cua biˆn cˆ kia.
tai cua biˆ o
e ´ a o ’ ’ ´
’’ ¯e .’ o .` o o` . ’ ´ o
e ´
´ ´
e o ¯ ’.’ . ¯o a
. . a ` ´ o e o ¯o a
a e ˜ ´ ´ . .
iii) C´c biˆn cˆ A1 , A2 , . . . , An duoc goi dˆc lˆp to`n phˆn nˆu mˆi biˆn cˆ dˆc lˆp
a
´ ı ’ ’ hop bˆt k` trong c´c biˆn cˆ c`n lai.
voi t´ch cua mˆt tˆ .’ a y
’ o o
. ´ a ´ ´
e o o .
e. ’
Hˆ qua 1
´
e ´ ´
a e o ´ ’
˘ ` ¯o ı
i) Nˆu A1 , A2 , . . . , An l` biˆn cˆ xung khac tung dˆi th`
P (A1 + A2 + . . . + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . . + P (An )
´
o o o
. ´ ınh x´c suˆt
4. Mˆt sˆ cˆng thuc t´
’ a ´
a 13
´
e a o a ´ ´ `
e o ¯a ¯’ ´ ’
˘ ` ¯o ı
ii) Nˆu A1 , A2 , . . . , An l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung dˆi th`
n
P (Ai ) = 1
i=1
iii) P (A) = 1 − P (A).
o ´
Cˆng thuc 2
’
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB)
´
Chung minh
’
Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra, trong do c´ mA biˆn cˆ
’ ’’ e ’’ o ´ ´ `
e o ¯o ’ a o e ’ ¯´ o ´ ´
e o
. ´ ´ ´ ´ a .’
. ´ ´
e o a ´ ´
thuˆn loi cho biˆn cˆ A, mB biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ B v` k biˆn cˆ thuˆn loi cho
a .’ e o e o e o a .’
.
´ ´ ´ ´ ´
¯o o e o a .’
. ´ ´
biˆn cˆ AB. Khi d´ sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ A + B l` mA + mB − k.
e o e o a
Do d´
¯o
mA + mB − k mA mB k
P (A + B) = = + − = P (A) + P (B) − P (AB).
n n n n
e
. ’
Hˆ qua 2
n
i) P (A1 + A2 + . . . , +An ) = P (Ai ) − P (Ai Aj ) + P (Ai Aj Ak ) + . . . +
i=1 i14 ’’ ˜
’ a e
. ’ ’ `
e a ´
Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt
a
1 5
C2 .C8 112 8
P (B) = 6
= =
C10 210 15
Do d´
¯o
2 8 2
P (C) = P (A) + P (B) = + =
15 15 3
o ´ o
. ’ e ¯o o e ’ . ˜
• V´ du 24 Mˆt lop c´ 100 sinh viˆn, trong d´ c´ 40 sinh viˆn gioi ngoai ngu, 30 sinh
ı . ’
e ’ . e ’ ’ . ˜ a
viˆn gioi tin hoc, 20 sinh viˆn gioi ca ngoai ngu lˆ
’ . e a ’ ıt a ´
˜n tin hoc. Sinh viˆn n`o gioi ´ nhˆt
mˆt trong hai mˆn s˜ duoc thˆm diˆ’m trong kˆt qua hoc tˆp cua hoc k`. Chon ngˆu
o
. o e ¯ ’.’ e ¯e e´ ’ . a ’. . y . ˜
a
nhiˆn mˆt sinh viˆn trong lop. T`m x´c suˆt dˆ’ sinh viˆn d´ duoc t˘ng diˆ’m.
e o
. e ´
’ ı a ´
a ¯e e ¯o ¯ ’.’ a ¯ e
’
Giai
Goi
.
A l` biˆn cˆ goi duoc sinh viˆn duoc t˘ng diˆ’m.
´ ´
a e o . ¯ ’ .’ e ¯ ’ .’ a ¯ e
´ ´
a e o . ¯ ’ .’ e ’ . ˜
N l` biˆn cˆ goi duoc sinh viˆn gioi ngoai ngu.
