Giáo trình trí tuệ nhân tạo - chapter 4
Vấn đề tìm kiếm, một cách tổng quát, có thể hiểu là tìm một đối tượng thỏa mãn một số đòi hỏi nào đó, trong một tập hợp rộng lớn các đối tượng. Chúng ta có thể kể ra rất nhiều vấn đề mà việc giải quyết nó được quy về vấn đề tìm kiếm.
Các trò chơi, chẳng hạn cờ vua, cờ carô có thể xem như vấn đề tìm kiếm. Trong số rất nhiều nước đi được phép thực hiện, ta phải tìm ra các nước đi dẫn tới tình thế kết cuộc mà ta là người thắng....
Giáo trình trí tuệ nhân tạo
Đinh Mạnh Tường Trang 1
Mục lục
Phần I : Giải quyết vấn đề bằng tìm kiếm
1.1 Chương I - Các chiến lược tìm kiếm mù
1.1 Biểu diễn vấn đề trong không gian trạng thái
1.2 Các chiến lược tìm kiếm
1.3 Các chiến lược tìm kiếm mù
1.3.1 Tìm kiếm theo bề rộng
1.3.2 Tìm kiếm theo độ sâu
1.3.3 Các trạng thái lặp
1.3.4 Tìm kiếm sâu lặp
1.4 Quy vấn đề về các vấn đề con. Tìm kiếm trên đồ thị và/hoặc
1.4.1 Quy vấn đề về các vấn đề con
1.4.2 Đồ thị và/hoặc
1.4.3 Tìm kiếm trên đồ thị và/hoặc
Chương II - Các chiến lược tìm kiếm kinh nghiệm
2.1 Hàm đánh giá và tìm kiếm kinh nghiệm
2.2 Tìm kiếm tốt nhất - đầu tiên
2.3 Tìm kiếm leo đồi
2.4 Tìm kiếm beam
1.2 Chương III - Các chiến lược tìm kiếm tối ưu
3.1 Tìm đường đi ngắn nhất
3.1.1 Thuật toán A*
3.1.2 Thuật toán tìm kiếm Nhánh-và-Cận
1.2.1 3.2 Tìm đối tượng tốt nhất
1.2.1.1 3.2.1 Tìm kiếm leo đồi
3.2.2 Tìm kiếm gradient
3.2.3 Tìm kiếm mô phỏng luyện kim
1.2.2 3.3 Tìm kiếm mô phỏng sự tiến hóa. Thuật toán di truyền
1.3 Chương IV - Tìm kiếm có đối thủ
4.1 Cây trò chơi và tìm kiếm trên cây trò chơi
4.2 Chiến lược Minimax
4.3 Phương pháp cắt cụt Alpha-Beta
Đinh Mạnh Tường Trang 2
Phần II: Tri thức và lập luận
Đinh Mạnh Tường Trang 3
Đinh Mạnh Tường
Giáo trình
Trí tuệ Nhân tạo
KHOA CNTT - ĐạI Học Quốc Gia Hà NộI
Đinh Mạnh Tường Trang 4
Phần I
Giải quyết vấn đề bằng tìm kiếm
-----------------------------------
Vấn đề tìm kiếm, một cách tổng quát, có thể hiểu là tìm một đối tượng thỏa
mãn một số đòi hỏi nào đó, trong một tập hợp r ộng l ớn các đ ối t ượng. Chúng ta có
thể kể ra rất nhiều vấn đề mà việc giải quyết nó được quy về vấn đề tìm kiếm.
Các trò chơi, chẳng hạn cờ vua, cờ carô có thể xem như vấn đề tìm ki ếm.
Trong số rất nhiều nước đi được phép thực hiện, ta phải tìm ra các n ước đi dẫn t ới
tình thế kết cuộc mà ta là người thắng.
Chứng minh định lý cũng có thể xem như vấn đề tìm ki ếm. Cho m ột tập các
tiên đề và các luật suy diễn, trong trường hợp này mục tiêu c ủa ta là tìm ra m ột
chứng minh (một dãy các luật suy diễn được áp dụng) để được đưa đ ến công th ức
mà ta cần chứng minh.
Trong các lĩnh vực nghiên cứu của Trí Tuệ Nhân Tạo, chúng ta thường xuyên
phải đối đầu với vấn đề tìm kiếm. Đặc biệt trong lập kế ho ạch và h ọc máy, tìm
kiếm đóng vai trò quan trọng.
Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu các kỹ thuật tìm ki ếm c ơ bản được áp
dụng để giải quyết các vấn đề và được áp dụng rộng rãi trong các lĩnh v ực nghiên
cứu khác của Trí Tuệ Nhân Tạo. Chúng ta lần lượt nghiên cứu các kỹ thuật sau:
• Các kỹ thuật tìm kiếm mù, trong đó chúng ta không có hi ểu bi ết gì về các đ ối
tượng để hướng dẫn tìm kiếm mà chỉ đơn thuần là xem xét theo m ột h ệ th ống nào
đó tất cả các đối tượng để phát hiện ra đối tượng cần tìm.
• Các kỹ thuật tìm kiếm kinh nghiệm (tìm kiếm heuristic) trong đó chúng ta d ựa
vào kinh nghiệm và sự hiểu biết của chúng ta về vấn đề cần giải quyết để xây dựng
nên hàm đánh giá hướng dẫn sự tìm kiếm.
• Các kỹ thuật tìm kiếm tối ưu.
• Các phương pháp tìm kiếm có đối thủ, tức là các chi ến lược tìm ki ếm n ước đi
trong các trò chơi hai người, chẳng hạn cờ vua, cờ tướng, cờ carô.
