Giá trị trung bình và ứng dụng
Các bạn đã học qua định lý này? Hãy tham khảo một số ứng dụng thú vị của nó...
Tài lịêu tham khảo Tôn Thất Thái Sơn
LỚP CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ
TRUNG BÌNH
ON A CLASS OF PROBLEMS SOLVABLE BY USING MEAN- VALUE
THEOREMS
TÓM TẮT
Các định lý về giá trị trung bình đóng một vai trò quan trọng trong giải tích toán học, và được
thường xuyên khai thác trong các kỳ thi Olympic Toán địa phương, quốc gia và quốc tế (ở cấp
độ học sinh THPT hoặc sinh viên Đại học). Chúng tỏ ra là một công cụ rất hiệu lực trong việc
giải các bài toán liên quan đến sự tồn tại nghiệm và các tính chất định lượng của nghiệm của
nhiều dạng phương trình khác nhau. Trong bài báo này ta lần lượt khảo sát các bài toán như
thế nhờ ứng dụng các định lý về giá trị trung bình trong ba lĩnh vực: liên tục, khả vi và khả tích.
ABSTRACT
Theorems of the so-called mean-value kind play an important role in mathematical analysis
and are frequently exploited in regional, national and international olympiads (of high-school or
university level). They are the most powerful tool in solving problems concerning the existence
and quantitative property of solutions to various equations. In this paper, we investigate some
kinds of problems using such theorems in the three subjects: continuity, differentiability and
integrability.
1. Phương pháp sử dụng hàm số liên tục
Định lý 1.1 Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì có ít nhất một điểm
c Î (a;b) để f(x) = 0.
Định lý 1.2 Giả sử f là một hàm liên tục trên [a;b] và f(a) = A, f(b) = B. Lúc đó nếu C là
một số bất kỳ nằm giữa A và B thì có ít nhất một điểm c Î (a;b) để f(c) = C.
Định lý 1.3 Nếu f là một hàm liên tục trên [a;b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa giá
trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của nó trên đoạn đó.
Các bài toán áp dụng:
Bài toán 1: Chứng minh phương trình: x3 - x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Tính tổng
các luỹ thừa bậc 8 của 3 nghiệm đó.
(Olympic Việt Nam)
Giải: Xét hàm số: y = f(x)= x3 - x + 1 thì f liên tục trên D = R.
1 2
Ta có: f(-2)= -5 < 0; f(0)= 1 >0; f( )= 1- 0
3 3
nên phương trình cho có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3.
Theo định lý Viet: x1 + x2 + x3 = 0; x1x2 + x2x3 + x3x1 = -1; x1x2x3 = -1
Ta có: x 3 - xi + 1 = 0 Þ x 3 = xi - 1
i i
Þ x 5 = x 3 - x i2 = - x i2 + xi - 1 nên: x 8 = 2 x i2 - 3xi + 2
i i i
3 3 3
Do đó: T = å xi 8 = 2 å xi 2 - 3 å xi + 6
i =1 i =1 i =1
3 3 3
= 2[( å xi )2 - 2 å xi x j ] - 3 å xi + 6 =10.
i =1 i , j =1 i =1
i¹ j
-1-
Tài lịêu tham khảo Tôn Thất Thái Sơn
Bài toán 2: Chứng minh tập nghiệm của bất phương trình:
1 2 70 5
+ + ... + ³
x -1 x - 2 x - 70 4
là hợp các khoảng rời nhau và có tổng độ dài là 1988.