’
´ cˆ goi duoc sinh viˆn gioi tin hoc
T l` biˆn o
a e ´ . ¯ ’ .’ e ’ .
th` A = T + N .
ı
Ta c´
o
30 40 20 50
P (A) = P (T ) + P (N ) − P (T N ) = + − = = 0, 5
100 100 100 100
4.2 ´
a o ¯e ` e
. a o ´
’ a a ´
X´c suˆt c´ diˆu kiˆn v` cˆng thuc nhˆn x´c suˆt
a a
a ´
a o ¯e `
a) X´c suˆt c´ diˆu kiˆn e
.
˜ ´
a ’ ´ ´ ´ ¯ e` e ´ ´ ’
2 ¯ inh nghia 10 X´c suˆt cua biˆn cˆ A voi diˆu kiˆn biˆn cˆ B xay ra duoc goi l`
D. a e o ’ . e o ¯ ’.’ . a
a o ¯ e` e ’ . ´ ´
x´c c´ diˆu kiˆn cua biˆn cˆ A. K´ hiˆu P (A/B).
e o ı e .
. e ´
˘ e ¯ ´ ` ’.’
• V´ du 25 Trong hˆp c´ 5 viˆn bi trang, 3 viˆn bi den. Lˆy lˆn luot ra 2 viˆn bi
ı . o o a a e
´ ’ lˆn thu hai lˆy duoc viˆn bi trang biˆt lˆn thu nhˆt
a ¯e `
(khˆng ho`n lai). T`m x´c suˆt dˆ a
o a . ı a ´
’ ´
a ¯ ’.’ e ´
˘ ´ `
e a ´ a
’ ´
da lˆ ¯ ’.’ e
¯˜ a ´
´y duoc viˆn bi trang.
˘
’
Giai
´ ´ ` ´ ´ ´
˘
Goi A l` biˆn cˆ lˆn thu hai lˆy duoc viˆn bi trang
. a e o a ’ a ¯ ’ .’ e
´ ´ `
a e o a ´ a a ¯ ’ .’
’ ´ ´ e ´
˘
B l` biˆn cˆ lˆn thu nhˆt lˆy duoc viˆn bi trang.
Ta t` P (A/B).
ım
´ ` ´ a a ¯ ’ .’ e
´ ´ ´
˘ ¯˜ ’
Ta thˆy lˆn thu nhˆt lˆy duoc viˆn bi trang (B da xay ra) nˆn trong hop c`n 7 viˆn
a a ’ e .’ o e
¯o o e ´
˘ng. Do d´
bi trong d ´ c´ 4 viˆn bi tra ¯o
1
C4 4
P (A/B) = 1
=
C7 7
´
o o o
. ´ ınh x´c suˆt
4. Mˆt sˆ cˆng thuc t´
’ a ´
a 15
o ´
Cˆng thuc
’
P (AB)
P (A/B) = P (B)
´
Chung minh
’
Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra trong do c´ mA biˆn c´
’ ’’ e ’’ o ´ ´ `
e o ¯o ’ a o e ’ ¯´ o ´
e o
. ´ cˆ A, mB biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ B v` k biˆn cˆ thuˆn loi cho
thuˆn loi cho biˆn o
a .’ e ´ ´ o
e ´ a .’
. ´ o
e ´ a e´ o ´ a .’
.
´ cˆ AB.
biˆn o
e ´
Theo d.nh nghia x´c suˆt theo lˆi cˆ diˆ’n ta c´
¯i ˜ a ´
a ´ ’
o o ¯e o
k mB
P (AB) = , P (B) =
n n
ım ´ ´ ¯˜ ’
ı e o e ´ ´ `
e o ¯o ’ a ’
Ta t` P (A/B). V` biˆn cˆ B da xay ra nˆn biˆn cˆ dˆng kha n˘ng cua A l` mB ,
a
´ cˆ thuˆn loi cho A l` k. Do d´
biˆn o
e ´ a .’