Đinh Mạnh Tường Trang 5
Chương I
Các chiến lược tìm kiếm mù
---------------------------------
Trong chương này, chúng tôi sẽ nghiên cứu các chi ến lược tìm kiếm mù (blind
search): tìm kiếm theo bề rộng (breadth-first search) và tìm kiếm theo đ ộ sâu (depth-
first search). Hiệu quả của các phương pháp tìm kiếm này cũng sẽ được đánh giá.
1.4 Biểu diễn vấn đề trong không gian trạng thái
Một khi chúng ta muốn giải quyết một vấn đề nào đó bằng tìm kiếm, đầu tiên
ta phải xác định không gian tìm kiếm. Không gian tìm ki ếm bao gồm t ất c ả các đ ối
tượng mà ta cần quan tâm tìm kiếm. Nó có thể là không gian liên t ục, chẳng h ạn
không gian các véctơ thực n chiều; nó cũng có thể là không gian các đ ối t ượng r ời
rạc.
Trong mục này ta sẽ xét việc biểu diễn một vấn đề trong không gian tr ạng thái
sao cho việc giải quyết vấn đề được quy về việc tìm kiếm trong không gian trạng
thái.
Một phạm vi rộng lớn các vấn đề, đặc biệt các câu đố, các trò chơi, có th ể mô
tả bằng cách sử dụng khái niệm trạng thái và toán tử (phép bi ến đ ổi tr ạng thái).
Chẳng hạn, một khách du lịch có trong tay bản đồ mạng lưới giao thông n ối các
thành phố trong một vùng lãnh thổ (hình 1.1), du khách đang ở thành phố A và anh ta
muốn tìm đường đi tới thăm thành phố B. Trong bài toán này, các thành ph ố có trong
các bản đồ là các trạng thái, thành phố A là trạng thái ban đầu, B là trạng thái k ết
thúc. Khi đang ở một thành phố, chẳng hạn ở thành phố D anh ta có th ể đi theo các
con đường để nối tới các thành phố C, F và G. Các con đ ường n ối các thành ph ố s ẽ
được biểu diễn bởi các toán tử. Một toán tử biến đổi một trạng thái thành m ột trạng
thái khác. Chẳng hạn, ở trạng thái D sẽ có ba toán tử dẫn tr ạng thái D t ới các tr ạng
thái C, F và G. Vấn đề của du khách bây giờ sẽ là tìm m ột dãy toán tử để đ ưa tr ạng
thái ban đầu A tới trạng thái kết thúc B.
Một ví dụ khác, trong trò chơi cờ vua, mỗi cách bố trí các quân trên bàn c ờ là
một trạng thái. Trạng thái ban đầu là sự sắp xếp các quân lúc b ắt đ ầu cu ộc ch ơi.
Mỗi nước đi hợp lệ là một toán tử, nó biến đổi một cảnh huống trên bàn cờ thành
một cảnh huống khác.
Như vậy muốn biểu diễn một vấn đề trong không gian trạng thái, ta c ần xác
định các yếu tố sau:
• Trạng thái ban đầu.
• Một tập hợp các toán tử. Trong đó mỗi toán tử mô tả m ột hành động ho ặc m ột
phép biến đổi có thể đưa một trạng thái tới một trạng thái khác.
Đinh Mạnh Tường Trang 6
Tập hợp tất cả các trạng thái có thể đạt tới từ trạng thái ban đầu b ằng cách áp
dụng một dãy toán tử, lập thành không gian trạng thái của vấn đề.
Ta sẽ ký hiệu không gian trạng thái là U, trạng thái ban đ ầu là u 0 (u0 ∈ U). Mỗi
toán tử R có thể xem như một ánh xạ R: U →U. Nói chung R là một ánh xạ không xác
định khắp nơi trên U.
• Một tập hợp T các trạng thái kết thúc (trạng thái đích). T là tập con c ủa không
gian U. Trong vấn đề của du khách trên, chỉ có một trạng thái đích, đó là thành phố B.
Nhưng trong nhiều vấn đề (chẳng hạn các loại cờ) có thể có nhiều trạng thái đích và
ta không thể xác định trước được các trạng thái đích. Nói chung trong ph ần l ớn các
vấn đề hay, ta chỉ có thể mô tả các trạng thái đích là các trạng thái th ỏa mãn m ột s ố
điều kiện nào đó.
Khi chúng ta biểu diễn một vấn đề thông qua các trạng thái và các toán t ử, thì
việc tìm nghiệm của bài toán được quy về việc tìm đường đi từ tr ạng thái ban đầu
tới trạng thái đích. (Một đường đi trong không gian trạng thái là m ột dãy toán t ử dẫn
một trạng thái tới một trạng thái khác).
Chúng ta có thể biểu diễn không gian trạng thái bằng đồ thị đ ịnh h ướng, trong
đó mỗi đỉnh của đồ thị tương ứng với một trạng thái. Nếu có toán tử R bi ến đ ổi
trạng thái u thành trạng thái v, thì có cung gán nhãn R đi t ừ đ ỉnh u t ới đ ỉnh v. Khi đó
một đường đi trong không gian trạng thái sẽ là một đường đi trong đồ thị này.
Sau đây chúng ta sẽ xét một số ví dụ về các không gian trạng thái đ ược xây
dựng cho một số vấn đề.
Ví dụ 1: Bài toán 8 số. Chúng ta có bảng 3x3 ô và tám quân mang số hi ệu từ 1
đến 8 được xếp vào tám ô, còn lại một ô trống, chẳng hạn như trong hình 2 bên trái.
Trong trò chơi này, bạn có thể chuyển dịch các quân ở c ạch ô tr ống t ới ô tr ống đó.
Vấn đề của bạn là tìm ra một dãy các chuyển dịch để biến đổi cảnh huống ban đ ầu
Đinh Mạnh Tường Trang 7
(hình 1.2 bên trái) thành một cảnh huống xác định nào đó, chẳng hạn cảnh hu ống
trong hình 1.2 bên phải.