(Olympic Quốc tế)
1 2 70 5 70 k 5
Giải:Ta có: + + ... + - =å -
x -1 x - 2 x - 70 4 k =1 x - k 4
å k Õ ( x - j)
j¹k 5
4å k Õ ( x - j ) - 5Õ ( x - j )
j¹k
= - =
Õ ( x - j) 4 4Õ ( x - j )
f ( x)
= với qui ước k, j = 1,70.
g ( x)
Rõ ràng g(x) = 0 có 70 nghiệm x = 1,2,..., 70
Và f liên tục trên R, f(k).f(k+1) < 0 với k = 1,69 và lim f (x ) < 0 , f(70) > 0 nên cũng có
x ® +¥
đủ 70 nghiệm xen kẽ là: 1 < x1 < 2 < x2 Tài lịêu tham khảo Tôn Thất Thái Sơn
Định lý 2.1 (Định lý ROLLE) Cho f là một hàm liên tục trên [a;b] và khả vi trên (a;b). Nếu
có f(a) = f(b) thì tồn tại cÎ(a;b) để f ' (c) = 0
Kết quả: giữa 2 nghiệm của phương trình f(x)=0 có 1 nghiệm của phương trình f '(x)=0.
Định lý 2.2 (Định lý CAUCHY) Cho j và y là liên tục trên [a;b] và khả vi trên (a;b). Lúc đó
tồn tại cÎ(a;b) để: [y(b)-y(a)] j '(c) = [j(b)-j(a)] y '(c)
Định lý 2.3 (Định lý LAGRANGE) Cho f là một hàm liên tục trên [a;b] và khả vi trên (a;b).
Lúc đó tồn tại cÎ(a;b) để: f(b) - f(a) = (b - a ) f '(c)
Các bài toán áp dụng:
Bài toán 4: Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên (0;+µ) và không phải là hàm hằng.Cho
2 số thực 0 < a < b. Chứng minh phương trình:
af (b) - bf (a )
xf ' ( x) - f ( x) =
b-a
có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b).
(Olympic sinh viên )
Giải:
f ( x) 1
Xét 2 hàm số: g ( x) = ; h( x) = thì g, h khả vi trên [a;b]
x x
xf ' ( x) - f ( x) -1
Ta có: g ' ( x) = 2
; h' ( x) = 2 .
x x
Theo định lý Cauchy thì tồn tại x0 Î(a;b) sao cho:
[h(b)-h(a)]g'(x0) = [g(b)-g(a)]h'(x0)
1 1 x f ' ( x0 ) - f ( x0 ) f (b) f (a ) - 1
hay ( - ) 0 2
=( - ) .
b a x0 b a x0 2
(a - b)( x0 f ' ( x 0 ) - f ( x0 )) af (b) - bf (a )
Do đó 2
=- 2
.
bax0 abx0
af (b) - bf (a )
Suy ra x0 f ' ( x0 ) - f ( x0 ) = .
b-a
af (b) - bf (a )
Vậy phương trình: xf ' ( x) - f ( x) =
b-a
có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b).
Bài toán 5: Cho phương trình:
a0xn + a1xn-1 +... + an-1x + an = 0, a0 ¹ 0 có n nghiệm phân biệt.
Chứng minh: (n - 1) a12 > 2na0a2.
(Olympic Nga)
Giải: Đặt f(x) = a0xn + a1xn-1 +... + an-1x + an, thì f khả vi vô hạn trên R
Vì f(x) có n nghiệm phân biệt nên theo định lý Rolle thì:
f '(x) có n - 1 nghiệm phân biệt
f "(x) có n - 2 nghiệm phân biệt,...
-3-
Tài lịêu tham khảo Tôn Thất Thái Sơn
n! 2
Þ f(n-2) (x) = a0x + (n - 1)! a1x + (n - 2)! a2 có 2 nghiệm phân biệt.
2
Do đó: D > 0 nên: ((n - 1)! a1)2 - 2n! a0(n - 2)! a2 > 0
Vậy: (n - 1)a12 > 2na0.a2.
Bài toán 6: Cho hàm số f khả vi trên [0;1] và thoả mãn:
f(0)=0 ; f(1) = 1.
Chứng minh tồn tại 2 số phân biệt a;b thuộc (0;1) sao cho f '(a).f '(b) = 1.