. a ¯o
k
k n P (AB)
P (A/B) = = mB = .
mB n
P (B)
• V´ du 26 Mˆt bˆ b`i c´ 52 l´. R´t ngˆu nhiˆn 1 l´ b`i. T` x´c suˆt dˆ’ r´t duoc
ı . o o a o
. . a u ˜
a e a a ım a ´
a ¯e u ¯ ’.’
a ´ `
e ˘
con ”´t” biˆt rang l´ b`i r´t ra l` l´ b`i m`u den.
a a u a a a a ¯
’
Giai
. ´ ´
Goi A l` biˆn cˆ r´t duoc con ”´t”
a e o u ¯ ’ .’ a A A
´ ´
B l` biˆn cˆ r´t duoc l´ b`i m`u den.
a e o u ¯ ’ .’ a a a ¯ ♣ ♠
´
Ta thˆy trong bˆ b`i c´
a o a o
.
26
♣ ♠
26 l´ b`i den nˆn P (B) =
a a ¯ e 52
2
2 con ”´t” den nˆn P (AB) =
a ¯ e 52
. A A
P (AB) 2/52 1 ♣ ♠
Do d´ P (A/B) =
¯o = =
P (B) 26/52 13
´
’ a a ´
b) Cˆng thuc nhˆn x´c suˆt
o a
` o ´ a ´
a o ¯ e` e
Tu cˆng thuc x´c suˆt c´ diˆu kiˆn ta c´
’ ’ . o
i) P (AB) = P (A).P (B/A) = P (B).P (A/B).
´
e a ´ ´ . .
ii) Nˆu A, B l` hai biˆn cˆ doc lˆp th` P (AB) = P (A).P (B).
e o ¯ˆ a ı
iii) P (ABC) = P (A).P (B/A).P (C/AB)
P (A1 A2 . . . An ) = P (A1 )P (A2 /A1 ) . . . P (An /A1 A2 . . . An−1 ).
o
. ´ a o
’ ´ ´
˘ a ¯ o
. ´’ o ´
˘
• V´ du 27 Hˆp thu nhˆt c´ 2 bi trang v` 10 bi den. Hˆp thu hai c´ 8 bi trang v` 4
ı . a
¯ ’ ˜ . ´
` o o a e ı a a ¯e’
´
bi den. Tu mˆi hˆp lˆy ra 1 viˆn bi. T`m x´c suˆt dˆ
16 ’’ ˜
’ a e
. ’ ’ `
e a ´
Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt
a
’ ` ˘ ´
a) Ca 2 viˆn bi dˆu trang,
e ¯e
´
˘
b) 1 bi trang, 1 bi den.
¯
’
Giai
. ´ ´ ´
a e o a ¯ ’ .’ ’ ´
˘
Goi T l` biˆn cˆ lˆy ra duoc ca 2 bi trang
´ ´ ´
a e o a ¯ ’ .’ ´
˘ ` o ´ a ´
T1 l` biˆn cˆ lˆy duoc bi trang tu hˆp thu nhˆt
’ . ’
T2 l` biˆn o
a e ´ a ¯ ’ .’
´ ´
´ cˆ lˆy duoc bi trang tu hˆp thu hai
˘ ` o
’ . ´
’
a ´ ´ . .
th` T1 , T2 l` 2 biˆn cˆ doc lˆp v` T = T1 T2 . Ta c´
ı e o ¯ˆ a a o
1 2
P (T1 ) = , P (T2 ) =
6 3
Do d´ P (T ) = P (T1 T2 ) = P (T1 ).P (T2 ) = 1 . 3 = 1 .
¯o 6
2
9
´ ´ ´ ´
˘ ’’ o ´ a ´ ´
b) Goi T1 , T2 l` biˆn cˆ lˆy duoc bi trang o hˆp thu nhˆt, thu hai
. a e o a ¯ ’ .’ . ’ ’
´ cˆ lˆy duoc bi den o hˆp thu nhˆt, thu hai
D1 , D2 l` biˆn o
a e ´ a ¯ ’ .’