Trong bài toán này, trạng thái ban đầu là c ảnh huống ở bên trái hình 1.2, còn
trạng thái kết thúc ở bên phải hình 1.2. Tương ứng với các quy tắc chuyển d ịch các
quân, ta có bốn toán tử: up (đẩy quân lên trên), down (đẩy quân xuống dưới), left
(đẩy quân sang trái), right (đẩy quân sang phải). Rõ ràng là, các toán tử này chỉ là các
toán tử bộ phận; chẳng hạn, từ trạng thái ban đầu (hình 1.2 bên trái), ta ch ỉ có th ể áp
dụng các toán tử down, left, right.
Trong các ví dụ trên việc tìm ra một biểu diễn thích hợp để mô tả các tr ạng
thái của vấn đề là khá dễ dàng và tự nhiên. Song trong nhiều vấn đ ề vi ệc tìm hi ểu
được biểu diễn thích hợp cho các trạng thái c ủa vấn đề là hoàn toàn không đ ơn gi ản.
Việc tìm ra dạng biểu diễn tốt cho các trạng thái đóng vai trò hết sức quan tr ọng
trong quá trình giải quyết một vấn đề. Có thể nói r ằng, n ếu ta tìm đ ược d ạng bi ểu
diễn tốt cho các trạng thái của vấn đề, thì vấn đề hầu như đã được giải quyết.
Ví dụ 2: Vấn đề triệu phú và kẻ cướp. Có ba nhà triệu phú và ba tên c ướp ở
bên bờ tả ngạn một con sông, cùng một chiếc thuyền chở được m ột ho ặc hai người.
Hãy tìm cách đưa mọi người qua sông sao cho không đ ể l ại ở bên b ờ sông k ẻ c ướp
nhiều hơn triệu phú. Đương nhiên trong bài toán này, các toán t ử t ương ứng v ới các
hành động chở 1 hoặc 2 người qua sông. Nhưng ở đây ta c ần lưu ý r ằng, khi hành
động xẩy ra (lúc thuyền đang bơi qua sông) thì ở bên bờ sông thuyền v ừa d ời ch ỗ, s ố
kẻ cướp không được nhiều hơn số triệu phú. Tiếp theo ta cần quyết định cái gì là
trạng thái của vấn đề. ở đây ta không cần phân biệt các nhà triệu phú và các tên
cướp, mà chỉ số lượng của họ ở bên bờ sông là quan trọng. Đ ể biểu di ễn các tr ạng
thái, ta sử dụng bộ ba (a, b, k), trong đó a là số triệu phú, b là số kẻ cướp ở bên b ờ tả
ngạn vào các thời điểm mà thuyền ở bờ này hoặc bờ kia, k = 1 n ếu thuyền ở b ờ t ả
ngạn và k = 0 nếu thuyền ở bờ hữu ngạn. Như vậy, không gian tr ạng thái cho bài
toán triệu phú và kẻ cướp được xác định như sau:
• Trạng thái ban đầu là (3, 3, 1).
• Các toán tử. Có năm toán tử tương ứng với hành đ ộng thuyền ch ở qua sông 1
triệu phú, hoặc 1 kẻ cướp, hoặc 2 triệu phú, hoặc 2 kẻ cướp, hoặc 1 triệu phú và 1
kẻ cướp.
• Trạng thái kết thúc là (0, 0, 0).
1.5 Các chiến lược tìm kiếm
Như ta đã thấy trong mục 1.1, để giải quyết một vấn đề bằng tìm ki ếm trong
không gian trạng thái, đầu tiên ta cần tìm dạng thích h ợp mô t ả các trạng thái c ảu
vấn đề. Sau đó cần xác định:
• Trạng thái ban đầu.
• Tập các toán tử.
• Tập T các trạng thái kết thúc. (T có thể không được xác đ ịnh c ụ th ể gồm các
trạng thái nào mà chỉ được chỉ định bởi một số điều kiện nào đó).
Đinh Mạnh Tường Trang 8
Giả sử u là một trạng thái nào đó và R là một toán tử bi ến đổi u thành v. Ta s ẽ
gọi v là trạng thái kề u, hoặc v được sinh ra từ trạng thái u b ởi toán t ử R. Quá trình
áp dụng các toán tử để sinh ra các trạng thái kề u được gọi là phát tri ển tr ạng thái u.
Chẳng hạn, trong bài toán toán số, phát triển trạng thái ban đầu (hình 2 bên trái), ta
nhận được ba trạng thái kề (hình 1.3).
Khi chúng ta biểu diễn một vấn đề cần giải quyết thông qua các tr ạng thái và
các toán tử thì việc tìm lời giải của vấn đề được quy về việc tìm đường đi từ trạng
thái ban đầu tới một trạng thái kết thúc nào đó.
Có thể phân các chiến lược tìm kiếm thành hai loại:
• Các chiến lược tìm kiếm mù. Trong các chiến lược tìm kiếm này, không có
một sự hướng dẫn nào cho sự tìm kiếm, mà ta chỉ phát triển các tr ạng thái ban đ ầu
cho tới khi gặp một trạng thái đích nào đó. Có hai kỹ thuật tìm kiếm mù, đó là tìm
kiếm theo bề rộng và tìm kiếm theo độ sâu.
Tư tưởng của tìm kiếm theo bề rộng là các trạng thái được phát triển theo th ứ
tự mà chúng được sinh ra, tức là trạng thái nào được sinh ra tr ước sẽ đ ược phát tri ển
trước.
Trong nhiều vấn đề, dù chúng ta phát triển các trạng thái theo h ệ th ống nào
(theo bề rộng hoặc theo độ sâu) thì số lượng các trạng thái được sinh ra trước khi ta
gặp trạng thái đích thường là cực kỳ lớn. Do đó các thuật toán tìm kiếm mù kém hi ệu
quả, đòi hỏi rất nhiều không gian và thời gian. Trong thực tế, nhi ều v ấn đ ề không
thể giải quyết được bằng tìm kiếm mù.