(Olympic Hoa kỳ)
Giải: Xét hàm số g(x)= f(x) +x - 1 thì g khả vi trên [0;1]
Ta có: g(0)= - 1 < 0 và g(1)= 1 >0 nên tồn tại số c thuộc (0;1) sao cho g(c) =0.
Do đó f(c) + c -1 =0 hay f(c) = 1- c.
Áp dụng định lý Lagrange cho f trên các đoạn [0;c] và [c;1] thì:
f ( c ) - f ( 0)
tồn tại aÎ(0;c) sao cho: = f ' (a)
c-0
f (1) - f (c)
và tồn tại bÎ(c;1) sao cho: = f ' (b) ,
1- c
f (c) 1 - f (c) (1 - c)c
nên: f ' (a ). f ' (b) = = =1.
c 1- c c(1 - c)
Vậy tồn tại 2 số phân biệt a;b thuộc (0;1) sao cho f '(a).f '(b) = 1.
3. Phương pháp sử dụng phép tính tích phân
Định lý 3.1: Cho f là một hàm khả tích trên [a;b] và m,M tương ứng là giá trị nhỏ nhất, giá trị
lớn nhất của f trên [a;b]. Lúc đó tồn tại mÎ[m;M] sao cho:
b
ò f ( x)dx = m (b - a)
a
Định lý 3.2: Cho f là một hàm liên tục trên [a;b]. Lúc đó tồn tại xÎ[a;b] sao cho:
b
ò f ( x)dx = (b - a) f (x ) .
a
Các bài toán áp dụng:
Bài toán 7: Cho a Î (0;1). Giả sử f liên tục trên đoạn [0;1] thoả điều kiện:
f(0) = f(1) = 0.
Chứng minh tồn tại b Î [0;1] sao cho, hoặc f(b) = f(b-a) hoặc f(b) = f(b+a-1)
(Olympic sinh viên)
Giải: Ta mở rộng hàm f trên R để được hàm tuần hoàn chu kỳ T = 1, do f(0) = f(1) = 0 nên
hàm mới, vẫn kí hiệu f, liên tục trên R.
Xét hàm số: g(x)= f(x+a) - f(x) thì g liên tục trên R
Khi đó:
1 1 1
ò g ( x)dx = ò f ( x + a)dx - ò f ( x)dx
0 0 0
1+ a 1
= ò a
f ( x + a )dx - ò f ( x)dx = 0
0
Mà theo định lý 3.2 thì tồn tại cÎ[0;1] sao cho:
-4-
Tài lịêu tham khảo Tôn Thất Thái Sơn
1
ò g ( x)dx = (1 - 0) g (c) = g (c) nên g(c)=0
0
do đó 0= f(c+a) - f(c) nên 0 =f(c+a) -f(c) = f(c+a+n) -f(c) với n nguyên.
Vậy, nếu c+a Î[0;1] thì chọn b = c+a Î [0;1]
Còn nếu c+a >1 thì chọn b = cÎ [0;1]
p /2
p
Bài toán 8: Giả sử f liên tục trên [0; ] và thoả mãn: f(0) > 0, ò f ( x)dx < 1 .
2 0
p
Chứng minh rằng phương trình f(x) = sinx có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; )
2
(Olympic sinh viên)
p
Giải: Xét F(x) =f(x) -sinx thì F liên tục trên [0; ].
2
p /2 p /2
Khi đó: ò0
f ( x)dx < 1 hay ò f ( x)dx - 1 < 0
0
p /2 p /2
Suy ra: ò [ f ( x) - sin x ]dx = ò F ( x)dx < 0
0 0
p
Do đó tồn tại cÎ[0; ] để F(c) 0 nên tồn tại c0 Î(0; ) để F(c0) = 0 tức là F(x) = 0 có nghiệm.
2
p
Vậy f(x) = sinx có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; )
2
-5-