´ ¯ ’’ o
. ´ a
’ ´ ´
’
T1 D2 l` biˆn o
a e ´ ´
´ cˆ lˆy duoc bi trang o hˆp thu nhˆt v` bi den o hˆp thu hai
´ a ¯ ’ .’ ˘ ’’ o . ´ a a
’ ´ ¯ ’’ o . ´’
´ ´ ´
a e o a ¯ ’ .’ ´ng o hˆp thu hai v` bi de n o hˆp thu nhˆt
T2 D1 l` biˆn cˆ lˆy duoc bi tra ’’ o
˘ . ´’ a ¯ ’’ o
. ´ a
’ ´
th` A = T1 D2 + T2 D1 .
ı
Ta c´
o
1 2
P (T1 ) = , P (T2 ) =
6 3
5 1
P (D1 ) = 1 − P (T1 ) = P (D2 ) = 1 − P (T2 ) =
6 3
Suy ra
P (A) = P (T1 D2 ) + P (T2 D1 ) = P (T1 ).P (D2 ) + P (T2 ).P (T1 )
1 1 2 5 11
= . + . =
6 3 3 6 8
ı . . . ´
o e o ¯ ’.’ a ´ a ’’ a a` e ’ ¯ ’.’ . a o e
• V´ du 28 Mˆt hˆ thˆng duoc cˆu th`nh boi n th`nh phˆn riˆng le duoc goi l` mˆt hˆ
. .
´ng song song nˆu n´ hoat dˆng khi ´ nhˆt mˆt th`nh phˆn hoat dˆng. Th`nh phˆn
thˆ
o ´ o . ¯o
e . ıt a´ o . a a` . ¯o . a a`
´ dˆ a ´ a
’ . . ’ ` a . ¯o . ´ a
’ ´
a ım a ´
thu i (¯oc lˆp voi c´c th`nh phˆn kh´c) hoat dˆng voi x´c suˆt pi . T` x´c suˆt dˆ e
a a ’ hˆ
a ¯e .
´ng song song hoat dˆng.
thˆ
o . ¯o.
1
A 2
B
3
n
’
Giai
Goi
.
´ ´ . ´
A l` biˆn cˆ hˆ thˆng hoat dˆng.
a e o e o . ¯o.
´
o o o
. ´ ınh x´c suˆt
4. Mˆt sˆ cˆng thuc t´
’ a ´
a 17
´ ´
a e o a a` ´
Ai l` biˆn cˆ th`nh phˆn thu i hoat dˆng.
’ . ¯o.
Ta c´
o
P(A) = 1 − P (A)
= 1 − P (A1 .A2 . . . An )
n
= 1− P (Ai )
i=1
n
= 1− (1 − pi )
i=1
. ı
e . . ´ ` a a` e o
. ´
• V´ du 29 (H^ x´ch) X´t mˆt hˆ thˆng gˆm hai th`nh phˆn. Hˆ thˆng hoat dˆng
ı . e o e o o . ¯o
.
a` ¯o
. . a a ` ´i theo x´ch).
khi v` chi’ khi ca hai th`nh phˆn hoat dˆng (c´c th`nh phˆn duoc nˆ
a ’ a a ¯ ’.’ o ı
A B
. . ’ o
. a `
a ’ e o
. ´ a a ´ a a
a `
¯ ˆ tin cˆy R(t) cua mˆt th`nh phˆn cua hˆ thˆng l` x´c suˆt m` th`nh phˆn c´
Do a a o
’ hoat dong ´ nhˆt khoang thoi gian t.
thˆ . ¯ˆ ıt a
e . ´ ’ `’
´
e ı e . ´ ´
e o a a` . ´
. ¯ˆ ıt a ¯ ’ . ` ’ ’’
Nˆu k´ hiˆu biˆn cˆ ”th`nh phˆn hoat dong ´ nhˆt t don vi thoi gian” boi T > t th`
ı
R(t) = P (T > t)
. . a ’
. a a` a ˜ a
Goi PA v` PB l` do tin cˆy cua th`nh phˆn A v` B, nghia l`
a a ¯ˆ
´
. ¯o ıt a ¯ ’ . `
PA = P (A hoat dˆng ´ nhˆt t don vi thoi gian),
. ’
´
. ¯o ıt a ¯ ’ . `
PB = P (B hoat dˆng ´ nhˆt t don vi thoi gian).