• Tìm kiếm kinh nghiệm (tìm kiếm heuristic). Trong rất nhi ều vấn đ ề, chúng ta
có thể dựa vào sự hiểu biết của chúng ta về vấn đề, dựa vào kinh nghiệm, tr ực giác,
để đánh giá các trạng thái. Sử dụng sự đánh giá các trạng thái đ ể h ướng dẫn s ự tìm
kiếm: trong quá trình phát triển các trạng thái, ta sẽ chọn trong số các trạng thái ch ờ
phát triển, trạng thái được đánh giá là tốt nhất để phát tri ển. Do đó t ốc đ ộ tìm ki ếm
Đinh Mạnh Tường Trang 9
sẽ nhanh hơn. Các phương pháp tìm kiếm dựa vào sự đánh giá các tr ạng thái đ ể
hướng dẫn sự tìm kiếm gọi chung là các phương pháp tìm kiếm kinh nghiệm.
Như vậy chiến lược tìm kiếm được xác định bởi chiến lược chọn trạng thái để
phát triển ở mỗi bước. Trong tìm kiếm mù, ta chọn trạng thái để phát tri ển theo th ứ
tự mà đúng được sinh ra; còn trong tìm kiếm kinh nghiệm ta chọn trạng thái d ựa vào
sự đánh giá các trạng thái.
Cây tìm kiếm
Chúng ta có thể nghĩ đến quá trình tìm kiếm như quá trình xây dựng cây tìm
kiếm. Cây tìm kiếm là cây mà các đỉnh được gắn bởi các trạng thái c ủa không gian
trạng thái. Gốc của cây tìm kiếm tương ứng với trạng thái ban đầu. Nếu một đ ỉnh
ứng với trạng thái u, thì các đỉnh con của nó ứng với các trạng thái v k ề u. Hình 1.4a
là đồ thị biểu diễn một không gian trạng thái với trạng thái ban đầu là A, hình 1.4b là
cây tìm kiếm tương ứng với không gian trạng thái đó.
Mỗi chiến lược tìm kiếm trong không gian trạng thái tương ứng với một
phương pháp xây dựng cây tìm kiếm. Quá trình xây dựng cây b ắt đầu t ừ cây ch ỉ có
một đỉnh là trạng thái ban đầu. Giả sử tới một bước nào đó trong chi ến l ược tìm
kiếm, ta đã xây dựng được một cây nào đó, các lá c ủa cây t ương ứng v ới các tr ạng
thái chưa được phát triển. Bước tiếp theo phụ thuộc vào chiến lược tìm ki ếm mà
một đỉnh nào đó trong các lá được chọn để phát triển. Khi phát tri ển đỉnh đó, cây tìm
kiếm được mở rộng bằng cách thêm vào các đỉnh con của đỉnh đó. Kỹ thuật tìm kiếm
theo bề rộng (theo độ sâu) tương ứng với phương pháp xây dựng cây tìm ki ếm theo
bề rộng (theo độ sâu).
1.6 Các chiến lược tìm kiếm mù
Trong mục này chúng ta sẽ trình bày hai chiến lược tìm kiếm mù: tìm kiếm theo
bề rộng và tìm kiếm theo độ sâu. Trong tìm kiếm theo bề rộng, tại m ỗi b ước ta sẽ
chọn trạng thái để phát triển là trạng thái được sinh ra trước các tr ạng thái ch ờ phát
triển khác. Còn trong tìm kiếm theo độ sâu, trạng thái được chọn để phát tri ển là
trạng thái được sinh ra sau cùng trong số các trạng thái chờ phát triển.
Đinh Mạnh Tường Trang 10
Chúng ta sử dụng danh sách L để lưu các trạng thái đã được sinh ra và ch ờ
được phát triển. Mục tiêu của tìm kiếm trong không gian trạng thái là tìm đ ường đi
từ trạng thái ban đầu tới trạng thái đích, do đó ta cần lưu l ại v ết c ủa đ ường đi. Ta có
thể sử dụng hàm father để lưu lại cha của mỗi đỉnh trên đường đi, father(v) = u nếu
cha của đỉnh v là u.
1.6.1 Tìm kiếm theo bề rộng
Thuật toán tìm kiếm theo bề rộng được mô tả bởi thủ tục sau:
procedure Breadth_First_Search;
begin
1. Khởi tạo danh sách L chỉ chứa trạng thái ban đầu;
2. loop do
2.1 if L rỗng then
{thông báo tìm kiếm thất bại; stop};
2.2 Loại trạng thái u ở đầu danh sách L;
2.3 if u là trạng thái kết thúc then
{thông báo tìm kiếm thành công; stop};
2.4 for mỗi trạng thái v kề u do {
Đặt v vào cuối danh sách L;
father(v) Trong đó k có thể là 1, 2, ..., bd. Do đó số lớn nhất các đỉnh cần xem xét là:
1 + b + b2 + ... + bd
Như vậy, độ phức tạp thời gian của thuật toán tìm kiếm theo bề rộng là O(b d).
Độ phức tạp không gian cũng là O(b d), bởi vì ta cần lưu vào danh sách L tất c ả các
đỉnh của cây tìm kiếm ở mức d, số các đỉnh này là bd.