. ’
´
e a a a` . ¯o ¯o a
. . . ı ¯o
. a ’
. . ´ a
Nˆu c´c th`nh phˆn hoat dˆng dˆc lˆp th` dˆ tin cˆy cua hˆ thˆng l` R = pA .pB .
e o
• V´ du 30
ı .
e ¯o. a ’ e o
. . ´
X´t dˆ tin cˆy cua hˆ thˆng cho boi’’ A B
ı e a ` ´
h`nh bˆn. Th`nh phan nˆi A v` B trˆn
ˆ o a e
¯’
dinh c´ thˆ
o e ’ thay boi th`nh phˆn don
’’ a `
a ¯’
´ ¯o
’ . . a a`
voi dˆ tin cˆy pA .pB . Th`nh phˆn song
a
song cua ngat C v` D c´ thˆ’ thay boi
’ ´
˘ a o e ’’ C
´t don voi dˆ tin cˆy 1−(1−pC ).(1−
˘
nga ¯ ’ ’ . ´ ¯o a
.
pD ). D
Do. a ’ e o
. . ´
¯ ˆ tin cˆy cua hˆ thˆng song song n`y l`
a a
1 − (1 − pA .pB )[1 − (1 − (1 − pC ).(1 − pD ))]
18 ’’ ˜
’ a e
. ’ ’ `
e a ´
Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt
a
4.3 ´ a ´ `
a ¯a ¯ ’ a o ´
Cˆng thuc x´c suˆt dˆy du v` cˆng thuc Bayes
o ’ ’
o ´ a
’ ´ `
a ¯a ¯ ’
a) Cˆng thuc x´c suˆt dˆy du
o ´
Cˆng thuc
’
’ ’’ a o a ´ ´ `
e o ¯a ¯ ’ ´ ’
˘ ` ¯o a ´
Gia su A1 , A2 , . . . , An l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung dˆi v` B l` biˆn
a e
´ bˆt k` c´ thˆ’ xay ra trong ph´p thu. Khi d´ ta c´
cˆ a
o ´ y o e ’ e ’’ ¯o o
n
P (B) = P (Ai ).P (B/Ai )
i=1
´
Chung minh
’
V` A1 + A2 + . . . + An = Ω nˆn
ı e
B = B(A1 + A2 + . . . + An ) = BA1 + B2 + . . . + BAn
´ ´ ´ ’
˘ ` ¯o e a ´ ´
Do c´c biˆn cˆ A1 , A2 , . . . , An xung khac tung dˆi nˆn c´c biˆn cˆ t´ BA1 , BA2 , . . .,
a e o e o ıch
u ´c tung dˆi.
BAn c˜ng xung kha ` ¯o
˘ ’
n
¯i y o. a ´
Theo d.nh l´ cˆng x´c suˆt ta c´ P (B) =
a o P (BAi ).
i=1
a
. a o ´
M˘t kh´c theo cˆng thuc nhˆn x´c suˆt th` P (BAi ) = P (Ai ).P (B/Ai ).
’ a a a ı
n
Do d´ P (B) =
¯o P (Ai ).P (B/Ai ).
i=1
´ e o ¯´ ´ ¯ e` e ’’
Ch´ y Cˆng thuc trˆn c`n dung nˆu ta thay diˆu kiˆn A1 + A2 + . . . + An = Ω boi
u´ o ’ e .
B ⊂ A1 + A2 + . . . + An .
e o o ’ ’ ´
¯o o ’ ’ ’ ´
• V´ du 31 X´t mˆt lˆ san phˆm trong d´ sˆ san phˆm do nh` m´y I san xuˆt chiˆm
ı . . a a a a a ´
e
a a ’
20%, nh` m´y II san xuˆ ´t chiˆm 30%, nh` m´y III san xuˆt chiˆm 50%. X´c suˆt phˆ
a ´
e a a ’ ´
a ´
e a a´ e´
’ ’ a a a a a a a ım a a´
phˆm cua nh` m´y I l` 0,001; nh` m´y II l` 0,005; nh` m´y III l` 0,006. T` x´c suˆt
a a a
¯e’ a ´ ˜ ´ ’
dˆ lˆy ngˆu nhiˆn duoc dung 1 phˆ phˆm.
a e ¯ ’.’ ¯´ e a
’
Giai
. ´ ´
a e o ’ ’ ´ ´ ’
Goi B l` biˆn cˆ san phˆm lˆy ra l` phˆ phˆm
a a a e a
´ ´ ´
a e o a ¯ ’ .’ ’ a’ ’
A1 , A2 , A3 l` biˆn cˆ lˆy duoc san phˆm cua nh` m´y I, II, III
a a
ı a o a ´ ´
e o ´ ’
˘ ` ¯o
th` A1 , A2 , A3 l` nh´m c´c biˆn cˆ xung khac tung dˆi. Ta c´
o
P (A1 ) = 0, 2; P (A2 ) = 0, 3; P (A3 ) = 0, 5
P (B/A1 ) = 0, 001; P (B/A2 ) = 0, 005; P (B/A3 ) = 0, 006
Do d´
¯o
P (B) = P (A1 ).P (B/A1 ) + P (A2 ).P (B/A2 ) + P (A3 ).P (B/A3 )
= 0, 2.0, 001 + 0, 3.0, 005 + 0, 5.0, 006
= 0, 0065
´
o o o
. ´ ınh x´c suˆt
4. Mˆt sˆ cˆng thuc t´
’ a ´
a 19
ı . o o
. . ´
’ ´
˘ a a ´ `
• V´ du 32 Mˆt hˆp chua 4 bi trang, 3 bi v`ng v` 1 bi xanh. Lˆy lˆn luot (khˆng ho`n
a a ’.’ o a
` o ´ ’ lˆy duoc 1 bi trang v` 1 bi v`ng.
a ¯e ´
lai) tu hˆp ra 2 bi. T`m x´c suˆt dˆ a ¯ ’.’
. ’ . ı a ´
˘ a a
’
Giai
´ ´ ´ ´
˘ ´ ´ ´
Goi T l` biˆn cˆ lˆy duoc bi trang, V l` biˆn cˆ lˆy duoc bi v`ng.
. a e o a ¯ ’ .’ a e o a ¯ ’ .’ a
Ta c´
o
4 1 3
P (T ) = = ; P (V ) = ;
8 2 8
3 4
P (V /T ) = ; P (T /V ) =
7 7
X´c xuˆt dˆ’ lˆy duoc 1 bi trang v` 1 bi v`ng l`
a ´ ´
a ¯e a ¯ ’ .’ ´
˘ a a a
1 3 3 4 3
P (T V ) = P (T ).P (V /T ) + P (V ).P (T /V ) = . + . = .
2 7 8 7 7
a a ´
2 Cˆy x´c suˆt
a
´ e` ’’ ´ e` e o´ ´ a a ´
Trong thuc tˆ c´ nhiˆu ph´p thu chua mˆt d˜y nhiˆu biˆn cˆ. Cˆy x´c suˆt cung
.’ e o e ’ o a
. a
´
a o o
. . a .’
. e a ¯i
. ´ u a
cˆp cho ta mˆt cˆng cu thuˆn loi cho viˆc x´c d.nh cˆu tr´c c´c quan hˆ bˆn trong c´c
a e e
. a
ph´p thu
e ınh a ´
’’ khi t´ x´c suˆt.
a
a´ u ’ a a ´
Cˆu tr´c cua cˆy x´c suˆt duoc x´c d.nh nhu sau:
a ¯ ’ .’ a ¯i ’
i) V˜ biˆ’u dˆ cˆy x´c suˆt tuong ung voi c´c kˆt qua cua d˜y ph´p thu.
e e ¯o a a` a ’’ ´
´ ’ ´ a e
’ ´ ’ ’ a e ’’
˜ a ´ o
´ ’ ˜
ii) G´n mˆi x´c suˆt voi mˆi nh´nh.
a o a a
´
Cˆy x´c suˆt sau minh hoa cho v´ du 32.
a a a . ı .
T
3/7 V 1 3
.
T 2 7
1/2 X
3 4
4/7 T .