Để thấy rõ tìm kiếm theo bề rộng đòi hỏi thời gian và không gian l ớn t ới m ức
nào, ta xét trường hợp nhân tố nhánh b = 10 và độ sâu d thay đổi. Giả sử để phát hiện
và kiểm tra 1000 trạng thái cần 1 giây, và lưu giữ 1 trạng thái c ần 100 bytes. Khi đó
thời gian và không gian mà thuật toán đòi hỏi được cho trong bảng sau:
Độ sâu d Thời gian Không gian
4 11 giây 1 megabyte
6 18 giây 111 megabytes
8 31 giờ 11 gigabytes
10 128 ngày 1 terabyte
12 35 năm 111 terabytes
14 3500 năm 11.111 terabytes
1.6.2 Tìm kiếm theo độ sâu
Như ta đã biết, tư tưởng của chiến lược tìm kiếm theo độ sâu là, tại m ỗi bước
trạng thái được chọn để phát triển là trạng thái được sinh ra sau cùng trong s ố các
trạng thái chờ phát triển. Do đó thuật toán tìm kiếm theo độ sâu là hoàn toàn t ương t ự
như thuật toán tìm kiếm theo bề rộng, chỉ có m ột điều khác là, ta xử lý danh sách L
các trạng thái chờ phát triển không phải như hàng đợi mà như ngăn xếp. Cụ thể là
trong bước 2.4 của thuật toán tìm kiếm theo bề rộng, ta c ần sửa lại là “Đặt v vào
đầu danh sách L”.
Sau đây chúng ta sẽ đưa ra các nhận xét so sánh hai chiến lược tìm kiếm mù:
• Thuật toán tìm kiếm theo bề rộng luôn luôn tìm ra nghiệm n ếu bài toán có
nghiệm. Song không phải với bất kỳ bài toán có nghiệm nào thuật toán tìm kiếm theo
độ sâu cũng tìm ra nghiệm! Nếu bài toán có nghi ệm và không gian tr ạng thái h ữu
hạn, thì thuật toán tìm kiếm theo độ sâu sẽ tìm ra nghiệm. Tuy nhiên, trong trường
hợp không gian trạng thái vô hạn, thì có thể nó không tìm ra nghiệm, lý do là ta luôn
luôn đi xuống theo độ sâu, nếu ta đi theo một nhánh vô hạn mà nghi ệm không n ằm
trên nhánh đó thì thuật toán sẽ không dừng. Do đó người ta khuyên r ằng, không nên
áp dụng tìm kiếm theo dộ sâu cho các bài toán có cây tìm ki ếm chứa các nhánh vô
hạn.
• Độ phức tạp của thuật toán tìm kiếm theo độ sâu.
Đinh Mạnh Tường Trang 12
Giả sử rằng, nghiệm của bài toán là đường đi có độ dài d, cây tìm kiếm có nhân
tố nhánh là b và có chiều cao là d. Có thể xẩy ra, nghi ệm là đ ỉnh ngoài cùng bên ph ải
trên mức d của cây tìm kiếm, do đó độ phức tạp thời gian c ủa tìm ki ếm theo đ ộ sâu
trong trường hợp xấu nhất là O(b d), tức là cũng như tìm kiếm theo bề rộng. Tuy
nhiên, trên thực tế đối với nhiều bài toán, tìm kiếm theo độ sâu thực sự nhanh h ơn
tìm kiếm theo bề rộng. Lý do là tìm kiếm theo bề rộng phải xem xét toàn bộ cây tìm
kiếm tới mức d-1, rồi mới xem xét các đỉnh ở mức d. Còn trong tìm kiếm theo độ sâu,
có thể ta chỉ cần xem xét một bộ phận nhỏ của cây tìm kiếm thì đã tìm ra nghiệm.
Để đánh giá độ phức tạp không gian của tìm kiếm theo độ sâu ta có nh ận xét
rằng, khi ta phát triển một đỉnh u trên cây tìm kiếm theo độ sâu, ta chỉ c ần lưu các
đỉnh chưa được phát triển mà chúng là các đỉnh con c ủa các đ ỉnh n ằm trên đ ường đi
từ gốc tới đỉnh u. Như vậy đối với cây tìm kiếm có nhân tố nhánh b và độ sâu lớn
nhất là d, ta chỉ cần lưu ít hơn db đỉnh. Do đó độ phức tạp không gian c ủa tìm ki ếm
theo độ sâu là O(db), trong khi đó tìm kiếm theo bề rộng đòi hỏi không gian nh ớ
O(bd)!
1.6.3 Các trạng thái lặp
Như ta thấy trong mục 1.2, cây tìm kiếm có thể chứa nhiều đỉnh ứng v ới cùng
một trạng thái, các trạng thái này được gọi là trạng thái lặp. Chẳng hạn, trong cây
tìm kiếm hình 4b, các trạng thái C, E, F là các trạng thái lặp. Trong đ ồ th ị bi ểu di ễn
không gian trạng thái, các trạng thái lặp ứng với các đỉnh có nhi ều đ ường đi d ẫn t ới
nó từ trạng thái ban đầu. Nếu đồ thị có chu trình thì cây tìm kiếm sẽ chứa các nhánh
với một số đỉnh lập lại vô hạn lần. Trong các thuật toán tìm kiếm sẽ lãng phí r ất
nhiều thời gian để phát triển lại các trạng thái mà ta đã gặp và đã phát tri ển. Vì vậy
trong quá trình tìm kiếm ta cần tránh phát sinh ra các trạng thái mà ta đã phát tri ển.
Chúng ta có thể áp dụng một trong các giải pháp sau đây:
1. Khi phát triển đỉnh u, không sinh ra các đỉnh trùng với cha của u.
2. Khi phát triển đỉnh u, không sinh ra các đỉnh trùng v ới m ột đ ỉnh nào đó n ằm trên
đường đi dẫn tới u.
3. Không sinh ra các đỉnh mà nó đã được sinh ra, tức là chỉ sinh ra các đỉnh mới.
Hai giải pháp đầu dễ cài đặt và không tốn nhiều không gian nhớ, tuy nhiên các
giải pháp này không tránh được hết các trạng thái lặp.
Để thực hiện giải pháp thứ 3 ta cần lưu các trạng thái đã phát tri ển vào tập Q,
lưu các trạng thái chờ phát triển vào danh sách L. Đương nhiên, trạng thái v l ần đ ầu
được sinh ra nếu nó không có trong Q và L. Vi ệc lưu các tr ạng thái đã phát tri ển và
kiểm tra xem một trạng thái có phải lần đầu được sinh ra không đòi h ỏi rất nhi ều
không gian và thời gian. Chúng ta có thể cài đặt tập Q bởi bảng băm (xem [ ]).
1.6.4 Tìm kiếm sâu lặp
Như chúng ta đã nhận xét, nếu cây tìm kiếm chứa nhánh vô h ạn, khi s ử d ụng
tìm kiếm theo độ sâu, ta có thể mắc kẹt ở nhánh đó và không tìm ra nghiệm. Để khắc
phục hoàn cảnh đó, ta tìm kiếm theo độ sâu chỉ tới mức d nào đó; n ếu không tìm ra
nghiệm, ta tăng độ sâu lên d+1 và lại tìm kiếm theo độ sâu tới mức d+1. Quá trình
Đinh Mạnh Tường Trang 13
trên được lặp lại với d lần lượt là 1, 2, ... dến m ột đ ộ sâu max nào đó. Nh ư v ậy,
thuật toán tìm kiếm sâu lặp (iterative deepening search) sẽ sử dụng thủ tục tìm ki ếm
sâu hạn chế (depth_limited search) như thủ tục con. Đó là th ủ t ục tìm ki ếm theo đ ộ
sâu, nhưng chỉ đi tới độ sâu d nào đó rồi quay lên.
Trong thủ tục tìm kiếm sâu hạn chế, d là tham số độ sâu, hàm depth ghi lại đ ộ
sâu của mỗi đỉnh
procedure Depth_Limited_Search(d);
begin
1. Khởi tạo danh sách L chỉ chứa trạng thái ban đầu u0;
depth(u0) 0;
2. loop do
2.1 if L rỗng then
{thông báo thất bại; stop};
2.2 Loại trạng thái u ở đầu danh sách L;
2.3 if u là trạng thái kết thúc then
{thông báo thành công; stop};
2.4 if depth(u) • Trong tìm kiếm sâu lặp, ta phải phát triển lặp lại nhi ều lần cùng m ột tr ạng
thái. Điều đó làm cho ta có cảm giác rằng, tìm kiếm sâu lặp lãng phí nhi ều th ời gian.
Thực ra thời gian tiêu tốn cho phát triển lặp lại các trạng thái là không đáng kể so v ới
thời gian tìm kiếm theo bề rộng. Thật vậy, mỗi lần gọi thủ tục tìm ki ếm sâu h ạn
chế tới mức d, nếu cây tìm kiếm có nhân tố nhánh là b, thì số đỉnh cần phát triển là:
1 + b + b2 + ... + bd
Nếu nghiệm ở độ sâu d, thì trong tìm kiếm sâu lặp, ta phải gọi thủ tục tìm
kiếm sâu hạn chế với độ sâu lần lượt là 0, 1, 2, ..., d. Do đó các đ ỉnh ở m ức 1 ph ải
phát triển lặp d lần, các đỉnh ở mức 2 lặp d-1 lần, ..., các đỉnh ở mức d l ặp 1 l ần.
Như vậy tổng số đỉnh cần phát triển trong tìm kiếm sâu lặp là:
(d+1)1 + db + (d-1)b2 + ... + 2bd-1 + 1bd
Do đó thời gian tìm kiếm sâu lặp là O(bd).
Tóm lại, tìm kiếm sâu lặp có độ phức tạp thời gian là O(b d) (như tìm kiếm theo
bề rộng), và có độ phức tạp không gian là O(biểu diễn) (như tìm kiếm theo đ ộ sâu).
Nói chung, chúng ta nên áp dụng tìm kiếm sâu lặp cho các vấn đề có không gian
trạng thái lớn và độ sâu của nghiệm không biết trước.
1.7 Quy vấn đề về các vấn đề con. Tìm kiếm trên đồ thị và/hoặc.
1.7.1 Quy vấn đề về các vấn đề con:
Trong mục 1.1, chúng ta đã nghiên cứu vi ệc biểu di ễn v ấn đ ề thông qua các
trạng thái và các toán tử. Khi đó việc tìm nghi ệm của vấn đ ề đ ược quy v ề vi ệc tìm
đường trong không gian trạng thái. Trong mục này chúng ta s ẽ nghiên c ứu m ột
phương pháp luận khác để giải quyết vấn đề, dựa trên việc quy vấn đề về các v ấn
đề con. Quy vấn đề về các vấn đề con (còn gọi là rút gọn vấn đề) là m ột ph ương
pháp được sử dụng rộng rãi nhất để giải quyết các vấn đề. Trong đời sống hàng
ngày, cũng như trong khoa học kỹ thuật, mỗi khi gặp m ột vấn đề c ần gi ải quyết, ta
vẫn thường cố gắng tìm cách đưa nó về các vấn đề đơn giản hơn. Quá trình rút gọn
vấn đề sẽ được tiếp tục cho tới khi ta dẫn tới các vấn đề con có thể giải quyết được
dễ dàng. Sau đây chúng ta xét một số vấn đề.
Vấn đề tính tích phân bất định
Giả sử ta cần tính một tích phân bất định, chẳng hạn ∫ (xex + x3) dx. Quá trình
chúng ta vẫn thường làm để tính tích phân bất định là như sau. Sử d ụng các quy t ắc
tính tích phân (quy tắc tính tích phân của một tổng, quy tắc tính tích phân t ừng
phần...), sử dụng các phép biến đổi biến số, các phép biến đổi các hàm (chẳng hạn,
các phép biến đổi lượng giác),... để đưa tích phân cần tính về tích phân c ủa các hàm
số sơ cấp mà chúng ta đã biết cách tính. Chẳng h ạn, đ ối v ới tích phân ∫ (xex + x3)
Đinh Mạnh Tường Trang 15
dx, áp dụng quy tắc tích phân của tổng ta đưa về hai tích phân ∫ xexdx và ∫ x3dx. áp
dụng quy tắc tích phân từng phần ta đưa tích phân ∫ xexdx về tích phân ∫ exdx. Quá
trình trên có thể biểu diễn bởi đồ thị trong hình 1.5.