8 7
3/8
V V
X
T
X
V
o ´
b) Cˆng thuc Bayes
’
o ´
Cˆng thuc
’
’ ’’ a o a ´ ´ `
e o ¯a ¯ ’ ´ ’
˘ ` ¯ˆ a ´
Gia su A1 , A2 , . . . , An l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung doi v` B l` biˆn
a e
´ bˆt k` c´ thˆ’ xay ra trong ph´p thu. Khi d´ ta c´
cˆ a
o ´ y o e ’ e ’’ ¯o o
P (Ai ).P (B/Ai )
P (Ai /B) = n i = 1, 2, . . . , n
i=1 P (Ai ).P (B/Ai )
20 ’’ ˜
’ a e
. ’ ’ `
e a ´
Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt
a
´
Chung minh
’
o ´ a
’ ´
a o ¯ e` e
Theo cˆng thuc x´c suˆt c´ diˆu kiˆn ta c´
. o
(Ai B) P (Ai ).P (B/Ai )
P (Ai /B) = =
P (B) P (B)
n
. a o ´ a
’ `
a ¯a ¯ ’ ı
M˘t kh´c theo cˆng thuc x´c suˆt dˆy du th` P (B) =
a P (Ai ).P (B/Ai ).
i=1
P (Ai ).P (B/Ai )
Do d´ P (Ai /B) =
¯o n .
i=1 P (Ai ).P (B/Ai )
ı . ’ ’’ o o
. ’ ¯.’ u o. ´ a
• V´ du 33 Gia su c´ 4 hˆp nhu nhau dung c`ng mˆt chi tiˆt m´y, trong d´ c´ mˆt
e ¯o o o.
o
. e´t xˆu, 5 chi tiˆt tˆt do m´y I san suˆt; c`n ba hˆp c`n lai mˆi hˆp dung 4
hˆp 3 chi tiˆ a ´ ´ o
e ´ a ’ ´ o
a o o .
. ˜ o ¯.’
o .
´ ´ ´ ´ ’ ´ ´ ˜ o o o ` o ¯o
` ’ .
chi tiˆt xau, 6 chi tiˆt tˆt do m´y II san suˆt. Lˆy ngˆu nhiˆn mˆt hˆp rˆi tu hˆp d´
e ˆ e o a a a a e . .
´y ra mˆt chi tiˆt m´y.
lˆ
a o
. ´ a
e
a) T`m x´c suˆt dˆ’ chi tiˆt m´y lˆy ra l` tˆt.
ı a ´
a ¯e ´
e a a ´ a o ´
b) Voi chi tiˆt tˆt o cˆu a, t`m x´c suˆt dˆ’ n´ duoc lˆy ra tu hˆp cua m´y I.
´
’ ´ ´
e o ’’ a ı a ´
a ¯e o ¯ ’.’ a ´ ` o ’
’ . a
’
Giai
. ´ ´ ´
a e o a ¯ ’ .’ ´ ´
Goi B l` biˆn cˆ lˆy duoc chi tiˆt tˆt
e o
´ cˆ lˆy duoc hˆp dung chi tiˆt m´y cua m´y I, II
A1 , A2 l` biˆn o
a e ´ a ¯ ’ .’ o ¯ .’
´ . ´ a ’
e a
th` A1 , A2 l` nh´m c´c biˆn o
ı a o a e ´ ´ ` ¯o
´ cˆ xung khac tung dˆi.
˘ ’
a)
P (B) = P (A1 ).P (B/A1 ) + P (A2 ).P (B/A2 )
1 5 3 6
P (A1 ) = ; P (B/A1 ) = ; P (A2 ) = ; P (B/A2 ) =
4 8 4 10
Do d´
¯o
1 5 3 6 97
P (B) = . + . =
4 8 4 10 160
1 5
P (A1 ).P (B/A1 ) . 26
b) P (A1 /B) = = 4978 =
P (B) 160
97
´
a ’ a ’’
* Cˆy x´c suˆt cua cˆu a) cho boi
a a
5
1 5
8 T .
4 8
1 I
4
X
6 3 6
10 T .
4 10
3
4 II
X