Các tích phân ∫ exdx và ∫ x3dx là các tích phân cơ bản đã có trong bảng tích
phân. Kết hợp các kết quả của các tích phân cơ bản, ta nhận đ ược k ết qu ả c ủa tích
phân đã cho.
Chúng ta có thể biểu diễn việc quy một vấn đề về các vấn đề con c ơ b ởi các
trạng thái và các toán tử. ở đây, bài toán cần giải là trạng thái ban đầu. Mỗi cách quy
bài toán về các bài toán con được biểu diễn bởi một toán tử, toán tử A →B, C biểu
diễn việc quy bài toán A về hai bài toán B và C. Chẳng hạn, đ ối v ới bài toán tính tích
phân bất định, ta có thể xác định các toán tử dạng:
∫ (f1 + f2) dx → ∫ f1 dx, ∫ f2 dx và ∫ u dv → ∫ v du
Các trạng thái kết thúc là các bài toán sơ cấp (các bài toán đã biết cách gi ải).
Chẳng hạn, trong bài toán tính tích phân, các tích phân c ơ b ản là các tr ạng thái k ết
thúc. Một điều cần lưu ý là, trong không gian trạng thái bi ểu di ễn vi ệc quy v ấn đ ề
về các vấn đề con, các toán tử có thể là đa trị, nó biến đổi một trạng thái thành nhi ều
trạng thái khác.
Vấn đề tìm đường đi trên bản đồ giao thông
Bài toán này đã được phát triển như bài toán tìm đường đi trong không gian
trạng thái (xem 1.1), trong đó mỗi trạng thái ứng với m ột thành ph ố, m ỗi toán t ử ứng
với một con đường nối, nối thành phố này với thành phố khác. Bây gi ờ ta đ ưa ra m ột
cách biểu diễn khác dựa trên việc quy vấn đề về các vấn đề con. Gi ả sử ta có b ản
đồ giao thông trong một vùng lãnh thổ (xem hình 1.6). Giả sử ta cần tìm đ ường đi t ừ
thành phố A tới thành phố B. Có con sông chảy qua hai thành ph ố E và G và có c ầu
qua sông ở mỗi thành phố đó. Mọi đường đi từ A đến B chỉ có thể qua E ho ặc G.
Như vậy bài toán tìm đường đi từ A đến B được quy về:
1) Bài toán tìm đường đi từ A đến B qua E (hoặc)
2) Bài toán tìm đường đi từ A đến b qua G.
Mỗi một trong hai bài toán trên lại có thể phân nhỏ như sau
Đinh Mạnh Tường Trang 16
1) Bài toán tìm đường đi từ A đến B qua E được quy về:
1.1 Tìm đường đi từ A đến E (và)
1.2 Tìm đường đi từ E đến B.
2) Bài toán tìm đường đi từ A đến B qua G được quy về:
2.1 Tìm đường đi từ A đến G (và)
2.2 Tìm đường đi từ G đến B.
Quá trình rút gọn vấn đề như trên có thể biểu diễn dưới dạng đồ th ị (đ ồ th ị
và/hoặc) trong hình 1.7. ở đây mỗi bài toán tìm đường đi từ một thành phố tới một
thành phố khác ứng với một trạng thái. Các trạng thái kết thúc là các tr ạng thái ứng
với các bài toán tìm đường đi, chẳng hạn từ A đến C, hoặc từ D đ ến E, b ởi vì đã có
đường nối A với C, nối D với E.
1.7.2 Đồ thị và/hoặc
Không gian trạng thái mô tả việc quy vấn đề về các vấn đề con có th ể bi ểu
diễn dưới dạng đồ thị định hướng đặc biệt được gọi là đồ thị và/hoặc. Đồ thị này
được xây dựng như sau:
Mỗi bài toán ứng với một đỉnh của đồ thị. Nếu có m ột toán t ử quy m ột bài toán
về một bài toán khác, chẳng hạn R : a →b, thì trong đồ thị sẽ có cung gán nhãn đi từ
đỉnh a tới đỉnh b. Đối với mỗi toán tử quy một bài toán về một số bài toán con, ch ẳng
hạn R : a →b, c, d ta đưa vào một đỉnh mới a 1, đỉnh này biểu diễn tập các bài toán con
{b, c, d} và toán tử R : a →b, c, d được biểu diễn bởi đồ thị hình 1.8.
Đinh Mạnh Tường Trang 17
Ví dụ: Giả sử chúng ta có không gian trạng thái sau:
• Trạng thái ban đầu (bài toán cần giải) là a.
• Tập các toán tử quy gồm:
R1 : a →d, e, f
R2 : a →d, k
R3 : a →g, h
R4 : d →b, c
R5 : f →i
R6 : f →c, j
R7 : k →e, l
R8 : k →h
• Tập các trạng thái kết thúc (các bài toán sơ cấp) là T = {b, c, e, j, l}.
Không gian trạng thái trên có thể biểu diễn bởi đồ thị và/hoặc trong hình 1.9.
Trong đồ thị đó, các đỉnh, chẳng hạn a1, a2, a3 được gọi là đỉnh và, các đỉnh chẳng hạn
a, f, k được gọi là đỉnh hoặc. Lý do là, đỉnh a1 biểu diễn tập các bài toán {d, e, f} và
a1 được giải quyết nếu d và e và f được giải quyết. Còn tại đỉnh a, ta có các toán t ử
R1, R2, R3 quy bài toán a về các bài toán con khác nhau, do đó a đ ược gi ải quyết n ếu
hoặc a1 = {d, e, f}, hoặc a2 = {d, k}, hoặc a3 = {g, h} được giải quyết.
Đinh Mạnh Tường Trang 18
Người ta thường sử dụng đồ thị và/hoặc ở dạng rút gọn. Ch ẳng h ạn, đ ồ th ị
và/hoặc trong hình 1.9 có thể rút gọn thành đồ thị trong hình 1.10. Trong đ ồ th ị rút
gọn này, ta sẽ nói chẳng hạn d, e, f là các đỉnh k ề đ ỉnh a theo toán t ử R 1, còn d, k là
các đỉnh kề a theo toán tử R2.
Khi đã có các toán tử rút gọn vấn đề, thì bằng cách áp d ụng liên ti ếp các toán
tử, ta có thể đưa bài toán cần giải về một tập các bài toán con. Chẳng h ạn, trong ví
dụ trên nếu ta áp dụng các toán tử R1, R4, R6, ta sẽ quy bài toán a về tập các bài toán
con {b, c, e, f}, tất cả các bài toán con này đều là sơ cấp. Từ các toán t ử R 1, R4 và R6
ta xây dựng được một cây trong hình 1.11a, cây này được gọi là cây nghi ệm. Cây
nghiệm được định nghĩa như sau:
Cây nghiệm là một cây, trong đó:
• Gốc của cây ứng với bài toán cần giải.
• Tất cả các lá của cây là các đỉnh kết thúc (đỉnh ứng với các bài toán sơ cấp).
• Nếu u là đỉnh trong của cây, thì các đỉnh con của u là các đ ỉnh k ề u theo m ột
toán tử nào đó.
Các đỉnh của đồ thị và/hoặc sẽ được gắn nhãn giải được hoặc không gi ải
được.
Các đỉnh giải được được xác định đệ quy như sau:
Đinh Mạnh Tường Trang 19
• Các đỉnh kết thúc là các đỉnh giải được.
• Nếu u không phải là đỉnh kết thúc, nhưng có một toán tử R sao cho tất c ả các
đỉnh kề u theo R đều giải được thì u giải được.
Các đỉnh không giải được được xác định đệ quy như sau:
• Các đỉnh không phải là đỉnh kết thúc và không có đỉnh kề, là các đỉnh không
giải được.
• Nếu u không phải là đỉnh kết thúc và với mọi toán tử R áp dụng được tại u
đều có một đỉnh v kề u theo R không giải được, thì u không giải được.
Ta có nhận xét rằng, nếu bài toán a giải được thì sẽ có một cây nghiệm gốc a,
và ngược lại nếu có một cây nghiệm gốc a thì a giải được. Hiển nhiên là, một bài
toán giải được có thể có nhiều cây nghiệm, mỗi cây nghiệm biểu di ễn m ột cách gi ải
bài toán đó. Chẳng hạn trong ví dụ đã nêu, bài toán a có hai cây nghi ệm trong hình
1.11.
Thứ tự giải các bài toán con trong một cây nghiệm là như sau. Bài toán ứng v ới
đỉnh u chỉ được giải sau khi tất cả các bài toán ứng với các đ ỉnh con c ủa u đã đ ược
giải. Chẳng hạn, với cây nghiệm trong hình 1.11a, thứ tự giải các bài toán có thể là b,
c, d, j, f, e, a. ta có thể sử dụng thủ tục sắp xếp topo (xem [ ]) đ ể s ắp x ếp th ứ t ự các
bài toán trong một cây nghiệm. Đương nhiên ta cũng có thể giải quyết đ ồng th ời các
bài toán con ở cùng một mức trong cây nghiệm.
Vấn đề của chúng ta bây giờ là, tìm kiếm trên đồ thị và/hoặc để xác định đ ược
đỉnh ứng với bài toán ban đầu là giải được hay không giải được, và nếu nó giải được
thì xây dựng một cây nghiệm cho nó.
1.7.3 Tìm kiếm trên đồ thị và/hoặc
Ta sẽ sử dụng kỹ thuật tìm kiếm theo độ sâu trên đồ thị và/ho ặc để đánh d ấu
các đỉnh. Các đỉnh sẽ được đánh dấu giải được hoặc không giải được theo đ ịnh
nghĩa đệ quy về đỉnh giải được và không giải được. Xuất phát từ đ ỉnh ứng v ới bài
toán ban đầu, đi xuống theo độ sâu, nếu gặp đỉnh u là đỉnh kết thúc thì nó đ ược đánh
dấu giải được. Nếu gặp đỉnh u không phải là đỉnh kết thúc và t ừ u không đi ti ếp
được, thì u được đánh dấu không giải được. Khi đi tới đỉnh u, thì t ừ u ta l ần l ượt đi
xuống các đỉnh v kề u theo một toán tử R nào đó. N ếu đánh d ấu đ ược m ột đ ỉnh v
không giải được thì không cần đi tiếp xuống các đỉnh v còn lại. Ti ếp tục đi xu ống
các đỉnh kề u theo một toán tử khác. Nếu tất cả các đỉnh kề u theo một toán tử nào đó
được đánh dấu giải được thì u sẽ được đánh dấu giải được và quay lên cha c ủa u.
Còn nếu từ u đi xuống các đỉnh kề nó theo mọi toán tử đều gặp các đ ỉnh k ề đ ược
đánh dấu không giải được, thì u được đánh dấu không gi ải đ ược và quay lên cha c ủa
u.
Ta sẽ biểu diễn thủ tục tìm kiếm theo độ sâu và đánh dấu các đ ỉnh đã trình bày
trên bởi hàm đệ quy Solvable(u). Hàm này nhận giá trị true n ếu u gi ải đ ược và nh ận
giá trị false nếu u không giải được. Trong hàm Solvable(u), ta sẽ sử dụng:
Đinh Mạnh Tường Trang 20
